Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Nguyễn Thị Thu Thủy

Chương 2 - Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất. Những nội dung chính trong chương này gồm có: Định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên, một số phân phối xác suất thông dụng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất TUẦN 2.1 Định nghĩa phân loại biến ngẫu nhiên 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên Khái niệm biến ngẫu nhiên thơng dụng giải tích Vì ta tìm cách đưa vào khái niệm biến ngẫu nhiên đại lượng phụ thuộc vào kết cục phép thử ngẫu nhiên Ví dụ 2.1 Gieo xúc sắc Nếu ta gọi biến ngẫu nhiên "số chấm xuất hiện" phụ thuộc vào kết cục phép thử nhận giá trị nguyên từ đến Về mặt hình thức, định nghĩa biến ngẫu nhiên hàm số có giá trị thực xác định không gian kiện sơ cấp Ký hiệu biến ngẫu nhiên X, Y, Z, X1 , X2 , Các giá trị có chúng ký kiệu x, y, z, x1 , x2 , Tập hợp tất giá trị X gọi miền giá trị X, ký hiệu SX Nhận xét 2.1 (a) X gọi biến ngẫu nhiên trước tiến hành phép thử ta chưa nói cách chắn nhận giá trị mà dự đốn điều với xác suất định Nói cách khác, việc biến ngẫu nhiên X nhận giá trị ( X = x1 ), ( X = x2 ), , ( X = xn ) thực chất kiện ngẫu nhiên (b) Nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x1 , x2 , , xn kiện ( X = x1 ), ( X = x2 ), , ( X = xn ) tạo nên hệ đầy đủ (c) Hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập X nhận giá trị khơng phụ thuộc Y ngược lại 36 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG 2.1.2 Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên phân làm hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục (a) Biến ngẫu nhiên rời rạc: X biến ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị SX tập hợp hữu hạn vô hạn đếm phần tử Nói cách khác, ta liệt kê tất giá trị biến ngẫu nhiên (b) Biến ngẫu nhiên liên tục: X biến ngẫu nhiên liên tục tập giá trị SX có lấp đầy khoảng trục số Ví dụ 2.2 (a) Gọi X số chấm xuất gieo xúc sắc cân đối đồng chất X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 1, 2, 3, 4, (b) Một người phải tiến hành thí nghiệm thành cơng dừng Gọi Y số lần tiến hành thí nghiệm Khi Y biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 1, 2, , n, (c) Bắn viên đạn vào bia có bán kính 20cm giả sử viên đạn trúng vào bia Gọi Z khoảng cách từ tâm bia tới điểm bia trúng đạn Z biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị thuộc (0; 20) 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1 (Quy luật phân phối xác suất) Bất kỳ hình thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giá trị có biến ngẫu nhiên xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên nhận giá trị gọi quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Một số phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất (a) Bảng phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) (b) Hàm phân phối xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục) (c) Hàm mật độ xác suất (áp dụng cho biến ngẫu nhiên liên tục) 2.2.1 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa 2.2 (Hàm khối lượng xác suất) Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X Đặt p X ( x ) = P ( X = x ), x∈R (2.1) Hàm p X ( x ) gọi hàm khối lượng xác suất (probability mass function) biến ngẫu nhiên rời rạc X Hàm khối lượng xác suất có tính chất sau 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 37 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Tính chất 2.1 Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (a) p X ( xk ) > với xk ∈ SX ; (b) ∑ xk ∈SX p X ( xk ) = 1; (c) p X ( x ) = với xk ∈ / SX Định nghĩa 2.3 (Bảng phân phối xác suất) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X bảng ghi tương ứng giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận với giá trị hàm khối lượng xác suất tương ứng (i) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có hữu hạn (n) phần tử bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X là: X x1 x2 xn p p1 p2 pn (2.2) { x1 , x2 , , xn } tập giá trị X xếp theo thứ tự tăng dần, pi = p X ( xi ) = P( X = xi ), i = 1, , n (ii) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có vơ hạn đếm phần tử bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X là: X x1 x2 xn p p1 p2 pn (2.3) { x1 , x2 , , xn } tập giá trị X xếp theo thứ tự tăng dần, pn = p X ( xn ) = P( X = xn ), n = 1, Ví dụ 2.3 Một xạ thủ có viên đạn yêu cầu bắn viên trúng mục tiêu hết viên thơi Tìm bảng phân phối xác suất số đạn bắn, biết xác suất bắn trúng đích lần bắn 0,8 Lời giải: Gọi X số đạn bắn, X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 1, 2, Gọi Ai kiện "bắn trúng mục tiêu lần bắn thứ i", i = 1, 2, Khi đó, P( X = 1) = P( A1 ) = 0, P( X = 2) = P( A1 A2 ) = P( A1 ) P( A2 ) = 0, × 0, = 0, 16 P( X = 3) = P( A1 A2 ( A3 + A3 )) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 + A3 ) = 0, × 0, × (0, + 0, 2) = 0, 04 Vậy bảng phân phối xác suất X X p 0,8 0,16 0,04 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 38 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Ví dụ 2.4 Một người đem 10 nghìn VNĐ đánh số đề Nếu trúng thu 700 nghìn VNĐ, trượt khơng Gọi X (nghìn VNĐ) số tiền thu Ta có bảng phân phối xác suất X X 700 p 99/100 1/100 Ví dụ 2.5 Một chùm chìa khóa gồm giống nhau, có mở cửa Người ta thử ngẫu nhiên mở cửa Gọi X số lần thử Tìm phân phối xác suất X Lời giải: X nhận giá trị 1, 2, 3, Gọi Ai kiện "mở cửa lần thử thứ i", i = 1, 2, 3, Khi đó, P ( X = 1) = P ( A1 ) = P ( X = 2) = P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) = 3×1 = 4×3 P( X = 3) = P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 |) P( A3 | A1 A2 ) = 3×2×1 = 4×3×2 P ( X = 4) = P ( A1 A2 A3 A4 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) P ( A4 | A1 A2 A3 ) = Suy bảng phân phối xác suất X 2.2.2 X p 1/4 1/4 1/4 1/4 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 2.4 (Hàm phân phối xác suất) Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X, ký hiệu FX ( x ), định nghĩa sau: FX ( x ) = P( X < x ), x∈R (2.4) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (2.2) hàm phân phối (tích lũy) là: FX ( x ) =    0,       p ,    p1 + p2 ,           1, x ≤ x1 , x1 < x ≤ x2 , x2 < x ≤ x3 , x > xn 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com (2.5) 39 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (2.3) hàm phân phối (tích lũy) là:    0,       p1 ,       p + p2 , FX ( x ) =         ∑in=1 pi ,       x ≤ x1 , x1 < x ≤ x2 , x2 < x ≤ x3 , (2.6) x n < x ≤ x n +1 , Nhận xét 2.2 Hàm phân phối xác suất FX ( x ) phản ánh mức độ tập trung xác suất bên trái số thực x Ví dụ 2.6 Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3 Lời giải: Từ bảng phân phối xác suất Ví dụ 2.3, sử dụng (2.5) suy   0, x ≤ 1,      0, 8, < x ≤ 2, FX ( x ) =   0, 96, < x ≤ 3,      1, x > Đồ thị hàm FX ( x ) có dạng bậc thang: y 0, 96 0, O x Hình 2.1: Đồ thị hàm phân phối xác suất Ví dụ 2.6 Hàm phân phối có tính chất sau Tính chất 2.2 (a) ≤ FX ( x ) ≤ 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 40 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (b) FX ( x ) hàm không giảm, liên tục bên trái, nghĩa với x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 FX ( x1 ) ≤ FX ( x2 ) với a ∈ R, FX ( a− ) = FX ( a), với FX ( a− ) = limx→a− FX ( x ) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục FX ( x ) hàm liên tục (c) P( a ≤ X < b) = FX (b) − FX ( a); Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục P( X = a) = P( a ≤ X < b) = P( a ≤ X ≤ b) = P( a < X ≤ b) = P( a < X < b) = FX (b) − FX ( a) (d) FX (−∞) = 0, FX (+∞) = Chứng minh (a) Suy trực tiếp từ định nghĩa hàm phân phối tính chất xác suất (b) Giả sử x1 < x2 xét kiện ( X < x2 ) = ( X < x1 ) + ( x1 ≤ X < x2 ) Khi tính xung khắc kiện suy P ( X < x2 ) = P ( X < x1 ) + P ( x1 ≤ X < x2 ) Từ kết hợp với định nghĩa hàm phân phối xác suất (2.4) suy FX ( x2 ) − FX ( x1 ) = P( x1 ≤ X < x2 ) ≥ (c) Suy trực tiếp từ chứng minh tính chất (b) (d) FX (−∞) = P( X < −∞) = P(∅) = 0, FX (+∞) = P( X < +∞) = P(S) = Ví dụ 2.7 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất   0,    FX ( x ) = A + B arcsin x,    1, x ≤ −1, −1 < x < 1, x ≥ Hãy xác định A B? Lời giải: Sử dụng Tính chất 2.2(a) hàm phân phối xác suất, ≤ A + B arcsin x ≤ theo π π Tính chất 2.2(b) FX ( x ) liên tục nên A − × B = 0, A + × B = 2 1 Suy A = , B = π Ví dụ 2.8 Xét phép thử ném phi tiêu vào đĩa tròn có bán kính 1(m) Ký hiệu X biến ngẫu nhiên đo khoảng cách từ điểm mũi phi tiêu cắm vào đĩa đến tâm đĩa Giả sử mũi phi tiêu cắm vào đĩa đồng khả điểm đĩa (a) Tìm miền giá trị X (b) Tìm hàm phân phối FX ( x ) vẽ đồ thị FX ( x ) 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 41 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Lời giải: (a) SX = { x ∈ R : ≤ x < 1} (b) Sử dụng định nghĩa FX ( x ) = P( X < x ),   0,    FX ( x ) = x2 ,    1, x ≤ 0, < x ≤ 1, x > Hình 2.2: Hàm phân phối xác suất Ví dụ 2.8 TUẦN 2.2.3 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 2.5 (Hàm mật độ) Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất FX ( x ), x ∈ R Nếu tồn hàm f X ( x ) cho x FX ( x ) = f X (t)dt, ∀x ∈ R (2.7) −∞ f X ( x ) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X (probability density function) Như vậy, hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X đạo hàm bậc hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên đó, f X ( x ) = FX′ ( x ), x∈R (2.8) Nhận xét 2.3 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X điểm x cho biết mức độ tập trung xác suất điểm 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 42 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Tính chất 2.3 Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (a) f X ( x ) ≥ với x ∈ R b (b) P( a < X < b) = +∞ (c) −∞ a f X ( x )dx f X ( x )dx = Chứng minh (a) Vì f X ( x ) đạo hàm hàm khơng giảm (b) Được suy từ Tính chất 2.2(c) (c) +∞ −∞ f X ( x )dx = FX (+∞) = Ví dụ 2.9 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng F ( x ) = a + b arctan x, (−∞ < x < +∞) (a) Tìm a b (b) Tìm hàm mật độ xác suất f X ( x ) (c) Tìm xác suất để tiến hành phép thử độc lập có lần X nhận giá trị khoảng (−1; 1) Lời giải: 1 (a) Tương tự Ví dụ 2.7 ta tìm a = , b = π (b) Sử dụng (2.8) ta f X ( x ) = π (1 + x ) (c) Theo Tính chất 2.3(b) p = P(−1 < X < 1) = −1 dx × = π 1+x Bài toán thỏa mãn lược đồ Béc–nu–li Áp dụng cơng thức (1.19) ta tính P3 (2) = C32 × p2 × (1 − p)1 = Ví dụ 2.10 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất  π π  a cos x, x∈ − , 2 f X (x) = π π  0, x∈ / − , 2 (a) Tìm a (b) Tìm hàm phân phối xác suất tương ứng 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 43 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (c) Tìm xác suất để X nhận giá trị khoảng 0, π Lời giải: (a) Sử dụng Tính chất 2.3(a),(c) tính a = (b) Áp dụng (2.7) x π Nếu x ≤ − FX ( x ) = 0du = −∞ x π π f X (u)du = Nếu − < x ≤ FX ( x ) = 2 −∞ Nếu x > π FX ( x ) = π − π2 π − π2 cos udu = (sin x + 1) cos x = Vậy    0,    FX ( x ) = (sin x + 1),     1, π (c) P(0 < X < ) = x π x≤− , π π − √ cos xdx = Ví dụ 2.11 (Đề thi MI2020 kỳ 20191) Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất  kx2 (1 − x ), x ∈ [0, 1], f (x) = 0, x ∈ / [0, 1] (a) Tìm số k (b) Tính xác suất để sau lần lặp lại phép thử cách độc lập có lần X nhận giá trị khoảng 0; Lời giải: (a) Sử dụng Tính chất 2.3(a),(c) tính k = 12 (b) P < X < 2 12( x2 − x3 )dx = = = 0, 3125 16 Vậy, P3 (1) = C31 × p1 × (1 − p)2 = C31 × (0, 3125)1 × (0, 6875)2 = 2.2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 1815 ≃ 0, 44312 4096 44 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG 2.3 Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên Đặc trưng quan trọng biến ngẫu nhiên hàm phân phối Nhưng thực tế nhiều khơng xác định hàm phân phối thiết phải biết hàm phân phối Vì nảy sinh vấn đề phải đặc trưng cho biến ngẫu nhiên nhiều số, số hạng đặc trưng phản ánh tính chất biến ngẫu nhiên X Trong mục ta xét vài tham số quan trọng 2.3.1 Kỳ vọng Định nghĩa 2.6 (Kỳ vọng) Kỳ vọng (expected value) biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E( X ), xác định sau: (a) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (2.2) n E( X ) = ∑ xi pi (2.9) i =1 (b) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (2.3) ∞ E( X ) = ∑ xn pn (2.10) n =1 chuỗi vế phải hội tụ (c) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X ( x ), x ∈ R +∞ E( X ) = x f X ( x )dx (2.11) −∞ tích phân vế phải hội tụ Nhận xét 2.4 (a) Kỳ vọng mang ý nghĩa giá trị trung bình biến ngẫu nhiên Kỳ vọng số xác định Thật vậy, giả sử biến