Tài liệu giảng dạy Xác suất Thống kê A: Phần 1 - Huỳnh Huy Việt

Tài liệu giảng dạy Xác suất Thống kê A: Phần 1 trình bày về xác suất: các khái niệm về biến cố, xác suất, biến ngẫu nhiên, công thức tính xác suất và luật phân phối xác suất; các đặc trưng số của biến ngẫu nhiên và các định lý giới hạn quan trọng trong xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH HUY VIỆT VÕ THỊ TRÚC GIANG VÕ DUY MINH XÁC SUẤT THỐNG KÊ A TÀI LIỆU GIẢNG DẠY DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC NGÀNH QUẢN TRỊ KINH DOANH, KẾ TOÁN, XÂY DỰNG, CNTT LƯU HÀNH NỘI BỘ NĂM 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH HUY VIỆT VÕ THỊ TRÚC GIANG VÕ DUY MINH XÁC SUẤT THỐNG KÊ A TÀI LIỆU GIẢNG DẠY DÙNG CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC NGÀNH QUẢN TRỊ KINH DOANH, KẾ TỐN, XÂY DỰNG, CNTT Số tín chỉ: LƯU HÀNH NỘI BỘ NĂM 2016 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết Xác suất - Thống kê ngành toán nghiên cứu tìm quy luật chi phối phương pháp tính tốn khả xuất hiện tượng ngẫu nhiên Suốt từ lúc đời (thế kỷ 17) đến nay, Xác suất - Thống kê (XS-TK) trở thành công cụ quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng y khoa, nông nghiệp, kinh tế, giáo dục, bảo hiểm,… Nhà Toán học Pháp Laplace kỷ 19 tiên đoán “Môn khoa học hứa hẹn trở thành đối tượng quan trọng tri thức nhân loại, nhiều vấn đề quan trọng đời sống thực tế thuộc toán Lý thuyết Xác suất” Đặc biệt thống kê cần cho nhà quản lý khoa học thống kê cung cấp cho họ phương pháp thu thập, xử lý diễn giải thông tin dân số, kinh tế, giáo dục… để từ hoạch định sách định đắn Ngay từ đầu kỷ 20, nhà triết học người Anh Well dự báo “Trong tương lai không xa, kiến thức thống kê tư thống kê trở thành yếu tố thiếu học vấn phổ thông công dân giống khả biết đọc, biết viết vậy” Ngày nay, giới, XS-TK giới thiệu, giảng dạy nghiên cứu từ bậc tiểu học, từ giáo viên mầm non đến bậc học cao thạc sĩ, tiến sĩ Đặc biệt kể từ máy tính xuất hiện, vấn đề XS-TK ngày trở nên dễ dàng tính tốn, phân tích, dự báo,… có số liệu đắn mơ hình hợp lý Tài liệu giảng dạy “Xác suất – Thống kê A” Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Tiền Giang biên soạn tinh thần quy định nội dung, số tiết,… Bộ Giáo dục & Đào tạo Về phương pháp dạy học, tài liệu trọng đến việc giúp cho sinh viên tự đọc, bước đầu tự hiểu nắm học sau nghe giảng viên phân tích, làm rõ ý nghĩa, hướng dẫn vận dụng học vào thực tiễn sống Tài liệu xây dựng hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp theo hướng sử dụng XS-TK công cụ hiệu nhằm giải vấn đề thực tế nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, giáo dục, công nghiệp,… Đối với giảng viên, tài liệu có mở ngỏ số ý để từ giảng viên - tùy theo khả tiếp thu khả vận dụng sinh viên - xây dựng thành seminar cho sinh viên Tài liệu gồm chương Chương 1, trình bày xác suất: khái niệm biến cố, xác suất, biến ngẫu nhiên, cơng thức tính xác suất luật phân phối xác suất; đặc trưng số biến ngẫu nhiên định lý giới hạn quan trọng xác suất Chương 3, 4, 5, trình bày thống kê: lý thuyết mẫu, toán ước lượng; kiểm định giả thuyết thống kê lý thuyết tương quan, hồi quy Cuối tài liệu phụ lục giải tích tổ hợp, giá trị phân phối nhằm hỗ trợ sinh viên tự học Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi chân thành chờ mong góp ý thẳng thắn bạn sinh viên, đồng nghiệp để tài liệu hoàn chỉnh lần tái sau NHÓM TÁC GIẢ MỤC LỤC PHẦN A XÁC SUẤT Chương XÁC SUẤT VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT §1 Phép thử kiện Khái niệm Tính chất phép tốn kiện §2 Định nghĩa xác suất Định nghĩa theo cổ điển Định nghĩa theo thống kê Định nghĩa theo hình học Định nghĩa theo tiên đề Một số tính chất xác suất §3 Các cơng thức tính xác suất Cơng thức nhân xác suất Công thức cộng xác suất Công thức xác suất đầy đủ 11 Công thức Bayes 12 Công thức Bernoulli 12 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN §1 Đại lượng ngẫu nhiên - Luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên 18 Luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 19 Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên 21 Phân vị mức xác suất α 23 §2 Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên Kỳ vọng 25 Phương sai 26 Độ lệch tiêu chuẩn 28 Giá trị tin 28 Trung vị 29 §3 Một số luật phân phối xác suất đặc biệt Phân phối siêu bội H(N,M,n) 30 Phân phối nhị thức B(n,p) 31 Phân phối Poisson P (λ) 33 Phân phối chuẩn N(µ,σ2) 34 Phân phối chuẩn tắc N(0,1) 36 Phân phối Khi bình phương χ2(n) 40 Phân phối Student T(n) 41 §4 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 43 Luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 43 Hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 46 Kỳ vọng phương sai đại lượng ngẫu nhiên hai chiều 46 §5 Định lý giới hạn trung tâm - Luật số lớn Định lý giới hạn trung tâm 47 Luật số lớn 47 PHẦN B THỐNG KÊ Chương LÝ THUYẾT MẪU Các khái niệm 53 Mẫu cụ thể 57 Phân phối số thống kê đặc trưng mẫu 61 Các hình thức thống kê 63 Chương BÀI TỐN ƯỚC LƯỢNG Bài tốn ước lượng đặc trưng số ĐLNN ……65 Phương pháp ước lượng điểm 66 Phương pháp ước lượng khoảng 69 Ước lượng khoảng cho trung bình 69 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ 75 Ước lượng khoảng cho phương sai 76 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Bài toán kiểm định giả thiết thống kê 81 Kiểm định giả thiết trung bình 82 Kiểm định giả thiết hai trung bình 86 Kiểm định giả thiết tỷ lệ 90 Kiểm định giả thiết hai tỉ lệ 91 Kiểm định giả thiết phương sai 92 Chương TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY Mối quan hệ hai biến ngẫu nhiên 96 Hệ số tương quan 97 Hồi quy 99 Các bảng phụ lục 1, 2, 3, 4, 5, 6, TÀI LIỆU THAM KHẢO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG PHẦN A XÁC SUẤT Chương XÁC SUẤT VÀ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Mục tiêu Sau học xong chương này, sinh viên cần đạt được: Kiến thức - Bước đầu thấy ý nghĩa tầm quan trọng XS-TK thực tiễn khoa học thực tiễn sống - Biết số khái niệm lý thuyết XS-TK phép thử, kiện, xác suất kiện,… - Hiểu ý nghĩa cơng thức tính xác suất: cơng thức xác suất có điều kiện, công thức nhân, công thức cộng, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes, công thức Bernoulli, quy tắc hộp kín Kỹ - Biểu diễn kiện (bằng ngôn ngữ XS-TK) qua kiện cho trước (bằng ngôn ngữ thông thường) - Tính xác suất kiện - Giải dạng tốn thực tiễn cơng cụ lý thuyết XS: phép toán xác suất bản, quy tắc hộp kín, cơng thức xác suất đầy đủ, lược đồ Bernoulli Thái độ - Bước đầu thấy ứng dụng mạnh mẽ Toán