BÀI TẬP NHÓM MÔN TOÁN CAO CẤP

BÀI TẬP NHĨM MƠN TỐN CAO CẤP LỚP: K224021C Giảng viên: Thầy Phạm Văn Chững Nhóm Họ tên Mã số sinh viên Phạm Hải Linh K224020237 Đỗ Đăng Khoa K224020234 Võ Thái Bình Nhi K224020244 Nguyễn Thị Kim Ngân K224020239 Phạm Kỳ Anh Thư K224020251 Huỳnh Thị Ngọc Giang K224020226 Trần Gia Khang K224020233 VI.9: Xét doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) C o=400 ,giá thuê đơn vị vốn w k =2(triệu đồng) giá thuê đơn vị lao động w L =¿ 0,4 (triệu đồng) Giả sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb-Douglas Q = 120 K L , giá sản phẩm thị trường p = 1( triệu đồng) a) Xác định hàm chi phí, doanh thu lợi nhuận doanh nghiệp b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên lợi nhuận cận biên theo lượng vốn theo lượng lao động K = 54, L = 16 c) Tính hệ số co giãn chi phí, doanh thu lợi nhuận theo lượn vốn theo lượng lao động k = 54, L = 16 Giải a) Hàm chi phí TC = w K K + w L L+C o = 2K + 0,4L + 400 Hàm doanh thu TR = p.Q = 120 K L3 Hàm lợi nhuận π=TR−TC = 120 K L3 – (2K + 0,4L + 400) Vậy hàm chi phí TC = 2K + 0,4L + 400 hàm doanh thu TR = 120 K L3 hàm lợi nhuận π = 120 K L3 – (2K + 0,4L + 400) b) Chi phí cận biên: M TC = T C ' K =2 K M TC = T C ' L =0,4 L Doanh thu cận biên: M TR = T R' =80 K K K M TR = T R' =40 L L L −1 −2 L3 ; K >0, L >0 K ; K >0, L >0 Lợi nhuận cận biên: M πK = π ' =80 K K −1 3 L −2; K >0, L >0 M πL= π ' L =¿ 40 L −2 3 K – 0,4; K >0, L >0  Tại mức K = 54, L = 16 ta được: −1 160 M TR (54 ,16)= T R' =80.54 16 = ≈ 53,3 K K M TR (54 , 16)= T R' =40.16 L L −2 3 54 = 90 −1 154 M πK (54 ,16) = π ' =80 54 16 – = ≈ 51,3 K M πL ( 54 , 16) = π ' L =¿ 40 16 −2 448 54 – 0,4 = ≈ 89,6 Vậy chi phí cận biên, doanh thu cận biên lợi nhuận cận biên theo lượng vốn theo lượng lao động K = 54, L = 16 M TC = K M TC = 0,4 L M TR (54 ,16) K 160 = ≈ 53,3 M TR (54 , 16)= 90 L M πK (54 ,16)= 154 ≈ 51,3 M πL (54 , 16)= 448 ≈ 89,6 c) Hệ số co giãn chi phí: ' ε TC =T C K K ' ε TC =T C L L K 2K = TC K + 0,4 L+ 400 ; K >0, L >0 L 0,4 L = ; K >0, L >0 TC K + 0,4 L+ 400 Hệ số co giãn doanh thu: ε TR =T R ' K K K −1 K 2 = 3 = 80 K L TR 120 K L ε TR =T R' L L L −2 L 3 = = 40 L K TR 120 K L Hệ số co giãn lợi nhuận: ε π =π ' K K K K π = 80 −1 3 L 3 K 120 K L – (2 K + 0,4 L+ 400) ; K >0, L >0 L −2 L ' ε π =π L = 40 L K ; K >0, L >0 π 120 K L – (2 K +0,4 L+ 400) L  Tại mức K = 54, L = 16 ta được: ε TC (54 , 16)=T C ' K K 2.54 = TC 2.54+0,4.16+ 400 = 135 ≈ 643 0,21% ε TC ( 54 , 16)=T C ' L L 0,4.16 = TC 2.54+0,4.16+ 400 = ≈ 643 0,012% K L ε π ( 54 , 16 )=π K ' K K π = 80 54 −1 16 3 54 120 54 16 – ( 2.54+0,4.16+ 400 ) ≈ 1,879% ε π (54 ,16)=π ' L L L π = 