Chương 4 Thống kê Ước lượng tham số TUẦN 11 4 1 Lý thuyết mẫu Thống kê toán là bộ môn toán học nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên có tính chất số lớn trên cơ sở thu thập và xử lý số liệ[.]
Chương Thống kê Ước lượng tham số TUẦN 11 4.1 Lý thuyết mẫu Thống kê tốn mơn toán học nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên có tính chất số lớn sở thu thập xử lý số liệu thống kê kết quan sát tượng ngẫu nhiên Nếu ta thu thập số liệu liên quan đến tất đối tượng cần nghiên cứu ta biết đối tượng (phương pháp tồn bộ) Tuy nhiên thực tế điều khơng thể thực quy mơ đối tượng cần nghiên cứu lớn trình nghiên cứu đối tượng nghiên cứu bị phá hủy Vì cần lấy mẫu để nghiên cứu Mục giới thiệu phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên thống kê thường gặp mẫu ngẫu nhiên 4.1.1 Tổng thể mẫu Khái niệm tổng thể Khi nghiên cứu vấn đề kinh tế - xã hội, nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực vật lý, sinh vật, quân thường dẫn đến khảo sát hay nhiều dấu hiệu (định tính định lượng) thể số lượng nhiều phần tử Tập hợp tất phần tử gọi tổng thể hay đám đông (population) Số phần tử tổng thể hữu hạn vơ hạn Cần nhấn mạnh ta không nghiên cứu trực tiếp thân tổng thể mà nghiên cứu dấu hiệu Ký hiệu N số phần tử tổng thể; X dấu hiệu cần khảo sát Ví dụ 4.1 (a) Muốn điều tra thu nhập bình quân hộ gia đình Hà Nội tập hợp cần nghiên cứu hộ gia đình Hà Nội, dấu hiệu nghiên cứu thu nhập hộ gia đình (dấu hiệu định lượng) 96 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (b) Một doanh nghiệp muốn nghiên cứu khách hàng dấu hiệu định tính mức độ hài lịng khách hàng sản phẩm dịch vụ doanh nghiệp, dấu hiệu định lượng số lượng sản phẩm doanh nghiệp mà khách hàng có nhu cầu đáp ứng Một số lý khảo sát tồn tổng thể (a) Do quy mơ tập hợp cần nghiên cứu lớn nên việc nghiên cứu tồn địi hỏi nhiều chi phí vật chất thời gian, khơng kiểm sốt dẫn đến bị chồng chéo bỏ sót (b) Trong nhiều trường hợp khơng thể nắm tồn phần tử tập hợp cần nghiên cứu, khơng thể tiến hành tồn (c) Có thể trình điều tra phá hủy đối tượng nghiên cứu Do thay khảo sát tổng thể, ta cần chọn tập nhỏ để khảo sát đưa định Khái niệm tập mẫu Tập mẫu (sample) tập tổng thể có tính chất tương tự tổng thể Số phần tử tập mẫu gọi kích thước mẫu (cỡ mẫu), ký hiệu n Chương Chương nghiên cứu tổng thể thông qua mẫu Nói nghiên cứu tổng thể có nghĩa nghiên cứu đặc trưng tổng thể Khi đó, ta khơng thể đem tất phần tử tổng thể nghiên cứu mà lấy số phần tử tổng thể nghiên cứu qua việc nghiên cứu kết luận đặc trưng tổng thể mà ta quan tâm ban đầu Một số cách chọn mẫu Một câu hỏi đặt chọn tập mẫu có tính chất tương tự tổng thể để kết luận tập mẫu dùng cho tổng thể? Ta sử dụng cách chọn mẫu sau: Chọn mẫu ngẫu nhiên có hồn lại: Lấy ngẫu nhiên phần tử từ tổng thể khảo sát Sau trả phần tử