ngẫu nhiên X, tiến hành n phép thử, n1 lần X nhận giá trị x1 , n2 lần X nhận giá trị x2 , , nk lần X nhận giá trị xk , n1 + n2 + · · · + nk = n Giá trị trung bình biến ngẫu nhiên X n phép thử n1 x2 + n2 x2 + · · · + n k x k n n n = x1 + x2 + · · · + x k k n n n n ≃ x1 p1 + x2 p2 + · · · + x k p k = E ( X ) X= (b) Khái niệm kỳ vọng áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Trong kinh doanh quản lý, kỳ vọng ứng dụng dạng lợi nhuận kỳ vọng hay doanh số kỳ vọng 2.3 Các tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 45 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (a) Ít phút (b) Ít 12 phút Lời giải: Gọi X số phút từ đến 30 hành khách đến trạm, ta có X ∼ 𝒰 ([0, 30]) (a) Hành khách chờ phút đến trạm 10 15 25 30 Do xác suất cần tìm là: P(10 < X ≤ 15) + P(25 < X ≤ 30) = 5 + = 30 30 (b) Hành khách chờ 12 phút đến trạm 03 15 18 Xác suất cần tìm là: P(0 < X ≤ 3) + P(15 < X ≤ 18) = 3 + = 0, 30 30 Ví dụ 2.24 Lấy ngẫu nhiên điểm M nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2a Biết xác suất điểm M rơi vào cung CD nửa đường trịn AMB phụ thuộc vào độ dài cung CD Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y diện tích tam giác AMB D M C A a B O Hình 2.4: Minh họa cho Ví dụ 2.24 Lời giải: (a) Theo định lý hàm số sin, ta có S AMB = a2 sin ϕ, ϕ góc trục Ox OM Từ giả thiết ta có ϕ biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối 𝒰 [0, π ] có hàm mật độ xác suất f (x) =  1, x ∈ [0, π ], 0, x∈ / [0, π ] π Do đó, hàm phân phối xác suất ϕ   0, x ≤ 0,    Fϕ ( x ) = πx , < x ≤ π,    1, x > π 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 55 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Biến ngẫu nhiên Y = a2 sin ϕ, nên Y biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị đoạn [0, a2 ] Hàm phân phối xác suất Y    0,    x FY ( x ) = P(Y < x ) = arcsin ,  π a    1, x ≤ 0, < x ≤ a2 , x > a2 , với x ∈ (0, a2 ], x ) a2 FY ( x ) = P(Y < x ) = P( a2 sin ϕ < x ) = P(sin ϕ < = P < ϕ < arcsin 2.4.2 x x x + P π − arcsin < ϕ < π = arcsin π a a a Phân phối nhị thức 2.4.2a Phân phối Béc–nu–li Định nghĩa 2.13 (Phân phối Béc–nu–li) Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi tuân theo luật phân phối Béc–nu–li với tham số p, ký hiệu X ∼ ℬ(1, p), X nhận hai giá trị 0, với xác suất tương ứng p X ( k ) = P ( X = k ) = p k q 1− k , k = 0, 1, < p < 1, q = − p Kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên có phân phối Béc–nu–li: E( X ) = p, (2.27) V ( X ) = pq Nhận xét 2.9 Xét phép thử Béc–nu–li với thành công phép thử xuất kiện A giả sử xác suất xuất A lần thử p Gọi X số lần thành công lần thử X biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Béc-nu-li tham số p Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo phân phối không – 𝒜( p) 2.4.2b Phân phối nhị thức Định nghĩa 2.14 (Phân phối nhị thức) Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi tuân theo luật phân phối nhị thức với tham số n p, ký hiệu X ∼ ℬ(n, p), X có bảng phân phối xác suất X k n p Cn0 p0 qn Cn1 p1 qn−1 Cnk pk qn−k Cnn pn q0 (2.28) p X (k ) = P( X = k ) = Cnk pk qn−k tính cơng thức Béc–nu–li (1.19) 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 56 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức: E( X ) = np, Nhận xét 2.10 (2.29) V ( X ) = npq (a) Thực n phép thử Béc–nu–li với xác suất thành công kiện A lần thử p Với i = 1, 2, , n, lần thử thứ i kiện A xuất ta cho Xi nhận giá trị 1, kiện A không xuất ta cho Xi nhận giá trị Như Xi ∼ ℬ(1, p) Gọi X số lần thành công n phép thử Béc–nu–li X = X1 + X2 + · · · + Xn ∼ ℬ(n, p) (b) Nếu X ∼ ℬ(n1 , p) Y ∼ ℬ(n2 , p) X, Y độc lập X + Y ∼ ℬ(n1 + n2 , p) Ví dụ 2.25 Tỷ lệ phế phẩm lô hàng 4% Chọn ngẫu nhiên 20 sản phẩm để kiểm tra Gọi X số phế phẩm phát (a) X có phân phối gì? (b) Tính xác suất có phế phẩm phát (c) Lô hàng xem đạt tiêu chuẩn số phế phẩm phát khơng nhiều Tính xác suất để lơ hàng đạt tiêu chuẩn Lời giải: Có thể xem việc kiểm tra chất lượng sản phẩm thực phép thử Béc– nu–li với thành công phép thử phát phế phẩm Theo giả thiết xác suất thành công lần thử 0,04 Kiểm tra 20 sản phẩm thực 20 phép thử (a) Số phế phẩm phát số lần thành công 20 phép thử Vậy X có phân phối nhị thức X ∼ ℬ(n, p), với n = 20, p = 0, 04 × (0, 04)5 × (0, 96)15 = 0, 0008 (b) P( X = 5) = C20 (c) Xác suất để lô hàng đạt tiêu chuẩn P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) = C20 (0, 04)0 (0, 96)20 + C20 (0, 04)1 (0, 96)19 + C20 (0, 04)2 (0, 96)18 ≃ 0, 956 2.4.3 Phân phối Poa–xông Định nghĩa 2.15 (Phân phối Poa–xông) Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi tuân theo luật phân phối Poa-xông với tham số λ = np, ký hiệu X ∼ 𝒫 (λ), X có bảng phân phối xác suất X p λ0 −λ 0! e λ1 −λ 1! e k λk −λ k! e n −λ n! e λn 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com (2.30) 57 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Kỳ vọng, phương sai biến ngẫu nhiên có phân phối Poa–xơng: E( X ) = λ, Nhận xét 2.11 V (X) = λ (2.31) (a) Phân phối Poa–xông xuất dãy phép thử Béc–nu–li số phép thử n lớn xác xuất p bé (thỏa mãn λ = np < 7) (b) Phân phối Poa–xông ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực thực tế kiểm tra chất lượng sản phẩm, lý thuyết hàng, hệ phục vụ đám đơng, tốn chuyển mạch tổng đài (c) Nếu X1 , X2 hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poa–xông tham số λ1 , λ2 , X1 + X2 có phân phối Poa–xơng tham số λ1 + λ2 (d) Trong thực tế với số giả thiết thích hợp biến ngẫu nhiên trình đếm sau: số gọi đến tổng đài; số khách hàng đến điểm phục vụ; số xe cộ qua ngã tư; số tai nạn (xe cộ); số cố xảy địa điểm khoảng thời gian xác định có phân phối Poa–xơng với tham số λ, λ tốc độ trung bình diễn khoảng thời gian Ví dụ 2.26 Xác suất để vận chuyển chai rượu bị vỡ 0,001 Người ta tiến hành vận chuyển 2000 chai rượu đến cửa hàng Tìm số chai vỡ trung bình vận chuyển Lời giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Béc–nu–li với n = 2000 lớn p = 0, 001 bé, np = < Gọi X số chai rượu bị vỡ vận chuyển X biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật Poa–xông Số chai vỡ trung bình vận chuyển E( X ) = λ = np = 2000 × 0, 001 = Ví dụ 2.27 Ở tổng đài bưu điện, điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất để: (a) Có điện thoại vịng phút (b) Khơng có điện thoại khoảng thời gian 30 giây (c) Có điện thoại khoảng thời gian 10 giây Lời giải: (a) Gọi X số điện thoại xuất vịng phút X ∼ 𝒫 (λ), λ số điện thoại trung bình đến vịng phút, λ = 5 P( X = 5) = e−λ λ5! = e−4 45! = 0, 156 (b) Gọi X số điện thoại xuất vòng 30 giây X ∼ 𝒫 (λ) với λ = P( X = 0) = e−λ λ0! = e−1 = 0, 3679 2.4 Một số phân phối xác suất thơng dụng CuuDuongThanCong.com 58 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST (c) Gọi X số điện thoại xuất vòng 10 giây X ∼ 𝒫 (λ) với λ = 1/3 P( X ≥ 1) = − P( X = 0) = − e−1/3 = 0, 2835 Ví dụ 2.28 Một ga cho thuê ôtô thấy số người đến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần biến ngẫu nhiên tn theo luật phân phối Pốt-xơng với tham số λ = Giả sử gara có ôtô (a) Tìm xác suất để tất ôtô thuê vào thứ (b) Tìm xác suất gara không đáp ứng yêu cầu (thiếu xe cho th) vào thứ (c) Trung bình có ôtô thuê vào ngày thứ 7? Lời giải: Gọi X biến ngẫu nhiên "số người đến thuê ôtô vào thứ bảy" Theo giả thiết X biến ngẫu nhiên phân phối tn theo quy luật Pốt-xơng 𝒫 (λ) Gọi Y biến ngẫu nhiên "số xe thuê vào thứ bảy" (a) Áp dụng công thức (2.31), P (Y = ) = P ( X ≥ ) = − P ( X < ) = − P ( X = 0) − P ( X = 1) − P ( X = 2) − P ( X = 3) = − e −2 20 21 22 23 + + + 0! 1! 2! 3! (b) P( X > 4) = P( X ≥ 4) − P( X = 4) = 0, 1429 − e−2 = 0, 1429 24 = 0, 0527 4! (c) Y nhận giá trị 0, 1, 2, 3, 4, với P(Y = 0) = P( X = 0) = 0, 1353, P(Y = 1) = P( X = 1) = 0, 2707, P(Y = 2) = P( X = 2) = 0, 2707, P(Y = 3) = P( X = 3) = 0, 1804, P(Y = 4) = P( X ≥ 4) = 0, 1429 Bảng phân phối xác suất Y là: X p 0, 1353 0, 2707 0, 2707 0, 1804 0, 1429 Khi đó, trung bình số ôtô thuê ngày thứ bảy E(Y ) = 1, 9249, tức khoảng Ví dụ 2.29 (Đề thi MI2020 kỳ 20191) Số khách hàng đến cửa hàng bán lẻ biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình khách hàng đến vịng Nếu có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:00 xác suất để có khách hàng đến khoảng thời gian từ 10:00 đến 11:30 bao nhiêu? 