tài liệu xác xuất thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TÀI LIỆU XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng Sinh viên: ……………………………MSSV: ……………Lớp: ……… Hà nội 5-2022 A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success MỤC LỤC CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUẨN BỊ §1 NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC TOÁN I Tập hợp II Các nguyên lý đếm III Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp IV Số gần sai số 10 §2 HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH 16 I Một số lưu ý sử dụng phần mềm Mathematica 16 II Biểu thức, biến, hàm 17 III Đạo hàm, tích phân 18 §3 GIỚI THIỆU VỀ XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ 19 I Xác suất gì? 19 II Thống kê gì? 20 III Mối liên hệ xác suất thống kê 20 IV Một số ứng dụng xác suất thống kê 21 CHƯƠNG II BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT 22 §1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BIẾN CỐ 22 I Biến cố ngẫu nhiên 22 II Quan hệ phép toán biến cố ngẫu nhiên 24 §2 XÁC SUẤT XẢY RA BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 27 I Mở đầu 27 II Mơ hình xác suất theo thống kê 27 III Mơ hình xác suất cổ điển 28 IV Mơ hình xác suất theo hình học 31 V Hệ tiên đề Kolmogorov 32 §3 CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT 33 I Định lý nhân xác suất 33 II Định lý cộng xác suât 38 III Công thức xác suất đầy đủ 40 IV Công thức Bernoulli 42 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -1- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success CHƯƠNG III ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 45 §1 ĐẠI LƯƠNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN BỐ XÁC SUẤT 45 I Định nghĩa ví dụ 45 II Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc bảng phân bố xác suất 46 III Hàm phân bố xác suất đại lượng ngẫu nhiên 48 IV Hàm mật độ phân bố xác suất đại lượng ngẫu nhiên liên tục 49 V Hàm đại lượng ngẫu nhiên 52 §2 Các THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 52 I Kỳ vọng 52 II Phương sai 54 III Các tham số đặc trưng khác 55 §3 MỘT SỐ PHÂN BỐ XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 56 I Phân bố − 56 II Phân bố nhị thức (phân bố Bernoulli) 57 III Phân bố Poisson 58 IV Phân bố 61 V Phân bố mũ 62 VI Phân bố chuẩn 64 VII Phân bố “khi bình phương” 68 VIII Phân bố Student 68 CHƯƠNG IV VÉCTƠ NGẪU NHIÊN 70 §1 VÉCTƠ NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA VÉCTƠ NGẪU NHIÊN 70 I Định nghĩa 70 II Vectơ ngẫu nhiên rời rạc bảng phân bố xác suất 70 III Hàm phân bố xác suất véctơ ngẫu nhiên 74 IV Hàm mật độ phân bố xác suất véctơ ngẫu nhiên liên tục 74 §2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 78 I Phân bố xác suất đại lượng ngẫu nhiên thành phần 78 II Đại lượng ngẫu nhiên độc lập 79 III Phân bố xác suất có điều kiện 79 §3 PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA TỔNG HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 80 I Hàm véctơ ngẫu nhiên 80 