XÁC SUT THNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 13 tháng 1 năm 2022 Chương 4 Ước lượng cho một tham số thống kê Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X.
XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 13 tháng năm 2022 Chương 4: Ước lượng cho tham số thống kê Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có tham số θ chưa biết Ước lượng tham số θ dựa vào mẫu ngẫu nhiên Wx = (X1 , X2 , , Xn ) ta đưa thống kê g = G (X1 , X2 , , Xn ) để ước lượng (dự đốn) θ Có phương pháp ước lượng: i Ước lượng điểm: θ = θ0 để uớc lượng θ ii Ước lượng khoảng: khoảng (θ1 , θ2 ) chứa θ cho P (θ1 < θ < θ2 ) = − α cho trước ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.1 Ước lượng điểm Giả sử cần ước lượng tham số θ đại lượng ngẫu nhiên X Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên (X1 , X2 , Xn ) Chọn thống kê G(X2 , Xn ) - hàm ước lượng cho θ tổng thể Thực phép thử ta mẫu cụ thể (x1 , x2 , xn ) Khi ước lượng điểm θ = G(x1 , x2 , xn ) ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.1 Ước lượng điểm Ví dụ Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N µ; σ Giả sử (X1 , X2 , , Xn ) mẫu ngẫu nhiên - Để ước lượng cho trung bình tổng thể µ ta dùng hàm ước lượng ¯ = (X1 + X2 + + Xn ) trung trung bình mẫu ngẫu nhiên X n bình mẫu cụ thể x ¯ ước lượng điểm µ - Để ước lượng cho phương sai tổng thể σ ta dùng hàm ước lượng n ¯ phương sai phương sai mẫu hiệu chỉnh S = Xi − X n−1 i=1 mẫu hiệu chỉnh mẫu cụ thể ước lượng điểm phương sai σ ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.1 Ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng khoảng tin cậy nhằm khoảng ngẫu nhiên (θ1 , θ2 ) mà giá trị θ thuộc vào với xác suất đủ lớn (đủ gần 1) Ta gọi xác suất độ tin cậy ước lượng thường ký hiệu − α (với α gần 0) P (θ1 < θ < θ2 ) = − α Khi đó, khoảng (θ1 , θ2 ) gọi khoảng tin cậy cho θ ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Giả sử trung bình tổng thể E(X) = µ chưa biết Ta cần tìm khoảng (µ1 , µ2 ) chứa µ cho P (µ1 < µ < µ2 ) = − α cho trước Ước lượng chia làm trường hợp Trường hợp biết σ Trường hợp chưa biết σ kích thước mẫu n ≥ 30 Trường hợp chưa biết σ kích thước mẫu n < 30 ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Giá trị tới hạn chuẩn mức α Giá trị tới hạn chuẩn mức α , ký hiệu zα , giá trị biến ngẫu nhiên Z ∼ N (0, 1), thỏa điều kiện: P (Z > zα ) = α tức 0.5 − ϕ(zα ) = α zα điểm trục hồnh cho diện tích miền tơ đen α Ví dụ : z0.025 = 1, 96; z0.01 = 2.33 ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Trường hợp biết σ ¯ − µ)√n (X Nếu X có phân phối chuẩn thống kê G = có phân phối σ chuẩn tắc X có phân phối với kích thước mẫu lớn G xấp xỉ chuẩn tắc Với độ tin cậy − α ta cần tìm z α2 cho ¯ − µ)√n (X P −z < < z α2 = − α σ ¯ − z α · √σ < µ < X ¯ + z α · √σ =1−α ⇔P X 2 n n α ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Vậy với độ tin cậy − α, khoảng tin cậy µ ¯ − z α √σ ; X ¯ + z α · √σ X 2 n n σ = z α2 √ độ xác (sai số ước lượng) khoảng n tin cậy µ có dạng (¯ x − ,x ¯ + ) - khoảng đối xứng µ Gọi ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Quy trình thực Tính x ¯ (nếu chưa cho) α Laplace −→ z α2 σ Tính độ xác cuả ước lượng: = z α2 √ n Khoảng tin cậy cho − α cho µ (¯ x − ,x ¯ + ) Với độ tin cậy − α, ta có ϕ(z α2 ) = 0, − ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 10 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Trường hợp chưa biết σ kích thước mẫu n < 30 ¯ − µ)√n (X có phân phối Student với n-1 bậc tự • Thống kờ G = ã Khong tin cy ca với độ tin cậy − α có dạng (¯ x − ,x ¯ + ) s α √ đó, độ xác: = t (n − 1) n α với t α2 (n − 1) giá trị tới hạn mức phân phối Student n-1 bậc tự ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 15 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Ví dụ Giá bán loại thiết bị (đv: USD) thị trường biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Một người định mua thiết bị loại này, khảo sát ngẫu nhiên cửa hàng nhận thấy giá bán trung bình 137.75 USD độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu 7.98 USD Với độ tin cậy 90%, ước lượng giá bán trung bình thiết bị loại thị trường ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 16 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Giải Gọi X giá bán (USD) thiết bị loại thị trường µ giá bán trung bình thiết bị loại thị trường α Với độ tin cậy − α = 0.9 ⇒ = 0.05 n − = Student −→ t α (n − 1) = t0.05 (7) = 1.895 Độ xác cuả ước lượng s = t α2 (n − 1) √ = 5.3465 n Khoảng tin cậy cho 90% cho µ (¯ x − ,x ¯ + ) = (132.3035; 143.0965) (U SD) ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 17 / 29 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Xác định kích thước mẫu tối thiểu Độ xác nhỏ khoảng ước lượng hẹp, kết ý nghĩa ⇒ để giảm độ xác ta tăng kích thước mẫu Tuy nhiên, khơng thể muốn tăng n lớn tức khơng thể giảm độ xác nhỏ được, người ta thường yêu cầu độ xác nhỏ giới hạn Để đảm bảo u cầu kích thước mẫu phải không nhỏ giá trị nmin gọi kích thước mẫu tối thiểu Để tìm nmin (kích thước mẫu tối thiểu) ta biến đổi σ = z α2 √ ≤ n ⇔n≥ z α2 σ = n0 n ≥ z α2 s Nếu n0 ∈ Z ta lấy nmin = n0 n0 ∈ / Z ta lấy nmin = [n0 ] + ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 18 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Ví dụ Lượng xăng hao phí tơ từ A đến B sau 150 lần chạy khảo sát có giá trị trung bình 10.56 lít độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 0.587 lít Để ước lượng lượng xăng hao phí trung bình tơ từ A đến B đảm bảo độ xác 0.08 lít với độ tin cậy 95% cần khảo sát lần chạy từ A đến B ô tô này? Giải Từ độ tin cậy − α = 0.95 → z α2 = 1.96 Ta có n ≥ z α2 σ = 1.96 × 0.587 0.08 = 206.8 ⇒ nmin = 207 Vậy cần khảo sát 207 lần chạy từ A đến B ô tô ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 19 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Độ tin cậy ước lượng trung bình Cho biết • kích thước mẫu • độ xác Tìm độ tin cậy − α Độ xác ĐH NTT s = z √ ⇔ z α2 = n α √ n s XSTK ⇒ − α = 2ϕ(z α2 ) Ngày 13 tháng năm 2022 20 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể Ví dụ Lượng xăng hao phí tơ từ A đến B sau 150 lần chạy khảo sát có giá trị trung bình 10,56 lít độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 0,587 lít Biết phép ước lượng lượng xăng hao phí trung bình ô tô từ A đến B đạt độ xác 0,1 lít, hỏi độ tin cậy phép ước lượng bao nhiêu? Giải s = z α2 √ ⇔ z α2 = n √ s n √ 0, 150 = = 2, 09 0, 587 Tra bảng Laplace ta có ϕ(z α2 ) = ϕ(2, 09) = 0, 4817 ⇒ − α = 2ϕ(z α2 ) = 0, 9634 Vậy độ tin cậy phép ước lượng 96, 34% ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 21 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể Cho biến cố A với xác suất (tỉ lệ) xảy p chưa biết Ước lượng tỷ lệ khoảng (f1 , f2 ) chứa p cho P (f1 < p < f2 ) = − α Thực n lần phép thử có m lần xuất biến cố A m Ta có tần suất xuất biến cố A f = Theo lý thuyết xác suất, n thống kê: √ (f − p) n N (0, 1) f (1 − f ) cỡ mẫu n đủ lớn ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 