lại tổng thể trước lấy phần tử khác Tiếp tục n lần ta thu mẫu có hoàn lại gồm n phần tử Chọn mẫu ngẫu nhiên khơng hồn lại: Lấy ngẫu nhiên phần tử từ tổng thể khảo sát để qua bên, khơng trả lại tổng thể Sau lấy ngẫu nhiên phần tử khác, tiếp tục n lần ta thu mẫu khơng hồn lại gồm n phần tử 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 97 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Chọn mẫu phân nhóm: Đầu tiên ta chia tập thành nhóm tương đối nhất, từ nhóm chọn mẫu ngẫu nhiên Tập hợp tất mẫu cho ta mẫu phân nhóm Phương pháp dùng tập có sai khác lớn Hạn chế phụ thuộc vào việc chia nhóm Chọn mẫu có suy luận: Dựa ý kiến chuyên gia đối tượng nghiên cứu để chọn mẫu 4.1.2 Mẫu ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối gốc Giả sử ta cần nghiên cứu dấu hiệu X tổng thể có E(X ) = µ V (X ) = σ2 (µ σ chưa biết) Ta mơ hình hóa dấu hiệu X biến ngẫu nhiên Thật vậy, lấy ngẫu nhiên từ tổng thể phần tử gọi X giá trị dấu hiệu X đo phần tử lấy X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất X x1 x2 xn P P ( X = x1 ) P ( X = x2 ) P( X = xn ) Như dấu hiệu X mà ta nghiên cứu mơ hình hóa biến ngẫu nhiên X, cấu tổng thể theo dấu hiệu X (tập hợp xác suất) quy luật phân phối xác suất X Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên gốc Quy luật phân phối xác suất X quy luật phân phối gốc, đồng thời E( X ) = µ, V ( X ) = σ2 Các đặc trưng tổng thể Xét tổng thể mặt định lượng: tổng thể đặc trưng dấu hiệu X mơ hình hóa biến ngẫu nhiên X Ta có tham số đặc trưng sau đây: (a) Trung bình tổng thể: E( X ) = µ (b) Phương sai tổng thể: V ( X ) = σ2 (c) Độ lệch chuẩn tổng thể: σ( X ) = σ Xét tổng thể mặt định tính: tổng thể có kích thước N, có M phần tử có tính chất M A Khi p = gọi tỷ lệ tính chất A tổng thể N 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 98 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Khái niệm mẫu ngẫu nhiên Giả sử tiến hành n phép thử độc lập Gọi Xi "giá trị dấu hiệu X đo lường phần tử thứ i mẫu" i = 1, 2, , n Khi đó, X1 , X2 , , Xn n biến ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với X Định nghĩa 4.1 (Mẫu ngẫu nhiên) Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất FX ( x ) Một mẫu ngẫu nhiên cỡ n thành lập từ biến ngẫu nhiên X n biến ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất FX ( x ) với biến ngẫu nhiên X Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: WX = ( X1 , X2 , , Xn ) Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên WX tức thực phép thử thành phần Xi mẫu Giả sử X1 nhận giá trị x1 , X2 nhận giá trị x2 , , Xn nhận giá trị xn ta thu mẫu cụ thể Wx = ( x1 , x2 , , xn ) Ví dụ 4.2 Gọi X "số chấm xuất gieo xúc xắc" X biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất X p 6 6 6 Nếu gieo xúc xắc lần gọi Xi "số chấm xuất lần gieo thứ i", i = 1, 