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -2- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success II Phân bố xác suất tổng hai đại lượng ngẫu nhiên 81 III Phân bố 83 §4 MOMENT TƯƠNG QUAN VÀ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN 84 I Moment tương quan 84 II Hệ số tương quan 85 CHƯƠNG V LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 86 I Luật số lớn 86 II Định lý giới hạn trung tâm Liapunov 87 III Tiệm cận chuẩn phân bố nhị thức 87 CHƯƠNG VI MẪU VÀ PHÂN BỐ MẪU 88 §1 TẬP TOÀN BỘ VÀ MẪU 88 I Tập toàn nghiên cứu tổng thê 88 II Mẫu nghiên cứu phần 88 III Hàm phân bố mẫu 89 §2 BIỂU DIỄN MẪU CỤ THỂ VÀ THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU 89 I Biểu diễn mẫu cụ thể 89 II Tham số đặc trưng mẫu 91 III Phân bố xác suất tham số đặc trưng mẫu 92 CHƯƠNG VII ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 94 §1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 94 I Khái niệm toán ước lượng tham số 94 II Ước lượng không chệch 94 §2 ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 94 I Định nghĩa 94 II Ước lượng khoảng cho kỳ vọng 95 III Ước lượng khoảng cho phương sai 98 CHƯƠNG VIII KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 99 §1 KHÁI NIỆM VỀ BÀI TỐN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 99 I Giả thuyết thống kê 99 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -3- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success II Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết 𝑯 99 III Miền bác bỏ giả thuyết 𝑯 99 IV Giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định 100 V Quy tắc kiểm định 100 VI Sai lầm loại I sai lầm loại II 100 §2 KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 100 I Kiểm định giá trị kỳ vọng 100 II So sánh hai giá trị trung bình 104 III Kiểm định giá trị tỷ lệ (xác suất) 107 §3 KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ 109 I Kiểm định giả thuyết xác suất nhóm biến cố đầy đủ 109 II Kiểm định giả thuyết phân bố xác suất đại lượng ngẫu nhiên 111 CHƯƠNG IX TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY 117 I Hệ số tương quan mẫu 117 II Hồi quy 117 III Hồi quy trung bình phương tuyến tính lý thuyết 117 IV Đường thẳng hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm 118 HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH EXCEL CHO XÁC SUẤT THỐNG KÊ 119 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -4- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success NHỮNG YÊU CẦU ĐỐI VỚI MÔN HỌC XÁC SUẤT – THỐNG KÊ Khi học offline sinh viên phải học Sinh viên vào lớp sau giáo viên bắt đầu giảng không vào lớp Khi học online đăng nhập vào phòng học sinh viên phải ghi đầy đủ thông tin sau: Họ tên – MSSV – Lớp quản lý Sinh viên khơng có đầy đủ thơng tin theo mẫu bị kích khỏi phòng học Yêu cầu sinh viên đăng nhập phòng học trước bắt đầu học Sinh viên vào học muộn khơng vào phịng học Mỗi buổi học sinh viên phải chuẩn bị máy tính CASIO Fx-550 trở lên điện thoại phải cài máy tính CASIO Fx-570 trở lên