40 16 54 = 1792 ≈ 0,377 % 4757 −2 16 3 120.54 16 – (2.54+ 0,4.16+400) Vậy hệ số co giãn chi phí, doanh thu lợi nhuận theo lượn vốn theo lượng lao động k = 54, L = 16 ε TC (54 , 16)= K ε TC (54 , 16) = L ε TR = ε TR = K L 135 ≈ 0,21% 643 ≈ 0,012% 643 ε π (54 ,16)≈ 1,879% K ε π (54 ,16) = L 1792 ≈ 0,377 % 4757 VI.10 Xét doanh nghiệp có chi phí cố định (đơn vị: triệu đồng) C0 = 200, giá thuê đơn vị vốn wK = (triệu đồng) giá thuê đơn vị lao động wL = 0,2 (triệu đồng) Gỉa sử doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = K(L + 10) giá sản phẩm thị trường p = 0,5 (triệu đồng) a) Xác định hàm chi phí, doanh thu lợi nhuận doanh nghiệp b) Tính chi phí cận biên, doanh thu cận biên lợi nhận cận biên theo lượng vốn theo lượng lao động K = 100, L = 20 c) Tính hệ số co giãn chi phí, doanh thu lợi nhuận theo lượng vốn theo lượng lao động K = 100, L = 20 Giải a) Hàm chi phí: TC = K + 0,2L + 200 Hàm doanh thu: TR = 0,5K(L + 10) Hàm lợi nhuận: π = 0,5KL + 4K – 0,2L – 200 b) Chi phí cận biên theo L: MCL (100, 20) = 0,2 Chi phí cận biên theo K: MCK (100, 20) = Doanh thu cận biên theo L: MRL = 0,5K → MRL(100, 20) = 50 Doanh thu cận biên theo K: MRK = 0,5L + → MRK(100, 20) = 15 Lợi nhuận cận biên theo L: MπL = 0,5K – 0,2 → MπL(100, 20) = 49,8 Lợi nhuận cận biên theo K: MπK = 0,5L + → MπK(100, 20) = 14 L L c) Hệ số co giãn chi phí theo L: εCL = CL’ C = 0,2 K +0,2 L+200 → εCL(100, 20) = 0,2 20 = 100+0,2.20+200 76 K K Hệ số co giãn chi phí theo K: εCK = CK’ C = K +0,2 L+200 → εCK(100, 20) = 100 25 = 100+0,2.20+ 200 76 L L Hệ số co giãn doanh thu theo L: εRL = RL’ R =0,5 K 0,5 K (L+10) → εRL(100, 20) = 0,5.100 20 = 0,5.100(20+10) K K Hệ số co giãn doanh thu theo K: εRK = RK’ R =( 0,5 L+5 ) 0,5 K ( L+10) → εRK(100,20) =( 0,5.20+5 ) 100 =1 0,5.100(20+10) L Hệ số co giãn lợi nhuận theo L: επL = πL’ π L =( 0,5 K – 0,2 ) 0,5 KL+ K – 0,2 L – 200 20 249 = 0,5.100 20+4.100−0,2.20−200 299 K Hệ số co giãn lợi nhuận theo K: επK = πK’ π K =( 0,5 L+4 ) 0,5 KL+ K – 0,2 L – 200 100 350 = → επK (100, 20)=( 0,5.20+ ) 0,5.100 20+ 4.100−0,2.20−200 299 → επL(100, 20) =( 0,5.100−0,2 ) VI.11 Giả sử người tiêu dùng mua hai loại hàng hóa X, Y Cho biết hàm hữu dụng hai loại hàng làU ( x , y)=(x +2)2 ( y +3)2; x, y khối lượng hai loại hàng hóa a) Tìm hàm hữu dụng biên hệ số co giãn theo loại hàng hóa b) Tính giá trị hữu dụng biên theo X người mua loại hàng đơn vị khối lượng Giải: a) Hữu dụng biên theo hàng hóa X: M Ux =U ' x =2 ( x+ )( y +3 )2 ; Hữu dụng biên theo hàng hóa Y: M Uy =U ' y =2 ( y +3 ) ( x+ )2 ; x >0 , y >0 Hệ số co giãn theo hàng hóa X: ε Ux=U ' x x x 2x =2 ( x+2 )( y +3 ) = ; x> , y> 2 U ( x +2 ) ( y +3 ) x +2 Hệ số co dãn theo hàng hóa Y: ε Uy =U ' y y y 2y =2 ( y+ )( x +2 ) = ; x >0 , y >0 2 U ( x +2 ) ( y +3 ) y +3 b) Giá trị hữu dụng biên theo X người mua loại hàng đơn vị khối lượng là: M Ux ( 3,3 )=2 ( 3+2 ) ( 3+3 )2=360; VI.12 Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 50USD 200USD Giả sử hàm lợi ích cho U =( x+30 ) y ; x ≥ , y ≥ ( x , y làlượng hàng hóa X , Y tương ứng ) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng 1850USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng X, Y Giải Mỗi túi hàng (x, y) phải thỏa mãn điều kiện ngân sách 50 x+ 200 y =1850 (USD ) Do vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích U =( x+30 ) y ; x ≥ , y ≥ ; Với điều kiện: 50 x+ 200 y =1850 ⟺50 x +200 y−1850=0 ⟺ x + y−37=0 (*)  Đặt φ ( x , y ) =x+ y −37 xét hàm: L=L ( x , y )=U + λφ ( x , y )=( x +30 ) y+ λ ( x+ y −37 ) ; x ≥ , y ≥  Các đạo hàm riêng L vàφ : ' ' L X = y+ λ , L y =x +30+ λ ; L ' '' xx =0=L '' yy ,L '' xy =1 ; x ≥ , y ≥ ' φ X =1 , φ y =4 , x ≥ , y ≥  Lập hệ phương trình xác định điểm dừng giải hệ ta { { ' { L x =0 y + λ=0 λ=−8,375 ' ⟺ ⟺ x+ 30+4 λ=0 x=3,5 L y =0 x+ y −37=0 y=8,375 φ '(x , y)=0 Ta nhân tử λ=−8,375 điểm dừng tương ứng M(3,5; 8,375) Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M λ Vì L' ' xx=0=L'' yy , L' ' xy=1 φ ' X =1 , φ' y =4 nên ta | L '' xx H= L'' xy ' φX L '' '' xy L yy ' φy ' || φX = φy 1 ' | =8>0 Như là, điều kiện (*), hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M( 3,5; 8,375) với U max =( 3,5+30 ) ×8,375 ≈ 280,6  Kết luận vấn đề Kinh tế: Túi hàng (x = 3,5, y = 8,375) làm tối ưu hóa lợi ích Umax = 280,6 (USD) điều kiện ngân sách (*) Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng x=3,5 ; y=8,375 VI.13 Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 100USD 25USD Giả sử hàm lợi ích cho U=x(y+15); x≥0, y≥0 (x, y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng 925USD Xác định lượng cầu Marshall tương ứng X, Y Giải Mỗi túi hàng (x, y) phải thõa mãn điều kiện ngân sách 100x+25y=925 (USD) Do vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích U=x(y+15); x≥0, y≥0 (với điều kiện 100x+25y=925) (1) Điều kiện (1) tương đương với 100x+25y=925 ⇔  Đặt φ (x,y) = 100x+25y-925 xét hàm lagrange L = L(x,y)= U + λ φ(x,y)=x(y+15)+ λ (100x+25y-925); x≥0 , y≥0  Các đạo hàm riêng L φ L’x=y+15+100 λ L’y=x+25 λ L’’x=0=L’’y L’’xy=1; x≥0 , y≥0 φ ’x= 100 φ ’y=25; x≥0 , y≥0  Lập hệ phương trình xác định điểm dừng giải hệ ta { { { ¿ L' x =0 ¿ y+ 15+ 100 λ=0 ¿ x=6,5 ⇔ ⇔ ¿ L ' y =0 ¿ x+25 λ=0 ¿ y =11 ¿ 100 x+ 25 y−925=0 ¿ λ=−0,26 ¿ φ ( x , y )=0 Ta nhân tử λ=−0,26 điểm dừng tương ứng