1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP BÀI THI TOÁN CAO CẤP 1 Hàm số một biến số thực 1 1 Hàm số, giới hạn và tính liên tục + Hàm số các khái niệm cơ bản + Giới hạn của hàm số Định nghĩa, tính chất, vô cùng bé, vô cùng lớn + Tính liên tục của hàm một biến, phân loại điểm gián đoạn 1 2 Phép tính vi phân của hàm một biến + Đạo hàm và vi phân cấp một, ứng dụng vi phân tính gần đúng + Đạo hàm và vi phân cấp cao, quy tắc L’hospital, khai triển Taylor, khai triển Maclaurin 1 3 Phép tính tích phân của hàm một biến + Tích p.
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP BÀI THI TỐN CAO CẤP Hàm số biến số thực 1.1 Hàm số, giới hạn tính liên tục + Hàm số: khái niệm + Giới hạn hàm số: Định nghĩa, tính chất, vơ bé, vơ lớn + Tính liên tục hàm biến, phân loại điểm gián đoạn 1.2 Phép tính vi phân hàm biến + Đạo hàm vi phân cấp một, ứng dụng vi phân tính gần + Đạo hàm vi phân cấp cao, quy tắc L’hospital, khai triển Taylor, khai triển Maclaurin 1.3 Phép tính tích phân hàm biến + Tích phân bất định + Tích phân xác định, ứng dụng tính thể tích, diện tích + Tích phân suy rộng: Định nghĩa, quy tắc xét hội tụ Hàm số nhiều biến số thực 2.1 Hàm số nhiều biến, giới hạn tính liên tục hàm nhiều biến + Khái niệm hàm nhiều biến, định nghĩa giới hạn, tính liên tục tính chất 2.2 Đạo hàm riêng vi phân tồn phần hàm nhiều biến Ứng dụng vi phân toàn phần vào tính gần 2.3 Đạo hàm hàm hợp hàm ẩn 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.5 Cực trị (không điều kiện) hàm nhiều biến 2.6 Tích phân hàm nhiều biến + Tích phân hai lớp, cơng thức đổi biến + Tích phân ba lớp, cơng thức đổi biến + Tích phân đường loại một, tích phân đường loại hai, cơng thức Green, định lý bốn mệnh đề tương đương + Tích phân mặt loại một, tích phân mặt loại hai, công thức Ostrogradski Lý thuyết chuỗi 3.1 Chuỗi số + Định nghĩa, tính chất + Chuỗi số dương tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương + Chuỗi có dấu tùy ý, chuỗi đan dấu, tiêu chuẩn Leibniz 3.2 Chuỗi hàm + Khái niệm, miền hội tụ + Chuỗi lũy thừa Phương trình vi phân 4.1 Phương trình vi phân cấp + Phương trình khuyết, phương trình phân li biến số, phương trình nhất, phương trình vi phân tồn phần + Phương trình tuyến tính cấp một, phương trình Bernoulli, phương trình Lagrange, phương trình Clairaut 4.2 Phương trình vi phân cấp hai + Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số + Phương trình tuyến tính khơng cấp hai với hệ số Đại số tuyến tính 5.1 Ma trận phép tốn ma trận 5.2 Định thức cách tính định thức 5.3 Hệ phương trình tuyến tính + Hệ phương trình Cramer + Hệ phương trình tuyến tính + Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Tài liệu tham khảo: - Toán cao cấp (tập 1, tập 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên, NXB Giáo dục, năm 2006 - Bài tập Toán cao cấp (tập 1, tập 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên, NXB Giáo dục, năm 2006 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO BÀI THI TOÁN CAO CẤP HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 Đạo hàm, vi phân Bài Xét tính khả vi hàm số: 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 |𝑥| ≤ 𝑥−1 𝑓(𝑥) = {𝜋 𝑠𝑔𝑛 𝑥 + |𝑥| > Hướng dẫn giải Ta có: 𝑓 ′ (𝑥) = {1 + 𝑥 + Kiểm tra tính khả vi 𝑥 = Ta có: 𝜋 𝑓+′ (1) = 𝑙𝑖𝑚+ − |𝑥| < |𝑥| > 𝑥−1 − 𝜋 = ; 𝑥−1 𝜋 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 𝑓−′ (1) = 𝑙𝑖𝑚− = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 ′ (1) = 𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1 Do 𝑓 ′ (1) = + Kiểm tra tính khả vi 𝑥 = −1: 𝑓+′ (−1) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝜋 𝑥+1 𝑥→−1 𝑓−′ (−1) = 𝑙𝑖𝑚− = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 ′ (−1) = ; 𝜋 𝑥−1 − − 𝑥+1 𝑥→−1 − 𝜋 = +∞ Suy 𝑓 không khả vi 𝑥 = −1 Bài Xét tính khả vi hàm số: 