Sinh viên phải cài Excel lên điện thoại để sử dụng tra số liệu Khi học offline sinh viên có máy tính xách tay mang lên lớp để làm Mỗi buổi học yêu cầu sinh viên phải chuẩn bị giấy A4 giấy thi để làm kiểm tra Nội dung kiểm tra kiến thức vừa học Các kiểm tra có hệ số khác Tuân thủ hướng dẫn giáo viên làm ví dụ, tập kiểm tra Hết chương có buổi giải đáp thắc mắc nội dung học Bài tập chương nộp vào đầu buổi học sau Sinh viên ghi làm ví dụ vào in để tính điểm chuyên cần Quyển ghi nộp vào hôm thi Sinh viên cài MS Teams điện thoại máy tính để lấy số liệu cho ví dụ, tập, kiểm tra, thi Nếu sinh viên không tuân thủ theo quy định nêu làm nhận điểm 𝟎 CÁCH TÍNH ĐIỂM GIỮA KỲ Điểm kỳ bao gồm điểm sau: - Các kiểm tra: Chiếm 40% điểm trình Sinh viên vắng mặt buổi kiểm tra nhận điểm kiểm tra Nội dung kiểm tra kiến thức vừa học chương vừa học - Quyển ghi chép làm ví dụ vào chiếm 40% Sinh viên khơng ghi làm ví dụ ghi nhận điểm 𝟎 - Điểm tập: Chiếm 20% tổng điểm Điểm thi cuối kỳ phụ thuộc vào điểm kỳ Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -5- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success LỊCH NỘP BÀI TẬP DỰ KIẾN - Giải đáp tập chương I: Buổi học thứ ba Nộp tập chương: Buổi học thứ tư - Giải đáp tập chương II: Buổi học thứ năm Nộp tập chương II: Buổi học thứ sáu - Thực hành Mathematica giải đáp tập chương III: Buổi học thứ bảy Nộp tập chương III: Buổi học thứ tám - Nộp tập chương VII, VIII, IX vào hôm thi TÀI LIỆU THAM KHẢO Lý thuyết xác suất thống kê – Thái Bình Dương, Bùi Quốc Thắng Nhà xuất Đại học Quốc gia Xác suất thống kê – Đào Hữu Hồ Nhà xuất Đại học Quốc gia Hướng dẫn giải tập xác suất thống kê – Tống Đình Quỳ Xác suất thống kê, lý thuyết tập – Đặng Hùng Thắng Nhà xuất Giáo dục Statistics for Engineers and Scientist – William Navidi 3rd Mc Graw Hill Các giảng giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình u tri thức thân giáo viên đến đâu, thực chất, mà nói, chẳng qua chương trình, lời dẫn để điều chỉnh trật tự nhận thức sinh viên Người biết ngồi nghe giáo sư giảng thân lịng khơng cảm thấy khát khao học, nói tất điều người nghe giảng trường đại học tịa nhà xây cát mà thơi Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng I.A GONTCHAROV -6- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success CHƯƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUẨN BỊ §1 NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC TỐN I Tập hợp Tập hợp khái niệm toán học, để tập đối tượng (phần tử) khơng có cấu trúc ngồi phần tử Nếu 𝑥 phần tử tập hợp 𝐴, ký hiệu 𝑥 ∈ 𝐴 Nếu 𝑥 không phần tử tập hợp 𝐴, ký hiệu 𝑥 ∉ 𝐴 Để biểu diễn tập hợp, dùng hai cách: Cách Liệt kê tất phần tử tập hợp Cách Biểu diễn tập hợp thơng qua tính chất phần tử tập hợp Ví dụ 1.1.1 Tập hợp 𝐴 tập số tự nhiên chẵn có chữ số biểu diễn sau: ➢ 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8} ➢ 𝐴 = {𝑥 |𝑥 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑑ươ𝑛𝑔 𝑐ℎẵ𝑛} = {𝑥 |(𝑥 ∈ ℕ+ )⋀(𝑥 ⋮ 2)⋀(𝑥 < 10)} Định nghĩa 1.1.2 Giao (⋂), hợp (⋃), hiệu (– ) hai