Tài liệu xác suất thống kê

ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN  Tổng thể ( hay đám đông) là tập hợp tất cả các phần tử mà ta muốn khảo sát( xem xét, điều tra) Ví dụ Để nghiên cứu “sự hài lòng của sinh viên Việt Nam.

ÔN TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN  Tổng thể ( hay đám đông) tập hợp tất phần tử mà ta muốn khảo sát( xem xét, điều tra) Ví dụ: Để nghiên cứu “sự hài lòng sinh viên Việt Nam phong trào Đồn TNCS Hồ Chí Minh ” ta chọn tổng thể (đám đông) tập hợp tất sinh viên Việt Nam có tham gia sinh hoạt Đồn  Ngoại trừ vài trường hợp cần có xác tuyệt đối phải điều tra toàn tổng thể (chẳng hạn điều tra dân số), cịn lại nhiều lí (thời gian kinh phí khơng cho phép, làm hỏng tổng thể hay khơng xác định xác tổng thể, )  Tập tổng thể gọi mẫu Số phần tử mẫu gọi cỡ mẫu hay kích thước mẫu, thường kí hiệu n Phương pháp nghiên cứu phần tử đại diện thay nghiên cứu tồn gọi phương pháp mẫu  Mẫu muốn đại diện cho tổng thể phải chọn cách khách quan, không cố ý, không thiên vị Cách tốt để chọn mẫu đại diện chọn mẫu ngẫu nhiên (hay chọn mẫu xác suất), phương pháp mà phần tử tổng thể lấy làm mẫu với xác suất Ta xét số phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên thường dùng: + Chọn mẫu đơn giản + Chọn mẫu theo nhóm + Chọn mẫu chùm  Nếu mẫu chọn cách ngẫu nhiên xử lý tốt phương pháp xác suất đưa kết luận: nhanh chóng, chi phí đảm bảo độ xác cần thiết  Sắp xếp trình bày số liệu: + Bảng biểu diễn mẫu có lặp (bảng thống kê, bảng phân phối thực nghiệm) dùng mẫu có nhiều giá trị trùng + Bảng ghép lớp (bảng dạng khoảng) dùng mẫu gồm nhiều giá trị khác gần người ta gom giá trị mẫu thành lớp, giá trị gần xếp vào lớp  Thống kê mô tả: Thu thập kiểm tra số liệu, mô tả trình bày số liệu, tính tham số mẫu đặc trưng cho số liệu mẫu  Trung bình mẫu đặc trưng giá trị trung bình  Trung bình mẫu trung bình số học giá trị mẫu k  Trung bình mẫu: x   ni xi n i 1  Phương sai mẫu đặc trưng phân tán  k s ni xi  x  Phương sai mẫu hiệu chỉnh:   n  i 1   Tỉ lệ mẫu (cịn ký hiệu ), m số phần tử có tính chất A n phần tử khảo sát  Ước lượng điểm cho kết giá trị xấp xỉ cho tham số  Ưu điểm ước lượng điểm tiện ích tính toán  Các tiêu chuẩn đánh giá ước lượng điểm: + Ước lượng không chệch + Ước lượng hiệu + Ước lượng vững  Ước lượng không chệch: ước lượng không chệch ước lượng điểm có kỳ vọng sai số  Ước lượng hiệu quả: ước lượng không chệch có phương sai nhỏ ước lượng khơng chệch  Trung bình mẫu (), phương sai mẫu hiệu chỉnh (), tỷ lệ mẫu () ước lượng khơng chệch cho trung bình tổng thể (), phương sai tổng thể (), tỷ lệ tổng thể (p) Ưu điểm ước lượng khoảng dùng cho mẫu kích thước nhỏ, đặc biệt ước lượng khoảng cho phép đánh giá độ tin cậy  Ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể   Trường hợp biết   z   n ; ta gọi ε độ xác hay  Đặt gọi sai số ước lượng; khoảng tin cậy  có dạng ; khoảng đối xứng có tâm 1  Đại lượng xứng  l  2 độ dài khoảng tin cậy đối  Trường hợp khơng biết  kích thước mẫu n  30 s Độ xác:   z  1 n  Trường hợp khơng biết  kích thước mẫu n < 30 n 1 s Độ xác:   t  1 n  Ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể p Độ xác:   z 1 f (1  f )  n §3 KIỂM ĐỊNH SO SÁNH TỶ LỆ TỔNG THỂ VỚI MỘT SỐ Giả sử tổng thể X có tỷ lệ phần tử có tính chất A p chưa biết Với mức ý nghĩa , kiểm định giả thuyết H0: p = p0; đối thuyết H1: p  p0 với p0 số F - p T = n p0(1- p0) Ta dùng tiêu chuẩn kiểm đinh ; H0 T  N(0; 1) Tương tự kiểm định trung bình, ta có quy tắc thực hành sau:  Từ mức ý ngha , ta cú ổ ữ ỗ baỷ ng pp chuaồ n taộ c ữ Fỗ z = ắắ ắ ắ ắ ắắ đ z ữ a a ỗ ữ 1ỗ ố 1- ứ  Tính giá trị kiểm định tqs = f - po po(1- po ) n  Nếu tqs ³ z1- a bác bỏ H0, ngược lại tqs < z1- a ta 2 chấp nhận H0 Trong trường hợp bác bỏ H0  Ví dụ Có ý kiến cho tỉ lệ phế phẩm lô hàng 3% Khảo sát ngẫu nhiên 400 sản phẩm thấy có 14 phế phẩm Với mức ý nghĩa 5%, cho nhận xét ý kiến Giải Gọi p tỉ lệ phế phẩm lô hàng Xét cặp giả thuyết H0: p = p0, H1: p  p0 với p0 = 3% m 14  0, 035 Tỷ lệ mẫu f   n 400 Với mức ý nghĩa  = 5%, ta có ỉ ữ ỗ ữ Fỗ z a ữ= 1= 0,975 ắắđ z a = 1,96 ỗ ữ 1ữ ỗ è 1- ø Giá trị kiểm định tqs = f - po po(1- po ) n= 0,035 - 0,03 0,03.(1- 0,03) Do tqs < z1- a nên ta chấp nhận H0 Vậy với mức ý nghĩa 5%, ý kiến 400 = 0,586 Ví dụ Tỉ lệ phế phẩm sở sản xuất trước 10% Sau cải tiến kỹ thuật, khảo sát ngẫu nhiên 100 sp sở sản xuất thấy có phế phẩm Với mức ý nghĩa 5%: a) Hãy cho biết việc cải tiến có hiệu hay không? b) Tiếp tục cải tiến, sau kiểm tra 100sp thấy có phế phẩm Hỏi cải tiến lần có hiệu khơng? Giải Gọi p tỉ lệ phế phẩm sở Xét giả thuyết H0: p = p0, H1: p  p0 với p0 = 10% = 0,1 a) Tỷ lệ mẫu m f    0, 05 n 100 Với mức ý nghĩa  = 5%, ta có z1- a = 1,96 Giá trị kiểm định tqs = f - po po(1- po ) n= 0,05 - 0,1 0,1.(1- 0,1) 100 = - 1,67 Lúc | tqs |> z 1- a nên ta bác bỏ H0 mà f  0, 04  0,1  p0  p  0,1 Vậy cải tiến lần hiệu Ví dụ Kiểm đinh giả thuyết H0: p = 0,2; đối thuyết H1: p  0,2 , mức ý nghĩa  = 5% biết: a) Điều tra cỡ mẫu 100 có tỷ lệ mẫu f = 0,22 b) Điều tra cỡ mẫu 400 có tỷ lệ mẫu f = 0,24 CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG Kiểm định giả thuyết gì? Sai lầm loại gì? Nêu tiêu chuẩn kiểm định, điều kiện bác bỏ giả thuyết kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể  = 0, đối thuyết   0 trường hợp: a) Biết   n  30 b) Không biết  n < 30 Nêu tiêu chuẩn kiểm định, điều kiện bác bỏ giả thuyết kiểm định giả thuyết tỷ lệ p = p0, đối thuyết p  p0 CHƯƠNG : TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY  Trong thực tế, quan sát có ta phải xét đồng thời nhiều tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn đánh giá thể lực người ta thường dựa vào tiêu chuẩn: chiều cao, cân nặng, số đo vịng ngực, Điều có nghĩa ta phải xem xét đồng thời nhiều biến ngẫu nhiên Giả sử có biến ngẫu nhiên X Y Vấn đề đặt có hay không mối quan hệ phụ thuộc X Y? Ta xem X Y có loại phụ thuộc sau:  Sự phụ thuộc hàm: Y phụ thuộc vào X thông qua hàm số Y = f(X)  Sự phụ thuộc thống kê: X thay đổi, phân phối xác suất Y thay đổi; đặc biệt X thay đổi mà trung bình có điều kiện E(Y|X) thay đổi, nghĩa E(Y|X) = g(X) , ta nói X Y có phụ thuộc tương quan Lý thuyết tương quan xem xét biến ngẫu nhiên X Y có phụ thuộc tương quan hay không, đánh giá mức độ phụ thuộc (tuyến tính hay phi tuyến, chặt hay lỏng, ) Lý thuyết hồi quy dựa sở phụ thuộc tương quan đánh giá tìm hàm số f(X) biểu diễn Y theo X (chính xác trung bình Y theo X), từ dự báo giá trị trung bình Y biết X Tài liệu ta nghiên cứu phụ thuộc tương quan tuyến tính biến ngẫu nhiên X, Y Hệ số tương quan mẫu Cho mẫu cỡ n biến ngẫu nhiên X, Y sau: X x1 x2 xn Y y1 y2 yn Công thức rXY xy  x y  sˆX sˆY ; x1 y1   xn yn Trong đó: xy  n   sˆX  x  x ; sˆY    y  y 2 Tính chất    rXY   rXY  rYX  rXY ; ac   Z  aX  b; T  cY  d  rZT     rXY ; ac  Ý nghĩa Hệ số tương quan mẫu dùng để đánh giá mức độ phụ thuộc tương quan tuyến tính hai biến ngẫu nhiên X Y:  gần X, Y có quan hệ tuyến tính chặt, X, Y có quan hệ tuyến tính tuyệt đối (Y hồn tồn hàm bậc X)  gần X, Y có quan hệ tun tính lỏng, X, Y có quan hệ hồn tồn phi tuyến  Ngồi X, Y có tương quan thuận, X, Y tương quan nghịch Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Cho mẫu cỡ n biến ngẫu nhiên X, Y sau: X x1 x2 xn Y y1 y2 yn Dùng phương pháp bình phương bé ta tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu (“gần” qua điểm ) y  ax  b xy  x y xy  x y  ; b  y  ax a  2 sˆX x2  x   sˆY a  r sˆX nên phương trình hồi quy tuyến tính Dễ thấy Y theo X cịn viết dạng khác:  y ya xx  y  y x  x hay r sˆY sˆX Ví dụ Khảo sát lượng cầu X loại sản phẩm (nghìn cái) theo giá Y sản phẩm (USD/cái), ta kết sau: Cầu X 252 244 241 234 230 223 Giá Y 2,2 2,4 2,6 2,8 a) Hãy xác định hệ số tương quan tuyến tính mẫu cầu sản phẩm giá sản phẩm này, từ đánh giá Y X có phụ thuộc tuyến tính chặt hay lỏng, tương quan thuận hay nghịch? ĐS: rXY = - 0,9948 b) Xác định phương trình hồi quy tuyến tính mẫu giá sản phẩm theo lượng cầu sản phẩm này, dự báo trung bình giá biết cầu 245 ĐS: y = -0,03571x + 10,97411 c) Dự báo cầu sản phẩm giá sản phẩm 2,5 USD/cái CÂU HỎI HỒI QUI VÀ TƯƠNG QUAN Câu 1: Phương pháp tìm hàm hồi qui mẫu thường sử dụng ? Câu 2: Dạng tổng quát phương trình cụ thể đường hồi qui tuyến tính? Câu 3: Người ta thường dùng hàm hồi qui Y theo X để làm gì? Câu 4: Cơng thức xác định hệ số a,b hàm hồi qui tuyến tính mẫu y = ax + b Câu 5: Biết X = 11;12;13;14;15 Y nhận giá trị tương ứng 7;8;9;10;11 Tìm rXY PTHQTT Y theo X Câu 6: Cho PTHQTT Y theo X y = 3x – Dự đốn giá trị trung bình Y với X = 15 Câu 7: Hệ số tương quan mẫu dùng để làm gì? Câu 8: Nêu cơng thức xác định hệ số tương quan mẫu, tính chất? Câu 9: Nhận xét mối quan hệ X Y rXY gần Câu 10: Nhận xét mối quan hệ X Y rXY gần Câu 11: Phát biểu “rXY = X = Y” hay sai? Câu 12: Cho sˆX  2; sˆY  4; a  1,7 Tính rXY nhận xét mối quan hệ X Y Câu 13: Cho sˆX  2; sˆY2  4; rXY  0,7 Tính a x  43,9; x  2110,5; y  3,56; y  13,368; xy  167,26 Câu 14: Cho Tìm rXY PTHQTT Y theo X Câu 15: Cho x  10; y  20; a  Viết PTHQTT Y theo X Câu 16: Cho x  5; y  6; sˆX  2; sˆY  3; rXY  0,7 Tìm PTHQ tuyến tính Y theo X Câu 17: Cho rXY  0,8; Z1  3X  5; Z  6Y  7; Z  2Y  Tính rZ1Z2 ; rZ1Z3 ; rZ2Z3 ... tích xác suất có điều kiện Ta thấy ví dụ đây, biến 10 cố C tích biến cố A B, P(AB)  100 2.1.2 Công thức xác suất có điều kiện Trong ví dụ ta thấy dùng định nghĩa xác suất cổ điển để tính xác suất. .. hs trường Tính xác suất chọn hs: a) Giỏi mơn (giỏi tốn giỏi văn) b) Chỉ giỏi Toán c) Chỉ giỏi Văn d) Khơng giỏi Tốn, khơng giỏi Văn e) Giỏi môn 2 Công thức nhân xác suất 2.1 Xác suất có điều kiện... nghĩa Xác suất biến cố B xét điều kiện biến cố A xảy gọi xác suất biến cố B với điều kiện biến cố A ký hiệu P ( B / A ) Ví dụ Một hộp có viên bi đỏ, viên bi xanh Lấy khơng hồn lại viên Tính xác suất