Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2

Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2 Chương 3: Tích phân xác định | Toán cao cấp 2

Tích phân xác định Tính chất tích phân xác định Định lý 1: Hàm liên tục [a,b] khả tích [a,b] Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn [a,b] khả tích [a,b] Trong tính chất đây, có f(x), g(x) hàm khả tích [a,b] b 1/ dx b  a b b a a / c f ( x)dx c  f ( x)dx a b b b a a a /  f ( x)  g ( x) dx   f ( x )dx  g ( x )dx Tích phân xác định b a /  f ( x)dx   f ( x)dx a b b b a b a c b a b a c /  f ( x) dx  g ( x)dx, f ( x)  g ( x)x  [ a, b] /  f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx f(x) khả tích [a,c], [c,b], [a,b] b /  f ( x)dx   f ( x ) dx a a 0, f ( x) hàm lẻ a  a /  f ( x)dx  a 2  f ( x)dx, f ( x ) hàm chẵn  Tích phân xác định Cơng thức đạo hàm dấu tích phân  b( x )    f (t )dt   f (b( x)).b( x )  f (a ( x )).a( x)  a( x)    cos x Ví dụ: Tính đạo hàm theo x f ( x)   cos(t )dt sin x f ( x ) cos(cos x)( sin x)  cos(sin x)cos x Tích phân xác định x (arctan t ) dt  Ví dụ: Tính giới hạn lim x   Vì x x2 1 lim (arctan t ) dt  tức giới hạn có x    dạng , nên ta áp dụng quy tắc L’Hospital  x (arctan t ) dt  x2 1 (arctan x) x    lim  x x   Tích phân xác định Công thức Newton – Leibnitz: Nếu hàm f(x) liên tục [a,b] G(x) nguyên hàm f(x) ta có b  f ( x) dx G (b)  G ( a) a 2ln dx Ví dụ: Tính tích phân I   x e 1 ln x 2ln 2ln  1  x I2       de x x x x ln e (e  1) ln  e  e  e dx x ln ln(e  1)  ln(e ) ln  ln  ln ln ln ln 2 x ln Tích phân xác định Phương pháp đổi biến  f ( x) liên tục [a,b]  Nếu  (t ) khả vi, liên tục [t1,t2]  [t , t ]  [a, b],  (t ) a, (t ) b    Thì b t2 a t1  f ( x)dx   f ( (t )) (t ) dt Tích phân xác định dx Ví dụ: Tính I3   1  3x  Đặt x  t  dx  2t dt , x 1, t 1 x 6, t 4 2tdt 4  I3       dt  t 1  1 t  t  ln t   2 5    ln  3 2 Tích phân xác định Phương pháp tích phân phần Nếu hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục [a,b] b b b u ( x)v( x)dx u ( x)v( x) a  u( x)v( x)dx a a arcsin xdx Ví dụ: Tính I   1 x 1 0 I 2 arcsin xd (  x ) 2 arcsin x  x    x d (arcsin x)   2 1 x  2 dx    x  2   x2 Tích phân suy rộng lọai Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1: Cho hàm f(x) khả tích [a,b] , b  a Tích phân  b  f ( x )dx  lim  f ( x)dx b   a a Được gọi suy rộng lọai hàm f(x) [a, +∞) Nếu giới hạn tồn hữu hạn ta nói hội tụ, khơng hội tụ gọi phân kỳ Tương tự, ta có thêm dạng suy rộng lọai 1: b b   a a   a  a   f ( x)dx  lim  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Tích phân suy rộng lọai  dx I1   Ví dụ: Xét sau x b dx b Nếu α=1: I1  lim   lim ln x  lim ln b  b  x b  b  Tp phân kỳ 1  b b dx x b1  Nếu α≠1: I1  lim   lim  lim  b   x b     b      Nếu 1- α>0 : I1  Tp phân kỳ Tp hội tụ Nếu 1- α1 phân kỳ α≤1 Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: KS HT I5   Với x≥3, dx x( x  1)( x  2) f ( x)  0 x( x  1)( x  1 Khi x  +: f ( x )   x ( x  1)( x  2) x  3x  x f 1 Chọn g ( x )  Vì lim x  g x   Do  g ( x)dx   dx HT 3/2 3 x Vậy I5 HT Tích phân suy rộng loại  ln x Ví dụ: KS HT I   dx x Đặt x u ln x, x dx d ( ) dv  ln x I  x  d (ln x )  I  J x ln x ln1 I  lim   lim x 0 x  x x   J dx x   Là tích phân HT Vậy Tp I6 HT Tích phân suy rộng loại  cos x Ví dụ: KS HT I9   dx x Trước tiên, ta tính phần  d (sin x ) I9   x   sin x  x  sin x   sin xd ( )  sin1   dx x x 1   dx x Tp HT Suy J HTTĐ  sin1  J sin x x2  x2 Mặt khác, sin1 số hữu hạn nên I9 HT Tích phân suy rộng loại b b a c a c Nếu lim f ( x )  Thì  f ( x ) dx  lim f ( x) dx x a  Nếu [a,b] có điểm c mà hàm f(x) khơng bị chặn b c b  f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )dx a a c Tức ta có tổng suy rộng lọai Nếu thành phần HT tổng HT Ta có công thức: b c a c b a  f ( x)dx  lim  f ( x)dx = lim G (c)  G (a ) c b Trong G(x) nguyên hàm f(x) [a,b]