tập hợp 𝑨 𝑩 định nghĩa sau: 𝑨⋂𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩} 𝑨⋃𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∨ 𝒙 ∈ 𝑩} 𝑨 − 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∉ 𝑩} Định nghĩa 1.1.3 Tập hợp vũ trụ, ký hiệu 𝑼, tập tất phần tử có Định nghĩa 1.1.4 Phần bù tập hợp 𝑨, ký hiệu ̅̅̅̅ 𝑨 , tập hợp chứa tất phần từ không thuộc 𝑨 Nhận xét ̅̅𝑨̅̅ = 𝑺 − 𝑨 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑼 ∧ 𝒙 ∉ 𝑨} Định nghĩa 1.1.5 Tập hợp khơng có phần tử gọi tập hơp rỗng, ký hiệu ∅ Một số tính chất: 𝑨⋃∅ = 𝑨 − ∅ = 𝑨 𝑨⋂∅ = ∅ ̅=𝑼 ∅ ̿̿̿̿ 𝑨 =𝑨 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ 𝑨⋂𝑩 = ̅̅̅̅ 𝑨 ⋃𝑩 ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ 𝑨⋃𝑩 = ̅̅̅̅ 𝑨 ⋂𝑩 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -7- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success Định nghĩa 1.1.6 Tập hợp 𝑨 tập hợp tập hợp 𝑩, ký hiệu 𝑨 ⊆ 𝑩, phần tử 𝑨 phần tử 𝑩 • Nếu 𝑨 ⊆ 𝑩 𝑩 chứa phần tử khơng thuộc 𝑨 ta nói 𝑨 tập thực 𝑩, ký hiệu 𝑨 ⊂ 𝑩 Định nghĩa 1.1.7 Nếu hai tập 𝑨, 𝑩 khơng có phần tử chung, tức 𝑨⋂𝑩 = ∅ ta nói hai tập 𝑨, 𝑩 rời II Các nguyên lý đếm Định lý 1.2.1 (Quy tắc cộng) Giả sử có 𝒎 cơng việc 𝑻𝟏 , 𝑻𝟐 , … , 𝑻𝒎 làm tương ứng 𝒏𝟏 , 𝒏𝟐 , … , 𝒏𝒎 cách giả sử khơng có hai việc làm đồng thời Khi số cách làm 𝒎 việc 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒎 Quy tắc cộng phát biểu dạng ngơn ngữ tập hợp: Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 tập rời |𝐴1 ⋃𝐴2 ⋃ … ⋃𝐴𝑚 | = |𝐴1 | + |𝐴2 | + ⋯ + |𝐴𝑚 | Ví dụ 1.2.2 Trong thư viện, số sách tham khảo mơn Tốn 20, mơn Lý 15 cịn mơn Hóa 25 Một học sinh muốn mượn số sách tham khảo Hỏi có cách để học sinh chọn sách Định lý 1.2.3 (Quy tắc nhân) Giả sử có nhiệm vụ thi hành cách thực 𝒎 công việc 𝑻𝟏 , 𝑻𝟐 , … , 𝑻𝒎 Nếu việc 𝑻𝒊 làm 𝒏𝒊 cách sau việc 𝑻𝟏 , 𝑻𝟐 , … , 𝑻𝒊−𝟏 làm số cách làm nhiệm vụ 𝒏𝟏 𝒏𝟐 … 𝒏𝒎 Quy tắc nhân phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp: Nếu 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑚 tập hữu hạn |𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑚 | = |𝐴1 | |𝐴2 | |𝐴𝑚 | Ví dụ 1.2.4 Có biển đăng ký xe tơ xe máy biển chứa chữ in hoa tiếng Anh, sau chữ chữ số cuối dãy chữ số Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -8- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success Định lý 1.2.5 (Nguyên lý bù trừ với hai tập): |𝑨⋃𝑩| = |𝑨| + |𝑩| − |𝑨⋂𝑩| Hệ 1.2.6 (Nguyên lý bù trừ với ba tập): |𝑨⋃𝑩⋃𝑪| = (|𝑨| + |𝑩| + |𝑪|) – (|𝑨⋂𝑩| + |𝑩⋂𝑪| + |𝑨⋂𝑪|) + |𝑨⋂𝑩⋂𝑪| Ví dụ 1.2.7 Một nhóm du khách nước ngồi có 15 người nói tiếng Anh, 18 người nói tiếng Pháp có người nói hai thứ tiếng Hỏi nhóm du khách có người nói tiếng Anh, tiếng Pháp III Hốn vị Chỉnh hợp Tổ hợp Định nghĩa 1.3.1 Hoán vị tập đối tượng khác cách xếp có thứ tự đối tượng • Số hoán vị tập 𝒏 đối tượng ký hiệu 𝑷𝒏 Định lý 1.3.2 𝑷𝒏 = 𝒏! Ví dụ 1.3.3 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số chữ số khác Định nghĩa 1.3.4 Một cách xếp có thứ tự 𝒌 phần tử tập có 𝒏 phần tử gọi chỉnh hợp chập 𝒌 tập có 𝒏 phần tử • Số chỉnh hợp chập 𝒌 