PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 19. TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1) LỆNH TÍNH TÍCH PHÂN Để tính giá trị 1 tích phân xác định ta sử dụng lệnhy 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1Câu 25 đề minh họa 2017 Tính giá trị tính phân 3 0 I cos x.sin xdx    A. 1 4 4 I    B. 4  C. 0 D. 1 4  GIẢI  Cách 1 : CASIO  Vì bài toán liên quan đến các đại lượng tính  nên ta chuyển máy tính về chế độ Radian qw4  Gọi lệnh tính giá trị tích phân y Điền hàm   3 f x  cos x.sin x và các cận 0 và  vào máy tính Casio kQ))3jQ))R0EqK Rồi nhấn nút = ta nhận được ngay kết quả của tích phân là 0  So sánh với các đáp án A, B, C, D thì ta thấy C là đáp án chính xác  Cách tham khảo : Tự luận  Đặt t  cos x khi đó 3 3 cos x  t  Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ cos x  t  cos xdx  t dt  sin xdx  dt  Đổi cận dưới : x  0 khi đó t  cos 0 1 Đổi cận trên : x   khi đó t  cos  1 Trang 211  Lúc này tích phân phức tạp ban đầu đã trở thành tích phân đơn giản 1 4 3 1 1 1 1 0 4 4 4 1 t I t dt                  Bình luận :  Có 10 phép đặt ẩn phụ tính nguyên hàm tích phân. Bài toán trên có tính chết của phép số 2 : “nếu tích phân chứa cụm sin xdx thì đặt ẩn phụ cos x  t ”  Trong thực tế học tập, việc đổi vi phân (đổi đuôi) thường bị các bạn lãng quên , chúng ta chú ý điều này. PHỤ LỤC : 10 PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ THƯỜNG GẶP  Phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng để đưa 1 tích phân phức tạp, khó tính trở về một tích phân đơn giản, dễ tính hơn. Sau đây là 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác nhau thường gặp.  Phép 1 : Nếu xuất hiện căn thức thì đặt cả căn bằng t  Phép 2 : Nếu xuất hiện cụm sin xdx thì đặt cos x  t  Phép 3 : Nếu xuất hiện cụm 2 1 cos dx x thì đặt tan x  t  Phép 4 : Nếu xuất hiện cụm 2 1 sin dx x thì đặt cot x  t  Phép 5 : Nếu xuất hiện cụm 1 dx x thì đặt ln x  t  Phép 6 : Nếu xuất hiện x e dx thì đặt x e  t  Phép 7 : Nếu xuất hiện cụm 2 2 1 dx x  a thì đặt x  tan t  Phép 8 : Nếu xuất hiện cụm 2 2 x  a thì đặt x  asin t  Phép 9 : Nếu xuất hiện cụm 2 2 a  x thì đặt cos a x t   Phép 10 : Nếu xuất hiện biểu thức trong hàm ln,log, e... thì đặt cả biểu thức là t  Việc đăt ẩn phụ thường tiến hành theo 3 bước  Bước 1 : Đặt ẩn phụ theo dấu hiệu  Bước 2 : Vi phân 2 vế phương trình ẩn phụ để đổi đuôi  Bước 3 : Đổi cân dưới và cận trên sau đó thế tất cả 3 đại lượng trên vào tích phan ban đầu để tạo thành một tích phân đơn giản hơn.

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 19 TÍNH NHANH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1) LỆNH TÍNH TÍCH PHÂN Để tính giá trị tích phân xác định ta sử dụng lệnh y 2) VÍ DỤ MINH HỌA  VD1-[Câu 25 đề minh họa 2017] Tính giá trị tính phân I   cos x.sin xdx A I    4 B  C D  GIẢI  Cách : CASIO  Vì tốn liên quan đến đại lượng tính  nên ta chuyển máy tính chế độ Radian qw4  Gọi lệnh tính giá trị tích phân y Điền hàm f  x   cos3 x.sin x cận  vào máy tính Casio kQ))^3$jQ))R0EqK Rồi nhấn nút = ta nhận kết tích phân  So sánh với đáp án A, B, C, D ta thấy C đáp án xác  Cách tham khảo : Tự luận  Đặt t  cos x cos3 x  t  Vi phân