học vào đời sống - Xây dựng ý thức tổ chức kỷ luật làm việc khoa học giải toán thực tế - Từng bước giới hạn gian nan buổi đầu biến thực tiễn đa dạng sống thành ký hiệu, cơng thức tốn học §1 PHÉP THỬ VÀ SỰ KIỆN Khái niệm 1.1 Khái niệm phép thử kiện Ví dụ 1.1: a) Tung ngẫu nhiên đồng xu (đồng chất, có mặt hình mặt chữ) Đây phép thử quan sát thấy kết cục xảy mặt hình mặt chữ Hai kết gọi hai kiện sơ cấp b) Tung ngẫu nhiên súc sắc (khối lập phương, đồng chất, mặt có từ đến chấm) Đó phép thử quan sát số chấm k xuất hiện, k = 1, 2, 3, 4, 5, Sáu khả sáu kiện sơ cấp Xuất mặt có số chấm lẻ kiện, kiện sơ cấp phép thử TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG c) Quan sát nhiệt độ trời Đó phép thử, nhiệt độ ngồi trời t C kiện d) Quan sát tuổi thọ bóng đèn Đó phép thử, tuổi thọ t bóng đèn kiện Phép thử ngẫu nhiên E (Experiment) thí nghiệm, phép đo, quan sát tượng đó,… mà kết khơng đốn trước Phép thử E xác định nhóm điều kiện S làm cho điều kiện thỏa ta thực phép thử E Nhóm điều kiện S phải rõ ràng ổn định q trình nghiên cứu lặp lại nhiều lần Mỗi phép thử gắn liền với mục đích nó, kết xảy mà ta quan tâm thực phép thử Những kết gọi kết cục, tập hợp tất kết cục gọi khơng gian mẫu Ω phép thử, kết cục phần tử Ω hay kiện sơ cấp Chẳng hạn, phép thử tung ngẫu nhiên súc sắc, khơng gian mẫu có kiện sơ cấp, mặt súc sắc có chấm, chấm, chấm, chấm, chấm, chấm Sự kiện (Biến cố - Event) tập Ω Các kiện ký hiệu A, B, C, A1, A2, A3, Mỗi kiện xác định số điều kiện Sau thực phép thử, điều kiện thỏa mãn, ta nói kiện xảy (xuất hiện), ngược lại, ta nói kiện khơng xảy (không xuất hiện) Chẳng hạn, xét phép thử rút thăm, quy định thăm có dấu x thăm trúng thưởng, thăm trắng thăm không trúng thưởng Gọi A kiện trúng thưởng Sau thực phép thử, rút thăm có dấu x ta nói kiện A xảy ra, rút thăm trắng ta nói kiện A khơng xảy Khi thực phép thử, kiện biết trước có xảy hay khơng gọi kiện ngẫu nhiên 1.2 Một số kiện đặc biệt, phép toán quan hệ kiện phép thử 1.2.1 Sự kiện chắn Ω Sự kiện chắn kiện xảy sau thực phép thử Sự kiện khơng gian mẫu Ký hiệu: Ω Ω Ví dụ 1.2: Gọi Ω kiện súc sắc xuất mặt khơng q chấm Ω kiện chắn 1.2.2 Sự kiện Φ Sự kiện kiện luôn không xảy sau thực phép thử Ký hiệu: Φ Ví dụ 1.3: Gọi Φ kiện súc sắc xuất mặt chấm Φ kiện TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG 1.2.3 Sự kiện thuận lợi Sự kiện A gọi thuận lợi cho kiện B A xảy B xảy Ký hiệu: A ⇒ B hay A ⊆ B Ω Ví dụ 1.4: Gọi A kiện súc sắc xuất chấm, B A B kiện súc sắc xuất chấm lẻ Khi A ⇒ B Một kiện thuận lợi cho nhiều kiện kiện có nhiều kiện thuận lợi cho Đặc biệt, kiện ln ln thuận lợi cho 1.2.4 Sự kiện tương đương Sự kiện A gọi tương đương với kiện B A xảy B xảy B xảy A xảy Ký hiệu: A ⇔ B hay A = B Ví dụ 1.5: Gọi A kiện súc sắc xuất chấm, B kiện súc sắc xuất chấm lẻ lớn 3, A = B 1.2.5 Sự kiện tổng Sự kiện C gọi tổng hai kiện A B C xảy A xảy B xảy Ký hiệu: C = A ∪ B Ví dụ 1.6: Gọi A kiện súc sắc xuất mặt không chấm, B kiện súc sắc xuất mặt từ đến chấm Khi C = A ∪ B kiện súc sắc xuất mặt không chấm Ω B A 1.2.6 Sự kiện tích Sự kiện C gọi tích hai kiện A B C xảy đồng thời A xảy B xảy Ký hiệu: C = AB hay C = A ∩ B AB Ví dụ 1.7: Với hai kiện A, B ví dụ 1.6 Ω gọi D = AB D kiện súc sắc xuất B A mặt chấm chấm 1.2.7 Sự kiện xung khắc Hai kiện A B gọi xung khắc A B không đồng thời xảy ra, hay AB = Φ Ω Ví dụ 1.8: Gọi A kiện súc sắc xuất mặt không B A chấm, B kiện súc sắc xuất mặt không chấm Khi đó, A xung khắc với B Quy ước: Hai kiện A, B xung khắc kiện tổng viết A + B Hai kiện xung khắc với khơng xảy Trong ví dụ 1.8, súc sắc xuất mặt chấm hai kiện A B khơng xảy Ví dụ 1.9: Quan sát gia đình có A kiện có trai, B kiện có trai A, B có xung khắc khơng? TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG 1.2.8 Sự kiện đối lập Sự kiện B gọi đối lập với kiện A A xảy B khơng xảy ra, A khơng xảy B xảy Ký hiệu: B = A Ω A A Như vậy, A B đối lập A + B = Ω AB = Φ Hai hệ thức đặc trưng cặp kiện đối lập A , A : A + A = Ω A A = Φ Ví dụ 1.10: Gọi A kiện súc sắc xuất mặt không chấm, B kiện súc sắc xuất mặt khơng chấm Khi B = A Tính chất phép tốn kiện Từ khái niệm kiện cho thấy tương ứng kiện tập hợp, cụ thể, phép toán kiện A ∪ B, AB, A tương ứng với phép toán hợp, giao, phép lấy phần bù tập hợp Các phép tốn kiện có tính chất sau: Kết hợp: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C, A(BC) = (AB)C = ABC ii) Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A, AB = BA iii) Phân phối: A(B ∪ C) = AB ∪ AC iv) Lũy đẳng: A ∪ A = A, AA = A v) A ∪ Ω = Ω, AΩ = A vi) A ∪ Φ = A, AΦ = Φ i) vii) Nếu B = A A = B hay A = A viii) Luật đối ngẫu De Morgan: A ∪ B = A B ; AB = A ∪ B Ví dụ 1.11: Hai người bắn vào bia, người bắn viên đạn Gọi Ak kiện người thứ k bắn trúng bia, k = 1, Khi ta có biểu diễn kiện sau qua A1, A2: a) Chỉ có người thứ bắn trúng bia : A1 A2 b) Có người bắn trúng c) Có người bắn trúng d) Cả hai bắn trúng : A1 A2 + A1 A2 : A1 ∪ A2 : A1 A2 e) Khơng có bắn trúng : A1 A2 = A1 ∪ A2 f) Có khơng q người bắn trúng: A1 A2 = A1 ∪ A2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG Liên hệ phân phối chuẩn N ( µ ;σ ) phân phối chuẩn tắc N ( 0;1) Định lý 2.3: Nếu X ∼ N ( µ ;σ ) U = X −µ σ ∼ N(0;1) Hệ quả: Cho X ∼ N ( µ ;σ ) , ta có x −µ  x1 − µ  1) P ( x1 < X < x2 ) = ϕ   −ϕ    σ   σ  x−µ 2) P ( X < x ) = 0,5 + ϕ    σ  x−µ 3) P ( X > x ) = 0,5 − ϕ    σ  ε  4) P ( X − µ < ε ) = 2ϕ   σ  Trong đó, P ( X − µ < 3σ ) = 2ϕ (3) ≈ 99,74% (2.31) (2.32) Các công thức thêm X = x Cơng thức (2.32) cịn gọi quy tắc 3σ, 99% giá trị X nằm khoảng (µ − 3σ; µ + 3σ) Trong thực hành, ĐLNN X chưa biết phân phối xác suất thỏa quy tắc 3σ xem X có phân phối chuẩn Ví dụ 2.24: Độ dài sản phẩm hệ thống máy sản xuất ĐLNN X có luật phân phối chuẩn với trung bình qui định 20 cm, độ lệch tiêu chuẩn 0,2 cm a) Tính tỉ lệ sản phẩm có độ dài khoảng (19,8;20,4) (cm) b) Tính tỉ lệ sản phẩm tốt, có độ dài sai lệch so với trung bình qui định khơng q 0,3 cm Giải Tỉ lệ sản phẩm có độ dài khoảng (a; b) xác suất để rút ngẫu nhiên sản phẩm sản phẩm có độ dài khoảng (a; b) Theo đề bài, X ∼ N ( µ ;σ ) với µ = 20 σ = 0,2 Ta có:  20,4 − 20   19,8 − 20  −ϕ  a) P[19,8 < X < 20,4] = ϕ     0,2   0,2  = ϕ ( ) − ϕ ( −1) = ϕ ( ) + ϕ (1) = 0,4772 + 0,3413 = 0,8185 = 81,85%  0,3  b) P[ X − 20 ≤ 0,3] = 2ϕ   = 2ϕ (1,5) = 2(0,4332) = 0,8664 = 86,64%   0,2  38 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG Xấp xỉ phân phối nhị thức B(n; p) với phân phối chuẩn N ( µ ;σ ) Định lý 2.4: (Định lý giới hạn địa phương Moivre − Laplace) Cho X ∼ B(n; p), số phép thử n lớn xác suất p không gần (0