tập có 𝒏 phần tử ký hiệu 𝑨𝒌𝒏 𝒏! Định lý 1.3.5 𝑨𝒌𝒏 = 𝒏 (𝒏 − 𝟏), (𝒏 − 𝟐) … (𝒏 − (𝒌 − 𝟏)) = (𝒏−𝒌)! Ví dụ 1.3.6 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có chữ số chữ số khác Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -9- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success Trường hợp chưa biết phương sai 𝑫(𝑿), 𝑫(𝒀) a) b) c) III Kiểm định giá trị tỷ lệ (xác suất) Cho tập tồn kích cỡ 𝑁 có 𝑀 phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu Khi 𝑝 = 𝑀 𝑁 tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu Nếu giá trị 𝑝 chưa biết song có sở giá trị 𝑝 số 𝑝0 đưa giả thuyết 𝐻: 𝑝 = 𝑝0 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -107- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success a) b) c) Ví dụ 2.3.1 Tỷ lệ sử dụng sản phẩm hãng A gia đình khu vực quận B … … … % Để tăng thị phần, hãng A tung chương trình khuyến lớn Sau chương trình khuyến mãi, vấn …………… hộ gia đình quận B thấy có …………… hộ sử dụng sản phẩm hãng A Với mức ý nghĩa ……………% kiểm định xem chương trình khuyến hãng A có thành cơng hay khơng Gọi Giá trị Cặp Mức Miền Với Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -108- Bộ môn Toán Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success §3 KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ I Kiểm định giả thuyết xác suất nhóm biến cố đầy đủ Cho Để Nếu Ví dụ 3.1.1 Khảo sát điểm xác suất số sinh viên trường thấy có 50 sinh viên đạt điểm 𝐴, …………… sinh viên đạt điểm B, …………… đạt điểm C, …………… đạt điểm D 120 sinh viên đạt điểm F Với mức ý nghĩa … … … %, kiểm định xem tỷ lệ sinh viên trường đạt điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐹 có phải 4%, … … … %, … … … %, … … … %, … … … % hay không? Gọi Cỡ mẫu 𝑝10 = 𝑝20 = 𝑝30 = Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -109- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success 𝑝40 = 𝑝50 = Giá trị Cặp Mức Miền Với Ví dụ 3.1.2 Tung xúc xắc 180 lần thấy 36 lần xuất mặt chấm Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho rằng: b) Xúc xắc đồng chất đối xứng a) Xác suất xuất mặt chấm Gọi Gọi Cặp Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -110- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success II Kiểm định giả thuyết phân bố xác suất đại lượng ngẫu nhiên Trường hợp biết tham số phân bố xác suất Cho Chia Nếu Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -111- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success Ví dụ 3.2.1 Cho mẫu cụ thể đại lượng ngẫu nhiên 𝑋: Khoảng giá (… … … ; (… … … ; (… … … ; (… … … ; (… … … ; (… … … ; trị 𝑋 ………) ………) ………) ………) ………) ………) Số giá trị ……… ……… ……… ……… ……… ……… Với mức ý nghĩa … … … %, kiểm định xem có phải 𝑋 có phân bố [… … … ; … … … ] hay không? Hàm Cặp Chia Cỡ mẫu 𝑝10 = 𝑝20 = 𝑝30 = 𝑝40 = 𝑝50 = 𝑝60 = Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -112- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success Giá trị Mức Miền Với Ví dụ 3.2.2 Cho mẫu cụ thể đại lượng ngẫu nhiên 𝑋: Khoảng giá trị (… … … ; (… … … ; (… … … ; (… … … ; (… … … ; 