M(6,5,11) Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M λ Vì L’’xx=0=L’’yy , L’’xy=1 φ ’x= 100, φ ’y=25 (hằng số không phụ thuộc x,y, λ ) nên ta | | ¿ L ' xx L ' ' xy φ ' x H= ¿ L' ' xy L' ' yy φ ' y =¿5000>0 ¿ φ ' x φ' y Như điều kiện (1) hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M(6,5,11) với Umax=6,5(11+15)=169  Kết luận vấn đề Kinh tế: Túi hàng (x=6,5, y=11) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=169trong điều kiện ngân sách (1) lượng cầu Marshall tương ứng x=6,5 , y=169 VI.14 Xét hai loại hàng hóa X, Y thị trường với giá đơn vị hàng hóa X, Y 500 400 (đơn vị tính: nghìn đồng) Giả sử hàm lợi ích cho U = (x+4)(y+5); x≥0 , y≥0 (x,y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Hãy chọn túi hàng (x, y) để tối ưu hóa lợi ích điều kiện ngân sách dành cho tiêu dùng triệu đồng Xác định lượng cầu Marshall tương ứng X, Y Giải: Mỗi túi hàng (x, y) phải thõa mãn điều kiện ngân sách 500x+400y=4.000.000 (USD) Do vấn đề tối ưu hóa lợi ích quy tốn tìm cực đại điều kiện hàm lợi ích U=(x+4)(y+5); x≥0 , y≥0; với điều kiện 500x+400y=4.000.000 (1) Điều kiện (1) tương đương với 500x+400y=4.000.000 ⇔ 5x+4y-40.000=0  Đặt φ (x,y) = 5x+4y-40.000 xét hàm lagrange L = L(x,y)= U + λ φ(x,y)=(x+4)(y+5)+ λ (5x+4y-40.000); x≥0 , y≥0  Các đạo hàm riêng L φ L’x=y+5+5 λ L’y=x+4+4 λ L’’x=0=L’’y L’’xy=1; x≥0 , y≥0 φ ’x= φ ’y=4;x≥0 , y≥0  Lập hệ phương trình xác định điểm dừng giải hệ ta Ta nhân tử M(4000,5000) điểm dừng tương ứng Ta tính Hessian để kiểm tra điểm dừng M λ Vì L’’xx=0=L’’yy , L’’xy=1 φ ’x= 5, φ ’y=4 (hằng số không phụ thuộc x,y, λ ) nên ta | | L' ' xx L' ' xy φ' X H= L' ' xy ' φX L' ' yy ' φy φ' y =40> 0 Như điều kiện (1) hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M(4000,5000) với Umax=(4000+4)(5000+5)=20040020  Kết luận vấn đề Kinh tế: Túi hàng (x=4000, y=5000) làm tối ưu hóa lợi ích Umax=20040020 điều kiện ngân sách (1) lượng cầu Marshall tương ứng x =4000, y=5000 VI.15 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = 12xy + 8x (x≥0, y ≥0) hai loại hàng hóa X,Y (x,y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Đơn giá loại hàng p1 = 4USD, p2 = 9USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0 = 10800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí xác định lượng cầu Hick tương ứng Giải: Với túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng C = 4x + 9y; x≥0 , y≥0 Vấn đề kinh tế trở thành tốn cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 4x + 9y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= 12xy + 8x = 10800; x ≥ 0, y ≥0 Giải toán phương pháp Lagrange, ta có:  Điều kiện 12xy + 8x = 10800 ⇔ 12xy + 8x - 10800 = Hàm điều kiện