Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất. Những nội dung chính trong chương này gồm có: Sự kiện - Quan hệ giữa các sự kiện, giải tích kết hợp, khái niệm và các định nghĩa xác suất, công thức cộng và nhân xác suất, công thức Béc–nu–li. Mời các bạn cùng tham khảo.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ NGUYỄN THỊ THU THỦY BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG HÀ NỘI - 01/2020 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Sự kiện Quan hệ kiện 1.1.1 Phép thử Sự kiện 1.1.2 Phân loại kiện 1.1.3 Quan hệ kiện Giải tích kết hợp 11 1.2.1 Quy tắc cộng Quy tắc nhân 11 1.2.2 Chỉnh hợp 12 1.2.3 Chỉnh hợp lặp 12 1.2.4 Hoán vị 12 1.2.5 Tổ hợp 13 Khái niệm định nghĩa xác suất 13 1.3.1 Khái niệm xác suất 13 1.3.2 Định nghĩa cổ điển xác suất 14 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 16 1.3.4 Định nghĩa thống kê xác suất 18 1.3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 19 Công thức cộng nhân xác suất 20 1.4.1 Xác suất có điều kiện 20 1.4.2 Công thức nhân xác suất 20 1.4.3 Công thức cộng xác suất 23 Công thức Béc–nu–li 27 1.5.1 Dãy phép thử độc lập 27 1.5.2 Lược đồ Béc–nu–li 27 1.5.3 Công thức Béc–nu–li 27 1.5.4 Số có khả lược đồ Béc–nu–li 29 1.5.5 Công thức xấp xỉ 30 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bay–ét 31 1.6.1 Công thức xác suất đầy đủ 31 1.6.2 Công thức Bay–ét 32 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Chương Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất 2.1 2.2 2.3 2.4 Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên 36 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên 36 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 37 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 37 2.2.1 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 37 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 39 2.2.3 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục 42 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên 44 2.3.1 Kỳ vọng 44 2.3.2 Phương sai 49 2.3.3 Độ lệch chuẩn 51 2.3.4 Một số đặc trưng khác 51 Một số phân phối xác suất thông dụng 52 2.4.1 Phân phối 52 2.4.2 Phân phối nhị thức 55 2.4.3 Phân phối Poa–xông 56 2.4.4 Phân phối chuẩn 59 2.4.5 Phân phối bình phương 66 2.4.6 Phân phối Student 67 Chương Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3.1 36 69 Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên nhiều chiều 69 3.1.1 Khái niệm 69 3.1.2 Phân loại 69 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc 69 3.2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời 69 3.2.2 Bảng phân phối xác suất thành phần (biên) 71 3.2.3 Phân phối có điều kiện 73 Hàm phân phối xác suất 74 3.3.1 Hàm phân phối xác suất đồng thời 74 3.3.2 Hàm phân phối xác suất thành phần (biên) 75 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục 75 3.4.1 Hàm mật độ xác suất đồng thời 75 3.4.2 Hàm mật độ xác suất biên 77 3.4.3 Hàm mật độ xác suất có điều kiện 78 3.5 Tính độc lập biến ngẫu nhiên 79 3.6 Đặc trưng biến ngẫu nhiên hai chiều 79 3.6.1 79 3.2 3.3 3.4 Kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên thành phần MỤC LỤC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy 3.6.2 Hiệp phương sai 80 3.6.3 Hệ số tương quan 82 3.7 Hàm hai biến ngẫu nhiên 83 3.8 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm 85 3.8.1 Luật số lớn 85 3.8.2 Định lý giới hạn trung tâm 87 Chương Thống kê Ước lượng tham số 4.1 4.2 4.3 88 Lý thuyết mẫu 88 4.1.1 Tổng thể mẫu 88 4.1.2 Mẫu ngẫu nhiên 90 4.1.3 Mô tả giá trị mẫu ngẫu nhiên 91 4.1.4 Đại lượng thống kê đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 92 4.1.5 Cách tính giá trị cụ thể trung bình mẫu phương sai mẫu 94 4.1.6 Phân phối xác suất thống kê trung bình mẫu, phương sai mẫu, tần suất mẫu ngẫu nhiên 98 Ước điểm cho kỳ vọng, phương sai tỷ lệ 99 4.2.1 Ước lượng điểm 99 4.2.2 Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng 99 4.2.3 Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai xác suất 100 4.2.4 Một số phương pháp tìm ước lượng điểm 100 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 101 4.3.1 Khoảng tin cậy kỳ vọng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 101 4.3.