𝑋 ………) ………) ………) ………) ………) Số giá trị ……… ……… ……… ……… ……… Với mức ý nghĩa … … … %, kiểm định xem 𝑋 ℕ(… … … ; … … …2 ) =………………… hay khơng? có phân bố chuẩn Cặp Chia Cỡ mẫu 𝑝10 = Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -113- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success 𝑝20 = 𝑝30 = 𝑝40 = 𝑝50 = Giá trị Mức Miền Với Trường hợp chưa biết tham số Nếu phân bố 𝐴 đại lượng ngẫu nhiên 𝑋 phụ thuộc vào 𝑟 tham số chưa biết 𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑟 thay giá trị 𝜃𝑖 ước lượng điểm 𝜃𝑖 tính xác suất 𝑝𝑖0 Nếu giả thuyết 𝐻 𝑛 đủ lớn 𝑈 có phân bố 𝜒 với ℎ − 𝑟 − bậc tự Miền bác bỏ giả thuyết 𝐻 là: 𝑊𝛼 = {𝑢 ∈ ℝ|𝑢 > 𝜒 (𝛼, ℎ − 𝑟 − 1)} Chú ý ✓ Với 𝒏 đủ lớn 𝑺𝟐 ≈ 𝑺′𝟐 Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -114- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success ̅ (𝒓 = 𝟏) ✓ Nếu 𝑿~𝑩𝒆𝒓(𝒑) thay 𝒑 𝑿 ̅ (𝒓 = 𝟏) ✓ Nếu 𝑿~𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏(𝝀) thay 𝝀 𝑿 𝟏 ̅ 𝑿 ✓ Nếu 𝑿~𝑬𝒙𝒑(𝝀) thay 𝝀 (𝒓 = 𝟏 ) ̅ , 𝝈 𝑺′ , (𝒓 = 𝟐) ✓ Nếu 𝑿~ℕ(𝝁, 𝝈𝟐 ) thay 𝝁 𝑿 Ví dụ 3.2.3 Cho mẫu cụ thể đại lượng ngẫu nhiên 𝑋: Khoảng giá trị 𝑋 Số giá trị (… … … ; ………) (… … … ; ………) (… … … ; ………) (… … … ; ………) ……… ……… ……… ……… Với mức ý nghĩa … … … %, kiểm định xem 𝑋 có phân bố chuẩn hay khơng? Chuyển Cỡ mẫu Kỳ vọng mẫu Phương sai mẫu Độ lêch chuẩn mẫu Cặp Chia 𝑝10 = 𝑝20 = Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -115- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success 𝑝30 = 𝑝40 = 𝑝50 = Giá trị Mức Miền Với If you are not willing to learn, no one can help you I f you are determined to learn, no one can stop you Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -116- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success CHƯƠNG IX TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY I Hệ số tương quan mẫu Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên {(𝑿𝟏 , 𝒀𝟏 ), (𝑿𝟐 , 𝒀𝟐 ), … , (𝑿𝒏 , 𝒀𝒏 )} véctơ (𝑿, 𝒀) Hệ số tương quan mẫu 𝑿 𝒀, ký hiệu 𝑹𝑿𝒀 , đại lượng ngẫu nhiên xác định sau: 𝑹𝑿𝒀 𝟏 𝒏 ̅𝒀 ̅ ∑𝒊=𝟏 𝑿𝒊 𝒀𝒊 − 𝑿 =𝒏 𝑺𝑿 𝑺𝒀 Hệ số tương quan mẫu đo mức độ phụ thuộc 𝑋, 𝑌 mẫu II Hồi quy Giữa hai đại lượng ngẫu nhiên 𝑋, 𝑌 có mối liên hệ sau: a) 𝑋, 𝑌 độc lập Khi 𝑋 nhận giá trị 𝑥0 𝑌 nhận giá trị tùy ý b) 𝑋, 𝑌 phụ thuộc hàm: 𝑌 = 𝜑(𝑋) Khi X nhận giá trị 𝑥0 𝑌 nhận giá trị 𝜑(𝑥0 ) c) 𝑋, 𝑌 không độc lập khơng phụ thuộc hàm Khi X nhận giá trị 𝑥0 phân bố xác suất Y phân bố có điều kiện Định nghĩa Xây dựng hàm 𝒈(𝑿) dùng để dự báo giá trị 𝒀, có nghĩa 𝑿 nhận giá trị 𝒙𝟎 dự báo 𝒀 nhận giá trị 𝒈(𝒙𝟎 ) Định nghĩa Sai số bình phương trung bình dùng hàm 𝒈(𝑿) dự báo giá trị 𝒀 là: 𝑬(𝒀 – 𝒈(𝑿))𝟐 Nếu sai số đạt giá trị nhỏ hàm 𝒈(𝑿) gọi hàm hồi quy 𝒀 𝑿 Định nghĩa Cho véctơ ngẫu nhiên liên tục (𝑿, 𝒀) có hàm mật độ xác suất 𝒇(𝒙, 𝒚) Kỳ vọng có điều kiện 𝒀 với điều kiện 𝑿 = 𝒙𝟎 , ký hiệu 𝑬(𝒀|𝑿 = 𝒙𝟎 ), xác định sau: +∞ 𝑬(𝒀|𝑿 = 𝒙𝟎 ) = ∫ 𝒚 −∞ 𝒇(𝒙𝟎 , 𝒚) 𝒅𝒚 𝒇𝟏 (𝒙𝟎 ) Định lý Hàm 𝒈(𝑿) hàm hồi quy 𝒀 𝑿 khi: ∀𝒙 ∈ ℝ: 𝒈(𝒙) = 𝑬(𝒀|𝑿 = 𝒙) III Hồi quy trung bình phương tuyến tính lý thuyết Nếu hệ số tương quan 𝜌𝑋𝑌 thỏa