PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 28. TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG1. Góc giữa hai vecto Cho hai vecto u  x; y;z  và v  x ; y ;z  , góc giữa hai vecto u, v  được tính theo côngthức :  2 2 2 2 2 2. . . . cos ; . u v x x y y z zu vu v x y z x y z             Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng 0 0 0 ;180   2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d và d có hai vecto chỉ phương d uvà d u. Góc  giữa haiđường thẳng d, d được tính theo công thức :   . cos cos ; .d dd dd du uu uu u        ( tích vôhướng chia tích độ dài ) Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 0 0 0 ;90   3. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng P và Q có hai vecto pháp tuyến P nvà nQ. Góc  giữa haimặt phẳng P,Q được tính theo công thức :   . cos cos ; .P QP QP Qn nn nn n        Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 0 0 0 ;90   4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương uvà mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n. Góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng Q được tính theo công thứcsin  cosu;n   Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng 0 0 0 ;90   5. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVEII) VÍ DỤ MINH HỌAVD1Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017Trang 211Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;1;0, B3;0;4, C0;7;3 . Khiđó cos AB;BC   bằng :A.14 118354B. 143 118  C. 79857D. 79857 GIẢI Nhập hai vecto AB, BC  vào máy tính Casiow811p1=p1=4=w8213=7=p1= Tính   . 14cos ; 0.4296... ; 3 118AB BC AB BCAB BC         Wq53q57q54P(qcq53)Oqcq54))= Đáp số chính xác là BVD2Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016Góc giữa hai đường thẳng1 1:1 1 2x y z d      và 1 3 2 1 1x y z d     là :A. 0 45 B. 0 90 C. 0 60 D. 0 30GIẢI Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độqw3Đường thẳng d có vecto chỉ phương u 1; 1;2    , đường thẳng d có vecto chỉphương u 2;1;1    Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d;d thì   . cos cos ; . u uu uu u       w8111=p1=2=w8212=1=1=Wqcq53q57q54 P qcq53 Oqcq5) ( )4))= Ta có 0 cos  0.5    60Áp dụng công thức tính thể tích 1; 46VABCD  AB AC AD     Trang 311=qkM)= Đáp số chính xác là C

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 28 TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Góc giữa hai vecto

 Cho hai vecto u x y z ; ; 

và v x y z '; '; '

, góc giữa hai vecto u v ,

được tính theo công thức :

' ' ' cos ;

u v

 

 Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng 0 0

0 ;180

2 Góc giữa hai đường thẳng

 Cho hai đường thẳng d và ' d có hai vecto chỉ phương ud

và ud'

Góc  giữa hai

đường thẳng d d, ' được tính theo công thức :   '

'

cos cos ;

d d

u u

 

  ( tích vô

hướng chia tích độ dài )

 Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 0 0

0 ;90

3 Góc giữa hai mặt phẳng

 Cho hai mặt phẳng  P và  Q có hai vecto pháp tuyến nP

và nQ Góc  giữa hai

mặt phẳng    P , Q được tính theo công thức : cos cos ;  .

P Q

n n

 

 Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 0 0

0 ;90

4 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

 Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương u

và mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến n Góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng  Q được tính theo công thức

  sin  cos u n ;

 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng 0 0

0 ;90

5 Lệnh Caso

 Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8

 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1

 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB

 Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB

 Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP

 Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP

 Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7

 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE

II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Trang 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;1; 0, B  3; 0; 4, C0;7;3 Khi

đó cos AB BC; 

bằng :

A.14 118

354 B.

14

3 118

 C 798

57 D.

798 57



GIẢI

 Nhập hai vecto  AB BC,

vào máy tính Casio w811p1=p1=4=w8213=7=p1=

 Tính cos ;  . 0.4296 14

3 118

;

AB BC

 

q54))=

 Đáp số chính xác là B

VD2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016]

Góc giữa hai đường thẳng : 1 1

'

d     là :

A.450 B.900 C.60 D 0 0

30

GIẢI

 Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độ

qw3

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u1; 1; 2 

, đường thẳng d có vecto chỉ ' phương u' 2;1;1 

 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d d; ' thì cos cos ; ' '

'

u u

 

w8111=p1=2=w8212=1=1=W

q5

4))=

 Ta có cos 0.5 600

Áp dụng công thức tính thể tích 1 ; 4

6

ABCD

V    AB AC AD  

Trang 3

=qkM)=

 Đáp số chính xác là C

VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]

Tìm m để góc giữa hai vecto u1; log 5; log 23 m 

, v3; log 3; 45 

là góc nhọn

A.1 1

2

m

  B

1 1 0

2

m m







  



0

2

m

GIẢI

 Gọi góc giữa 2 vecto u v ,

là  thì cos .

u v

 

Để góc  nhọn thì

cos  0 u v  0

1.3 log 5.log 3 4.log 2m 0 log 2 1 0m

 Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 2 End

2 Step 0.5

0.25=

Ta thấy f 0.250.5  Đáp án C sai 0

Ta thấy f 1.254.1062  Đáp số B và D sai 0

 Đáp số chính xác là A

VD4-[Câu 42a trang 125 Sách bài tập nâng cao hình học 12]

