Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Trường ĐH Hoa Sen

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 Biến ngẫu nhiên và qui luật phân phối xác suất, cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên; Qui luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên; Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên; Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc. Mời các bạn cùng tham khảo!

4/8/13 Chương 2: Biến ngẫu nhiên qui luật phân phối xác suất Thời lượng: tiết uu Faculty of Science and Technology www.hoasen.edu.vn Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn 1.  2.  3.  4.  Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên Qui luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Nội  dung   4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Định  nghĩa  và  phân  loại   Biến ngẫu nhiên (random variable): biến ngẫu nhiên X ánh xạ •  Biến ngẫu nhiên hàm xác định không gian biến cố sơ cấp •  Biến ngẫu nhiên thường kí hiệu: X, Y, Z, hay A1, A2, Ta thường kí hiệu Biến ngẫu nhiên rời rạc: tập hữu hạn hay vơ hạn đếm X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete random variable) Biến ngẫu nhiên liên tục: khoảng hay số khoảng toàn tập số thực X gọi biến ngẫu nhiên liên tục (continuous random variable) uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology với Ω không gian mẫu, e biến cố Ω Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Định  nghĩa  và  phân  loại  (8)   Một sinh viên thi môn học kỳ Gọi X: số môn sinh viên thi đậu X có phải biến ngẫu nhiên? Một người ngày làm xe buýt lên xe buýt trạm dừng A Cách 10 phút có chuyến xe buýt đến trạm dừng A Người đến A vào thời điểm chuyến xe Gọi X: thời gian (phút) người phải chờ xe buýt X có phải biến ngẫu nhiên? uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Ví dụ 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Cho X biến ngẫu nhiên có tập giá trị Người ta gọi hàm …………………………………… ……………… ……………………… biến ngẫu nhiên X F xác định bởi: Định lý Cho X biến ngẫu nhiên F hàm phân phối xác suất Khi uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên   Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có Người ta gọi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X bảng có dạng: X x1 x2 xn p(x) p(x1) p(x2) p(xn) Trong đó: Lưu ý uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Định nghĩa  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   4/8/13 www.hoasen.edu.vn Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số phế phẩm lấy X có biến ngẫu nhiên? Tìm bảng phân phối xác suất X (nếu có) tìm HD: X p(x) 7/15 7/15 1/15 Kiểm tra lại ta thấy uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn X biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1, 2, Giả sử: p(1) = 1/2; p(2) = 1/3; a. Tìm xác suất p(3) b. Tìm hàm phân phối F X uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Ví dụ  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Định nghĩa Cho biến ngẫu nhiên liên tục X Người ta gọi f hàm Định lý Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f(x) hàm phân phối Khi ta có uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology mật độ biến ngẫu nhiên liên tục X nếu: Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Khi X biến ngẫu nhiên liên tục uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics hàm Faculty of Science and Technology Khi X biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất X biểu diễn: 10 4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   ⎧100 / x f ( x ) = ⎨ ⎩0 x ≥ 100 x < 100 a.  Tìm hàm phân phối xác suất X b.  Tính tỉ lệ thiết bị loại A (tuổi thọ 500h) HD: uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology Ví dụ Tuổi thọ X (đơn vị: h) thiết bị có hàm mật độ xác suất: 11 Probability and Statistic www.hoasen.edu.vn Một phân xưởng có máy hoạt động độc lập Xác suất để máy bị hỏng ngày làm việc tương ứng 0,1; 0,2 Gọi X số máy hỏng ngày làm việc Lập hàm phân phối X X p(x) 0,72 0,26 0,02 uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   12 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology 13 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Qui  luật  phân  phối  xác  suất  của  biến   ngẫu  nhiên  (8)   Ta kí hiệu biến cố: {X < x}.{Y < y}= (X < x;Y < y) Hàm phân phối xác suất đồng thời X Y hàm xác định sau: Hàm phân phối X: Hàm phân phối Y: uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Định nghĩa 14 4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng   Biến ngẫu nhiên X rời rạc Biến ngẫu nhiên X liên tục X có bảng phân phối xác suất: X có hàm mật độ f(x) X x1 x2 xn p(x) p(x1) p(x2) p(xn) Ý nghĩa kỳ vọng EX Kỳ vọng giá trị trung bình biến ngẫu nhiên => phản ảnh giá trị trung tâm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Trường hợp vô hạn đếm uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Lưu ý E (X) = µ Faculty of Science and Technology Kỳ vọng 15 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Tính chất ⎧∑ u ( x i ) p ( x i ) ⎪⎪ i E ⎡⎣ u ( x )⎤⎦ = ⎨+∞ ⎪ ∫ u ( x ) f ( x ) dx ⎪⎩−∞ ⎧∑∑ u ( x,y ) p ( x,y ) ⎪⎪ y x E ⎡⎣ u ( x,y )⎤⎦ = ⎨ +∞ +∞ ⎪ ∫ ∫ u ( x,y ) f ( x,y ) dxdy ⎪⎩ −∞ −∞ uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology E ( aX ) = aE ( X ) EC = C (C số) 16 4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Tiếp theo ví dụ (Slide 12) a.  