mãn |𝜌𝑋𝑌 | ≥ 0,8 xác định hàm hồi quy 𝑌 𝑋 dạng hàm tuyến tính: 𝑔(𝑋) = 𝑎𝑋 + 𝑏 Khi đó: Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -117- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success 𝐸(𝑌 − 𝑎𝑋 − 𝑏)2 nhỏ ⟺ { Hàm 𝑔(𝑋) = 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝜌𝑋𝑌 𝑎 = 𝐸(𝑋) 𝜌𝑋𝑌 𝜎(𝑋) 𝜎(𝑌) 𝜎(𝑋) 𝑏 = 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑋) 𝜌𝑋𝑌 𝜎(𝑋) 𝜎(𝑌) 𝜎(𝑌) (𝑋 − 𝐸(𝑋)) + 𝐸(𝑌) gọi hàm hồi quy trung bình tuyến tính lý thuyết 𝑌 𝑋 Đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 gọi đường thẳng hồi quy bình phương trung bình tuyến tính 𝑌 𝑋 Sai số bình phương trung bình dùng 𝑔(𝑋) thay 𝑌 là: 2 ) 𝜎𝑋𝑌 = 𝐸(𝑌 − 𝑎𝑋 − 𝑏)2 = 𝐷(𝑌)(1 − 𝜌𝑋𝑌 IV Đường thẳng hồi quy trung bình tuyến tính thực nghiệm Cho mẫu cụ thể VÉCTƠ NGẪU NHIÊN (𝑋, 𝑌): {(𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ), … , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )} Nếu |𝑟𝑥𝑦 | ≥ 0,8 đường thẳng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑟𝑋𝑌 𝑆𝑋 𝑆𝑌 (𝑥 − 𝑥̅ ) + 𝑦̅ gọi đường thẳng hồi quy bình phương trung bình thực nghiệm 𝑦 𝑥 Sai số bình phương trung bình dùng 𝑔(𝑥) thay 𝑦 là: 2 𝑆𝑥𝑦 = 𝑆𝑦2 (1 − 𝑟𝑥𝑦 ) Hàm Excel Công thức = 𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒍 (𝒎ả𝒏𝒈 𝑿, 𝒎ả𝒏𝒈 𝒀) 𝑹𝑿𝒀 = Đường thẳng hồi quy thực nghiệm 𝒚 = 𝜶 + 𝜷 𝒙 𝜶= = 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕 (𝒎ả𝒏𝒈 𝒀, 𝒎ả𝒏𝒈 𝑿) 𝜷= = 𝑺𝒍𝒐𝒑𝒆 (𝒎ả𝒏𝒈 𝒀, 𝒎ả𝒏𝒈 𝑿) Dự báo giá trị 𝒀 𝑿 = 𝒙𝟎 = 𝑭𝒐𝒓𝒆𝒄𝒂𝒔𝒕 (𝒙𝟎 , 𝒎ả𝒏𝒈 𝒀, 𝒎ả𝒏𝒈 𝑿) Không kho báu quý học thức, tích lũy lấy nó, lúc bạn cịn đủ sức Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -118- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH EXCEL CHO XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chú ý SINH VIÊN CĨ MÁY TÍNH CÓ THỂ THỰC HÀNH TRƯỚC ĐỂ NẮM CHẮC BÀI Khi gõ số vào Excel gõ số nằm lệch sang bên phải ô - Nếu ngăn cách thập phân dấu “.” ngăn cách đối số hàm dấu “,” Nếu ngăn cách thập phân dấu “,” ngăn cách đối số hàm dấu “;” Toàn hướng dẫn sau mặc định ngăn cách thập phân dấu “.” - Ví dụ 40 Cho bảng giá trị ĐLNN 𝑿, 𝒀 có phân bố chuẩn (giá trị 𝑋, 𝑌 xếp tương ứng với từ nhỏ đến lớn nhất) 𝒙𝒊 𝟏𝟐, 𝟒 𝟏𝟐, 𝟔 𝟏𝟐, 𝟖 𝟏𝟑 𝒏𝒊 𝟓 𝟏𝟓 𝟏𝟐 𝟖 𝒚𝒊 𝟏𝟑 𝟏𝟒 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝟏𝟕 𝒎𝒊 𝟑 𝟏𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟎 𝟏 Tính tham số đặc trưng 𝑿 Với độ tin cậy 𝟗𝟕% cho khoảng ước lượng 𝑬(𝑿) Với độ tin cậy 𝟗𝟔%, cho khoảng ước lượng 𝑫(𝑿) Với mức ý nghĩa 𝟕%, kiểm định ý kiến cho 𝒀~ℕ(𝟏𝟒, 𝟓; 𝟏, 𝟐𝟏) với giá trị 𝒎𝒊 tăng gấp 10 lần e) Với mức ý nghĩa 𝟗%, kiểm định ý kiến cho 𝑿 có phân bố chuẩn với giá trị 𝒏𝒊 tăng gấp 10 lần f) Tìm hệ số tương quan 𝑿, 𝒀 với bảng giả trị xếp tăng dần theo 𝑿, 𝒀 g) Tìm đường thẳng hồi quy 𝒀 𝑿 dự báo giá trị 𝒀 𝑿 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟓 a) b) c) d) Bảng cột theo thứ tự từ trái sang phải cột A, B, C,… Excel, hàng theo thứ tự từ xuống 1, 2, 3, … Giá trị 𝑋 nhập vào cột A, giá trị 𝑌 nhập vào cột B A B C D E F G H 12.4 13 ̅𝒙 =𝒂𝒗𝒆𝒓𝒂𝒈𝒆(𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 