φ = 12xy + 8x - 10800  Hàm Lagrange: L = 4x + 9y + λ (12xy + 8x - 10800)  Các đạo hàm riêng L φ L’x = 12 + 12 λy L’y= + 12 λ x x≥0 , y≥0 L’’x = = L’’y L’’xy= 12 λ x≥0 , y≥0 φ ’x= 12y + φ ’y= 12x x≥0 , y≥0  Ta tìm điểm dừng: { x=45 58 L’ x=12+12 λ y =0 y = ⇔ L’ y =9+12 λ x=0 φ(x , y )=12 xy + x−10800=0 −1 λ= 60 { 58 Như có điểm dừng M(45, ) ứng với nhân tử −1 Lagrange λ= 60 58 −1  Kiểm tra điều kiện cực trị điểm M(45, ) λ= 60 | | −1 240 L ’’ x x L’ ’ xy φ ’ x H = L’ ’ xy L’ ’ y y φ ’ y = −1 540 = -51840 ¿ φ’ x φ’ y 240 540 | | 58  Do M(45, ) điểm cực tiểu với Cmin = 354  Kết luận vấn đề kinh tế: Để chi phí tối thiểu lượng cầu Hick tương ứng ^x =¿ 45, ^y = 58 Lúc chi phí C = 354USD nhỏ VI.16 Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích U = xy + 2y; x≥0 , y≥0 hai loại hàng hóa X, Y (x, y lượng hàng hóa X, Y tương ứng) Giá loại hàng p1=18USD, p2=8USD Giả sử người tiêu dùng muốn thụ hưởng mức lợi ích cố định U0=1800 Hãy chọn túi hàng để tối ưu hóa chi phí xác định lượng cầu Hick tương ứng Giải Vỡi túi hàng (x,y) chi phí tiêu dùng C = 18x + 8y; x≥0 , y≥0 Vấn đề kinh tế trở thành tốn cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C= 18x + 8y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= xy + 2y = 1800; x≥0, y≥0 Giải toán phương pháp Lagrange, ta có:  Điều kiện xy + 2y = 1800 ⇔ xy + 2y - 1800 = Hàm điều kiện φ = xy + 2y - 1800  Hàm Lagrange: L = 18x + 8y + λ (xy + 2y - 1800)  Các đạo hàm riêng L φ L’x= 18 + λ y L’y=8+ λ x +2 λ L’’x=0=L’’y L’’xy= λ φ ’x=y φ ’y=x+2  Ta tìm điểm dừng x≥0 , y≥0 x≥0 , y≥0 x≥0 , y≥0 Như có điểm dừng M(45√ 2,2(-1+10√ 2)) ứng với nhân − tử Lagrange λ= √ − Kiểm tra điều kiện cực trị điểm M(2(-1+10√ ¿,45√ 2) λ= √ | L '' xx H= L xy φ' X '' L '' '' xy L yy φ' y ' | φX φ y =−10070 0 Như điều kiện (*), hàm lợi ích đạt cực đại điều kiện M(60,40) với U max =29,336  Kết luận vấn đề Kinh tế: Loại hàng ( Q1=60 , Q2=40 ¿ làm tối đa hóa lợi ích U max =29,336 (USD) điều kiện ngân sách Q1 +5 Q2=680 Ở đây, lượng cầu Marshall tương ứng Q1=60 , Q2=40 VI.21 Một cơng ty sản xuất hai loại hàng tiêu dùng Cho biết lượng cầu hai loại hàng Q1=65 – P1, Q2=50−P1−P2; Pi giá đơn vị hàng hóa thứ i(i=1,2) Hãy xác định mức sản lượng Q1, Q2 để tối ưu hóa lợi nhuận cực đại biết hàm chi phí kết hợp: C=2Q21 +Q1 Q2 +Q22 +20 Giải { Từ hàm cầu hai sản phẩm: Q 1=65−2 P1 ⟹ Q 2=50−P1−P { 65 Q1 − 2 Q1 35 P 2= −Q2 + 2 P 1= (Q1, Q2 > 0)  Doanh thu R lợi nhuận π xí nghiệp cho bởi: −1 65 35 R = P1Q1 + P2Q2 = Q12 - Q22 + Q1Q2 + Q1 + Q2 −5 65 35 π = R – C = -20 Q12 - 2Q22 - Q1Q2 + Q1 + Q2  Vấn đề xác định mức sản lượng loại hàng hóa để cơng ty có lợi nhuận cực đại quy toán cực