Tìm  để hai mặt phẳng  : 1 5 0

4

P x y  z và

: sin cos sin 2 0

Q x y z   vuông góc với nhau

A.150 B.750 C.900 D Cả A, B, C đều đúng

GIẢI

 Mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến 1; 1; 1

4

P

n    



, mặt phẳng  Q có vecto pháp

sin ; cos ;sin

Q



Để hai mặt phẳng trên vuông góc với nhau  góc giữa nP

và nQ bằng

0

90 n n P Q 0

Trang 4

1 sin cos sin 0

4

    Đặt sin 1cos sin3

4

 Vì đề bài đã cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án bằng chức năng CALC của máy tính Casio

Với 0

15

jQ))pa1R4$kQ)

^

) 3

pjQ)) r15=

Với 0

75

r75=

 Đáp số chính xác là D

VD5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017]

Điểm H2; 1; 2   là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên mặt phẳng  P Tìm số đo

góc giữa mặt phẳng  P và mặt phẳng  Q :x   y 6 0

A.30 B.0 45 C.0 60 D.0 90 0

GIẢI

 Mặt phẳng  P vuông góc với OH nên nhận OH2; 1; 2  

là vecto pháp tuyến

  P : 2 x 2 1y 1 2z 2 0 2x y 2z 9 0

Mặt phẳng  Q có vecto pháp tuyến là nQ1; 1; 0 

 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q cos .

Q Q

OH n

 

 

w8112=p1=p2=w8211=p1=0=

Oqcq5

4))=

cos 0.7071 45

2

=qkM)=

 Đáp số chính xác là B

Trang 5

VD6-[Câu 47 trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Mặt phẳng  Q nào sau đây đi qua hai điểm A3;0; 0 và B0; 0;1 đồng thời tạo với mặt

phẳng Oxy một góc là  0

60

5 3 3 0



   



B 5 3 3 0

26 3 3 0

   







C 5 3 3 0

5 3 3 0

   



    



26 3 3 0

    





GIẢI

 Cách Casio

Để thực hiện cách này ta sẽ làm các phép thử Ta thấy tất cả các mặt phẳng xuất hiện trong đáp án đều đi qua 2 điểm A B, Vậy ta chỉ cần tính góc giữa mặt phẳng xuất

hiện trong đáp án và mặt phẳng Oxy là xong 

 Với mặt phẳng  Q :x 26y3z  có vecto pháp tuyến 3 0 n Q 1; 26; 3

, mặt phẳng Oxy có vecto pháp tuyến  n  0; 0;1

Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng trên ; 0

Q Q

n n

 

Oqcq5

)

4))=

 Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng  Q :x 26y3z  3 0

 Tiếp tục thử với mặt phẳng x5y3z 3 0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp án D đúng

 Cách tự luận

 Gọi mặt phẳng  Q có dạng AxByCzD0

3

D C  A 

Khi đó  : 1 1 0

3

Q  xBy  z và có vecto pháp tuyến 1; ; 1

3

Q

n  B  



 Góc giữa hai mặt phẳng trên là 600cos 600 ; 1

2

Q Q

n n

 

2

Q Q

n n

 

2

1 0 0 1.1

3

1

1 0 0 1

9 3

B

B B

 

 

Trang 6

2 10 2 10 2 26 26

 Đáp án chính xác là C

VD7-[Câu 71 trang 134 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

Tính góc giữa đường thẳng : 3 1 3

   và mặt phẳng  P :x2y   z 5 0

A.30 0 B.450 C.60 0 D.90 0

GIẢI

 Đường thẳng  có vecto chỉ phương u2;1;1

và mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến

1; 2; 1



Gọi  là góc giữa giữa 2 vectơ u n,

  Ta có cos  .

u n

 

 

  w8112=1=1=w8211=2=p1=

Oqcq5

4))=

 Gọi  là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng  P sin  cos 0.5

0

30



 

qjM)=

 Đáp án chính xác là A

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1-[Câu 21 trang 119 Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

Cho bốn điểm A1;1;0 , B0; 2;1 , C1; 0; 2 , D1;1;1 Tính góc giữa 2 đường thẳng AB

và CD :

A 30 0 B 60 0 C 90 0 D.120 0

Bài 2-[Câu 8 trang 142 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Cho u1;1; 2 

và v1; 0;m

Tìm m để góc giữa hai vecto u v,

 

là 0

45

2 6

m

  



 



B.m  2 6 C.m  2 6 D Không có m thỏa mãn

Cho hai mặt phẳng   2  2 

2xm y2z 1 0 vuông góc với nhau :

Trang 7

Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh bằng a Xét hai điểm là trung điểm ' ' ' ' ' ' B C

Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC '

A 1

3 B.

2

5 C.

3

2 D

2 2

Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Viết phương trình mặt phẳng  P chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng  Q : 2xy 5z 0 một góc 0

60

A 3 0

3 0

 



  



B 3 0

 



  



3 0

  



  



  



  



Cho  P : 3x4y5z 8  và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 0

  :x2y  , 1 0   :x2z   Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng 3 0

 P Khi đó :

A.300 B 0

45

  C.600 D  900

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1-[Câu 21trang 119Sách bài tập hình học nâng cao lớp 12]

Cho bốn điểm A1;1;0 , B0; 2;1 , C1; 0; 2 , D1;1;1 Tính góc giữa 2 đường thẳng AB

và CD :

A 30 B 0 60 C 0 90 D.0 120 0

GIẢI

 Đường thẳng AB nhận vecto AB  1;1;1

là vecto chỉ phương , đường thẳng CD nhận

0;1; 1

là vecto chỉ phương Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB CD, và được tính theo công thức :

cos cos ;

AB CD

 

 Nhập các vecto  AB CD,

vào máy tính Casio w811p1=1=1=w8210=1=p1=

AB CD

 

Oqcq5

4))=

Trang 8

Vậy đáp số chính xác là C

Cho u1;1; 2 

và v1; 0;m

Tìm m để góc giữa hai vecto u v,

 

là 0

45

2 6

m

  



 



B.m  2 6 C.m  2 6 D Không có m thỏa mãn

GIẢI

cos ;

u v





 

 Để góc giữa 2 vecto trên là 0

45 thì

0

 Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức năng CALC

$$pa1Rs2r2p

s6)=

2 6

m

   thỏa  Đáp số đúng chỉ có thể là A hoặc B

Tiếp tục kiểm tra với m  2 6

r2+s6)=

2 6

  không thỏa  Đáp số chính xác là B

Cho hai mặt phẳng   2  2 

P m xy m  z  và 2xm y2 2z 1 0 vuông góc với nhau :

GIẢI

 Mặt phẳng  P có vecto pháp tuyến  2 2 

; 1; 2



, mặt phẳng  Q có vecto pháp tuyến

' 2; ; 2

n m 

 Để hai mặt phẳng trên vuông góc nhau thì nn'n n  '0

 Đáp án chính xác là A

Trang 9

Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh bằng a Xét hai điểm là trung điểm ' ' ' ' ' ' B C

Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AP và BC '

A 1

3 B.

2

5 C.

3

2 D

2 2

GIẢI

 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz

chứa AA' Chọn a  khi đó : 1 A0; 0; 0 , B0;1;0 , D0;1;0 , A' 0; 0;1 , B' 1;0;1  ,

' 1;1;1

C

1

1; ;1

2

, 1; ;11

2

AP 



, BC' 0;1;1 

 Góc giữa 2 đường thẳng AP BC, ' là  thì cos ; ' 0.7071 2

2 '

AP BC

 

w8111=0.5=1=w8210=1=1=W

qc

) q54))=

 D là đáp số chính xác

Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách bài tập hình học nâng cao 12]

Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng  Q : 2xy 5z 0 một góc 600

A 3 0

3 0

 





 



B 3 0

 





  



3 0

  



  



  



  



GIẢI

 Cách Casio

 Với mặt phẳng  P :x3y có vecto pháp tuyến 0 n P 1;3

, mặt phẳng  Q có

vecto pháp tuyến n Q 2;1; 5

Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng trên cos ; 0.5 600

n n

 

qcq5

) )

4))=

 Đáp án chắc chắn phải chứa mặt phẳng x3y0

Trang 10

 Tiếp tục thử với mặt phẳng x3y0 nếu thỏa thì đáp án A đúng nếu không thì đáp

án C đúng

 Cách tự luận

 Gọi mặt phẳng  P có dạng AxByCzD0  P chứa trục Oz thì  P chứa 2

điểm thuộc trục Oz Gọi hai điểm đó là A0; 0; 0 và B0; 0;1

 P qua A  D  , 0  P qua BCD0CD0Chọn A 1

Khi đó  P :xBy0 và có vecto pháp tuyến nQ1; ; 0B 

 Góc giữa hai mặt phẳng trên là 0

cos 60

2

n n

 

  ; 1 0

2

Q Q

n n

 

 

 2 2

B B



3

B







  



 Đáp án chính xác là C

Cho  P : 3x4y5z 8  và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 0

  :x2y  , 1 0   :x2z   Gọi  là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng 3 0

 P Khi đó :

A.300 B 0

45

  C.600 D  900

GIẢI

 d là giao tuyến của hai mặt phẳng     ,  nên nhận d vuông góc với hai vecto pháp tuyến

của hai mặt phẳng này

 Vecto chỉ phương u d n n; 4; 4; 4

  

w8111=p2=0=w8211=0=p2=W

q53Oq54=

 Gọi  là góc giữa u n d; P

ta có cos . 0.8660 3

2

d P

u n

 

w8114=2=2=w8213=4=5=W

qcq

) 54))=

Trang 11

Ta có 3 0

2

    

qjM)=

 Đáp số chính xác là C

Chính xác là B

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	214,58 KB