22 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ Từ suy P −z α2 < ⇔P √ (f − p) n f (1 − f ) < z α2 =1−α f (1 − f ) < p < f + z α2 n f − z α2 f (1 − f ) n =1−α Vậy ta xác định khoảng tin cậy (f1 , f2 ) = f − z α2 f (1 − f ) ; f + z α2 n f (1 − f ) n = (f − , f + ) với độ xác ĐH NTT = z α2 f (1 − f ) n XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 23 / 29 4.2 Ước lượng khoảng 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ Quy tắc thực hành tìm khoảng tin cậy − α cho tỷ lệ p • Gọi p tỉ lệ tổng thể m • Tính tỉ lệ mẫu f = n 1−α → z α2 (Laplace) • Với độ tin cậy − α , ta có ϕ(z α2 ) = f (1 − f ) • Tính độ xác: = z α2 n • Khoảng tin cậy − α cho p (f − , f + ) ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 24 / 29 Ví dụ Quan sát ngẫu nhiên 200 lọ thuốc lô hàng nhiều lọ thuốc thấy có 17 lọ khơng đạt tiêu chuẩn Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỉ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn? Giải Gọi p tỉ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn m 17 Tỷ lệ mẫu f = = = 0, 085 n 200 1−α Laplace Với − α = 0, 95, ϕ z α2 = = 0, 475 z α2 = 1, 96 Độ xác ε = z α2 · f (1 − f ) √ = 0, 0387 n Khoảng tin cậy 95% cho p (f − ε; f + ε) = (0, 0463; 0, 1237) ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 25 / 29 Xác định kích thước mẫu ước lượng tỉ lệ Cho biết • tỉ lệ mẫu sơ • độ xác • độ tin cậy − α Cần khảo sát bao nhiều phần tử? Cách làm ε=z · α ĐH NTT f (1 − f ) √ ≤ ε0 ⇔ n ≥ f (1 − f ) n XSTK z α2 ε0 ⇒ nmin Ngày 13 tháng năm 2022 26 / 29 Ví dụ Khảo sát ngẫu nhiên 200 người vùng nơng thơn thấy có 24 người mắc bệnh sốt rét Với độ tin cậy 95%, để ước lượng tỉ lệ bệnh sốt rét vùng đảm bảo độ xác 2% cần khảo sát người? Giải Với − α = 0, 95, ϕ z α2 Tỷ lệ mẫu f = n ≥ f (1 − f ) = Laplace 1−α = 0, 475 z α2 = 1, 96 24 m = = 0, 12 n 200 zα/2 ε0 = 0, 12.(1 − 0, 12) · 1, 96 0, 02 = 1014, 18 ⇒ nmin = 1015 Vậy cần khảo sát 1015 người tức cần khảo sát thêm 1015 − 200 = 815 người ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 27 / 29 4.2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ lệ Độ tin cậy ước lượng tỉ lệ Cho biết • kích thước mẫu n • độ xác • tỉ lệ mẫu f Tìm độ tin cậy − α? Cách làm ε0 = z · α f (1 − f ) √ ⇔ z α2 = n √ ε0 n f (1 − f ) Laplace −→ ϕ z α2 ⇒ − α = 2ϕ z α2 Khi độ tin cậy − α = 2ϕ ĐH NTT zα XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 28 / 29 Ví dụ Khảo sát ngẫu nhiên 300 sản phẩm loại mặt hàng, ta thấy có 24 phế phẩm Cho biết độ xác phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm mặt hàng 4%, hỏi độ tin cậy phép ước lượng bao nhiêu? Giải ε0 = z · α √ ε0 n f (1 − f ) √ ⇔ z α2 = n z α2 = 2, 55 f (1 − f ) Laplace −→ − α = 2ϕ z α2 ϕ z α2 = √ 0, 04 300 0, 08(1 − 0, 08) = 2, 55 = 0, 49461 = 0, 98922 = 98, 922% Vậy độ tin cậy ước lượng 98, 9222% ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 29 / 29 .. .Chương 4: Ước lượng cho tham số thống kê Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có tham số θ chưa biết Ước lượng tham số θ dựa vào mẫu ngẫu nhiên Wx = (X1 , X2 , , Xn ) ta đưa thống kê g = G... 2022 / 29 4. 2 Ước lượng khoảng 4. 2.1 Ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng khoảng tin cậy nhằm khoảng ngẫu nhiên (θ1 , θ2 ) mà giá trị θ thuộc vào với xác suất đủ lớn (đủ gần 1) Ta gọi xác suất độ... biến cố A f = Theo lý thuyết xác suất, n thống kê: √ (f − p) n N (0, 1) f (1 − f ) cỡ mẫu n đủ lớn ĐH NTT XSTK Ngày 13 tháng năm 2022 22 / 29 4. 2 Ước lượng khoảng 4. 2.3 Ước lượng khoảng cho tỉ