Chương 1: Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính XS docx

Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 1 CHƯƠNG I CÁC SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XS I. Sự kiện ngẫu nhiên, ñịnh nghĩa xác suất, giải tích tổ hợp. Câu 1. Một hộp có N quả cầu ñược ñánh số từ 1 ñến N. Rút từng quả ra, ghi số sau ñó bỏ lại trong hộp, làm n lần như vậy. Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra. Có bao nhiêu khả năng xảy ra biến cố A: “Các quả ñã ñược rút ra là ñôi một khác nhau.” Câu 2. Có bao nhiêu cách phân tích số 100 thành tổng của a. ba số nguyên dương. b. ba số nguyên không âm. Câu 3. Có 30 tấm thẻ ñánh số từ 1 tới 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất ñể: a. Tất cả tấm thẻ ñều mang số chẵn. b. Có ñúng 5 số chia hết cho 3. c. Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong ñó chỉ có một số chia hết cho 10. Câu 4. Có bao nhiêu số ñiện thoại gồm 4 chữ số có ñúng 1 cặp chữ số trùng nhau? Câu 5. Một hộp ñựng 4 viên bi ñỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi từ hộp bi. Tính xác suất ñể chọn ñược 4 bi ñủ 3 màu. Câu 6. Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Tìm xác suất ñể trong 5 sản phẩm chọn ngẫu nhiên có: a. 1 phế phẩm b. Không có phế phẩm c. Ít nhất 1 phế phẩm Câu 7. Trong một thành phố có 5 khách sạn. Có 3 khách du lịch ñến thành phố ñó, mỗi người chọn ngẫu nhiên một khách sạn. Tìm xác suất ñể: a. Mỗi người ở một khách sạn khác nhau. b. Có ñúng 2 người ở cùng 1 khách sạn. Câu 8. Một lớp có 3 tổ học sinh, trong ñó tổ 1 có 12 người, tổ 2 có 10 người và tổ 3 có 15 người. Chọn hú hoạ ra 1 nhóm học sinh gồm 4 người. a. Tính xác suất ñể trong nhóm có ñúng 1 học sinh tổ 1 b. Biết trong nhóm có ñúng 1 học sinh tổ 1, tính xác suất ñể trong nhóm ñó có ñúng 1 học sinh tổ 3. Câu 9. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa ñĩa chén và giả sử ba người này ñều “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tìm xác suất a. Chị A ñánh vỡ 3 chén và chị B ñánh vỡ 1 chén. b. Một trong 3 người ñánh vỡ 4 chén. II. Công thức cộng và nhân xác suất, công thức Becnulli. Câu 10. Trong 1 vùng dân cư, tỷ lệ mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, và mắc cả 2 loại bệnh trên là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng ñó. Tính xác suất ñể người ñó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Câu 11. Ba xạ thủ A, B, C ñộc lập với nhau cùng nổ súng vào bia. Xác suất bắn trúng của 3 người A, B và C tương ứng là 0.7, 0.6 và 0.9 a. Tính xác suất ñể duy nhất 1 xạ thủ bắn trúng b. Tính xác suất ñể có ít nhất 1xạ thủ bắn trúng Câu 12. Chia ngẫu nhiên một bộ bài 52 quân thành 4 phần ñều nhau theo cách sau: ñầu tiên chọn ngẫu nhiên 13 quân bài, sau ñó chọn ngẫu nhiên 13 quân tiếp theo từ số bài còn lại Tìm xác suất ñể trong mỗi phần ñều có 1 con át. Câu 13. Cho các sự kiện A,B với P(A) =P(B) = 1/2; 8/1)BA(P = Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 2 a. Tìm )BA(P + b. Tìm )BA(P , )BA(P + Câu 14. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong ñó có 5 phế phẩm. Lô hàng ñược chấp nhận nếu chọn hú hoạ ra 50 sản phẩm ñể kiểm tra thì số phế phẩm khômg quá 1. Tìm xác suất ñể lô hàng ñược chấp nhận. Câu 15. Một cầu thủ ném bóng rổ cho ñến khi nào trúng rổ thì thôi. Tìm xác suất ñể cầu thủ ñó dừng ném ở lần ném thứ 4, biết rằng xác suất ném trúng ở mỗi lần ném là 0,4. Câu 16. Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi ñỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi ñỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Tìm xác suất ñể hai bi lấy ra có cùng mầu. Câu 17. Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong ñó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là 0,8, còn súng mới là 0,95. Bắn hú hoạ bằng 1 khẩu súng thì thẩy trúng. Khi ñó ñiều gì có khả năng xảy ra lớn hơn: bắn bằng khẩu súng mới hay bắn bằng khẩu súng cũ. Câu 18. Một máy bay ném bom 1 mục tiêu phải bay qua 3 phòng tuyến. Xác suất ñể mỗi phòng tuyến tiêu diệt ñược máy bay là 0,8. a. Tìm xác suất máy bay rơi trước khi ñến mục tiêu. b. Giả sử máy bay bị rơi, tìm xác suất ñể phòng tuyến 1 bắn rơi. Muốn bảo vệ mục tiêu với xác suất 99,99% cần tổ chức bao nhiêu tuyến phòng thủ. Câu 19. Có 2 máy bay A và B. A có 4 ñộng cơ và B có 2 ñộng cơ. A có thể bay ñược nếu ít nhất 2 ñộng cơ hoạt ñộng, B có thể bay ñược nếu có ít nhất 1 ñộng cơ hoạt ñộng. Các ñộng cơ hoạt ñộng ñộc lập và mỗi ñộng cơ có cùng xác suất hoạt ñộng là q. Tính các xác suất ñể A, B bay ñược. Máy bay nào có xác suất bay ñược lớn hơn. Câu 20. Dân số ở 1 thành phố nọ là 100 000 người. Thành phố có 3 tờ nhật báo A, B và C. Tỉ lệ người dân của thành phố ñọc các tờ báo trên là như sau: 10% ñọc tờ A, 30% ñọc tờ B, 5% ñọc tờ C, 8% ñọc cả A và B, 2% ñọc cả A và C, 4% ñọc cả B và C, 1% ñọc cả 3 tờ báo. a. Có bao nhiêu người chỉ ñọc một tờ báo. b. Có bao nhiêu người ñọc ít nhất 2 tờ báo. c. Có bao nhiêu người không ñọc tờ báo nào. Câu 21. Một thiết bị chứa 3 bộ phận A, B,C. Biết xác suất hỏng của A là 0,04 và nếu A hỏng thì xác suất hỏng của B là 0,5. Ngoài ra, xác suất A,B cùng hỏng ñồng thời C không hỏng là 0,01. a. Tìm xác suất có ít nhất 1 bộ phận không hỏng. b. Nếu biết thêm xác suất A và C cùng hỏng là 0,03; Xác suất B và C cùng hỏng là 0,01; Tìm xác suất gặp ít nhất 2 bộ phận hỏng. Câu 22. Nghiên cứu tập số ño chiều cao của cha và con trong 1 cuộc ñiều tra xã hội học ta thấy: tỷ lệ cha ñạt chiều cao tiêu chuẩn là 25%, tỷ lệ con có chiều cao ñạt tiêu chuẩn là 36%, trong khi ñó xác suất ñể cha hoặc con có chiều cao ñạt tiêu chuẩn là 42%. Tính xác suất ñể người cha ñạt tiêu chuẩn nhưng người con thì không ñạt tiêu chuẩn. Câu 23. Theo thống kê xác suất ñể 2 ngày liên tiếp có mưa ở 1 thành phố vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các sự kiện có 1 ngày mưa, 1 ngày không mưa là ñồng khả năng.Tính xác suất ñể ngày thứ 2 có mưa, biết ngày ñầu không mưa. Câu 24. Hai vận ñộng viên bóng bàn A và B ñấu 1 trận gồm tối ña 5 ván (không có kết quả hòa sau mỗi ván và trận ñấu sẽ dừng nếu 1 người nào ñó thắng trước 3 ván). Xác suất ñể A thắng ñược ở 1 ván là 0,7. a. Tính các xác suất ñể A thắng sau x ván (x=3,4,5). b. Tính xác suất ñể trận ñấu kết thúc sau 5 ván. Câu 25. Một người say rượu bước 8 bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước 1m hoặc lùi lại phía sau 1m với xác suất như nhau. Tính xác suất ñể sau 8 bước Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 3 a. Anh ta trở lại ñiểm xuất phát. b. Anh ta cách ñiểm xuất phát hơn 4m. III. Công thức xác suất ñầy ñủ và công thức Bayet. Câu 26. Một phân xưởng có 3 máy tự ñộng: máy 1 sản xuất 25%, máy 2 sản xuất 30%, máy 3 là 45% sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm tương ứng của các máy là 0,1%, 0,2% và 0,3%. Chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm của phân xưởng. Tìm các xác suất: a. Nó là phế phẩm b. Biết nó là phế phẩm. Tính xác suất ñể sản phẩm ñó do máy thứ 1 sản xuất. Câu 27. Tỷ lệ người nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số người không nghiện là 40%. a. Lấy ngẫu nhiên một người thấy rằng người ấy bi viêm họng. Tính xác suất người ñó nghiện thuốc lá. b. Nếu người ñó không bị viêm họng. Tính xác suất người ñó nghiện thuốc. Câu 28. Một xí nghiệp có 2 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Số lượng sản phẩm của phân xưởng I gấp 4 của phân xưởng II. Biết tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I là 5%, còn của phân xưởng 2 là 8%. Tính xác suất ñể nếu lấy hú họa ra ñược 1 sản phẩm tốt thì ñó là sản phẩm của phân xưởng I. Câu 29. Một nhà văn hóa có 3 nhóm ñội viên với tỷ lệ nữ tương ứng là 15%, 25% và 55%. Cho biết số hội viên của nhóm 3 nhiều gấp 3 lần nhóm 1 và gấp 2 lần nhóm 2. Chọn hú họa 1 hội viên nam. Tính xác suất ñể hội viên nam ñó thuộc nhóm 1. Câu 30. Có 3 hộp: Hộp thứ nhất có 3 bi ñỏ, 2 bi trắng; Hộp thứ 2 có 2 bi ñỏ, 2 bi trắng; Hộp thứ 3 không có viên nào. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và 1 viên bi từ hộp thứ 2 bỏ vào hộp thứ 3. Sau ñó từ hộp thứ 3 lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. a. Tính xác suất ñể viên bi ñó màu ñỏ. b. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ 3 là ñỏ, Tính xác suất ñể lúc ñầu ta lấy ñược viên bi ñỏ từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ 3. Câu 31. Bắn 3 phát vào một máy bay với xác suất trúng tương ứng là 0.4, 0.5, và 0.7. Nếu trúng một phát thì xác suất rơi máy bay là 0.2; nếu trúng hai phát thì xác suất rơi máy bay là 0.6, còn nếu trúng cả 3 phát thì chắc chắn máy bay rơi. Tìm xác suất ñể máy bay rơi. Câu 32. Hộp I có 4 viên bi ñỏ, 2 viên bi xanh; hộp II có 3 viên bi ñỏ, 3 viên bi xanh. Bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp I sang hộp II, sau ñó lại bỏ ngẫu nhiên một viên bi từ hộp II sang hộp I. Cuối cùng rút ngẫu nhiên từ hộp I ra một viên bi. a. Tính xác suất ñể viên bi rút ra sau cùng mầu ñỏ. b. Nếu viên rút ra sau cùng mầu ñỏ, tìm xác suất lúc ban ñầu rút ñược viên bi ñỏ ở hộp I cho vào hộp II. Câu 33. Một hộp có 10 quả bóng bàn trong ñó có 6 quả mới (nghĩa là chưa sử dụng lần nào). Hôm qua, ñội bóng lấy ngẫu nhiên ra 3 quả ñể tập sau ñó trả lại hộp. Hôm nay, ñội bóng lại lấy ngẫu nhiên ra 3 quả ñể tập. a. Tìm xác suất ñể 3 quả bóng lấy ra hôm nay ñều mới. b. Biết rằng hôm nay lấy ra ñược 3 quả mới. Tính xác suất ñể hôm qua lấy ra ít nhất 2 quả mới. Câu 34. Có 10 sinh viên ñi thi trong ñó có 3 thuộc loại giỏi, 4 thuộc loại khá và 3 thuộc loại trung bình. Trong ngân hàng thi có 20 câu hỏi, sinh viên loại giỏi trả lời ñược hết, loại khá trả lời ñược 16 câu và loại trung bình trả lời ñược 10 câu. Gọi ngẫu nhiên 1 sinh viên. Sinh viên ñó trả lời ñược cả 3 câu hỏi trong phiếu thi. Tính xác suất ñó là sinh viên thuộc loại trung bình. Câu 35. Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống, chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra 1con làm thịt. Các con gà còn lại ñược dồn vào Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 4 chuồng thứ 3. Từ chuồng thứ 3 bắt ngẫu nhiên 1 con gà. Tìm xác suất ñể con gà bắt ñược ở chuồng 3 là gà trống. Câu 36. Trong 1 kho rượu, số lượng rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên 1 chai và ñưa cho 5 người nếm thử. Biết xác suất ñoán ñúng của mỗi người là 0,8. Có 3 người kết luận rượu loại A, 2 người kết luận rượu loại B. Hỏi khi ñó xác suất chai rượu ñó thuộc loại A là bao nhiêu? Câu 37. Một hãng hàng không biết rằng 5% số khách ñặt trước vé cho các chuyến ñã ñịnh sẽ hoãn không ñi chuyến bay ñó. Do ñó hãng ñã ñưa ra một chính sách là sẽ bán 52 ghế cho 1 chuyến bay mà trong ñó mỗi chuyến chỉ chở ñược 50 khách hàng. Tìm xác suất ñể tất cả các khách ñặt chỗ trước và không hoãn chuyến bay ñều có ghế. Biết rằng xác suất bán ñược 51 vé hoặc 52 vé là như nhau và bằng 10%. Bài tập XSTK chương II - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 5 BÀI TẬP CHƯƠNG II I. Biến ngẫu nhiên rời rạc Câu 1. Tiến hành 3 lần thử nghiệm ñộc lập, trong ñó xác suất ñể thử nghiệm thành công ở mỗi lần là 0,4. Gọi X là số lần thử thành công. a. Lập bảng