XÁC SUT THNG KÊ XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 10 tháng 5 năm 2022 Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên 2 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2 1 1 Biến ng.
XÁC SUẤT THỐNG KÊ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN GV Lê Thị Mai Thanh Ngày 10 tháng năm 2022 Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2.1.1.Biến ngẫu nhiên Khái niệm Biến ngẫu nhiên đại lượng nhận giá trị thực tùy thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Ta thường dùng chữ X, Y, Z, để kí hiệu biến ngẫu nhiên chữ thường x, y, z xi , yi , zi , để giá trị cụ thể mà biến ngẫu nhiên nhận Ví dụ: Tung xúc xắc Gọi X số chấm xuất ⇒ X biến ngẫu nhiên nhận giá trị {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gọi Z thời gian sống chíp điện tử ⇒ Z biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực ≤ Z < ∞ ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 / 55 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên rời rạc Là biến ngẫu nhiên mà giá trị có xếp thành dãy hữu hạn vơ hạn đếm Nói cách khác, ta liệt kê tất giá trị biến ngẫu nhiên Ví dụ: Số gia đình; số bệnh nhân điều trị khỏi tháng; số hồng cầu, số bạch cầu người đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên liên tục Là biến ngẫu nhiên mà giá trị có lấp đầy khoảng trục số Ví dụ: Gọi Z khoảng cách từ điểm viên đạn chạm bia đến tâm bia Z biến ngẫu nhiên Z nhận giá trị đoạn [0, R] ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 / 55 2.2 Đại lượng ngẫu nhiên 2.2.1 Định nghĩa luật phân phối xác suất Quy luật phân phối xác suất Là cách biểu diễn mối quan hệ gíá trị có biến ngẫu nhiên xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên nhận giá trị Phương pháp mơ tả quy luật phân phối xác suất • • • rời Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho hai loại biến ngẫu nhiên rạc liên liên tục) ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 / 55 2.2 Đại lượng ngẫu nhiên 2.2.2 Bảng phân phối xác suất Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , , xn với xác suất tương ứng p1 , p2 , , pn Khi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X trình bày sau: X P x1 p1 x2 p2 xk pk xn pn nghĩa Pk = P (X = xk ) Nhận xét ≤ pi ≤ n pi = i=1 P (a < X < b) = pi a 1) = − P (X ≤ 1) = − [P (X = 0) + P (X = 1)] =1− ĐH NTT e−4 · 40 e−4 · 41 + = 0.908 0! 1! XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 44 / 55 2.5.2 Phân phối Poisson Ví dụ Ở tổng đài điện thoại, gọi đến cách ngẫu nhiên, độc lập trung bình có gọi phút Cho trước X số gọi đến tổng đài khoảng thời gian t phút biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Tìm xác suất để có gọi đến phút Giải Theo giả thiết trung bình có gọi phút phút trung bình có gọi Lúc số gọi X phút biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λ = Ta cần tính P(X = 5) Áp dụng công thức P (X = 5) = e−4 ĐH NTT 45 ≈ 0, 156 5! XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 45 / 55 2.5.2 Phân phối Poisson Ví dụ Một bến xe khách trung bình có 70 xe xuất bến Xác suất để phút có từ đến xe xuất bến bao nhiêu? A 0,4663 B 0,2133 C 0,2792 D 0,3209 ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 46 / 55 2.5 Một số phân phối xác suất thường gặp 2.5.3 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn chuẩn tắc Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với hai tham số µ σ , (σ > 0) kí hiệu X ∼ N µ, σ hàm mật độ XS có dạng − f (x) = √ e σ 2π (x − µ)2 2σ ; x∈R Nếu µ = σ = biến ngẫu nhiên Z gọi có phân phối chuẩn tắc Z ∼ N (0, 1), tức hàm mật độ xác suất Z f (x) = √ e−x /2 2π Nếu X ∼ N µ, σ Z = ĐH NTT X −µ ∼ N (0, 1) σ XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 47 / 55 2.5.3 Phân phối chuẩn Đồ thị hàm f (x) đường cong hình chng đối xứng qua đường x = µ đạt cực đại x = µ Các tham số đặc trưng E(X) = µ V ar(X) = σ M od(X) = M ed(X) = µ Hình: Biểu đồ phân phối chuẩn ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 48 / 55 2.5.3 Phân phối chuẩn Công thức xác suất Nếu X ∼ N (0, 1) P (a ≤ X ≤ b) = ϕ(b) − ϕ(a) b−µ a−µ Nếu X ∼ N µ, σ P (a ≤ X ≤ b) = ϕ −ϕ σ σ t x − √ ϕ(x) = e dt hàm Laplace (hàm phân phối) có giá trị 2π cho bảng hàm Laplace Hàm Laplace hàm lẻ, ϕ(−x) = −ϕ(x) đơn điệu tăng Với x ≥ 4.42 : ϕ(x) ≈ 0.5 ϕ(−∞) = −0, 5; ĐH NTT ϕ(+∞) = 0, XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 49 / 55 2.5.3 Phân phối chuẩn Minh họa ϕ(1.96) = 0, 475 Tức diện tích miền giới hạn đường cong f (z), trục hoành, trục tung đường thẳng 1,96 chiếm 47, 5% diện tích miền giới hạn đường cong f (z) trục hoành ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 50 / 55 Ví dụ Cho Z ∼ N (0, 1) Tính a) P (−0, 25 < Z < 1, 36) ĐH NTT b) P (Z < 2, 37) XSTK-YH c) P (Z > 2, 58) Ngày 10 tháng năm 2022 51 / 55 Ví dụ Cho Z ∼ N (0, 1) Tính a) P (−0, 25 < Z < 1, 36) b) P (Z < 2, 37) c) P (Z > 2, 58) Giải a) P (−0, 25 < Z < 1, 36) = ϕ(1, 36) − ϕ(−0, 25) = 0, 4131 + 0, 0987 = 0, 5118 b) P (Z < 2, 37) = P (−∞ < Z < 2, 37) = ϕ(2, 37) − ϕ(−∞) = 0, 4911 + 0, = 0, 9911 c) P (Z > 2, 58) = P (2, 58 < Z < +∞) = ϕ(+∞) − ϕ(2, 58) = 0, − 0, 4951 = 0, 0049 ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 51 / 55 Ví dụ Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn với kỳ vọng 3.2 kg phương sai 0.16 kg Đo trọng lượng ngẫu nhiên trẻ sơ sinh, tính tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 52 / 55 Ví dụ Cho biết trọng lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn với kỳ vọng 3.2 kg phương sai 0.16 kg Đo trọng lượng ngẫu nhiên trẻ sơ sinh, tính tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg Gọi X (kg) trọng lượng trẻ sơ sin X ∼ N (3.2, 0.16) Tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg 3.712 − 3.2 −ϕ 0.4 = ϕ (1.28) − ϕ (−1.28) P (2.688 ≤ X ≤ 3.712) = ϕ 2.688 − 3.2 0.4 = 0.39973 − (−0.39973) = 0.79946 Vậy tỉ lệ trẻ sơ sinh có trọng lượng từ 2.688 kg đến 3.712 kg 79.946% ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 52 / 55 2.5.3 Phân phối chuẩn Ví dụ Một máy đóng gói đường, trọng lượng trung bình gói đường có phân phối chuẩn, trung bình 1kg, độ lệch chuẩn 4g Xác suất mua phải gói đường trọng lượng nhỏ 0, 99 kg là? A 0, 38 B 0, 0062 ĐH NTT C 0, 9938 XSTK-YH D 0, 5062 Ngày 10 tháng năm 2022 53 / 55 Chú ý: Cho X ∼ B(n, p) n đủ lớn, p không lớn, không bé ( nhiều trường hợp ta xem điều kiện tương đương với np ≥ nq ≥ X N (np, npq) Khi i ii x2 k − np − P (X = k) ≈ √ f (xk ) với xk = √ , f (x) = √ e npq npq 2π k2 − np k1 − np P (k1 ≤ X ≤ k2 ) ≈ ϕ √ −ϕ √ npq npq Ví dụ: Điều trị kháng sinh C0 cho trẻ bị viêm nhiễm đường hơ hấp vi khuẩn có tỷ lệ khỏi 0,6 Tính xác suất cho điều trị cho 100 trẻ có: a) Đúng 60 trẻ khỏi b) Số trẻ khỏi từ 55 đến 70 trẻ ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 54 / 55 Giải Gọi X số trẻ khỏi bệnh 100 trẻ điều trị X có phân phối nhị thức, X ∼ B(100; 0, 6) Vì n = 100 đủ lớn, p = 0, không lớn, không bé nên X N (60; 24) a) P (X = 60) ≈ √ f 24 60 − 60 √ 24 = √ f (0) 24 b) 70 − 60 55 − 60 √ √ −ϕ 24 24 = ϕ(2, 04) − ϕ(−1, 02) P (50 ≤ X ≤ 70) ≈ ϕ = 0, 47932 + 0, 34614 = 0, 82546 ĐH NTT XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 2022 55 / 55 ... 11 1/ 12 2/ 12 3/ 12 2/ 12 2/ 12 1/ 12 1/ 12 Tính kì vọng X? Giải xi pi = × E(X) = i=1 +9× ĐH NTT +6× +7× +8× 12 12 12 12 1 93 + 10 × + 11 × = = 7.75 12 12 12 12 XSTK-YH Ngày 10 tháng năm 20 22 20 / 55... năm 20 22 / 55 2. 2 Đại lượng ngẫu nhiên 2. 2 .2 Bảng phân phối xác suất Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , , xn với xác suất tương ứng p1 , p2 , , pn Khi bảng phân phối xác suất. .. tham số n = 10, p = 0 ,2 P (X = 2) = C10 × 0, 22 × 0, 88 = ĐH NTT XSTK-YH 10! 0, 22 × 0, 88 = 0, 3 02 8 !2! Ngày 10 tháng năm 20 22 38 / 55 2. 5 Một số phân phối xác suất thường gặp 2. 5.1 Phân phối nhị