vế phương trình ẩn phụ cos x  t   cos x  ' dx  t ' dt   sin xdx  dt  Đổi cận : x  t  cos  Đổi cận : x   t  cos   1 Trang 1/11  Lúc tích phân phức tạp ban đầu trở thành tích phân đơn giản 1 t 1 1 1 I    t dt        41 4 4  Bình luận :  Có 10 phép đặt ẩn phụ tính ngun hàm tích phân Bài tốn có tính chết phép số : “nếu tích phân chứa cụm sin xdx đặt ẩn phụ cos x  t ”  Trong thực tế học tập, việc đổi vi phân (đổi đuôi) thường bị bạn lãng quên , ý điều PHỤ LỤC : 10 PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ THƯỜNG GẶP  Phương pháp đặt ẩn phụ thường dùng để đưa tích phân phức tạp, khó tính trở tích phân đơn giản, dễ tính Sau 10 phép đặt ẩn phụ với 10 dấu hiệu khác thường gặp  Phép : Nếu xuất thức đặt t  Phép : Nếu xuất cụm sin xdx đặt cos x  t dx đặt tan x  t  Phép : Nếu xuất cụm cos x dx đặt cot x  t  Phép : Nếu xuất cụm sin x  Phép : Nếu xuất cụm dx đặt ln x  t x x  Phép : Nếu xuất e dx đặt e x  t dx đặt x  tan t  Phép : Nếu xuất cụm x  a2        x  a đặt x  a sin t a Phép : Nếu xuất cụm a  x đặt x  cos t Phép 10 : Nếu xuất biểu thức hàm ln, log, e đặt biểu thức t Phép : Nếu xuất cụm Việc đăt ẩn phụ thường tiến hành theo bước Bước : Đặt ẩn phụ theo dấu hiệu Bước : Vi phân vế phương trình ẩn phụ để đổi đuôi Bước : Đổi cân cận sau tất đại lượng vào tích phan ban đầu để tạo thành tích phân đơn giản ln VD2-[Chuyên Khoa Học Tự Nhiên 2017] Tính tích phân I   A  e  sai B ln  C ln  e2 x e2 x  dx D Cả đáp án GIẢI  Cách : CASIO  Gọi lệnh tính giá trị tích phân y Trang 2/11 e2 x cận ln vào máy tính Casio Rồi nhấn nút = e2 x  ta nhận kết tích phân 0, 7956 yaQK^2Q)RsQK^2Q)$p1$$ $1Eh2)=  Điền hàm f  x    Giữ nguyên kết máy tính Casio số , dùng máy tính Casio thứ để tính kết qua đáp án A, B, C, D ta thấy đáp số C Đây giá trị giống hệt tích phân, C đáp số xác  Cách tham khảo : Tự luận   Đặt t  e2 x  Vi phân vế phương trình ẩn phụ  t  e2 x   t  e x    t  ' dt   e x  1 ' dx  2tdt  2e2 x dx  tdt  e x dx  Đổi cận : x  t  e2   Đổi cận : x  ln t  e2ln   Lúc tích phân phức tạp ban đầu trở thành tích phân đơn giản I 2 t tdt  e 1  e2 1 dt  t   e2  e 1  Bình luận :  Bài tốn chứa nội dung phép đặt ẩn phụ số “nếu tích phân chứa ta đặt ẩn phụ t “  Việc vi phân ln phương trình đặt ẩn phụ t  e2 x  thường khó khăn chứa căn, ta thường khử t  e x  cách bình phương vế Sau ta vi phân VD3-[THP Nguyễn Đình Chiểu – Bình Dương 2017] Giá trị a để tích phân a a2 x  2x  có giá trị  a  ln : dx 0 x  A B C D GIẢI  Cách : CASIO Trang 3/11 a a2 x2  2x  có giá trị biểu thức  a  ln dx 0 x  hiệu chúng phải Vây ta thiết lập hiệu a  a2  x  2x  dx    a  ln  tốn trở thành tìm a để hiệu 0 x     Thử với giá trị a  Ta nhập hiệu vào máy tính Casio hiệu  52  x  2x  dx     ln  0 x  2   Về mặt chất tích phân yaQ)d+2Q)+2RQ)+1R0E5$p (a5dR2$+5+h33o)) Rồi nhấn phím = Máy tính Casio báo giá trị khác đáo số A sai  Sửa vị trí a thành số số ta nhận kết khác đáp án B C sai  Thử với giá trị a  ta : yaQ)d+2Q)+2RQ)+1R0E2$p (a2dR2$+2+h3))= Khi hiệu tức A đáp án xác  Cách tham khảo : Tự luận a a x  2x     Tách tích phân thành :  dx    x    dx x 1 x 1 0   x2  x2 Vì   x  '  x  nên nguyên hàm x  x   1 Vì  ln x   '  nên nguyên hàm ln x  x 1 x 