phân bố xác suất của X b. Tính E( 3X - 1 ) Câu 2. (1.45) Một chùm chìa khoá gồm 4 chiếc giống nhau, trong ñó chỉ có một chiếc mở ñược cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho ñến khi mở ñược cửa.Gọi X là số lần thử. a. Tìm phân phối xác suất của X b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X. Câu 3. (3.45) Một xạ thủ có 5 viên ñạn. Anh ta phải bắn vào bia với quy ñịnh khi nào có 2 viên trúng bia hoặc hết ñạn thì dừng. Biết xác suất bắn trúng bia ở mỗi lần bắn là 0,4 và gọi X là số ñạn cần bắn. a. Tìm phân phối xác suất của X b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X. Câu 4. Trong 1 thành phố nào ñó 65% dân cư thích xem bóng ñá. Chọn ngẫu nhiên 12 người và gọi X là số người thích xem bóng ñá trong số ñó. a. Gọi tên phân bố xác suất của X. b. Tìm xác suất ñể có ñúng 5 người thích xem bóng ñá. c. Tìm xác suất ñể có ít nhất 2 người thích xem bóng ñá. Câu 5. Tỉ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong 1 cuộc bầu cử tổng thống là 40%. Người ta hỏi ý kiến 20 cử tri ñược chọn 1 cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho ông A trong cuộc bầu cử ñó. a. Tìm giá trị trung bình, ñộ lệch chuẩn của X và mod X. b. Tìm P{X < 10} Câu 6. Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có 2 giá trị x 1 và x 2 (x 1 < x 2 ). Xác suất ñể X nhận giá trị x 1 là 0,2. Tìm luật phân phối xác suất của X, biết kỳ vọng EX = 2,6 và ñộ lệch tiêu chuẩn σ X = 0,8. II. Biến ngẫu nhiên liên tục Câu 7. Biến ngẫu nhiên X có mật ñộ xác suất k sin3x , x (0 , Π/3 ) f(x) = 0 , x (0 , Π/3 ) ∈   ∉  a. Xác ñịnh k, hàm phân bố F(x) b. Tính P( Π/6 ≤ X < Π/2 ) Câu 8. (5.45) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ 2 2 f(x) = c / a x − trên khoảng (-a,a) và bằng 0 ở ngoài khoảng ñó. Xác ñịnh hằng số c, sau ñó tính kỳ vọng và phương sai của X. Câu 9. (6.45) Biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ x x f(x) c/(e e ) − = + . Xác ñịnh hằng số c và sau ñó tính kỳ vọng của X. II. Các luật phân phối thông dụng Câu 10. Tại một trạm kiểm soát giao thông trung bình 30 giây có 10 xe ôtô ñi qua. a. Tìm xác suất ñể có ñúng 12 xe ñi qua trong vòng 1 phút. b. Tính xác suất ñể trong khoảng t phút có ít nhất 1 xe ôtô ñi qua. Bài tập XSTK chương II - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 6 Câu 11. Một gara cho thuê ôtô thấy rằng số người ñến thuê ôtô vào thứ bảy cuối tuần là 1 ĐLNN có phân bố poat xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ôtô. Hãy tìm xác suất ñể: a. Tất cả 4 ôtô ñều ñược thuê b. Gara không ñáp ứng ñược yêu cầu (thiếu xe cho thuê) c. Trung bình có bao nhiêu ôtô ñược thuê Câu 12. Một hành khách ñến bến xe buýt ñúng lúc 10 giờ. Thời gian xe buýt ñến bến ñó ñón khách là biến ngẫu nhiên có phân phối ñều trong khoảng từ 10 giờ ñến 10 giờ 30 phút. a. Tìm xác suất ñể người ñó phải ñợi ít nhất 10 phút b. Biết rằng lúc 10 giờ 15 phút xe buýt vẫn chưa ñến. Tìm xác suất ñể người ñó phải ñợi ít nhất 10 phút nữa. Câu 13. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 3 và phương sai 0,16. Hãy tính : a. P(X > 3), P(X > 3,784) b. Tìm c sao cho P(3 - c < X < 3 + c) = 0,9. Câu 14. (8.45) Các viên bi do 1 máy tự ñộng sản xuất ra ñược coi là ñạt yêu cầu nếu ñường kính X của chúng lệch so với thiết kế không quá 0,7 mm. Cho biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn với ñộ lệch tiêu chuẩn σ = 0,4 mm. Tính tỉ lệ bi ñạt yêu cầu. Câu 15. (7.46) Chiều dài của 1 loại cây là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Trong 1 mẫu 640 cây có 25 cây thấp hơn 18m, 110 cây cao hơn 24m. a. Tìm chiều cao trung bình của cây và ñộ lệch tiêu chuẩn tương ứng b. Ước lượng số cây có chiều cao từ 16m ñến 20m trong số 640 cây nói