Tìm số máy hỏng trung bình ngày làm việc b.  Nếu lần hỏng phải sửa hết triệu đồng số tiền sửa máy trung bình ngày làm việc bao nhiêu? uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology Ví dụ 17 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: ⎧⎪2 / x x ∈ [1;2] f ( x ) = ⎨ x ∉ [1;2] ⎪⎩0 a. Tìm EX b. Tìm EY, biết Y = x5 − x HD: uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   18 4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   X         X2         P(x)   0,2   0,5   0,3   ⎧⎪1 Cho biến ngẫu nhiên X có f ( x ) = ⎨ ⎪⎩0 Tìm EX3 uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology x ∈ [0;1] x ∉ [0;1] Faculty of Science and Technology Cho biến ngẫu nhiên X có p(0) = 0,2; p(1) = 0,5; p(2) = 0,3 Tìm EX2 19 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Phương sai (variance) biến ngẫu nhiên X, kí hiệu VarX, định nghĩa sau: Trong tính tốn ta thường dùng công thức: ⎧∑ xi f ( xi ) ⎪⎪ i với EX = ⎨+∞ ⎪ ∫ x f ( x ) dx ⎪⎩−∞ uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Lưu ý Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Phương sai 20 10 4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   •  Đơn vị đo VarX đơn vị đo ……=> để so sánh đặc trưng độ phân tán với đặc trưng khác người ta thường dùng độ lệch chuẩn (standard deviation) X, kí hiệu xác định cơng thức Tính chất (C số) uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology Ý nghĩa •  Ta có X – EX độ lệch giá trị X so với trung bình X => phương sai trung bình bình phương độ lệch •  Phương sai đặc trưng cho độ phân tán biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình 21 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   Năng suất máy tương ứng biến ngẫu nhiên X, Y (đơn vị: sản phẩm/giây) X Y có bảng phân phối xác suất sau: X f(x) 0,2 0,1 0,5 0,2 Y f(x) 0,1 0,3 0,5 0,1 Nếu phải mua máy ta nên chọn mua máy nào? uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Ví dụ 22 11 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Trọng lượng loại linh kiện biến ngẫu nhiên X (đơn vị: g) có hàm mật độ xác suất: ⎧ x −2 x ∈ [ 2;3] ⎪ f ( x ) = ⎨16 ⎪0 x ∉ [ 2;3] ⎩ Hãy tìm trọng lượng trung bình, phương sai độ lệch chuẩn X ( ) HD: uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology  Các  tham  số  đặc  trưng  (8)   23 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc   Người ta gọi bảng phân phối xác suất (X,Y) (bảng phân phối xác suất đồng thời X Y) bảng có dạng: y1                  Y   X x1 x2 xn ∑ y2 ym p11 p12 p1m p21 p22 p2 m L L L L L L L L L pn1 pn pnm         p ( y1 ) p ( y2 ) p ( ym ) ∑ p ( x1 ) p ( x2 ) p ( xn ) n m ∑∑ p ij i =1 j =1 =1 hàm mật độ xác suất rời rạc (X,Y) uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X Y có 24 12 4/8/13 www.hoasen.edu.vn  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc  (8)   hỏng Chọn ngẫu nhiên pin Đặt X, Y số pin mới, pin cũ số pin chọn Khi uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology Ví dụ Giả sử có pin mới, pin cũ xài pin 25 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc  (8)   Bảng phân phối xác suất X Y:             Tổng 10/220 40/220 30/220 4/220 84/220 30/220 60/220 18/220 108/220 15/220 12/220 0 27/220 1/220 0 1/220 Tổng 56/220 112/220 48/220 4/220 uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology                  Y   X 26 13 4/8/13 www.hoasen.edu.vn Bất đẳng thức Chebyshev luật số lớn Luật số lớn Cho họ biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối, có kì µ vọng chung , với ε > 0: P{|(X1 + X2 +…+ Xn)/n - µ| > ε} è nè∞ Bất đẳng thức Markov Nếu X biến ngẫu nhiên có giá trị khơng âm với a > 0, ta có uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Faculty of Science and Technology Bất đẳng thức Chebyshev Cho X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng µ, phương sai σ2, với k > 27 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn Bất đẳng thức Chebyshev luật số lớn (tt) Giả sử tổng sản phẩm sản xuất nhà máy tuần biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình 50 a. Có thể kết luận xác suất để tổng sản phẩm nhà máy tuần lớn 75? b. Nếu phương sai X 25 nói xác suất để tổng sản phẩm tuần từ 40 đến 60 sản phẩm? uu Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Probability and Statistics Faculty of Science and Technology Ví dụ 28 14 ... Tổng 10 /22 0 40 /22 0 30 /22 0 4 /22 0 84 /22 0 30 /22 0 60 /22 0 18 /22 0 108 /22 0 15 /22 0 12/ 220 0 27 /22 0 1 /22 0 0 1 /22 0 Tổng 56 /22 0 1 12/ 220 48 /22 0 4 /22 0 uu Probability and Statistics Faculty of Science and... pin 25 Probability and Statistics www.hoasen.edu.vn  Biến  ngẫu  nhiên  hai  chiều  rời  rạc  (8)   Bảng phân phối xác suất X Y:             Tổng 10 /22 0 40 /22 0 30 /22 0 4 /22 0 84 /22 0 30 /22 0 60 /22 0...   X x1 x2 xn ∑ y2 ym p11 p 12 p1m p21 p 22 p2 m L L L L L L L L L pn1 pn pnm         p ( y1 ) p ( y2 ) p ( ym ) ∑ p ( x1 ) p ( x2 ) p ( xn ) n m ∑∑ p ij i =1 j =1 =1 hàm mật độ xác suất rời