2, ta có biến ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với X Vậy ta có mẫu ngẫu nhiên WX = ( X1 , X2 , X3 ) cỡ n = xây dựng từ biến ngẫu nhiên gốc X Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên (tức gieo lần xúc xắc) Giả sử lần thứ xuất mặt 6, lần thứ hai xuất mặt 2, lần thứ ba xuất mặt ta có giá trị mẫu ngẫu nhiên Wx = (6, 3, 1) 4.1.3 Mô tả giá trị mẫu ngẫu nhiên Phân loại liệu Từ tổng thể ta trích tập mẫu có n phần tử Ta có n số liệu (a) Dạng liệt kê: Các số liệu thu được ghi lại thành dãy x1 , x2 , , xn (b) Dạng rút gọn: Số liệu thu có lặp lặp lại số giá trị ta có dạng rút gọn sau: (b1) Dạng tần số: (n1 + n2 + + nk = n) Giá trị x1 x2 xk Tần số n1 n2 nk 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 99 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (b2) Dạng tần suất: ( f k = nk /n) Giá trị x1 x2 xk Tần suất f1 f2 fk (c) Dạng khoảng: Dữ liệu thu nhận giá trị ( a, b) Ta chia ( a, b) thành k miền điểm chia: a0 = a < a1 < a2 < · · · < ak−1 < ak = b (c1) Dạng tần số: (n1 + n2 + + nk = n) ( a − a ] ( a − a ] ( a k −1 − a k ] Giá trị Tần số n1 n2 nk (c2) Dạng tần suất: ( f k = nk /n) Giá trị ( a , a ] ( a , a ] ( a k −1 , a k ] Tần suất f1 f2 fk Chú ý, thông thường, độ dài khoảng chia Khi ta chuyển dạng rút gọn: Giá trị x1 x2 xk Tần số n1 n2 nk xi điểm đại diện cho ( ai−1 , ] thường xác định trung điểm đoạn đó: xi = ( ai−1 + ) Phân phối thực nghiệm Đặt wi tần số tích lũy xi Fn ( xi ) tần suất tích lũy xi , ta có wi = ∑ x j < xi nj; Fn ( xi ) = wi = n ∑ fj x j < xi Fn ( xi ) hàm xi gọi hàm phân phối thực nghiệm mẫu hay hàm phân phối mẫu Chú ý theo luật số lớn (Định lý Béc-nu-li) Fn ( x ) hội tụ theo xác suất FX ( x ) = P( X < x ), X biến ngẫu nhiên gốc cảm sinh tổng thể (và tập mẫu) Như hàm phân phối mẫu dùng để xấp xỉ luật phân phối tổng thể Biểu diễn liệu Thông thường ta biểu diễn phân phối tần số, tần suất đồ thị Có hai dạng biểu diễn đồ thị hay dùng biểu đồ đa giác tần số (sinh viên tự đọc) 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 100 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG 4.1.4 Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Đại lượng thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên Để nghiên cứu mẫu ngẫu nhiên gốc X, dừng lại mẫu ngẫu nhiên WX = ( X1 , X2 , , Xn ) rõ ràng chưa giải vấn đề gì, biến ngẫu nhiên Xi có quy luật phân phối xác suất với X mà ta chưa biết hồn tồn Vì ta phải liên kết hay tổng hợp biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn lại cho biến ngẫu nhiên thu có tính chất mới, đáp ứng yêu cầu giải toán khác biến ngẫu nhiên gốc X Định nghĩa thống kê Định nghĩa 4.2 (Thống kê) Trong thống kê toán việc tổng hợp mẫu WX = ( X1 , X2 , , Xn ) thực dạng hàm biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn Ký hiệu G = f ( X1 , X2 , , X n ) (4.1) f hàm G gọi thống kê Khi có mẫu cụ thể Wx = ( x1 , x2 , , x2 ), ta tính giá trị cụ thể G, ký hiệu g = f ( x1 , x2 , , xn ), gọi giá trị quan sát thống kê Nhận xét 4.1 Thống kê G hàm biến ngẫu nhiên X1 , X2 , , Xn nên biến ngẫu nhiên Do ta xét đặc trưng thống kê Trung bình mẫu ngẫu nhiên Cho mẫu ngẫu nhiên WX = ( X1 , X2 , , Xn ) Trung bình mẫu mẫu ngẫu nhiên WX biến ngẫu nhiên gốc X định nghĩa ký hiệu n X = ∑ Xi n i =1 (4.2) Nếu biến ngẫu nhiên gốc có kỳ vọng E( X ) = µ, phương sai V ( X ) = σ2 theo Tính chất 2.4(c) Tính chất 2.5(c) kỳ vọng phương sai, thống kê X có kỳ vọng E( X ) = µ σ2 nhỏ phương sai biến ngẫu nhiên gốc n lần, nghĩa giá phương sai V ( X ) = n trị có X ổn định quanh kỳ vọng µ giá trị có X Phương sai mẫu ngẫu nhiên Phương sai mẫu mẫu ngẫu nhiên WX biến ngẫu nhiên gốc X ký hiệu định nghĩa n n 2 ˆ S = ∑ ( Xi − X ) = ∑ Xi − ( X ) n i =1 n i =1 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com (4.3) 101 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Độ lệch chuẩn mẫu ngẫu nhiên ký hiệu xác định s p n ( Xi − X ) Sˆ = Sˆ2 = n i∑ =1 (4.4) Sử dụng Tính chất 2.4(c) kỳ vọng, ta có E(Sˆ2 ) = n−1 σ n Để kỳ vọng phương sai mẫu ngẫu nhiên trùng với phương sai biến ngẫu nhiên gốc ta cần hiệu chỉnh Đó phương sai hiệu chỉnh mẫu ngẫu nhiên Phương sai hiệu chỉnh mẫu ngẫu nhiên Phương sai hiệu chỉnh mẫu mẫu ngẫu nhiên WX biến ngẫu nhiên gốc X ký hiệu định nghĩa S2 = n n ˆ2 S ( Xi − X ) = ∑ n − i =1 n−1 Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu ngẫu nhiên ký hiệu xác định s n √ S = S2 = ( Xi − X ) n − i∑ =1 (4.5) (4.6) Theo Tính chất 2.4(c) kỳ vọng ta nhận E ( S2 ) = σ Tần suất mẫu ngẫu nhiên Trường hợp cần nghiên cứu dấu hiệu định tính A mà cá thể tổng thể có khơng, giả sử p tần suất có dấu hiệu A tổng thể Nếu cá thể có dấu hiệu A ta cho nhận giá trị 1, trường hợp ngược lại ta cho nhận giá trị Lúc dấu hiệu nghiên cứu xem biến ngẫu nhiên X có phân phối Béc-nu-li tham số p có kỳ vọng E( X ) = p phương sai V ( X ) = p(1 − p) Lấy mẫu ngẫu nhiên WX = ( X1 , X2 , , Xn ) X1 , X2 , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Béc-nu-li với tham số p Tần số xuất A mẫu n m= ∑ Xi i =1 Khi tần xuất mẫu thống kê ký hiệu xác định f = m n = ∑ Xi = X n n i =1 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com (4.7) 102 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Như tần suất mẫu trung bình mẫu biến ngẫu nhiên X có phân bố Béc-nu-li tham số p Ngồi theo Tính chất 2.4(c) Tính chất 2.5(c), ta có E( f ) = p, 4.1.5 V( f ) = p (1 − p ) n (4.8) Cách tính giá trị cụ thể trung bình mẫu phương sai mẫu Giả sử ta có mẫu cụ thể Wx = ( x1 , x2 , , xn ) cỡ n (a) Mẫu cho dạng liệt kê (Tần số xi 1) (a1) Trung bình mẫu: x= n xi n i∑ =1 (4.9) (a2) Phương sai mẫu: n n sˆ = ∑ ( xi − x )2 = ∑ xi2 − n i =1 n i =1 n