trên. Câu 16. Lãi suất (%) ñầu tư vào 1 dự án trong năm 2006 ñược coi như một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn.Theo ñánh giá của uỷ ban ñầu tư thì với xác suất 0,1587 cho lãi suất cao hơn 20% và với xác suất 0,0228 cho lãi suất lớn hơn 25%. Vậy khả năng ñầu tư mà không bị lỗ là bao nhiêu? Câu 17. Một viên ñạn có tầm xa trung bình là 300m. Giả sử tầm xa ñó là 1 biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn với σ = 10. Hãy tìm tỉ lệ ñạn bay quá tầm xa trung bình từ 15 ñến 30m. Câu 18. Lấy ngẫu nhiên 1 ñiểm M trên nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AB = 2a. Biết rằng xác suất ñiểm M rơi vào cung CD bất kì của nửa ñường tròn AMB chỉ phụ thuộc vào ñộ dài cung CD a. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ diện tích tam giác AMB. b. Tìm giá trị trung bình của diện tích tam giác ấy. Câu 19. (6.47) Từ ñiểm A(0,-a) (a > 0) trong nửa mặt phẳng toạ ñộ xOy phần x ≥ 0, người ta kẻ ngẫu nhiên 1 tia At hợp với tia Oy một góc φ. Biết φ là biến ngẫu nhiên có phân phối ñều trong khoảng (0,Π/4). Tia At cắt Ox tại ñiểm M. a. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ diện tích tam giác AOM. b. Tìm giá trị trung bình của diện tích trên. Câu 20. Năng suất lúa ở 1 ñịa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 42 tạ/ha và σ = 3 tạ/ha. Tìm xác suất ñể khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha. Bài tập xác suất thống kê chương III - Bnn nhiều chiều 7 BÀI TẬP CHƯƠNG III 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc Câu 1. Cho biến ngẫu nhiên X và Y có bảng phân bố xác suất ñồng thời như sau X Y 1 2 3 1 0.12 0.15 0.03 2 0.28 0.35 0.07 a. CMR X và Y ñộc lập b. Lập bảng phân phối xác suất của X và của Y. c. Tìm quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên Z = XY. Câu 2.Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất ñồng thời là X Y -1 0 1 -1 4/15 1/15 4/15 0 1/15 2/15 1/15 1 0 2/15 0 a. X và Y có ñộc lập không? b. Tìm bảng phân phối xác suất của X,Y. Câu 3 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có bảng phân phối ñồng thời là X Y 1 2 3 1 0,17 0,13 0,25 2 0,10 0,30 0,05 a. Lập bảng phân phối xác suất của X,Y. b. X,Y có ñộc lập không? 2. Biến ngẫu nhiên liên tục Câu 4 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ ñồng thời là    <<< = otherwise yxifkx yxf ,0 10, ),( a. Tìm hằng số k b. Tìm các hàm mật ñộ của X và của Y c. X và Y có ñộc lập không ? Câu 5 Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ ñồng thời là ( )      <<<<+ = otherwise yxif xy xk yxf ,0 20,10) 2 ( , 2 Bài tập xác suất thống kê chương III - Bnn nhiều chiều 8 a. Tìm hằng số k. b. Tìm hàm phân bố ñồng thời của X và Y Câu 8. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ      =+ = otherwise yx if yxf ,0 1 49 , 6 1 ),( 22 π a. Tìm hàm mật ñộ của X,Y. b. Tìm xác suất ñể X,Y nằm trong hình chữ nhật O(0,0);A(0,1);B(1,2);D(2,0) Câu 9. X, Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật ñộ ñồng thời là      <<< = otherwise xyif x yxf ,0 10, 1 ),( a. Tìm hàm mật ñộ của X,Y b. Tìm hàm mật ñộ 1 2 f (x| y) ; f (y| x) Câu 11. Cho X, Y là 2 biến ngẫu nhiên ñộc lập với nhau có cùng phân bố ñều trên [0, 2]. Tìm hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên sau: a. Z = X + Y d. U = X - Y. b. T = XY c. P(-1 ≤ Y - X ≤ 1) Bài 13. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại cổng trường trong khoảng từ 5h ñến 6h, với giả thiết thời ñiểm ñến của mỗi người là ngẫu nhiên. a. Tìm hàm phân phối xác suất của thời gian giữa 2 thời ñiểm ñến của 2 người. b. Với quy ước chỉ ñợi nhau trong vòng 10 phút, tìm xác suất ñể 2 người ñược gặp nhau Câu 14. Cho 2 2 X ~ N(5; 1 ); Y ~ N(3; 0,2 ) a. Tìm P(X + Y < 5,5). b. Tìm P(X < Y);P(X > 2Y) c. Tìm P(X < 1; Y < 1) Câu 15. Trọng lượng của người chồng có phân bố chuẩn với kỳ vọng 70kg và ñộ lệch tiêu chuẩn 9 kg, còn trọng lượng người vợ có kỳ vọng 55 kg và ñộ lệch tiêu chuẩn 4 kg. Hệ số tương quan trọng lượng giữa hai vợ chồng là 2/3. Tính xác suất vợ nặng hơn chồng. Bài tập XSTK chương IV - Ước lượng khoảng tin cậy 9 BÀI TẬP CHƯƠNG IV Câu 1. Doanh số của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với ñộ lệch chuẩn 2 triệu trên tháng. Điều tra ngẫu nhiên doanh số của 500 cửa hàng có quy mô tương tự nhau tìm ñược doanh số trung bình là 7,9 triệu. Với ñộ tin cậy 95% hãy ước lượng doanh số trung bình của các cửa hàng thuộc quy mô ñó. Câu 2. Một tuyến xe buýt chạy từ A ñến B, chạy thử 31 lần liên tiếp trên ñoạn ñường này cho ta số liệu lượng xăng hao phí Lượng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13 Tần số 3 6 10 8 4 Với ñộ tin cậy 90% hãy ước lượng lượng xăng hao phí trung bình cho xe buýt ñi từ A ñến B. Biết lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Câu 3. Để ước lượng bề dày trung bình của một tấm tôn do một nhà máy sản xuất thử nghiệm, người ta tiến hành ño 15 tấm thu ñược kết quả sau Bề dày (mm) 1,8-1,9 1,9-2 2-2,1 2,1-2,2 2,2-2,3 Tần số 1 4 6 3 2 Dựa vào số liệu trên hãy ước lượng bề dày trung bình tấm tôn do nhà máy trên sản xuất với khoảng tin cậy ñối xứng với ñộ tin cậy 95%. Biết rằng bề dày các tấm tôn là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Câu 4. Để xác ñịnh trọng lượng trung bình của các bao bột mì ñược ñóng bằng máy tự ñộng, người ta chọn ngẫu nhiên 15 bao và tính ñược X = 29,8 kg, s 2 = 0,144 (giả sử trọng lượng nói trên tuân theo luật phân phối chuẩn). Tìm khoảng tin cậy 99% cho trọng lượng trung bình của các bao bột mì. Câu 5. Khảo sát mẫu gồm 12 người cho thấy số lần ñi xem phim trong 1 năm như sau: 14 16 17 17 24 20 32 18 29 31 15 35 Tìm khoảng tin cậy ñối xứng 95% cho số lần trung bình mà mỗi người tới rạp xem phim trong một năm (giả sử số lần ñó tuân theo luật phân phối chuẩn). Câu 6. Để xác ñịnh chiều cao trung bình của các cây bạch ñàn trong khu rừng mới trồng người ta chọn ra 1 mẫu gồm 35 cây. Kết quả ño ñạc như sau: Kho ảng chiều cao (m) 6.5 - 7 7 - 7.5 7.5 - 8 8 - 8.5 8.5 - 9 9 - 9.5 Tấn số 2 4 10 11 5 3 Tìm khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình của các cây bạch ñàn trong rừng nói trên. Câu 7. Người ta ñiều tra 144 sinh viên ở 1 trường ñại học về chi phí cho giáo trình năm thứ nhất thì thấy trung bình là 190 nghìn ñồng, ñộ lệch chuẩn là 30 nghìn ñồng (chi phí cho giáo trình giả sử là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn). a. Tính ước lượng chi phí trung bình cho giáo trình năm thứ nhất với ñộ tin cậy 95%. b. Độ tin cậy vẫn là 95%, nếu muốn ñộ chính xác của ước lượng là 3000 ñồng thì phải ñiều tra bao nhiêu sinh viên. Câu 8. Ở một quận người ta ñiều tra tiền ñiện phải trả trong một tháng. Người ta chọn ra 200 hộ một cách ngẫu nhiên và ñược kết quả sau: Ước lượng khoảng cho số tiền trung bình một hộ dân phải trả ở quận ñó với ñộ tin cậy là 90%. Giả sử tiền ñiện phải trả trong một tháng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Số tiền [50,80) [80,110) [110,140) [140,170) [170,200) [200,230) [230,260] Số hộ 14 25 43 46 39 23 10 Bài tập XSTK chương IV - Ước lượng khoảng tin cậy 10 Câu 9. Trong số 500 người mua xe máy ở một cửa hàng có 300 người mua xe Honda. Tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ người mua xe Honda. Câu 10. Ở 1 bến xe liên tỉnh, kiểm tra ngẫu nhiên 80 chuyến thì có 64 chuyến xuất phát ñúng giờ. Tìm khoảng tin cậy 99% cho tỉ lệ chuyến xe xuất phát ñúng giờ. Câu 11. Trong 360 phép thử sự kiện A xuất hiện 