trị( tự do): Tìm Q1 ,Q2 khơng âm làm cực đại hàm: −5 65 35 π = R – C = -20 Q12 - 2Q22 - Q1Q2 + Q1 + Q2  Ta giải toán tương ứng Để tiện, ta đặt: π '1=π 'Q ; π '2=π 'Q ; π '11' =π ''Q Q ; π '12' =π 'Q' Q ; π '22' =π 'Q Q 1 2  Khi đó, đạo hàm riêng cấp 1,2 π sau: 65 −1 35 π1’= - 5Q1 - Q2 + ; π2’= - 4Q2 Q1 + (Q ¿ ¿ ≥0 , Q2 ≥0)¿ { A=π 11 ’ ’=−5 C=π 22 ’ ’=−4 B=π 12 ’’=−0,5  Ta tìm điểm dừng: { 485 π =0 79 ⟺ 285 π =0 Q 2= 79 485 285  Ta điểm dừng M( 79 , 79 ) Tại điểm dừng này, ta tính được: 79 A=−50 '' '' π 12 π 22 −0,5 −4 485 285 Vậy M( 79 , 79 ) điểm cực đại toàn cục π , nghĩa giá trị cực đạiπmax = 8795 giá trị lớn π 79 485 285  Kết luận: Khi tiêu thụ Q1= 79 , Q2= 79 , công ty đạt lợi nhuận cực đại 8795 π max = 79 VI.22: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = Q(K, L) cho với α , β hai số dương cho trước Tùy thuộc vào α , đánh gia hiệu quy mơ sản xuất doanh nghiệp a) Q = K α −3 K α L2 α + L3 α b) Q = K α −¿ K α L α+ L3 α c) Q = K α L2 β d) Q = K α + β L3 α Giải a) Q = K α −3 K α L2 α + L3 α Rõ ràng Q xác định với K >0, L >0, ta có: Q(tK,tL) = 2.(tK )3 α −¿3.(tK )α (tL)2 α + (tL)3 α = t α.Q(K, L); K >0, L > 0, t >0 Do Q = Q(K, L) hàm dương bậc 3α Từ suy ra: - Nếu hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mô b) Q = K α −¿ K α L α+ L3 α Rõ ràng Q xác định với K >0, L >0, ta có: Q(tK,tL) = 4(tK )3 α −¿2(tK )2 α (tL)α + 3.( tL )3 α = t α.Q(K, L); K > 0, L > 0, t > Do Q = Q(K, L) hàm dương bậc 3α Từ suy ra: - Nếu hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mô c) Q = K α L2 β Rõ ràng Q xác định với K >0, L >0, ta có: Q(tK,tL) = 2(tK )α (tL)2 β =t α +2 β Q(K, L); K > 0, L > 0, t > Do Q = Q(K, L) hàm dương bậc α +2 β Từ suy ra: - Nếu < α +2 β 1 hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mô d) Q = K α + β L3 α Rõ ràng Q xác định với K >0, L >0, ta có: Q(tK,tL) = 3(t K ¿ ¿α + β ¿= t α + β Q(K, L); K > 0, L > 0, t > Do Q = Q(K, L) hàm dương bậc α + β Từ suy ra: - Nếu < α + β 1 hiệu sản xuất doanh nghiệp tăng theo quy mô  ... x≥0 , y≥0 Vấn đề kinh tế trở thành toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C = 4x + 9y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= 12xy + 8x = 10800; x ≥ 0, y ≥0 Giải toán phương pháp Lagrange, ta có: ... 8y; x≥0 , y≥0 Vấn đề kinh tế trở thành toán cực tiểu điều kiện sau: tìm (x,y) để C= 18x + 8y cực tiểu với điều kiện U(x,y)= xy + 2y = 1800; x≥0, y≥0 Giải toán phương pháp Lagrange, ta có:  Điều... Q1Q2 + Q1 + Q2  Ta giải toán tương ứng Để tiện, ta đặt: '' '' '' '' '''' '''' '''' '''' '''' '''' π 1=π Q ; π 2=π Q ; π 11=π Q Q ; π 12=π Q Q ; π 22=π Q Q 1 2  Khi đó, đạo hàm riêng cấp 1,2 π sau: −26 13 4780