2.4 Một số phân phối xác suất thơng dụng CuuDuongThanCong.com 59 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Lời giải: Gọi X "số khách hàng đến cửa hàng bán lẻ vòng 30 phút" X ∼ 𝒫 (λ) Xác suất cần tìm p = P( X ≥ 3) với λ = Vậy, p = − P ( X < 3) = − P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) 30 31 32 + + 0! 1! 2! = − 0, 42319 = 0, 57681 = − e −3 Chú ý 2.3 Giá trị xác suất phân phối Poa–xơng tính sẵn bảng giá trị khối lượng xác suất Poa–xông (Phụ lục 5) TUẦN 2.4.4 Phân phối chuẩn 2.4.4a Phân phối chuẩn Định nghĩa 2.16 (Phân phối chuẩn) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo luật phân phối chuẩn với tham số µ, σ2 , ký hiệu X ∼ 𝒩 (µ, σ2 ), hàm mật độ xác suất X có dạng − f X (x) = √ e σ 2π ( x − µ )2 2σ2 , x∈R (2.32) e π lấy xấp xỉ 2.71828 3.14159 Nhận xét 2.12 Phân phối liên tục quan trọng lĩnh vực thống kê phân phối chuẩn Đồ thị hàm mật độ xác suất f X ( x ) biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn, gọi đường cong chuẩn, có dạng hình chng (xem Hình 2.5), mô tả gần nhiều tượng tự nhiên, cơng nghiệp nghiên cứu Hình 2.5: Đường cong chuẩn 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 60 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Hình 2.6 mơ tả hai đường cong chuẩn có độ lệch chuẩn kỳ vọng khác Hai đường cong giống hệt hình thức tập trung vị trí khác dọc theo trục hồnh Hình 2.6: Đường cong chuẩn với µ1 < µ2 σ1 = σ2 Hình 2.7 mơ tả hai đường cong chuẩn có kỳ vọng độ lệch chuẩn khác Hình 2.8 mơ tả cho trường hợp kỳ vọng độ lệch chuẩn khác Hình 2.7: Đường cong chuẩn với µ1 = µ2 σ1 < σ2 Định lý 2.1 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn E( X ) = µ, V ( X ) = σ2 (2.33) độ lệch tiêu chuẩn σ( X ) = σ Chứng minh Để xác định kỳ vọng, trước hết ta tính E[ X − µ] = √ σ 2π ∞ ( x − µ)e − ( x − µ )2 2σ2 dx −∞ 2.4 Một số phân phối xác suất thơng dụng CuuDuongThanCong.com 61 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Hình 2.8: Đường cong chuẩn với µ1 < µ2 σ1 < σ2 Đặt z = ( x − µ)/σ dx = σdz, ta nhận E[ X − µ] = √ 2π ∞ z2 ze− dz = 0, −∞ hàm số dấu tích phân hàm lẻ z Do đó, E[ X ] = µ Phương sai biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn cho E[( X − µ) ] = √ σ 2π ∞ ( x − µ )2 e − ( x − µ )2 2σ2 dx −∞ Đặt z = ( x − µ)/σ dx = σdz, ta nhận σ2 E[( X − µ) ] = √ 2π ∞ Tích phân phần với u = z dv = ze −z2 /2 σ2 E[( X − µ) ] = √ − ze−z /2 2π z2 z2 e− dz −∞ dz suy du = dz v = −e−z ∞ −∞ ∞ /2 , ta tìm z2 e− dz = σ2 (0 + 1) = σ2 + −∞ Định lý 2.2 Nếu X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ), biến ngẫu nhiên Y = aX + b tuân theo luật phân phối chuẩn 𝒩 ( aµ + b, a2 σ2 ) Chú ý 2.4 (a) Nếu X1 , X2 hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn X1 ∼ 𝒩 (µ1 , σ12 ), X2 ∼ 𝒩 (µ2 , σ22 ) X1 + X2 có phân phối chuẩn X1 + X2 ∼ 𝒩 (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ) (b) Nếu n biến ngẫu nhiên độc lập Xi có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ), i = 1, , n, biến ngẫu nhiên X= X1 + X2 + · · · + X n σ2 ∼ 𝒩 µ, n n 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 62 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST 2.4.4b Phân phối chuẩn tắc Phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) với µ = σ = gọi phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) Nếu X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) U= X−µ σ (2.34) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc x2 ϕ( x ) = √ e− , 2π x∈R (2.35) Đây hàm Gau–xơ với giá trị tính sẵn Phụ lục Hình 2.9: Hàm mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên U phân phối chuẩn tắc ΦU ( x ) = √ 2π x t2 e− dt, x∈R (2.36) −∞ với giá trị tính sẵn Phụ lục Chú ý 2.5 (a) Mối liên hệ hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc (2.36) hàm Láp–la–xơ (1.24) Φ( x ) = 0, + φ( x ), x≥0 (2.37) (b) Nếu n biến ngẫu nhiên độc lập Xi có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ), i = 1, , n, X + X2 + · · · + X n X − µ√ X = biến ngẫu nhiên U = n có phân phối chuẩn tắc n σ 𝒩 (0, 1) 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 63 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST 2.4.4c Xác suất để biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) nhận giá trị khoảng (α, β) P(α < X < β) = φ β−µ α−µ −φ σ σ (2.38) φ( x ) hàm số Láp–la–xơ xác định (1.24) x−µ Thật vậy, sử dụng phép đổi biến t = ta