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑓(𝑥) = { 𝑒 Bài Xét tính khả vi hàm số: |𝑥| ≤ |𝑥| > 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = { |𝑥| 𝑥≠0 𝜋 𝑥 = Bài Xác định giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 để hàm số khả vi R: 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑓(𝑥) = { |𝑥| |𝑥| < |𝑥| ≥ Hướng dẫn giải + Với ∀𝑥 ≠ ±1, hàm số 𝑓(𝑥) khả vi, ta cần tìm điều kiện a b để hàm số khả vi 𝑥 = ±1 + Hàm số khả vi 𝑥 = ±1 ⇒ 𝑓(𝑥) liên tục 𝑥 = ±1 ⇔ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓(±1) ⇔ 𝑎 + 𝑏 = ⇒ 𝑎 = − 𝑏 𝑥→+1 + Tại 𝑥 = 1, ta có −1 𝑓(𝑥) − 𝑓(1) 1−𝑥 𝑓+′ (1) = 𝑙𝑖𝑚+ = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚+ = −1 𝑥→1 𝑥→1 𝑥 − 𝑥→1 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥−1 −1 𝑓(𝑥) − 𝑓(1) 1−𝑥 𝑥 𝑓+′ (1) = 𝑙𝑖𝑚+ = 𝑙𝑖𝑚+ = 𝑙𝑖𝑚+ = −1 𝑥→1 𝑥→1 𝑥 − 𝑥→1 𝑥(𝑥 − 1) 𝑥−1 2 Vậy với 𝑏 = − ; 𝑎 = hàm số 𝑓(𝑥) khả vi 𝑥 = + Tại 𝑥 = −1, ta có − −1 𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) −(1 + 𝑥) ′ 𝑓− (−1) = 𝑙𝑖𝑚− = 𝑙𝑖𝑚− 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚− =1 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥 + 𝑥→−1 𝑥(𝑥 + 1) 𝑥+1 𝑓(𝑥) − 𝑓(−1) 𝑎 + 𝑏𝑥 − 𝑏𝑥 − 𝑏 ′ 𝑓+ (−1) = 𝑙𝑖𝑚+ = 𝑙𝑖𝑚+ = 𝑙𝑖𝑚+ = −2𝑏 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 Vậy với 𝑏 = − ; 𝑎 = hàm số 𝑓(𝑥) khả vi 𝑥 = −1 2 Bài Xác định giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 để hàm số khả vi R: 4𝑥 khi𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 khi0 < 𝑥 < − 2𝑥 khi𝑥 ≥ Bài Tìm khai triển Maclaurin hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + 3𝑥 + 2) Hướng dẫn giải + Do khai triển Maclaurin khai triển Taylor lân cận điểm x = nên ta xét 𝑥 lân cận cho 𝑥 + > 0, 𝑥 + > + Biến đổi 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥 + 3𝑥 + 2) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = 𝑙𝑛( 𝑥 + 1) + 𝑙𝑛( 𝑥 + 2) + Áp dụng khai triển 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥𝑛 𝑛−1 𝑙𝑛( + 𝑥) = 𝑥 − + − + ⋯ + (−1) + 𝑜(𝑥 𝑛 ) 𝑛 + Ta : 𝑥 𝑙𝑛( + 𝑥) = 𝑙𝑛 (1 + ) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 ( ) ( ) 𝑥 ( ) = 𝑙𝑛 + − + − ⋯ + (−1)𝑛−1 + 𝑜(𝑥 𝑛 2 𝑛 𝑛 𝑥𝑘 𝑘−1 = 𝑙𝑛 + ∑(−1) + 𝑜(𝑥 𝑛 ) 2𝑘 𝑘 𝑘=1 + Từ 𝑛 𝑙𝑛( 𝑥 + 3𝑥 + 2) = 𝑙𝑛 + ∑(−1) 𝑘−1 𝑘=1 𝑥𝑘 (1 + 𝑘 ) + 𝑜(𝑥 𝑛 ) 𝑘 Bài Tìm khai triển Maclaurin hàm số 3+𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 2−𝑥 Bài Tìm khai triển Maclaurin hàm số 𝑦= √1 + 𝑥 1.2 Tích phân ứng dụng 1.2.1 Tích phân xác định Bài Tính 2𝜋 𝐼 = ∫ √1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 Hướng dẫn giải + Viết 𝐼 dạng: 2𝜋 𝐼=∫ 2𝜋 √2 sin2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √2|sin 𝑥|𝑑𝑥 0 + Dựa vào biến thiên hàm sin (𝑥) đoạn [0; 2𝜋] ta có: 𝜋 2𝜋 𝐼 = √2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 − √2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = −√2cos 𝑥|𝜋0 + √2cos 𝑥|2𝜋 𝜋 = 4√2 𝜋 Bài Tính tích phân xác định 𝜋 𝐼=∫ 𝑑𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + Bài Tính tích phân xác định 𝐼= ∫ −1 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥 + Bài Tính tích phân xác định 𝜋 𝐼 = ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 1.2.2 Ứng dụng tích phân Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 − , 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = − 𝑥 Hướng dẫn giải + Vẽ hình xác định hình phẳng cần tính diện tích + Gọi A giao điểm 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 1; B giao điểm 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = − 𝑥; C giao điểm 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥 − 𝑦 = − 𝑥 + Tìm tọa độ:𝐴(1,0); 𝐵 ( , ) ; 𝐶(2, 0) Đường thẳng 𝑥 = 3/2 cắt cung 𝐴𝐶 2 điểm 𝐷 ( ; 0) + Diện tích hình phẳng cần tìm diện tích tam giác cong ABC, ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐷 + 𝑆𝐵𝐶𝐷 + Tính diện tích tam giác cong ABD 3 𝑆𝐴𝐵𝐷 = ∫[𝑥 − − (−𝑥 + 3𝑥 − 2)]𝑑𝑥 = ∫(𝑥 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥 1 𝑥3 79 = ( − 𝑥 + 3𝑥)| = 24 + Tương tự có: 𝑆𝐵𝐶𝐷 = 79/24 + Vậy 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 79 12 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số hai tiếp điểm có hồnh độ Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥 − 1|, 𝑦 = |𝑥| + Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = − |𝑥| parabal 𝑦 = 𝑥 1.2.3 Tích phân suy rộng Bài Xét hội tụ tính tích phân suy rộng sau +∞ 𝐼= ∫ −∞ 𝑑𝑥 𝑥 + 4𝑥 + Hướng dẫn giải - Xét hội tụ + Viết tích phân dạng: +∞ 𝑑𝑥 𝑥 + 4𝑥 + 𝐼=∫ −∞ −1 =∫ −∞ +∞ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + ∫ + ∫ 𝑥 + 4𝑥 + 𝑥 + 4𝑥 + −1 𝑥 + 4𝑥 + = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + Tích phân I2 tích phân xác định nên hội tụ −1 + Xét 𝐼1 = ∫−∞ + Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥 𝑥 +4𝑥+9 𝑥 +4𝑥+9 (−∞, 1] Có lim Chọn 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑥→+∞ 𝑔(𝑥) 𝑥2 Hai hàm số 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) không âm =1 −1 −1 + Mặt khác tích phân ∫−∞ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑥2 𝑑𝑥 hội tụ (𝛼 = > 1) nên tích phân −1 ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 hội tụ hay 𝐼1 hội tụ + Xét 𝐼3 tương tự 𝐼1 , nhận kết 𝐼3 hội tụ + Vậy 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 hội tụ - Tính +∞ 𝐼=∫ −∞ +∞ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 + +∞ =∫ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 | + (√5)2 𝑥 + 4𝑥 + (𝑥 + 2) √5 √5 −∞ −∞ = 𝜋 𝜋 𝜋 ( + )= √5 2 √5 Bài Xét hội tụ tính tích phân suy rộng: +∞ 𝑑𝑥 𝐼=∫ 𝑥√𝑥 + 𝑥 + 1 Bài Xét hội tụ tính tích phân suy rộng: +∞ 𝐼=∫ 𝑑𝑥 + 𝑥4 Bài Xét hội tụ tính tích phân suy rộng: +∞ 𝐼 = ∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Bài Xét hội tụ tính tích phân suy rộng: 𝐼=∫ 𝑑𝑥 √𝑥(1 − 𝑥) Hướng dẫn giải - Xét hội tụ + Viết 𝐼 dạng: 𝐼=∫ + Xét 𝐼1 : Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥 √𝑥(1 − 𝑥) +∫ 𝑑𝑥 √𝑥(1 − 𝑥) Chọn 𝑔(𝑥) = √𝑥(1−𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥→0 𝑔(𝑥) âm (0, ] Có lim+ √𝑥 Hai hàm số 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) không =1 𝑑𝑥 + Mặt khác ∫0 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 = 𝐼1 + 𝐼2 √𝑥 hội tụ (𝛼 = < 1) Do đó, ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 hội tụ hay 𝐼1 hội tụ + Xét 𝐼2 : Đặt 𝑓(𝑥) = 1 √𝑥(1−𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑥→1 𝑔(𝑥) âm [ , 1) Có lim− Chọn 𝑔(𝑥) = =1 √1−𝑥 Hai hàm số 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) không 1 𝑑𝑥 + Mặt khác ∫1 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫1 2 √1−𝑥 hội tụ (𝛼 = < 1) Do đó, ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 hội tụ 2 hay 𝐼2 hội tụ + Vậy 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 hội tụ - Tính 𝐼=∫ 𝑑𝑥 √𝑥(1 − 𝑥) 𝑑𝑥 =∫ 1 =∫ √ − (𝑥 − ) 𝜋 𝜋 = + =𝜋 2 1 2𝑑𝑥 √1 − (2𝑥 − 1)2 = 𝑎𝑟𝑐 sin(2𝑥 − 1)| Bài Xét hội tụ tính tích phân 𝐼= ∫ −1 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 Bài Xét hội tụ tính tích phân 𝐼=∫ 𝑥 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ THỰC 2.1 Đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến Bài Tính 𝜕𝑢 𝜕𝑙⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 𝑀0 = (1,2,1) biết hàm 𝑢 = 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 𝑙⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀0 𝑀1 , 𝑀1 = (2,0,3) Hướng dẫn giải + Ta có: 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 = 2𝑥; = 2𝑦; = −2𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 + Từ giả thiết: 10 2 𝑙⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀0 𝑀1 = (1; −2; 2) ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ; 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = − ; 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 