XÁC SUT THNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 19 tháng 4 năm 2022 Nội dung môn học 1 Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất 2 Đại lượng ngẫ.
XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 19 tháng năm 2022 Nội dung môn học Khái niệm lý thuyết xác suất Đại lượng ngẫu nhiên Lý thuyết mẫu Ước lượng cho tham số thống kê Kiểm định giả thuyết ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 Nội dung môn học Khái niệm lý thuyết xác suất Đại lượng ngẫu nhiên Lý thuyết mẫu Ước lượng cho tham số thống kê Kiểm định giả thuyết Nội dung chương 1 Giải tích tổ hợp Biến cố quan hệ biến cố Định nghĩa xác suất Một số cơng thức tính xác suất ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 Chương 1: Khái niệm lý thuyết xác suất 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Cơng thức cộng Định nghĩa Giả sử cơng việc có k trường hợp thực khác thỏa yêu cầu Trường hợp có n1 cách thực Trường hợp có n2 cách thực Trường hợp thứ k có nk cách thực Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc là: n1 + n2 + + nk ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Cơng thức cộng Ví dụ Khoa Y trường đại học X vừa tuyển 230 sinh viên gồm sinh viên thi đánh lực có 50 nam sinh viên tham gia kì thi THPT có 115 nam Chọn ngẫu nhiên sinh viên khoa Y Hỏi có cách để chọn sinh viên nam? ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Cơng thức cộng Ví dụ Khoa Y trường đại học X vừa tuyển 230 sinh viên gồm sinh viên thi đánh lực có 50 nam sinh viên tham gia kì thi THPT có 115 nam Chọn ngẫu nhiên sinh viên khoa Y Hỏi có cách để chọn sinh viên nam? Giải Phương án 1: chọn sinh viên nam từ kết thi đánh giá lực, n1 = 50 cách Phương án 2: chọn sinh viên nam từ kết thi THPT, n2 = 115 cách Vậy theo quy tắc cộng có 50 + 115 = 165 cách chọn sinh viên nam khoa Y ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.2 Cơng thức nhân Định nghĩa Một công việc phải thực thông qua k giai đoạn có mối liên hệ với Giai đoạn có n1 cách thực Giai đoạn có n2 cách thực Giai đoạn k có nk cách thực Khi đó, số cách để hồn thành cơng việc A là: n1 × n2 × × nk ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.2 Cơng thức nhân Ví dụ Có cách từ địa điểm A đến địa điểm B, có cách từ địa điểm B đến địa điểm C có cách từ địa điểm C đến địa điểm D Hỏi có cách từ địa điểm A đến địa điểm D? ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.2 Cơng thức nhân Ví dụ Có cách từ địa điểm A đến địa điểm B, có cách từ địa điểm B đến địa điểm C có cách từ địa điểm C đến địa điểm D Hỏi có cách từ địa điểm A đến địa điểm D? Số cách từ thành phố A đến thành phố D n = × × = 30 cách ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.3 Chỉnh hợp Chỉnh hợp không lặp Là mẫu k phần tử khơng lặp, có thứ tự, lấy từ n phần tử cho Số chỉnh hợp: Akn = n(n − 1) (n − k + 1) Ví dụ Đêm chung kết hoa khơi sinh viên thành phố có 12 thí sinh Chọn thí sinh trao giải: Hoa khơi, Á khơi 1, Á khơi Có cách chọn ? ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.3 Công thức nhân xác suất Hai biến cố độc lập Hai biến cố gọi độc lập với xảy hay không biến cố không ảnh hưởng đến xác suất biến cố A B độc lập ⇔ ¯ = P (A) P (A|B) = P (A|B) ¯ = P (B) P (B|A) = P (B|A) Vậy P (AB) = P (A)P (B) ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 38 / 52 1.4.3 Công thức nhân hai biến cố độc lập Ví dụ Hai bệnh nhân làm xét nghiệm • người thứ có khả dương tính 0,7 • người thứ hai có khả dương tính 0,8 Tính xác suất a) Cả hai có kết dương tính b) Một người có kết dương tính người âm tính c) Có người có kết dương tính ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 39 / 52 1.4.3 Công thức nhân hai biến cố độc lập Giải Gọi Ai (i = 1, 2) biến cố người thứ i có kết xét nghiệm dương tính Theo đề: P (A1 ) = 0, 7; P (A2 ) = 0, a) Gọi A biến cố hai người có kết dương tính, ta có A = A1 A2 Do A1 A2 độc lập nên P (A) = P (A1 A2 ) = P (A1 ) · P (A2 ) = 0, 7.0, = 0, 56 b) Gọi B biến cố người dương tính, người âm tính P (B) = P A¯1 A2 + A1 A¯2 = P A¯1 · P (A2 ) + P (A1 ) · P A¯2 = 0, 38 c) Gọi C biến cố có người dương tính ¯ = 1−P (A¯1 A¯2 ) = 1−P (A¯1 )P (A¯2 ) = 1−0, 3.0, = 0, 94 P (C) = 1−P (C) ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 40 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Hệ biến cố đầy đủ Hệ biến cố {B1 , B2 , , Bn } gọi đầy đủ thỏa đồng thời hai điều kiện: B1 , B2 , , Bn biến cố xung khắc đôi một, nghĩa Bi Bj = ∅ với i = j Ω = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn Xác suất đầy đủ Giả sử {B1 , B2 , , Bn } hệ đầy đủ biến cố với P (Bi ) > với i = 1, 2, , n Khi với biến cố A, ta có P (A) = P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + · · · + P (Bn )P (A|Bn ) ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 41 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Ví dụ Có hộp giống Hộp thứ đựng 10 sản phẩm, có phẩm Hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm, có 10 phẩm Hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm, có 15 phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để lấy phẩm ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 42 / 52 Giải Ký hiệu Bk biến cố: “Sản phẩm lấy thuộc hộp thứ k“, k = 1, 2, A biến cố: “Lấy phẩm” Khi {B1 , B2 , B3 } hệ đầy đủ biến cố P (B1 ) = , P (B2 ) = , P (B3 ) = , 10 15 P (A|B1 ) = ; P (A|B2 ) = ; P (A|B3 ) = 10 15 20 Theo công thức xác suất đầy đủ P (A) = P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + P (B3 )P (A|B3 ) Thay vào ta thu P (A) = 10 15 121 × + × + × = 10 15 20 180 Vậy xác suất để lấy phẩm ĐH NTT XSTK-YH 121 180 Ngày 19 tháng năm 2022 43 / 52 1.4 Một số công thức tính xác suất 1.4.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Ví dụ Ở địa phương tỷ lệ người mắc bệnh A 1/1000 Có loại xét nghiệm mà người có bệnh A xét nghiệm ln cho phản ứng dương tính người khơng có bệnh A xét nghiệm cho kết dương tính với xác suất 0,05 Chọn ngẫu nhiên người địa phương làm xét nghiệm, tính xác suất gặp kết dương tính ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 44 / 52 1.4 Một số công thức tính xác suất 1.4.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Giải Gọi A1 biến cố người chọn bị bệnh A A2 biến cố người chọn không bị bệnh A B biến cố người chọn có kết xét nghiệm dương tính Ta có {A1 , A2 } tạo thành nhóm đầy đủ theo đề 999 P (A1 ) = ; P (A2 ) = 1000 1000 Người có bệnh ln kết dương tính tức P (B|A1 ) = Người khơng bệnh cho kết dương tính với xác suất 0,05 Vậy P (B) = P (A1 )P (B|A1 )+P (A2 )P (B|A2 ) = ĐH NTT XSTK-YH 999 + ×0, 05 = 0, 05095 1000 1000 Ngày 19 tháng năm 2022 45 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.5 Cơng thức Bayes (Đọc thêm) Bayes Giả sử P (A) > {B1 , B2 , , Bn } hệ đầy đủ biến cố với P (Bk ) > với k = 1, 2, , n Khi với k = 1, 2, , n, ta có P (Bk |A) = P (Bk )P (A|Bk ) P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + · · · + P (Bn )P (A|Bn ) Ví dụ Tỷ lệ người mắc bệnh A cộng đồng 1/1000, có loại xét nghiệm mà người mắc bệnh xét nghiệm cho phản ứng dương tính người khơng mắc bệnh xét nghiệm cho kết dương tính với tỷ lệ 5% Hỏi người xét nghiệm bị phản ứng dương tính khả mắc bệnh người bao nhiêu? ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 46 / 52 1.4 Một số công thức tính xác suất 1.4.5 Cơng thức Bayes Giải Gọi A1 biến cố người chọn bị bệnh A A2 biến cố người chọn không bị bệnh A B biến cố người chọn có kết xét nghiệm dương tính Xác suất người mắc bệnh điều kiện xét nghiệm kết dương tính P (A1 ).P (B|A1 ) P (A1 ).P (B|A1 ) + P (A2 ).P (B|A2 ) 1/1000 × = = 0.0196 1/1000 × + 999/1000 × 0.05 P (A1 |B) = ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 47 / 52 1.4.5 Cơng thức Bayes Ví dụ Tỷ lệ người dân nghiện thuốc 30%, biết tỷ lệ người viêm phổi số người nghiện thuốc 60%, tỷ lệ người viêm phổi số người không hút thuốc 40% a Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để người bị viêm phổi b Chọn ngẫu nhiên người, biết người viêm phổi Tính xác suất người nghiện thuốc ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 48 / 52 1.4 Một số công thức tính xác suất 1.4.5 Cơng thức Bayes Gọi A biến cố “Chọn người bị viêm phổi” B1 biến cố “Người chọn người nghiện thuốc” B2 biến cố “Người chọn người khơng nghiện thuốc” Ta có: P (B1 ) = 0, 3; P (B2 ) = 0, 7; P (A|B1 ) = 0, 6; P (A|B2 ) = 0, a) Áp dụng công thức xác suất đầy đủ P (A) = 0, 3.0, + 0, 7.0, = 0, 46 b) Áp dụng công thức Bayes P (B1 |A) = ĐH NTT P (A|B1 )P (B1 ) 0, 3.0, = = 0, 39 P (A) 0, 46 XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 49 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.5 Cơng thức Bayes Khi dùng công thức xác suất đầy đủ dùng công thức Bayes? Công thức xác suất đầy đủ giúp ta tính xác suất biến cố A thơng qua nhóm giả thiết đầy đủ B1 , B2 , , Bn Cơng thức Bayes ngược lại, giúp ta tính xác suất xảy giả thiết B1 , B2 , , Bn biến cố A xảy Ý nghĩa công thức Bayes • B1 , B2 , , Bn thường gọi giả thuyết • Các P (B1 ), P (B2 ), , P (Bn ) xác định trước phép thử tiến hành gọi xác suất tiên nghiệm • Các xác suất P (B1 |A), P (B2 |A), , P (Bn |A) gọi xác suất hậu nghiệm (được xác định sau phép thử tiến hành biến cố A xảy ra) ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 50 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.6 Công thức Bernoulli Ta tiến hành n phép thử độc lập Giả sử phép thử xảy hai trường hợp: Bài tốn Bernoulli • Biến cố A xảy với xác suất p • Biến cố A không xảy với xác suất q = – p Các toán thỏa mãn điều kiện gọi tuân theo lược đồ Bernoulli Khi xác suất để n phép thử độc lập biến cố A xuất k lần ký hiệu: Pn (k) Pn (k) = Cnk pk q n−k công thức gọi Bernoulli ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 51 / 52 1.4 Một số cơng thức tính xác suất 1.4.6 Cơng thức Bernoulli Ví dụ Trong phân xưởng có máy hoạt động độc lập, xác suất để máy bị hư ca sản xuất p = 0.1 Tính xác suất để ca có hai máy bị hư Giải Do máy hoạt động độc lập nên ta coi tiến hành phép thử độc lập phép thử có hai máy khơng bị hư máy bị hư với xác suất p = 0, Theo công thức Bernoulli, xác suất để ca có hai máy bị hư P5 (2) = C52 × (0.1)2 × (0.9)3 = ĐH NTT XSTK-YH 729 10000 Ngày 19 tháng năm 2022 52 / 52 ... 210 15 C10 C1 · C5 11 2 P (B) = = = 210 15 C10 P (C) = P (A) + P (B) = + = 15 15 P (A) = ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 33 / 52 1. 4 Một số cơng thức tính xác suất 1. 4.2 Cơng thức xác suất. .. chọn từ 12 thí sinh, có thứ tự Vậy số cách chọn là: A 312 = 12 .11 .10 = 13 20 ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1. 1 Giải tích tổ hợp 1. 1.3 Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp Là mẫu k phần tử có lặp,... kinh tế : • Xác suất thống kê : đặt lên giá sách Có cách sắp: a) Tuỳ ý b) Các sách đặt theo ĐH NTT XSTK-YH Ngày 19 tháng năm 2022 / 52 1. 1 Giải tích tổ hợp 1. 1.4 Hốn vị a) sách có tất 11 Mỗi cách