1 a  x2  a a2   Tóm lại   x    a  ln a   dx    x  ln x    x 1    0  Thiết lập quan hệ  a2 a2  a  ln a    a  ln  ln a   ln  a  2  Bình luận :  Bài tốn cịn có mẹo giải nhanh dành cho bạn tinh ý, quan sát hàm có mối liên hệ với nguyên hàm ln x  Ta f  x  chứa thành phần x 1 Trang 4/11 đặc câu hỏi phải ln x  cận ln a  có mối liên hệ với ln  ln a  suy a   Hầu hết tốn chứa tham số tích phân tác giả xin khuyên bạn nên dùng phương pháp Casio phương pháp tự luận nhiều loằng ngoằng dễ sai VD4-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] So sánh tích phân  I   xdx, J   sin x cos xdx, K   x.e x 0 Ta có kết sau A I  K  J B I  J  K C J  I  K D K  I  J GIẢI  Cách : CASIO  Tính giá trị tích phân I ta I  4.6666 ghi giá trị nháp ysQ)R1E4=n  Tính giá trị tích phân J ta J  0.3333 lại ghi giá trị nháp qw4yjQ))dkQ))R0EaqKR2 = n  Tính tiếp giá trị cuối K   qw3yQ)OQK^Q)R0E1=  Rõ ràng 4.6666   0.3333 hay I  K  J Vậy đáp án xác A  Bình luận :  Qua toán ta thấy rõ sức mạnh Casio giải nhanh tích phân xác định, phương pháp tự luận có dài dịng, tác giả xin không đề cập tới dành thời gian cho khác quan trọng VD 5-[Báo Tốn Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân   3x   x  dx A  B C 11 D GIẢI  Cách : CASIO  Cách gọi lệnh giá trị tuyệt đối qc Trang 5/11  Khi biết lệnh giá trị tuyệt đối nhập tích phân tính giá trị cách bình thường  y(qc3Q)p1$p2qcQ)$)R0E1  Nhấn nút =ta nhận giá trị tích phân I  0, 016666  Đây giá trị xuất đáp số A Vậy A đáp số xác toán  Cách tham khảo : Tự luận   3x   x  dx    3x   x  dx    3x   x  dx  0  Khi  x  3 3  5x  0  3x   x  dx  0 1  3x  x  dx 0 1  x  dx   x    18  Khi  x   x2  1  3x   x  dx  1  3x   x  dx 1  x  1 dx    x    3 3 1  1 Vậy I    x   x  dx    x   x  dx  1   18  Bình luận :  Để giải tốn tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải sử dụng phương pháp chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối 1 Ta biết 3x    x  x    x  ta chia đoạn  0;1 thành 3  1 1  đoạn 0;   ;1  3 3  Trang 6/11  Để tách tích phân thành tích phân ta sử dụng cơng thức chèn cận : Với giá trị c bất b kì thuộc đoạn  a; b  a c b f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a c VD 6-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]  Cho biết cos x  sin x  cos x dx  a  ln b   a  1.1  b  3 Tích ab ? A B C D GIẢI  Cách : CASIO   Tính cos x  sin x  cos x dx  0.5659  A qw4yakQ))RjQ))+kQ))R0E aqKR4= Lưu giá trị vào biến A qJz A  ln b Vậy ta có : a  ln b  0.5659  A  a   A  ln b 1     Nếu đáp số A ab   b   b  A  ln b       Sử dụng chức dị nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b Q)(Qzpa1R4$QQhQ)))paq KR2$qr=0.5= Khơng tìm b  Đáp án A sai     Với đáp án B ta có b  A  ln b      Q)(Qzpa1R4$hQ)))paqKR4 qr=0.5= Trang 7/11 thỏa điều kiện  a  1.1  b   Đáp số B xác tốn b2a   Bình luận :  Một tốn hay kết hợp lệnh tính tích phân lệnh dị nghiệm SHIFT SOLVE  Cách Casio có thêm ưu điểm tránh tích phân khó  cos x  sin x  cos x dx BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu  sin n x cos xdx  A B n : 64 C D Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân  3x x  : A B C 5 ln Bài 3-[Group Nhóm Tốn 2107] Tích phân e ln A ln B ln x D 3 dx :  