xi n i∑ =1 2 (4.10) (a3) Phương sai hiệu chỉnh mẫu: n sˆ n−1 s2 = (4.11) (a4) Các độ lệch chuẩn: √ sˆ = sˆ2 ; √ s= s2 (4.12) Để tính cơng thức (4.9)–(4.12), ta lập bảng tính tốn xi xi2 x1 x12 x2 x22 xn xn2 ∑in=1 xi ∑in=1 xi2 (b) Mẫu cho dạng rút gọn (Tần số xi ni > 1, ∑ik=1 ni = n) 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 103 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (b1) Trung bình mẫu: k x = ∑ ni xi n i =1 (4.13) (b2) Phương sai mẫu: k k sˆ = ∑ ni ( xi − x )2 = ∑ ni xi2 − n i =1 n i =1 k ni xi n i∑ =1 2 (4.14) (b3) Phương sai hiệu chỉnh mẫu: s2 = n sˆ n−1 (4.15) (b4) Các độ lệch chuẩn: √ sˆ = √ sˆ2 ; s= s2 (4.16) Để tính cơng thức (4.13)–(4.16), ta lập bảng tính tốn xi ni ni xi ni xi2 x1 n1 n1 x1 n1 x12 x2 n2 n2 x2 n2 x22 xk nk nk xk nk xk2 ∑ik=1 ni = n ∑ik=1 ni xi ∑ik=1 ni xi2 (c) Phương pháp đổi biến (Trong trường hợp độ dài khoảng nhau) (c1) Trung bình mẫu: x = x0 + hu = x0 + h k ni ui n i∑ =1 (4.17) (c2) Phương sai mẫu: sˆ = h k ni u2i − n i∑ =1 k ni ui n i∑ =1 2 = h2 sˆ2u (4.18) xi điểm khoảng thứ i, i = 1, 2, , k; 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 104 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST x i − x0 , h độ dài khoảng; h x0 = xi ứng với ni lớn ui = Để tính cơng thức (4.17)–(4.18), ta lập bảng tính tốn xi ni ui ni ui ni u2i x1 n1 u1 n1 u1 n1 u21 x2 n2 u2 n2 u2 n2 u22 xk nk uk nk uk nk u2k ∑ik=1 ni ui ∑ik=1 ni u2i ∑ik=1 ni = n Tính tham số đặc trưng mẫu máy tính CASIO FX570VN PLUS Bước Chuyển đổi máy tính chương trình thống kê MODE → → AC Bước Bật chức cột tần số/tần suất SHIFT → MODE → Mũi tên xuống → 4(STAT) → 1(ON) Bước Bật chế độ hình để nhập liệu, Nhập số liệu SHIFT → → 1(TYPE) → 1(1VAR) Chú ý nhập xong số liệu bấm AC để Bước Xem kết quả: • Trung bình mẫu (x): SHIFT → → 4(VAR) → • Độ lệch tiêu chuẩn mẫu hiệu chỉnh (s): SHIFT → → → Ví dụ 4.3 Ở địa điểm thu mua vải, kiểm tra số vải thấy kết sau Số khuyết tật đơn vị Số đơn vị kiểm tra (10m) 20 12 40 30 25 15 Hãy tính kỳ vọng mẫu độ lệch chuẩn hiệu chỉnh mẫu mẫu Lời giải Ví dụ 4.3 Cách 1: Gọi X số khuyết tật đơn vị Lập bảng tính tốn 4.1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com 105 https://fb.com/tailieudientucntt ... mẫu thống kê ký hiệu xác định f = m n = ∑ Xi = X n n i =1 4. 1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com (4. 7) 102 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy? ??SAMI-HUST... i =1 4. 1 Lý thuyết mẫu CuuDuongThanCong.com (4. 3) 101 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy? ??SAMI-HUST Độ lệch chuẩn mẫu ngẫu nhiên ký hiệu xác. .. CuuDuongThanCong.com 100 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG 4. 1 .4 Nguyễn Thị Thu Thủy? ??SAMI-HUST Đại lượng thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên Để nghiên cứu mẫu ngẫu nhiên gốc X, dừng