3 + Tính 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑀0 ) = (2; 4; −2) (𝑀0 ) = 2; (𝑀0 ) = 4; (𝑀0 ) = −2 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 + Vậy 𝜕𝑢 10 (𝑀0 ) = − − = − 3 3 𝜕𝑙⃗ Bài 2.Cho hàm số ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) xác định 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 − 2𝑦 + = Tìm 𝑧𝑥′ , 𝑧𝑦′ Hướng dẫn giải + Đặt 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 − 2𝑦 + = + Từ suy : 𝐹𝑥′ = 3𝑥 − 3𝑦𝑧; 𝐹𝑦′ = 6𝑦 − 3𝑥𝑧 − 2; 𝐹𝑧′ = 3𝑧 − 3𝑥𝑦 + Vậy : 𝑧𝑥′ 𝐹𝑥′ 3𝑦𝑧 − 3𝑥 𝑦𝑧 − 𝑥 =− ′= = 𝐹𝑧 3𝑧 − 3𝑥𝑦 𝑧 − 𝑥𝑦 𝑧𝑦′ 𝐹𝑦′ 6𝑦 − 3𝑥𝑧 − =− ′= 𝐹𝑧 3𝑥𝑦 − 3𝑧 Bài Cho hàm số 𝑧 = 𝑒 𝑥+𝑦 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 𝑦) tính 𝑑𝑧(0, 0) ′′ ′′ 𝐴 = 𝑧 𝑧𝑥𝑥 − (𝑧𝑥′ )2 − 𝑧 𝑧𝑦𝑦 + (𝑧𝑦′ )2 Bài 4.Cho hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 𝑙𝑛( 𝑥 + 𝑦) Tính 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 , , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 Bài Cho hàm số 𝑧 = 𝑥2 2𝑦 𝑥 1 𝑥3 𝑥 𝑦 𝑦 + + − Chứng minh 𝑥 𝑧𝑥′ + 𝑦 𝑧𝑦′ = Bài 6.Xét tính liên tục điểm (0;0) hàm số theo a: 11 𝑥 (𝑥 − 𝑦 ) 𝑘ℎ𝑖 (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦 𝑎 𝑘ℎ𝑖(𝑥; 𝑦) = (0; 0) Hướng dẫn giải + Ta có 𝑓(0; 0) = 𝑎 1 + Xét dãy điểm 𝑀𝑛 ( ; ) → (0; 0)(𝑛 → +∞), 𝑓(𝑀𝑛 ) → 0(𝑛 → +∞) 𝑛 𝑛 12 + Xét dãy điểm 𝑁𝑛 ( ; ) → (0; 0)(𝑛 → +∞), 𝑘hi 𝑓(𝑁𝑛 ) → (𝑛 → +∞) 𝑛 𝑛 17 + Vậy không tồn giới hạn 𝑓(𝑥, 𝑦) (𝑥; 𝑦) → (0; 0) nên không tồn giá trị a để hàm số liên tục Bài 7.Xét tính liên tục hàm số sau theo a 𝑥𝑦 − 𝑦 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑘ℎ𝑖(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦2 𝑎 𝑘ℎ𝑖(𝑥, 𝑦) = (0,0) Bài 8.Chứng minh hàm số 𝑧 = 𝑦𝑓(𝑥 − 𝑦 ) với 𝑓(𝑡) hàm số có đạo 1 𝑧 𝑥 𝑦 𝑦2 hàm liên tục thỏa mãn đẳng thức 𝑧𝑥′ + 𝑧𝑦′ − = Bài Dùng vi phân toàn phần tính gần 𝐼 = √(1,02)3 + (1,97)3 Bài 10.Tìm hàm số 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) biết 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑥 +𝑦 𝑥 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛 𝑦 𝑥 = 2.2 Bài toán cực trị Bài Tìm cực trị hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 2𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦 Hướng dẫn giải 𝑧𝑥′ = 4𝑥 − 4𝑥 + 4𝑦 = 0(1) + Tìm điểm tới hạn { ′ 𝑧𝑦 = 4𝑦 + 4𝑥 − 4𝑦 = 0(2) + Lấy (1) + (2) được: 𝑥 + 𝑦 = ⇔ 𝑥 = −𝑦 + Thay vào (1) được: 4𝑥 − 8𝑥 = ⇔ 𝑥 = 0, ±√2 + Vậy có điểm tới hạn 𝑀1 (0,0), 𝑀2 (√2, −√2) 𝑀3 (−√2, √2) 12 ′′ + Đạo hàm cấp 2: 𝐴 = 𝑧𝑥′′ = 12𝑥 − 4, 𝐵 = 𝑧𝑥𝑦 = 4, 𝐶 = 𝑧𝑦′′ = 12𝑦 − + Tại 𝑀2 , 𝑀3 : 𝐴2 − 𝐵𝐶 = −384 < 0, 𝐴 = 20 > Vậy M2 M3 điểm cực tiểu + Tại M1: với M(k,k) 𝑧(𝑀) − 𝑧(𝑀1 ) = 2𝑘 ≥ 0, ∀𝑘 với M(k,0) 𝑧(𝑀) − 𝑧(𝑀1 ) = 𝑘 (𝑘 − 2) < 0, ∀𝑘 ∈ (−√2, √2) Vậy M1 không điểm cực trị + Kết luận: hàm số có hai điểm cực tiểu 𝑀2 (√2, −√2), 𝑀3 (−√2, √2) 𝑥 Bài Tìm cực trị hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 (𝑦 + 𝑥𝑦 + ) Bài 3.Tìm cực trị hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 − 4𝑥𝑦 + 𝑥 − 4𝑥 1 𝑥 𝑦 Bài Tìm cực trị hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 + + Bài Tìm cực trị hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 − 𝑥√𝑦 − + 𝑥 + 𝑦 − 12𝑥 2 2.3 Tích phân bội Bài Tính tích phân 𝐼 = ∬𝐷 𝑥 (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 với D miền giới hạn đường tròn 𝑥 + 𝑦 = nằm góc phần tư thứ Hướng dẫn giải + Vẽ hình xác định miền lấy tích phân 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 + 𝑦 ≤ 2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + Đổi biến tọa độ cực: { ⇒ 𝐽(𝑟, 𝜑) = 𝑟 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜋 + Miền D thành 𝐷′: ≤ 𝑟 ≤ √2, ≤ 𝜑 ≤ √2 𝜋/2 + 𝐼 = ∫0 𝑑𝑟 ∫0 √2 𝜋/2 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝜑 = ∫0 𝑟 𝑑𝑟 ∫0 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑑𝜑 𝜋 √2 𝑟6 𝜑 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜋 = | ( + )| = Bài