Câu 1 (1đ) MÔN THI TOÁN CAO CẤP 2 Thời gian làm bài 75 phút Chú ý Sinh viên không được phép sử dụng tài liệu Sinh viên nộp lại đề thi kèm theo bài làm Câu 1 (2đ) Tính a) b) Câu 2 (2đ) a) Tìm đạo hàm c.
MƠN THI : TỐN CAO CẤP Thời gian làm : 75 phút Chú ý : Sinh viên không phép sử dụng tài liệu Sinh viên nộp lại đề thi kèm theo làm Câu : (2đ) Tính a) b) Câu : (2đ) a) Tìm đạo hàm hàm số f(x) = b) Viết công thức Maclaurint f(x) = ex đến cấp n c) Viết cơng thức Maclaurint g(x) = x2.ex tính đạo hàm cấp 2011 g(x) x = Câu : (2,5đ) a) Tìm y’(0), y’’(0) biết b) Tìm cực trị hàm số Câu 4: (1,5đ) a) Tính b) Tính Câu : (2đ) Giải phương trình vi phân sau : a) b) ………………………………………………………………………………………………… HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ Câu ý a (1đ) Giới hạn Nội dung Sử dụng giới hạn (1đ) a 2,0 1,0 1,0 b Điểm Liên tục – Đạo hàm hàm biến 2,0 (0,75đ) 0,25 0,25 Vậy f(x) không liên tục x = 0, khơng tồn đạo hàm x = Tại x ≠ 0, b (0,5đ) Công thức Maclaurint g(x) = ex đến cấp n Khi c (0,75đ) 0,25 Cơng thức Maclaurint f(x) = x2 ex đến cấp n Ta có 0,5 0,25 0,5 Suy Hàm nhiều biến 3,0 a (1,đ) Đặt F(x,y) = 0,25 , 0,25 Ta có y(0) = 0, y’(0) = 0,5 , suy y’’(0) = b (1,5đ) 0,5 , Điểm dừng f nghiệm hpt Vậy f có điểm dừng Xét Tại điểm (0, 0), điểm * Tại (0,1); (0,–1), fmax = f(0, 1) = f(0,–1) =1 * Tại (1, 0); (–1, 0), fmin = f(1, 0) = f(–1, 0) = –1 a (0,75đ) 0,25 0,25 , nên f(x, y) không đạt cực trị 0,25 nên f(x, y) đạt cực đại điểm này, nên f(x, y) đạt cực tiểu điểm này, Tích phân f(x) = max(x2, x) = 0,25 1,5 , dễ thấy f(x) liên tục [0, 3] 0,75 Do b (0,75đ) , xét , 0,25 Đặt 0,25 J1 = J= a (1đ) 0,25 J1 = Phương trình vi phân 2,0 Xét phương trình : Phương trình đặc trưng k2 – 6k + = (*) có nghiệm kép k0 = Nghiệm phương trình y0 = C1e3x + C2xe3x Tìm nghiệm riêng y1 phương trình 0,5 (1) nghiệm kép (*), Pn(x) = đa thức bậc Dạng nghiệm riêng: y1 = Ax2e3x = 2Axe3x + 3Ax2 e3x; = 12Axe3x + 9Ax2 e3x + 2A e3x - Thay vào phương trình (1), rút gọn, ta có : A = Vậy y1 = 2x2e3x Nghiệm phương trình cho : y = C1e3x + C2xe3x + 2x2 e3x Nghiệm phương trình 0,5 y = C b (1đ) 0,5 Vậy y = C = C 0,25 * Xem C hàm theo x, ta tìm nghiệm phương trình dạng y = C(x) Thay vào phương trình suy : * Nghiệm phương trình cho y = (D – cotanx) ( ) 0,25