270 lần (giả sử các phép thử giống nhau và ñộc lập). Tìm khoảng tin cậy 95% cho xác suất xuất hiện sự kiện A.Chất lượng khoảng tin cậy sẽ thay ñổi thế nào nếu ta giảm ñộ tin cậy. Câu 12. Thử nghiệm 300 bóng ñèn ñiện tử cùng loại thì thấy 6 bóng có lỗi kĩ thuật.Với ñộ tin cậy 99%, hãy tìm ước lượng cho tỉ lệ bóng có lỗi kĩ thuật. Sau ñó ước lượng ñiểm không chệch cho phương sai của tỉ lệ ñó. Câu 13. Mở thử 200 hộp của kho ñồ hộp thấy có 8 hộp bị biến chất. Với ñộ tin cậy 95% hãy ước lượng tỉ lệ hộp bị biến chất tối ña của kho. Câu 14. Giả sử mức thu nhập hàng năm của các gia ñình nông thôn là ñại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Điều tra thu nhập của 40 gia ñình ở một thôn ta có số liệu: Thu nh ập(triệu ñồng/năm) 4 4. 5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Số gia ñình 1 3 4 6 8 7 6 3 2 Với ñộ tin cậy 95% hãy ước lượng số gia ñình có thu nhập dưới 5 triệu ñồng 1 năm biết thôn ñó có 80 gia ñình. Câu 15. Sai số ño của 1 loại dụng cụ ño có phân phối chuẩn với ñộ lệch tiêu chuẩn bằng 20. Cần phải tiến hành bao nhiêu phép ño ñộc lập ñể sai số phạm phải không vượt quá 10 với ñộ tin cậy 0.95. Câu 16. Kiểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm của 1 nhà máy thì thấy có 360 sản phẩm loại A. Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A tối thiểu của nhà máy trên với ñộ tin cậy 95%. Câu 17. Sản lượng ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Kết quả thống kê của 10 ngày cho ta bộ số liệu: 23 27 26 21 28 25 30 26 23 26. Hãy xác ñịnh khoản tin cậy 90% cho phương sai cho sản lượng ngày của phân xưởng trên. Câu 18. Để xác ñịnh mức thời gian gia công một chi tiết máy, người ta tiến hành thử nghiệm gia công 25 chi tiết; kết quả trên tập mẫu thu ñược: thời gian trung bình là 20 h với ñộ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh s=2,02. Với ñộ tin cậy 95% hãy xác ñịnh khoảng tin cậy ñối xứng cho phương sai của thời gian gia công. Biết thời gian gia công là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Câu 19. Ở một quận người ta ñiều tra tiền ñiện phải trả trong một tháng. Người ta chọn ra 200 hộ một cách ngẫu nhiên và ñược kết quả sau: Số tiền [50,80) [80,110) [110,140) [140,170) [170,200) [200,230) [230,260] Số hộ 14 25 43 46 39 23 10 Ước lượng khoảng cho phương sai số tiền mà một hộ dân phải trả ở quận ñó với ñộ tin cậy là 90%. Giả sử tiền ñiện phải trả trong một tháng là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. Câu 20. Một tuyến xe buýt chạy từ A ñến B, chạy thử 31 lần liên tiếp trên ñoạn ñường này cho ta số liệu lượng xăng hao phí Lượng xăng hao phí 10,5-11 11-11,5 11,5-12 12-12,5 12,5-13 Tần số 3 6 10 8 4 Với ñộ tin cậy 95% hãy ước lượng ñộ tản mát lượng xăng hao phí cho xe buýt ñi từ A ñến B. Biết lượng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn. [...]... ñ ki m tra thu ñư c k t qu sau: Máy 1: Trung bình m u 12 cm, ñ l ch hi u ch nh 1,2 cm Máy 2: Trung bình m u 12,3 cm, ñ l ch hi u ch nh 1,4 cm V i m c ý nghĩa 0,01 có th cho r ng chi u dài c a các thanh kim lo i do máy 2 s n xu t khác chi u dài do máy 1 s n xu t hay không ( Bi t chi u dài thanh kim lo i do các máy s n xu t có phân ph i chu n và gi s phương sai c a các thanh kim lo i do hai máy s n xu... c cho 1 lít xăng tuân theo lu t phân ph i chu n Câu 8 Theo m t ngu n tin cho r ng t l h dân thích xem chương trình “ nhà ch nh t” trên VTV3 là 50% Thăm dò 36 h dân th y có 20 h dân thích xem chương trình này V i m c ý nghĩa 1% Ki m ñ nh xem ngu n tin này có ñáng tin c y hay không? 