2e  x  3 C ln D ln  a Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho cos x   sin x dx  ln Tìm giá trị a : A B C D a Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị a để   3x   dx  a  ?: B A C D x  ln x Bài 6-[THPT Thuận Thành – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân I   dx : x e A I  e  B I  e2  C I  e  D I  e2  Bài 1-[Chuyên Khoa học tự nhiên 2017] Nếu  sin n x cos xdx  A B C n : 64 D GIẢI Trang 8/11   Với n  tính giá trị tích phân  sin x cos xdx  1   Đáp án A sai 24 64 yjQ))dOkQ))R0EaqKR6=   Với n  tính giá trị tích phân  sin x cos xdx   Đáp án B xác 64 yjQ))^3$OkQ))R0EaqKR6=  Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất cụm cos xdx ” ta đặt t  sin x Bài 2-[Báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân  3x x  1dx : A B C 5 D 3 GIẢI  Tính tích phân  3x x    Đáp số xác B y3Q)sQ)d+1R0Es3=  Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất thức” ta đặt thức ẩn phụ Đặt t  x   t  x  Vi phân hai vế  xdx  2tdt  xdx  tdt x   t  Đổi biến :  Khi tích phân trở thành  3t.tdt  t  1 x   t  ln dx Bài 3-[Group Nhóm Tốn 2107] Tích phân  x : e  2e  x  ln A ln B ln C ln D ln GIẢI dx 3  Tính tích phân  x  0.4054  ln    Đáp số xác C x e  2e  2 ln ya1RQK^Q)$+2QK^pQ)$p3Rh 3)Eh5)= ln Trang 9/11  Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất e x ” ta đặt e x ẩn phụ Đặt t  e x Vi phân hai vế  e x dx  dt  x  ln  t  Đổi biến :  Khi tích phân trở thành  x  ln  t  ln 5 e x dx dt 3 ln e2 x  3e x   3 t  3t    ln    a Bài 4-[THPT Nho Quan – Ninh Bình 2017] Cho cos x   sin x dx  ln Tìm giá trị a : A B C D GIẢI   Thử với a  Tính tích phân cos x   sin x dx  0.2512  ln  Đáp số A sai qw4yak2Q))R1+2j2Q))R0Eaq KR3=   Thử với a  Tính tích phân cos x   sin x dx  0.2746  ln  Đáp số C sai $$E$R$o4=  Chú ý: Tự luận với dấu hiệu “xuất cụm cos 2xdx ” ta đặt sin 2x  t ẩn phụ a Bài 5-[Báo THTT tháng 11 năm 2016] Giá trị a để   3x   dx  a  ?: A B C GIẢI D a  Thiết lập phương trình   3x   dx   a    Vì đề cho sẵn nghiệm nên ta sử dụng phép thử Với a  vế trái phương trình :   3x   dx  13     Đáp án B Wy(3Q)d+2)R0E1$p(1+2)= Trang 10/11 e Bài 6-[THPT Thuận Thành – Bắc Ninh 2017] Tính tích phân I   A I  e  x  ln x dx : x 2 B I  e 1 C I  e  D I  e2 GIẢI x  ln x e2   Tính tích phân I   dx  4.1945   Đáp số xác B x yaQ)d+2hQ))RQ)R1EQK= e  Chú ý: Tự luận ta nên tách tích phân thành tích phân để dễ xử lý : e e I   xdx   ln x dx x 1 1 Nếu tích phân “xuất cụm dx “ Đặt ln x  t Vi phân hai vế  dx  dt x x e x  1 t  e 1 Đổi biến :  Khi tích phân trở thành  xdx   tdt  x  e  t  1 o Trang 11/11 ...  Tính tích phân I   dx  4.1945   Đáp số xác B x yaQ)d+2hQ))RQ)R1EQK= e  Chú ý: Tự luận ta nên tách tích phân thành tích phân để dễ xử lý : e e I   xdx   ln x dx x 1 1 Nếu tích phân. .. máy tính Casio số , dùng máy tính Casio thứ để tính kết qua đáp án A, B, C, D ta thấy đáp số C Đây giá trị giống hệt tích phân, C đáp số xác  Cách tham khảo : Tự luận   Đặt t  e2 x  Vi phân. .. tốn chứa tham số tích phân tác giả xin khuyên bạn nên dùng phương pháp Casio phương pháp tự luận nhiều loằng ngoằng dễ sai VD4-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] So sánh tích phân  I   xdx,