12.4 13 𝒔𝟐 =𝒄𝒐𝒗𝒂𝒓(𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎, 𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 12.4 13 𝒔′𝟐 =𝒗𝒂𝒓(𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 12.4 14 𝒔′ = 𝒔𝒕𝒅𝒆𝒗(𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 12.4 14 12.6 14 I J K L M N Hoặc dùng =𝒔𝒒𝒓𝒕(𝑬𝟑) b) Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -119- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success 12.6 14 12.6 14 12.6 14 10 12.6 14 𝒕𝟎 =𝑻𝒊𝒏𝒗(𝟎 𝟎𝟑, 𝟑𝟗) Tiếp tục làm học c) 11 12.6 14 𝒖𝟏 =𝑪𝒉𝒊𝒊𝒏𝒗(𝟎 𝟎𝟐, 𝟑𝟗) 12 12.6 14 𝒖𝟐 =𝑪𝒉𝒊𝒊𝒏𝒗(𝟎 𝟗𝟖, 𝟑𝟗) Tiếp tục làm học 13 12.6 14 14 12.6 14 15 12.6 15 f) 𝒓𝒙𝒚 16 12.6 15 =𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒍(𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎, 𝑩𝟏: 𝑩𝟒𝟎) 17 12.6 15 18 12.6 15 Đường thẳng hồi quy 𝒀 = 𝒂𝑿 + 𝒃 g) 19 12.6 15 𝒂 =𝑺𝒍𝒐𝒑𝒆(𝑩𝟏: 𝑩𝟒𝟎, 𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 20 12.6 15 𝒃 =𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒑𝒕(𝑩𝟏: 𝑩𝟒𝟎, 𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 21 12.8 15 𝒚𝟎 =𝑭𝒐𝒓𝒆𝒄𝒂𝒔𝒕(𝟏𝟐 𝟔𝟓, 𝑩𝟏: 𝑩𝟒𝟎, 𝑨𝟏: 𝑨𝟒𝟎) 22 12.8 15 23 12.8 15 Câu d, e dùng Excel, Mathematica dành cho sinh viên thành thạo tính tay dùng máy tính tốt 24 12.8 15 25 12.8 15 Tính xác suất 𝒑𝒊𝟎 𝑬𝒊 26 12.8 15 d) 27 12.8 15 = −(𝟏𝟎^𝟏𝟎) 𝟏𝟑 =𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕 (𝑬𝟐𝟕−𝟏𝟒.𝟓) − 𝟏.𝟏 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕( 28 12.8 15 𝟏𝟑 𝟏𝟒 ) 𝑫𝟐𝟖−𝟏𝟒.𝟓 𝟏.𝟏 ) 𝟏𝟓 =𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕 (𝑬𝟐𝟗−𝟏𝟒.𝟓) − 𝟏.𝟏 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕( Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng 𝟏.𝟏 𝟏𝟒 =𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕 (𝑬𝟐𝟖−𝟏𝟒.𝟓) − 𝟏.𝟏 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕( 29 12.8 15 𝑫𝟐𝟕−𝟏𝟒.𝟓 -120- 𝑫𝟐𝟗−𝟏𝟒.𝟓 𝟏.𝟏 ) Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng A little more persistence, a little more effort, and what seemed hopeless failure may turn to glorious success 𝟏𝟓 30 12.8 16 𝟏𝟔 =𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕 (𝑬𝟑𝟎−𝟏𝟒.𝟓) − 𝟏.𝟏 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕( 𝟏.𝟏 ) 𝟏𝟔 = 𝟏𝟎^𝟏𝟎 =𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕 (𝑬𝟑𝟏−𝟏𝟒.𝟓) − 𝟏.𝟏 31 12.8 16 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒔𝒅𝒊𝒔𝒕( 32 12.8 16 𝑫𝟑𝟎−𝟏𝟒.𝟓 𝑬𝟏 𝑫𝟑𝟏−𝟏𝟒.𝟓 𝟏.𝟏 =𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝑭𝟐𝟕 ) 𝒏𝟏 30 =(𝑰𝟑𝟐 − 𝑭𝟑𝟐)𝟐 /𝑭𝟑𝟐 33 13 16 𝑬𝟐 =𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝑭𝟐𝟖 𝒏𝟐 110 =(𝑰𝟑𝟑 − 𝑭𝟑𝟑)𝟐 /𝑭𝟑𝟑 34 13 16 𝑬𝟑 =𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝑭𝟐𝟗 𝒏𝟑 150 =(𝑰𝟑𝟒 − 𝑭𝟑𝟒)𝟐 /𝑭𝟑𝟒 35 13 16 𝑬𝟒 =𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝑭𝟑𝟎 𝒏𝟒 100 =(𝑰𝟑𝟓 − 𝑭𝟑𝟓)𝟐 /𝑭𝟑𝟓 36 13 16 𝑬𝟓 =𝟒𝟎𝟎 ∗ 𝑭𝟑𝟏 𝒏𝟓 10 =(𝑰𝟑𝟔 − 𝑭𝟑𝟔)𝟐 /𝑭𝟑𝟔 37 13 16 38 13 16 39 13 16 40 13 17 𝒖𝟎 =𝑪𝒉𝒊𝒊𝒏𝒗(𝟎 𝟎𝟕, 𝟒) Tài rẻ muối bột Điều làm nên khác biệt người tài người thành công vất vả, chăm chỉ! STEPHEN KING Giảng viên: Nguyễn Văn Hưng -121- Bộ mơn Tốn Ứng dụng – Đại học Xây dựng