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ 106 Chương Kiểm định giả thuyết 5.1 5.2 5.3 5.4 109 Các khái niệm 109 5.1.1 Giả thuyết thống kê 109 5.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định Mức ý nghĩa Miền bác bỏ 110 5.1.3 Sai lầm loại Sai lầm loại 111 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 112 5.2.1 Trường hợp biết phương sai 112 5.2.2 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n < 30 114 5.2.3 Trường hợp chưa biết phương sai, cỡ mẫu n ≥ 30 115 Kiểm định giả thuyết tỷ lệ 117 5.3.1 Bài toán 117 5.3.2 Các bước tiến hành 117 So sánh hai kỳ vọng hai biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn 119 5.4.1 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 biết 119 MỤC LỤC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG 5.5 Nguyễn Thị Thu Thủy 5.4.2 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 chưa biết, cỡ mẫu n1 < 30, n2 < 30 120 5.4.3 Trường hợp phương sai σ12 , σ22 chưa biết, cỡ mẫu n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 122 So sánh hai tỷ lệ 124 5.5.1 Bài toán 124 5.5.2 Các bước tiến hành 124 Chương Phụ lục bảng số 6.1 6.2 127 Phụ lục bảng số 127 6.1.1 Phụ lục 1: Giá trị hàm Gao-xơ 127 6.1.2 Phụ lục 2: Giá trị hàm Láp-la-xơ 127 6.1.3 Phụ lục 3: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc 127 6.1.4 Phụ lục 4: Giá trị phân phối Student 127 6.1.5 Phụ lục 5: Giá trị hàm khối lượng xác suất Poa-xông 127 Hướng dẫn sử dụng bảng số 134 6.2.1 Bảng giá trị hàm Gao-xơ (Phụ lục 1) 134 6.2.2 Bảng giá trị hàm Láp-la-xơ (Phụ lục 2) 134 6.2.3 Bảng giá trị hàm phân phối chuẩn tắc (Phụ lục 3) 134 6.2.4 Bảng giá trị t1n−α phân phối Student (Phụ lục 4) 134 MỤC LỤC CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Lời nói đầu Lý thuyết xác suất thống kê tốn học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng rộng rãi phong phú đời sống người Cùng với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, nhu cầu hiểu biết sử dụng công cụ ngẫu nhiên phân tích xử lý thơng tin ngày trở nên đặc biệt cần thiết Các kiến thức phương pháp xác suất thống kê hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, sinh học, nơng học, kinh tế học, xã hội học, ngơn ngữ học Do "Xác suất thống kê" học phần cần thiết cho sinh viên bậc đại học Bài giảng học phần "Xác suất thống kê", mã học phần MI2020 biên soạn theo Đề cương chi tiết với khối lượng 30 tiết lý thuyết, 30 tiết tập dành cho sinh viên hệ đại học quy (khơng phải chun ngành Toán Tin) Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Mục tiêu học phần: Cung cấp cho sinh viên kiến thức xác suất khái niệm quy tắc suy diễn xác suất biến ngẫu nhiên phân phối xác suất thông dụng (một hai chiều); khái niệm thống kê toán học nhằm giúp sinh viên biết cách xử lý toán thống kê ước lượng, kiểm định giả thuyết Trên sở sinh viên có phương pháp tiếp cận với mơ hình thực tế có kiến thức cần thiết để đưa lời giải cho tốn Nội dung vắn tắt học phần: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất, véc tơ ngẫu nhiên, lý thuyết ước lượng thống kê, lý thuyết định thống kê CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Các tượng tự nhiên hay xã hội xảy cách ngẫu nhiên (không biết trước kết quả) tất định (biết trước kết xảy ra) Chẳng hạn vật nặng thả từ cao chắn rơi xuống đất, điều kiện bình thường nước sơi 100∘ C Đó tượng diễn có tính quy luật, tất nhiên Trái lại, tung đồng xu ta xuất mặt sấp hay mặt ngửa; ta biết trước có gọi đến tổng đài; có khách hàng đến điểm phục vụ khoảng thời gian đó; ta khơng thể xác định trước số chứng khoán thị trường chứng khoán Đó tượng ngẫu nhiên Tuy nhiên, tiến hành quan sát nhiều lần tượng ngẫu nhiên hồn cảnh nhau, nhiều trường hợp ta rút kết luận có tính quy luật tượng Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật tượng ngẫu nhiên Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Chính phương pháp lý thuyết xác suất ứng dụng rộng rãi việc giải toán thuộc nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên, kỹ thuật kinh tế–xã hội 1.1 1.1.1 Sự kiện Quan hệ kiện Phép thử Sự kiện Định nghĩa 1.1 (Phép thử Sự kiện) (a) Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng gọi phép thử (experiment) (b) Hiện tượng, kết xét phép thử gọi kiện hay biến cố (event) (c) Sự kiện sơ cấp hay kết cục phép thử kết mà ta không chia nhỏ được, ký hiệu ω (d) Sự kiện phức hợp kiện phân tích thành kiện nhỏ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy (e) Tập hợp tất kết cục phép thử tạo thành không gian kiện sơ cấp, ký hiệu Ω = ωi , i ∈ I , Ví dụ 1.1 I tập số (a) Gieo xúc xắc (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Xúc xắc xuất mặt 1, 2, 3, 4, 5, chấm kiện (b) Gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Đồng xu xuất mặt sấp, mặt ngửa kiện Ví dụ 1.2 Gieo xúc xắc, (a) Sự kiện Ai "xuất mặt i chấm", i = 1, , kiện sơ cấp (b) Sự kiện A "xuất mặt chấm chẵn" kiện phức hợp phân tích thành kiện "xuất mặt 2, 4, chấm" Ví dụ 1.3 (a) Phép thử gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) có khơng gian kiện sơ cấp Ω = {S, N } (b) Phép thử gieo đồng thời hai đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) có khơng gian kiện sơ cấp Ω = {SS, SN, NS, NN } Chú ý 1.1 (a) Chú ý chất kiện sơ cấp vai trị đặc biệt lý thuyết xác suất Chẳng hạn mã hóa kết xem không gian kiện sơ cấp phép thử tung đồng xu Ω = {0, 1}, kiện sơ cấp mặt sấp xuất để mặt ngửa xuất (b) Mỗi kết cục ω phép thử 𝒞 gọi kết cục thuận lợi cho kiện A A xảy kết cục phép thử 𝒞 ω Ví dụ 1.4 Nếu gọi kiện A "xuất mặt chấm chẵn" phép thử gieo xúc xắc A có kết cục thuận lợi 2, 4, 1.1.2 Phân loại kiện Có loại kiện (a) Sự kiện chắn kiện định xảy thực phép thử Ký hiệu U Ω S (b) Sự kiện khơng thể có kiện định không xảy thực phép thử Ký hiệu V ∅ (c) Sự kiện ngẫu nhiên kiện xảy ra, khơng xảy thực phép thử Ký hiệu A, B, C, A1 , A2 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 20192 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1.5 Gieo xúc xắc, (a) Sự kiện S “xuất mặt có số chấm ≤ ≥ 1” kiện chắn (b) Sự kiện ∅ “xuất mặt chấm” kiện (c) Sự kiện A “xuất mặt chấm chẵn” kiện ngẫu nhiên 1.1.3 Quan hệ kiện Một cách tương ứng với phép toán tập hợp, lý thuyết xác suất người ta xét quan hệ sau cho kiện phép thử (a) Quan hệ kéo theo: Sự kiện A kéo theo kiện B, ký hiệu A ⊂ B, A xảy B xảy Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói hai kiện A B trùng nhau, viết A = B (b) Tổng kiện: Sự kiện A gọi tổng kiện A1 , A2 , , An A xảy kiện Ai xảy ra, i = 1, 2, , n Viết là: A = A1 + A2 + · · · + A n A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ A n Hình 1.1: Sơ đồ Venn A ∪ B A ∩ B (c) Tích kiện: Sự kiện B gọi tích kiện A1 , A2 , , An B xảy tất kiện Ai xảy ra, i = 1, 2, , n Viết là: B = A1 A2 A n B = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ A n 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 20192 – TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Hình 1.2: Hai kiện xung khắc (d) Sự kiện xung khắc: Hai kiện A B gọi xung khắc với chúng không đồng thời xảy phép thử Như vậy, A B xung khắc A ∩ B = ∅ (e) Sự kiện đối lập: Sự kiện không xảy kiện A gọi kiện đối lập A, ký hiệu A Ac Như A A thỏa mãn tính chất: A ∪ A = S A ∩ A = ∅ Hình 1.3: Sự kiện đối lập (f) Hiệu hai kiện: Hiệu kiện A B, ký hiệu A − B, kiện xảy A xảy B không xảy Trường hợp hay sử dụng kiện hiệu: A = S − A, A = S − A Trường hợp tổng quát, ta biến đổi thành kiện tích sau: A − B = A ∩ B (g) Hệ (nhóm) đầy đủ kiện: Hệ (nhóm) n kiện A1 , A2 , , An gọi hệ (nhóm) đầy đủ kiện định phải xảy kiện sau phép thử Như hệ { A1 , A2 , , An } hệ đầy đủ A ∩ A = ∅, i ̸= j, i j A ∪ A ∪ · · · ∪ A = S n 1.1 Sự kiện Quan hệ kiện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Hình 1. 4: Minh họa cho Ví dụ 1. 17 1. 3 Khái niệm định nghĩa xác suất CuuDuongThanCong.com 16 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020 – KỲ 2 019 2 – TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy Ví dụ 1. 18...MỤC LỤC Chương Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 Sự kiện Quan hệ kiện 1. 1 .1 Phép thử Sự kiện 1. 1.2 Phân... học 16 1. 3.4 Định nghĩa thống kê xác suất 18 1. 3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, nguyên lý xác suất lớn 19 Công thức cộng nhân xác suất