11 Bài t p XSTK chương V – Ki m ñ nh gi thuy t Câu 9 T i m t tr i chăn nuôi gà, t l gà m c b nh K là 34%, sau m t th i... bình vào tháng năm t i huy n A là 1,94 inch v i ñ l ch tiêu chu n hi u ch nh 0,45 inch Theo dõi 10 năm, lư ng mưa trung bình huy n B vào tháng năm là 1,04 inch v i ñ l ch hi u ch nh 0,26 inch Ki m ñ nh gi thi t xem ph i chăng vào tháng 5 t i ñ a phuơng A mưa nhi u hơn ñ a phương B hay không v i m c ý nghĩa 1% Câu 14 Hai máy t ñ ng dùng ñ c t nh ng thanh kim lo i do cùng m t k thu t viên ph trách và căn...Bài t p XSTK chương V – Ki m ñ nh gi thuy t BÀI T P CHƯƠNG V 1 Ki m ñ nh gi thuy t cho 1 giá tr Câu 1 M t lo i bóng ñèn ñư c cho bi t tu i th trung bình là 4 200 gi Ki m tra ng u nhiên 40 bóng th y tu i th trung bình là 4100 gi , bi t tu i th c a bóng ñèn gi s tuân theo lu t phân ph i chu n v... Đánh giá xem hai ch ñ bón phân có gi ng nhau không v i m c ý nghĩa 1% Câu 17 T kho ñ h p 1, l y ng u nhiên 1000 h p ñ ki m tra tháy có 20 h p b h ng T kho 2 l y ng u nhiên 900 h p th y 30 h p b h ng H i ch t lư ng b o qu n c a 2 khô có th c s gi ng nhau hay không v i m c ý nghĩa 5% 12 Bài t p XSTK chương V – Ki m ñ nh gi thuy t Câu 18 B nh A ñư c ñi u tr theo hai phương pháp Sau m t th i gian th y... ý nghĩa 5% có th coi m c thu nh p hàng năm c a gia ñình c i thi n hơn năm trư c hay không Bi t m c thu nh p là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu n Câu 5 Tr ng lư ng ñóng gói ñư ng lo i 500g m t gói trên m t máy t ñ ng là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n Ki m tra ng u nhiên 100 gói thu ñư c k t qu sau : Tr ng lư ng (gam) 495 497 498 500 502 503 504 S gói 8 12 20 32 16 8 4 V i m c ý nghĩa... Tu n này c a hàng ch n ng u nhiên 15 khách hàng th y trung bình 1 khách hàng mua 14 ngàn ñ ng th c ph m v i ñ l ch chu n m u hi u ch nh là 2 ngàn Bi t s c mua c a khách hàng ñư c gi thi t là tuân theo lu t phân ph i chu n V i m c ý nghĩa 1%, s c mua c a khách hàng có th c s gi m sút? Câu 3 G o ñư c ñóng gói b ng máy t ñ ng có tr ng lư ng ñóng bao theo quy ñ nh 15kg L y ng u nhiên 27 bao ra ki m tra tr... ñư c b ng s li u sau: Tr ng lư ng 14,6-14,8 14,8-15 15-15,2 15,2-15,4 15,4-15,6 T n su t 4 7 8 6 2 (Gi thi t tr ng lư ng c a các bao g o tuân theo lu t phân ph i chu n) V i m c ý nghĩa 0,05 có c n ph i d ng máy ñ ñi u ch nh hay không? Câu 4 M c thu nh p trung bình năm ngoái c a các gia ñình nông thôn là 6 tri u m t năm Đi u tra thu nh p c a 40 gia ñình m t thôn ta có s li u Thu nh p (tri u ñ ng / năm)... gi thi t hai cân có cân khác nhau hay không v i m c ý nghĩa 5% ( Gi s phương sai cân n ng các l hoá ch t do hai cân là như nhau) Câu 16 Đ so sánh 2 ch ñ bón phân cho 1 lo i cây tr ng ngư i ta chia 8 m nh ru ng m i m nh thành 2 n a N a th nh t áp d ng phương pháp bón phân I, n a th 2 theo phương pháp bón phân II (Các ch ñ chăm sóc khác nhau) Sau khi thu ho ch ta ñư c s li u v năng su t như sau M nh 1... c a công ti V i m c ý nghĩa 5%, s li u trên có ch ng t là tuyên b c a công ti là ñúng hay không? 2 Ki m ñ nh gi thi t cho hai giá tr Câu 11 Ch n ng u nhiên 80 bóng ñèn c a nhà máy A th y tu i th trung bình là 1 258 gi , ñ l ch chu n là 94 gi Ch n ng u nhiên 60 bóng ñèn c a nhà máy B th y tu i th trung bình là 1 029 gi , v i ñ l ch chu n 98 gi V i m c ý nghĩa 5%, hãy ki m ñ nh gi thi t có ph i th c . Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 1 CHƯƠNG I CÁC SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XS I. Sự kiện ngẫu nhiên, ñịnh nghĩa xác suất, giải. nhiên ra 1con làm thịt. Các con gà còn lại ñược dồn vào Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 4 chuồng thứ 3. Từ chuồng thứ 3 bắt ngẫu nhiên 1 con gà. Tìm xác. với xác suất như nhau. Tính xác suất ñể sau 8 bước Bài tập XSTK chương I – Các sự kiện ngẫu nhiên và phép tính xác suất 3 a. Anh ta trở lại ñiểm xuất phát. b. Anh ta cách ñiểm xuất phát hơn