Tính tích phân ∭𝑉 𝑥𝑦 𝑑𝑉 với V miền giới hạn mặt paraboloid elliptic 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 mặt phẳng 𝑧 = Hướng dẫn giải + Vẽ miền lấy tích phân V + Hình chiếu D V mặt phẳng Oxy hình trịn tâm O, bán kính + Miền 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷, 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 4} 13 + Đổi biến sang tọa độ trụ 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 {𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ; 𝐽(𝑟, 𝜑, 𝑧) = 𝑟 𝑧=𝑧 ′ {(𝑟, + Miền 𝑉 = 𝜑, 𝑧): ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋; ≤ 𝑟 ≤ 2; 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 4} + Ta có 𝐼 = ∭ 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 𝑉′ 2𝜋 𝑠𝑖𝑛3 𝜑 = ∫ 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝑑𝑧 × ( )| = 𝑟2 Bài Tính tích phân ∭𝑉 𝑧(𝑦 + 2) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với V miền giới hạn mặt trụ 𝑥 + 𝑦 = mặt phẳng 𝑧 = 0, 𝑧 = Bài Tính tích phân I = x ( x + y )dxdy với D miền giới hạn đường D trịn x + y = nằm góc phần tư thứ 2 Bài Tính tích phân I = ( x − y )dxdy với D miền giới hạn đường D y = x , x + y = trục tung Bài 6.Tính tích phân hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧trên miền giới hạn mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = mặt phẳng tọa độ, nằm góc phần tám thứ Bài 7.Tính thể tích miền V giới hạn − 2𝑧 ≤ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ Hướng dẫn giải + V miền giới hạn hai hình cầu: 𝑥 + 𝑦 + (𝑧 − 1)2 ≥ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧2 ≤ + Miền V xác định bởi: − √2 − 𝑥 − 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑥 − 𝑦 + Hình chiếu V xuống mặt phẳng Oxy miền D: 𝑥 + 𝑦 ≤ + Ta có 14 I = dxdy 1− x − y 1− 2− x − y D = D dz ) ( − x − y + − x − y − dxdy 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + Chuyển sang tọa độ cực { ⇒𝐽=𝑟 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 + Miền D: 𝑥 + 𝑦 ≤ ⇒ 𝐷′: ≤ 𝑟 ≤ 1,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 𝐼 = ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟 (√1 − 𝑟 + √2 − 𝑟 − 1) 𝑑𝜑 2√2 = 2𝜋 (− + ) Bài Tính diện tích phần mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4nằm phía mặt phẳng Oxy bị cắt mặt trụ Bài 9.Tìm thể tích vật thể nằm góc phần tám thứ giới hạn mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 , mặt phẳng 𝑧 = 0, mặt trụ 𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥 Bài 10 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt cong 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ; 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 2.4 Tích phân đường Bài Tính tích phân 𝐼 = ∮𝐶 2(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦 C biên tam giác ABC lấy theo chiều dương với A(1,1), B(2,2), C(1,3) Hướng dẫn giải + Ta có: 𝐼 = ∫ 2(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦 + ∫ 2(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦 𝐴𝐵 𝐵𝐶 + ∫ 2(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)2 𝑑𝑦 𝐶𝐴 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + Đường thẳng AB: 𝑦 = 𝑥 có𝐼1 = ∫1 8𝑥 𝑑𝑥 = 56 + Đường thẳng BC: 𝑦 = −𝑥 + ta có 𝐼2 = ∫2 (𝑥 − 4𝑥 + 7)𝑑𝑥 = + Đường thẳng CA: 𝑥 = ta có𝐼3 = ∫3 (1 + 𝑦)2 𝑑𝑦 = 15 −56 −40 + Kết quả: 𝐼 = −40 Bài 2.Tính tích phân 𝐼 = ∮𝐿(𝑥 + 𝑥𝑦 )𝑑𝑥 + (3𝑦 + 2𝑥 𝑦)𝑑𝑦trong L biên miền giới hạn đường 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑦 = − 𝑥 Hướng dẫn giải + Vẽ đường lấy tích phân + L đường cong kín, xác định miền D hình tam giác + Miền 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥} 𝑃𝑦′ = 2𝑥𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑥𝑦 + Đặt { ⇒{ ′ 𝑄(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 + 2𝑥 𝑦 𝑄𝑥 = 4𝑥𝑦 + Áp dụng công thức Green, ta được: 𝐼 = ∬𝐷(𝑄𝑥′ − 𝑃𝑦′ )𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 2𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 + Ta có 2−𝑥 𝐼 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥 Bài 2.Tính 𝐼 = ∫𝑂𝐴𝐵(𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 1)𝑒 𝑑𝑥 + (2𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝑦)𝑒 𝑥 𝑑𝑦 OAB đường gấp khúc O(0,0), A(1,1), B(2,0) Bài Tính tích phân 𝐼 = ∮𝐿(2𝑥𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑥 + (3𝑦 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦 , L biên miền giới hạn 𝑦 = 0, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = Bài 4.Tính tích phân 𝐼 = ∫𝐶 𝑑𝑠 𝑥 𝑥−𝑦 C đoạn thẳng 𝑦 = − nằm điểm A(0,-2) B(4,0) Hướng dẫn giải + Vẽ hình + Ta có 𝑑𝑠 = √1 + 𝑦′(𝑥)2 𝑑𝑥 = √5 𝑑𝑥 𝑑𝑠 √5 𝐼=∫ =∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝐶𝑥 −𝑦 ( + 2) + 𝐼 = √5 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Bài 5.Tính độ dài cung { với ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡 Bài Tính tích phân𝐼 = ∫𝐶 √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑠 C đường xoắn hình nón 𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 với ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 2.5 Tích phân mặt Bài Tính tích phân ∬𝑆 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧với (S) phía ngồi mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 16 Hướng dẫn giải + Vẽ mặt cong (S) + (S) mặt cong kín, xác định miền V hình cầu tâm O, bán kính 2, hướng mặt phía ngồi + Với 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑧, 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦, 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥, ta có 𝑃𝑥′ = 0, 𝑄𝑦′ = 1, 𝑅𝑧′ = + Áp dụng công thức Ostrogradsky, ta 𝐼3 = ∭𝑉(𝑃𝑥′ + 𝑄𝑦′ + 𝑅𝑧′ )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝐼 = ∭𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =thể tích khối cầu tâm O, bán kính Vậy𝐼 = 32𝜋 Bài Tính tích phân ∬𝑆 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑦 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 2𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 với (S) nửa mặt cầu 𝑧 = √4 − 𝑥 − 𝑦 , hướng (S) hướng lên Bài Tính tích phân ∬𝑆 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 với (S) phía ngồi mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Bài 4.Tính tích phân 𝐼 = ∬𝑆 𝑙𝑛 𝑧 dS S mặt cầu xác định 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1, ≤ 𝑧 ≤ Hướng dẫn giải + Mặt S có phương trình 𝑧 = √1 − 𝑥 − 𝑦 với hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy miền D giới hạn đường tròn 𝑥 + 𝑦 = + 𝑑𝑆 = √1 + 𝑧𝑥′2 + 𝑧𝑦′2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = + 𝐼 = ∬𝐷 𝑙𝑛 √1−𝑥 −𝑦 √1−𝑥 −𝑦 √1−𝑥 −𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + Chuyển sang tọa độ cực { ⇒ 𝐽(𝑟, 𝜑) = 𝑟 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 + Miền D:𝑥 + 𝑦 ≤ ⇒ 𝐷′: ≤ 𝑟 ≤ √3 ,0 √3/2 𝑙𝑛 √1−𝑟 + Thay vào tính 𝐼 = ∫0 √1−𝑟 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 𝑟𝑑𝑟 × ∫0 𝑑𝜑 = 𝜋(𝑙𝑛 − 1) Bài 5.Tính tích phân 𝐼 = ∬𝑆 𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑆 S mặt nón 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 , ≤ 𝑧 ≤ Bài 6.Tính diện tích phần mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥𝑦 với hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy hình trịn xác định 𝑥 + 𝑦 ≤ 17 Bài 7.Tính khối lượng mặt 𝑧 = − 𝑥 +𝑦 2 , 𝑧 ≥ biết khối lượng riêng điểm M(x,y,z) mặt 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 LÝ THUYẾT CHUỖI 3.1 Chuỗi số Bài Xét hội tụ chuỗi số +∞ 3𝑛 − 𝑛 ∑ 𝑛 + 4𝑛 + 𝑛=1 Hướng dẫn giải + Ta có 𝑙𝑖𝑚 3𝑛 −𝑛 : 3𝑛 𝑥→∞ 5𝑛 +4𝑛+1 5𝑛 + Suy 3𝑛 −𝑛 5𝑛 +4𝑛+1 𝑛 Mà ∑∞ 𝑛=1 (5) ∼ 3𝑛 5𝑛 = 𝑛 → ∞ 𝑛 → ∞ hội tụ + Theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi cho hội tụ Bài Xét hội tụ chuỗi số: +∞ ∑ 