nhận σ P(α < X < β) = √ σ 2π β α β−µ ( x − µ )2 σ t2 2σ dx = √ e− dt e 2π α−µ − σ Từ (1.24) ta nhận (2.38) 2.4.4d Quy tắc 3σ Từ (2.38) suy P(| X − µ| < tσ) = 2φ(t), thay t = 1, 2, 3, tra bảng hàm số Láp–la–xơ (Phụ lục 2) ta nhận P(| X − µ| < σ) = 2φ(1) = 0, 6827, P(| X − µ| < 2σ ) = 2φ(2) = 0, 9545, P(| X − µ| < 3σ ) = 2φ(3) = 0, 9973 (2.39) Quy tắc 3σ phát biểu sau: Hầu chắn (với độ tin cậy 0,9973) X có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) lấy giá trị khoảng (µ − 3σ, µ + 3σ) Trong thực tế, quy tắc 3σ áp dụng sau: Nếu quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nghiên cứu chưa biết, song thỏa mãn điều kiện Quy tắc 3σ xem biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Chú ý 2.6 (a) Phân phối chuẩn Gao–xơ tìm năm 1809 nên cịn gọi phân phối Gao–xơ (b) Phân phối chuẩn thường sử dụng toán đo đạc đại lượng vật lý, thiên văn (c) Trong thực tế, nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn tiệm cận chuẩn Chẳng hạn, trọng lượng, chiều cao nhóm người đó; điểm thi thí sinh; suất trồng; mức lãi suất công ty; nhu cầu tiêu thụ mặt hàng đó; nhiễu trắng kênh thơng tin biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Ví dụ 2.30 Lãi suất (%) đầu tư vào dự án năm 2018 coi biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn Theo đánh giá ủy ban đầu tư với xác suất 0,1587 cho 2.4 Một số phân phối xác suất thơng dụng CuuDuongThanCong.com 64 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST lãi suất lớn 20% với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn 25% Vậy khả đầu tư mà không bị lỗ bao nhiêu? Lời giải: Gọi X lãi suất (%) dự án năm 2018 Khi X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) Theo đầu ta có P( X > 20) = P(20 < X < +∞) = 0, − φ 20 − µ σ = 0, 1587 25 − µ = 0, 0228 σ 25 − µ 20 − µ = = Hay µ = 15, Từ bảng giá trị hàm số Láp–la–xơ (Phụ lục 2) suy σ σ σ = Vậy khả đầu tư không bị lỗ P( X > 25) = P(25 < X < +∞) = 0, − φ P( X ≥ 0) = 0, + φ(3) = 0, + 0, 49865 = 0, 99865 2.4.4e Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Phân phối chuẩn dùng xấp xỉ tốt cho số phân phối rời rạc Định lý 2.3 Nếu X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = np phương sai σ2 = npq, giới hạn phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X − np Z= √ , npq n → ∞ tuân theo luật phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) Phân phối chuẩn với kỳ vọng µ = np phương sai σ2 = npq không xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức n lớn xác suất p không gần mà cung cấp xấp xỉ tốt cho phân phối nhị thức n nhỏ p gần 1/2 Để minh họa việc xấp xỉ phân phối chuẩn cho phân phối nhị thức, ta vẽ biểu đồ ℬ(15; 0, 4) vẽ đường cong chuẩn có cựng k vng = np = 15 ì 0, = phương sai σ2 = npq = 15 × 0, × 0, = 3, với biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức X (xem Hình 2.10) Trong hình minh họa xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn, ta xấp xỉ phân phối rời rạc phân phối liên tục, nên cần hiệu chỉnh để giảm sai số Định nghĩa 2.17 Cho X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức ℬ(n; p) Phân phối xác suất X xấp xỉ phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) với µ = np σ2 = np(1 − p) P( X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ≃ φ k + 0, − µ k − 0, − µ −φ σ σ 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com (2.40) 65 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Hình 2.10: Xấp xỉ phân phối chuẩn cho phân phối nhị thức ℬ(15; 0, 4) k2 P(k1 ≤ X ≤ k2 ) = ∑ Cnk pk (1 − p)n−k ≃ φ k=k1 k2 + 0, − µ k − 0, − µ −φ σ σ (2.41) Xấp xỉ tốt np ≥ n(1 − p) ≥ Nhận xét 2.13 Hình 2.11 2.12 biểu thị biểu đồ xác suất nhị thức với n = 25 p = 0.5, p = 0.1 tương ứng Phân phối Hình 2.11 hồn tồn đối xứng Hình 2.11: Phân phối nhị thức với n = 25 p = 0, xấp xỉ phân phối chuẩn với µ = 12, σ = 2, Việc thêm +0, −0, yếu tố hiệu chỉnh gọi hiệu chỉnh liên tục Ví dụ 2.31 Sử dụng phân phối chuẩn xấp xỉ xác suất X = 8, 9, 10 cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức với n = 25 p = 0, So sánh với cơng thức tính xác 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 66 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Hình 2.12: Phân phối nhị thức xấp xỉ phân phối chuẩn với n = 25 p = 0, Lời giải: Vì X biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức với n = 25 p = 0, 5, 10 P(8 ≤ X ≤ 10) = P( X = 8) + P( X = 9) + P( X = 10) = C25 + C25 + C25 × (0, 5)25 ≃ 0, 190535 Sử dụng cơng thức xấp xỉ (2.41) với µ = np = 12, 5, σ = √ npq = 2, ta nhận P(8 ≤ X ≤ 10) ≃ φ(−0.8) − φ(−2) = 0, 18911 Giá trị xấp xỉ 0,18911 với giá trị thực 0,190535 gần Ví dụ 2.32 Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ phẩm 0,95 Tìm xác suất để số phẩm lơ kiểm tra từ 940 đến 960 Lời giải: Gọi X biến ngẫu nhiên số phẩm lơ sản phẩm kiểm tra, ta có X ∼ ℬ(1000; 0, 95) Với n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 np(1 − p) = 47, đủ lớn nên ta xấp xỉ X ∼ 𝒩 (950; 47, 5): P(940 ≤ X ≤ 960) = φ 960 + 0, − 950 940 − 0, − 950 √ √ −φ 47, 47, = φ(1, 52) − φ(−1, 52) = 2φ(1, 52) = 0, 8716 2.4.5 Phân phối bình phương Định nghĩa 2.18 (Phân phối bình phương) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo luật phân phối bình phương với n bậc tự do, ký hiệu X ∼ χ2n , hàm mật độ xác 2.4 Một số phân phối xác suất thơng dụng CuuDuongThanCong.com 67 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TĨM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST suất X có dạng x −x e 2 Γ f (x) = n −1 , x>0 t x−1 e−t dt, x>0 n (2.42) +∞ Γ( x ) = hàm Gamma Định nghĩa sau cho cách nhận biết biến ngẫu nhiên có phân phối bình phương xuất phát từ n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc Định nghĩa 2.19 Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) Un = X12 + X22 + · · · + Xn2 ∼ χ2n (2.43) Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên Un có phân phối bình phương: E(Un ) = n, Tính chất 2.6 V (Un ) = 2n (2.44) (a) Nếu X1 X2 hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối bình phương với n1 , n2 bậc tự biến ngẫu nhiên X1 + X2 có phân phối bình phương với n1 + n2 bậc tự Un − n (b) Biến ngẫu nhiên √ có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) n đủ lớn 2n (c) Một hệ quan trọng dùng nhiều thống kê: Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn 𝒩 (µ, σ2 ) X= 2.4.6 σ2 X1 + X2 + · · · + X n n n ∑ i =1 Xi − X ∼ χ2(n−1) Phân phối Student Định nghĩa 2.20 (Phân phối Student) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo luật phân phối Student với n bậc tự do, ký hiệu X ∼ 𝒯 n , hàm mật độ xác suất X có dạng f (x) = 1+ x2 − n+ n Γ n+ , √ nπΓ n2 −∞ < x < +∞ (2.45) Γ( x ) hàm Gamma 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 68 https://fb.com/tailieudientucntt MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Để nhận biết biến ngẫu nhiên có phân phối Student ta sử dụng định nghĩa sau Định nghĩa 2.21 Nếu X Y hai biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo luật 𝒩 (0, 1) χ2n tương ứng X Tn = » ∼ 𝒯 n (2.46) Y n Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên Tn có phân phối Student: E( Tn ) = 0, n > 1, V ( Tn ) = n , n−2 n>2 (2.47) Tính chất 2.7 Biến ngẫu nhiên Tn có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc 𝒩 (0, 1) n đủ lớn Nhận xét 2.14 (a) Phân phối Student có dạng tính đối xứng phân phối chuẩn phản ánh tính biến đổi phân phối sâu sắc Phân phối chuẩn dùng để xấp xỉ phân phối mẫu có kích thước nhỏ Trong trường hợp ta dùng phân phối Student (b) Khi bậc tự n tăng lên (n ≥ 30) phân phối Student tiến nhanh phân phối chuẩn Do n ≥ 30 ta dùng phân phối chuẩn thay cho phân phối Student 2.4 Một số phân phối xác suất thông dụng CuuDuongThanCong.com 69 https://fb.com/tailieudientucntt ... MI2 020 -KỲ 20 1 92? ??TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy? ??SAMI-HUST (a) Gọi X "số tiền lãi thu được", X nhận giá trị 60, 90, 120 , 150 Khi đó, 21 63 35 + 90 × + 120 × + 150 × = 123 120 120 120 120 ... trung xác suất điểm 2. 2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 42 https://fb.com/tailieudientucntt MI2 020 -KỲ 20 1 92? ??TĨM TẮT BÀI GIẢNG Tính chất 2. 3 Nguyễn Thị Thu Thủy? ??SAMI-HUST... tương ứng 2. 2 Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên CuuDuongThanCong.com 43 https://fb.com/tailieudientucntt MI2 020 -KỲ 20 1 92? ??TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy? ??SAMI-HUST (c) Tìm xác suất