𝑛=1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑛2 Bài 3.Xét hội tụ chuỗi số: +∞ ∑ 𝑛=1 𝑛! + 𝑛𝑛 + Bài Xét hội tụ chuỗi số: +∞ 5𝑛 + ∑ 𝑛! 6𝑛 + 𝑛=1 Bài 5.Xét hội tụ chuỗi số: +∞ 1 𝑛 ∑ 𝑛 (1 + ) 𝑛 𝑛=1 18 3.2 Chuỗi hàm số Bài Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa +∞ (𝑥 − 2)𝑛 ∑ 2 𝑛 (𝑛 + 1) 𝑛=1 Hướng dẫn giải 𝑋𝑛 + Đặt 𝑥 − = 𝑋 ta chuỗi ∑+∞ 𝑛=1 + Bán kính hội tụ (1): 𝑙 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛2 (𝑛2 +1) 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 (1) với 𝑎𝑛 = 𝑛2 (𝑛2 +1) = ⇒ 𝑅 = = Vậy chuỗi (1) hội tụ 𝑙 (-1;1) phân kì ngồi đoạn [-1;1] + Tại 𝑋 = 1: +∞ Chuỗi cho trở thành ∑ 𝑛=1 = 𝑛2 (𝑛2 + 1) có số hạng tổng quát 𝑢𝑛 𝑛2 (𝑛2 + 1) 𝑢 ∞ Ta thấy lim ( 𝑛 ) = với 𝑣𝑛 = mà chuỗi ∑∞ 𝑛=1 𝑣𝑛 hội tụ nên chuỗi ∑𝑛=1 𝑢𝑛 𝑣 𝑛 𝑛 hội tụ theo dấu hiệu so sánh + Tại 𝑋 = −1 ⇒ ∑∞ 𝑛=1 (−1)𝑛 𝑛2 (𝑛2 +1) chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz + Vậy miền hội tụ (1) [-1;1] miền hội chuỗi cho [1;3] Bài Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa +∞ (𝑥 + 1)𝑛 ∑ 𝑛=1 𝑛 √𝑛 Bài Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa +∞ (𝑥 − 2)𝑛 ∑ 𝑛=1 √1 + 𝑛2 Bài Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa +∞ ∑ 𝑛=1 (𝑥 − 2)3𝑛 𝑛 √𝑛 + 19 Bài 5.Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừavà tính tổng chuỗi 𝑥 = +∞ (𝑥 + 1)𝑛 ∑ 𝑛(𝑛 + 2) 𝑛=1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 Phương trình vi phân cấp Bài 1.Giải phương trình vi phân cấp 𝑥𝑦𝑑𝑥 − (1 + 𝑦 )(1 + 𝑥 )𝑑𝑦 = Hướng dẫn giải + Với 𝑦 ≠ phương trình trở thành 𝑥 + 𝑦2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 + 𝑥2 𝑦 1 2) ⇔ 𝑑(1 + 𝑥 = + 𝑦) 𝑑𝑦 ( + 𝑥2 𝑦 𝑦2 2) ⇔ 𝑙𝑛(1 + 𝑥 = 𝑙𝑛|𝑦| + +𝐶 2 Ta thu nghiệm dạng tích phân tổng quát +𝑦 = thay vào phương trình thấy thỏa mãn Vậy 𝑦 = 0là nghiệm kì dị Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân: (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = thỏa mãn 𝑦(1) = Bài Tìm nghiệm phương trình: (𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = thỏa mãn 𝑦(3) = √5 Bài Giải phương trình (1 + 𝑥 )𝑒 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 (1 + 𝑒 2𝑦 )𝑑𝑦 = Bài Giải phương trình 𝑒 𝑥 (2 + 2𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑥 − 2𝑦𝑒 𝑥 𝑑𝑦 = Bài Tìm nghiệm riêng phương trình 𝑥 𝑦′ = 𝑦(𝑥 + 𝑦) thỏa mãn điều kiện 𝑦(−2) = 4.2 Phương trình vi phân cấp hai Bài Giải phương trình vi phân 𝑦′′ + 4𝑦′ − 3𝑥 − = Hướng dẫn giải 20 + Biến đổi thành: 𝑦′′ + 4𝑦′ = + 3𝑥 (1) + Phương trình vi phân tương ứng: 𝑦′′ + 4𝑦′ = (2) + Phương trình đặc trưng: 𝑡 + 4𝑡 = ⇔ 𝑡 = 0, −4 + Nghiệm tổng quát (2) là: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −4𝑥 + Tìm nghiệm riêng (1) có dạng: 𝑦 ∗= 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) + Tính y*’, y*’’ thay vào (1) tìm 𝑎 = − , 𝑏 = − 16 + Nghiệm tổng quát phương trình cho là: 𝑦(𝑥) = − 𝑥 − 𝑥 + 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 4𝑥 16 Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = + 4𝑥 thỏa mãn điều kiện 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = Hướng dẫn giải 𝑘=1 + Phương trình đặc trưng: 𝑘 − 3𝑘 + = ⇔ [ 𝑘=2 + Nghiệm tổng quát phương trình nhất: 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 + Do 𝛼 = khơng nghiệm phương trình đặc trưng, suy ìm nghiệm riêng dạng: 𝑦∗ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶 + Tính 𝑦∗′ , 𝑦∗′′ thay vào phương trình tìm 𝑦∗ = 2𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 Suy nghiệm tổng quát 𝑦(𝑥) = 𝑦 + 𝑦∗ = 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 + + 𝑦(0) = ⇒ 𝑐1 + 𝑐2 + = 0; 𝑦′(0) = ⇒ 𝑐1 + 2𝑐2 − = Suy 𝐶1 = 10, 𝐶2 = 13 2 Vậy nghiệm riêng phương trình 𝑦(𝑥) = 10𝑒 𝑥 + 13 𝑒 2𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 + Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân 𝑦′′ + 2𝑦′ + 5𝑦 = 3𝑥 + 𝑥 Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân 𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = (5𝑥 + 1)𝑒 𝑥 Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân𝑦′′ + 4𝑦′ + 4𝑦 = 6𝑥 thỏa mãn điều kiện 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = Bài Tìm nghiệm phương trình vi phân𝑦 ′′ + 4𝑦 = 4𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛 𝑥 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 21 5.1 Ma trận, định thức Bài Xác định ma trận X, biết X thỏa mãn phương trình ma trận sau 1 −1 −1 ( −1) (−1 0) + (1 −3 2) 𝑋 = ( 8) −1 0 −3 −1 −2 Hướng dẫn giải + Biến đổi phương trình ma trận 1 −1 ( −1) (−1 0) + (1 −3 −1 0 1 −2 −2 ⇔( −3 −1 2) 𝑋 = ( −3 8) −1 −1 −1 ) + ( ) 𝑋 = ( −3 8) −2 −3 −1 −2 1 ⇔ (1 −1 1 −3 2) 𝑋 = (2 5) −2 (1) −1 1 + Đặt 𝐴 = (1 −3 2) , 𝐷 = (2 5) (1) ⇔ 𝐴 𝑋 = 𝐷 1 −2 + Tính 𝑑𝑒𝑡( 𝐴) = ≠ ⇒ tồn 𝐴−1 + Tìm ma trận phụ hợp:𝐶11 = 1; 𝐶12 = 1; 𝐶13 = 1, 𝐶21 = −1; 𝐶22 = 0; 𝐶23 = 1, 𝐶13 = 1; 𝐶32 = −1; 𝐶33 = −2 −1 + Vậy 𝐴 = [1 −1 −1 −1 −1] ⇒ 𝑋 = 𝐴 𝐷 = [ 3] −2 Bài Tìm ma trận X thỏa mãn 𝑋 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = −1 3 −2 0 A= (−2 7), 𝐵 = (−1 ) 𝐼 = (0 0) −1 0 −1 Bài Xác định ma trận X, biết X thỏa mãn phương trình ma trận sau −1 −1 (0 0) ( 3) + ( 0) 𝑋 = ( 3) −1 −1 −2 1 Bài Xác định ma trận X, biết X thỏa mãn phương trình ma trận sau 22 −1 −1 0 𝑋 (1 2) = (−2 ) + (0 0) −3 −1 0 1 1 5.2 Hệ phương trình tuyến tính Bài Giải biện luận hệ phương trình sau 𝑥1 − 6𝑥2 − 9𝑥3 − 20𝑥4 = −11 2𝑥 + 3𝑥2 + 6𝑥3 + 8𝑥4 = { 3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 4𝑥4 = 4𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 + 𝜆𝑥4 = Hướng dẫn giải + Ma trận bổ sung −6 −9 −20 −11 𝐴̄ = ( ) 4 𝜆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻2 − 2𝐻1 → 𝐻2 −6 −9 −20 −11 48 27 𝐻3 − 3𝐻1 → 𝐻3 (0 15 24 ) 20 32 64 36 𝐻4 − 4𝐻1 → 𝐻4 25 40 80 + 𝜆 46 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 −6 −9 −20 −11 𝐻2 → 𝐻2 16 ( ) 16 𝐻 → 𝐻3 25 40 80 + 𝜆 46 −6 −9 −20 −11 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻3 − 𝐻2 → 𝐻3 16 ( ) 𝐻4 − 5𝐻2 → 𝐻4 0 0 0 0 𝜆 1 −6 −9 −20 −11 16 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻3 ↔ 𝐻4 ( ) 0 𝜆 0 0 + Nếu 𝜆 ≠ hệ trở thành 𝑥3 ∈ ℝ 𝑥4 = 1/𝜆 𝑥1 − 6𝑥2 − 9𝑥3 − 20𝑥4 = −11 16 {5𝑥2 + 8𝑥3 + 16𝑥4 = ⇔ 𝑥2 = − 𝑚 − 𝑥3 5 𝜆𝑥4 = 1 𝑥 = − + 𝜆 − 𝑥 { 5 + Nếu 𝜆 = hệ vơ nghiệm Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m 23 𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 3𝑥4 = { 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = −3 4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑚 𝑥3 + 𝑥4 = −5 Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m 2𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 = 4𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 + 6𝑥4 = { 6𝑥1 − 3𝑥2 + 7𝑥3 + 8𝑥4 = 𝑘 𝑚 𝑥1 − 4𝑥2 + 𝑥3 + 10 𝑥4 = 11 Bài Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m 𝑥1 − 7𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = 2𝑥 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 = { 4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 + 𝑚𝑥4 = Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2020 Lãnh đạo Khoa KHCB & NN Thượng tá, TS Nguyễn Quang An 24 ... Tốn cao cấp (tập 1, tập 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên, NXB Giáo dục, năm 2006 - Bài tập Toán cao cấp (tập 1, tập 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên, NXB Giáo dục, năm 2006 MỘT SỐ BÀI TẬP... Clairaut 4.2 Phương trình vi phân cấp hai + Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số + Phương trình tuyến tính khơng cấp hai với hệ số Đại số tuyến tính 5.1 Ma trận phép toán ma trận 5.2 Định thức... 2, tập 3), Nguyễn Đình Trí chủ biên, NXB Giáo dục, năm 2006 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO BÀI THI TOÁN CAO CẤP HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 Đạo hàm, vi phân Bài Xét tính khả vi hàm số: