PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 28. TÍNH NHANH GÓC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG1. Góc giữa hai vecto Cho hai vecto u  x; y;z  và v  x ; y ;z  , góc giữa hai vecto u, v  được tính theo côngthức :  2 2 2 2 2 2. . . . cos ; . u v x x y y z zu vu v x y z x y z             Góc giữa hai vectơ thuộc khoảng 0 0 0 ;180   2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d và d có hai vecto chỉ phương d uvà d u. Góc  giữa haiđường thẳng d, d được tính theo công thức :   . cos cos ; .d dd dd du uu uu u        ( tích vôhướng chia tích độ dài ) Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 0 0 0 ;90   3. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng P và Q có hai vecto pháp tuyến P nvà nQ. Góc  giữa haimặt phẳng P,Q được tính theo công thức :   . cos cos ; .P QP QP Qn nn nn n        Góc giữa hai đường thẳng thuộc khoảng 0 0 0 ;90   4. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương uvà mặt phẳng P có vecto pháp tuyến n. Góc  giữa đường thẳng d và mặt phẳng Q được tính theo công thứcsin  cosu;n   Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng thuộc khoảng 0 0 0 ;90   5. Lệnh Caso Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8 Nhập thông số vecto MODE 8 1 1 Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7 Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVEII) VÍ DỤ MINH HỌAVD1Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017Trang 211Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;1;0, B3;0;4, C0;7;3 . Khiđó cos AB;BC   bằng :A.14 118354B. 143 118  C. 79857D. 79857 GIẢI Nhập hai vecto AB, BC  vào máy tính Casiow811p1=p1=4=w8213=7=p1= Tính   . 14cos ; 0.4296... ; 3 118AB BC AB BCAB BC         Wq53q57q54P(qcq53)Oqcq54))= Đáp số chính xác là BVD2Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016Góc giữa hai đường thẳng1 1:1 1 2x y z d      và 1 3 2 1 1x y z d     là :A. 0 45 B. 0 90 C. 0 60 D. 0 30GIẢI Đề bài yêu cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính về chế độ độqw3Đường thẳng d có vecto chỉ phương u 1; 1;2    , đường thẳng d có vecto chỉphương u 2;1;1    Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d;d thì   . cos cos ; . u uu uu u       w8111=p1=2=w8212=1=1=Wqcq53q57q54 P qcq53 Oqcq5) ( )4))= Ta có 0 cos  0.5    60Áp dụng công thức tính thể tích 1; 46VABCD  AB AC AD     Trang 311=qkM)= Đáp số chính xác là C

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 28 TÍNH NHANH GĨC GIỮA VÉCTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Góc hai vecto      Cho hai vecto u  x; y; z  v  x '; y '; z '  , góc hai vecto u , v tính theo công thức :    u.v x.x ' y y ' z.z ' cos u; v     u.v x  y  z x '2  y '2  z '2   Góc hai vectơ thuộc khoảng  00 ;1800  Góc hai đường thẳng    Cho hai đường thẳng d d ' có hai vecto phương ud ud ' Góc  hai   ud ud '   đường thẳng d , d ' tính theo cơng thức : cos   cos ud ; ud '    ( tích vơ ud ud '    hướng chia tích độ dài )  Góc hai đường thẳng thuộc khoảng 00 ;900  Góc hai mặt phẳng    Cho hai mặt phẳng  P   Q  có hai vecto pháp tuyến nP nQ Góc  hai   nP nQ   mặt phẳng  P  ,  Q  tính theo cơng thức : cos   cos nP ; nQ    nP nQ   Góc hai đường thẳng thuộc khoảng 00 ;900  Góc đường thẳng mặt phẳng    Cho đường thẳng d có vecto phương u mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến n  Góc  đường thẳng d mặt phẳng  Q  tính theo cơng thức   sin   cos u; n   Góc đường thẳng mặt phẳng thuộc khoảng 00 ;900  Lệnh Caso  Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE  Nhập thông số vecto MODE 1  Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB  Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB  Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP  Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP  Lệnh dị nghiệm bất phương trình MODE  Lệnh dị nghiệm phương trình SHIFT SOLVE  II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Trang 1/11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A  2;1;0  , B  3;0;  , C  0;7;3 Khi   cos AB; BC :  A  14 798 798 C D  57 57 118 GIẢI   Nhập hai vecto AB, BC vào máy tính Casio w811p1=p1=4=w8213=7=p1= 14 118 354   B      AB.BC 14 Tính cos AB; BC     0.4296   118 AB; BC   Wq53q57q54P(qcq53)Oqc q54))=  Đáp số xác B VD2-[Câu 37 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016] x y  z 1 x 1 y z  Góc hai đường thẳng d :  d ' :    1 2 1 A 450 B 90 C 600 D 300 GIẢI  Đề u cầu tính góc theo đơn vị độ nên ta chuyển máy tính chế độ độ qw3  Đường thẳng d có vecto phương u 1; 1;  , đường thẳng d ' có vecto  phương u '  2;1;1   u.u '    Gọi  góc hai đường thẳng d ; d ' cos   cos u; u '    u u'   w8111=p1=2=w8212=1=1=W qcq53q57q54)P(qcq53)Oqc q54))=  Ta có cos   0.5    600 Áp dụng công thức tính thể tích VABCD     AB  AC ; AD   Trang 2/11 =qkM)=  Đáp số xác C VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017]   Tìm m để góc hai vecto u 1;log 5; log m  , v  3;log 3;  góc nhọn m  1  A  m  B 0  m    C  m  D m  GIẢI    u.v Gọi góc vecto u , v  cos     u.v Để góc  nhọn  cos    u.v   1.3  log 5.log  4.log m   log m   (1)  Để giải bất phương trình (1) ta sử dụng chức MODE với thiết lập Start 2 End Step 0.5 w7iQ)$2$+1==p0.5=1.5= 0.25= Ta thấy f  0.25  0.5   Đáp án C sai Ta thấy f 1.25   4.1062   Đáp số B D sai  Đáp số xác A VD4-[Câu 42a trang 125 Sách tập nâng cao hình học 12] Tìm  để hai mặt phẳng  P  : x  y  z    Q  : x sin   y cos   z sin    vng góc với A 150  B 750 C 90 D Cả A, B, C GIẢI    Mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến nP 1;  ; 1 , mặt phẳng  Q  có vecto pháp    tuyến nQ  sin  ;cos  ;sin     Để hai mặt phẳng vng góc với  góc nP nQ   900  nP nQ  Trang 3/11  1  sin   cos   sin   Đặt P  sin   cos   sin  4 Vì đề cho sẵn đáp án nên ta sử dụng phương pháp thử đáp án chức CALC máy tính Casio Với   150  P   Đáp án A jQ))pa1R4$kQ))pjQ)) ^3r15= Với   750  P   Đáp án B r75=  Đáp số xác D VD5-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Điểm H  2; 1; 2  hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên mặt phẳng  P  Tìm số đo góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  : x  y   A 300 B 450   C 600 D 900 GIẢI  Mặt phẳng  P  vng góc với OH nên nhận OH  2; 1; 2  vecto pháp tuyến   P  :  x    1 y  1   z     x  y  z    Mặt phẳng  Q  có vecto pháp tuyến nQ 1; 1;0    OH nQ Gọi  góc hai mặt phẳng  P   Q   cos     OH nQ w8112=p1=p2=w8211=p1=0= Wqcq53q57q54)P(qcq53) Oqcq54))= Vậy cos   0.7071  =qkM)=    450  Đáp số xác B Trang 4/11 VD6-[Câu 47 trang 126 Sách tập hình học nâng cao 12] Mặt phẳng  Q  sau qua hai điểm A  3;0;0  B  0;0;1 đồng thời tạo với mặt phẳng  Oxy  góc 600  x  26 y  3z   A   x  y  3z    x  y  3z   B   x  26 y  z    x  y  3z    x  26 y  3z   C  D   x  y  3z    x  26 y  3z   GIẢI  Cách Casio Để thực cách ta làm phép thử Ta thấy tất mặt phẳng xuất đáp án qua điểm A, B Vậy ta cần tính góc mặt phẳng xuất đáp án mặt phẳng  Oxy  xong   Với mặt phẳng  Q  : x  26 y  3z   có vecto pháp tuyến nQ  1;  26;3 , mặt  phẳng  Oxy  có vecto pháp tuyến n   0;0;1   nQ ; n Gọi  góc mặt phẳng  cos      0.5    600 nQ n   w8111=ps26)=3=w8210=0=1= Wqcq53q57q54)P(qcq53) Oqcq54))=  Đáp án chắn phải chứa mặt phẳng  Q  : x  26 y  3z    Tiếp tục thử với mặt phẳng x  y  3z   thỏa đáp án A khơng đáp án D  Cách tự luận  Gọi mặt phẳng  Q  có dạng Ax  By  Cz  D  Q  qua A  A  D  ,  Q  qua B  C  D  Chọn D   C  1; A     1  Khi  Q  :  x  By  z   có vecto pháp tuyến nQ   ; B; 1        nQ ; n nQ ; n 1 Góc hai mặt phẳng 600  cos 600          nQ n nQ n    B.0  1.1  1 2 2     B       0 B2  10  0 Trang 5/11 10 10 26 26   B2    B2  B 9  Đáp án xác C VD7-[Câu 71 trang 134 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x  y 1 z  Tính góc đường thẳng  : mặt phẳng  P  : x  y  z     1 A 300 B 450 C 600 D 900 GIẢI   Đường thẳng  có vecto phương u  2;1;1 mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến  n 1; 2; 1  u.n   Gọi  góc giữa vectơ u , n Ta có cos       u.n  B2  w8112=1=1=w8211=2=p1= Wqcq53q57q54)P(qcq53) Oqcq54))=  Gọi  góc đường thẳng  mặt phẳng  P   sin   cos   0.5    300 qjM)=  Đáp án xác A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Câu 21 trang 119 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho bốn điểm A 1;1;0  , B  0; 2;1 , C 1;0;  , D 1;1;1 Tính góc đường thẳng AB CD : A 300 B 600 C 900 Bài 2-[Câu trang 142 Sách tập hình học nâng cao 12]     Cho u 1;1; 2  v 1; 0; m  Tìm m để góc hai vecto u , v 450 D 1200 m   A  B m   C m   D Không có m thỏa mãn m   Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách tập hình học nâng cao 12] Cho hai mặt phẳng  P  : m x  y   m   z   x  m y  z   vng góc với : A m  B m  C m  D m  Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách tập hình học nâng cao 12] Trang 6/11 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Xét hai điểm trung điểm B ' C ' Tính cosin góc hai đường thẳng AP BC ' 2 A B C D 2 Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách tập hình học nâng cao 12] Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oz tạo với mặt phẳng  Q  : x  y  z  góc 600 3x  y  3x  y  x  3y  x  3y  A  B  C  D  x  3y   3 x  y  x  3y  3x  y  Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho  P  : 3x  y  5z   đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  y   ,    : x  z    P  Khi : A   30 C   600 B   450 Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng D   900 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Câu 21trang 119Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho bốn điểm A 1;1;0  , B  0; 2;1 , C 1;0;  , D 1;1;1 Tính góc đường thẳng AB CD : A 300 B 600 C 900 D 1200 GIẢI   Đường thẳng AB nhận vecto AB  1;1;1 vecto phương , đường thẳng CD nhận  CD  0;1; 1 vecto phương Gọi  góc hai đường thẳng AB, CD tính theo cơng thức :   AB.CD   cos   cos AB; CD    AB CD    Nhập vecto AB, CD vào máy tính Casio w811p1=1=1=w8210=1=p1=     AB.CD    Tính cos   cos AB; CD        900 AB CD   Wqcq53q57q54)P(qcq53) Oqcq54))= Trang 7/11 Vậy đáp số xác C Bài 2-[Câu trang 142 Sách tập hình học nâng cao 12]     Cho u 1;1; 2  v 1; 0; m  Tìm m để góc hai vecto u , v 450 m   A  B m   C m   D Khơng có m thỏa mãn m   GIẢI    u.v  2m  Ta có cos u; v     u.v m    1  2m   0 2 m  m   Để kiểm tra giá trị m thỏa mãn ta sử dụng máy tính Casio với chức CALC Với m   w1a1p2Q)Rs6$OsQ)d+1  Để góc vecto 450  2m  $$pa1Rs2r2ps6)=  m   thỏa  Đáp số A B Tiếp tục kiểm tra với m   r2+s6)=   không thỏa  Đáp số xác B Bài 3-[Câu 14 trang 143 Sách tập hình học nâng cao 12] Cho hai mặt phẳng  P  : m x  y   m   z   x  m y  z   vng góc với : A m  C m  D m  GIẢI   Mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến n  m ; 1; m   , mặt phẳng  Q  có vecto pháp tuyến  n '  2; m ; 2       Để hai mặt phẳng vng góc n  n '  n.n '   m 2  m   m    2     m   m  2 B m   Đáp án xác A Bài 4-[Câu 94 trang 140 Sách tập hình học nâng cao 12] Trang 8/11 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Xét hai điểm trung điểm B ' C ' Tính cosin góc hai đường thẳng AP BC ' 2 A B C D 2 GIẢI  Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc đỉnh A , tia Ox chứa AB , tia Oy chứa AD , tia Oz chứa AA ' Chọn a  : A  0;0;0  , B  0;1;0  , D  0;1;0  , A '  0;0;1 , B ' 1;0;1 , C ' 1;1;1        P  1; ;1 , AP 1; ;1 , BC '  0;1;1       AP; BC '  Góc đường thẳng AP, BC '  cos      0.7071  AP BC ' w8111=0.5=1=w8210=1=1=W qcq53q57q54)P(qcq53)O qcq54))=  D đáp số xác Bài 5-[Câu 47a trang 126 Sách tập hình học nâng cao 12] Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa trục Oz tạo với mặt phẳng  Q  : x  y  z  góc 600 x  3y  x  3y  A  B  x  3y   3 x  y  3x  y  C  x  3y  GIẢI 3x  y  D  3x  y   Cách Casio   Với mặt phẳng  P  : x  y  có vecto pháp tuyến nP  1;3 , mặt phẳng  Q  có  vecto pháp tuyến nQ  2;1;    nP ; nQ Gọi  góc mặt phẳng  cos      0.5    600 nP nQ   w8111=3=0=w8212=1=ps5)=W qcq53q57q54)P(qcq53)O qcq54))=  Đáp án chắn phải chứa mặt phẳng x  y  Trang 9/11  Tiếp tục thử với mặt phẳng x  y  thỏa đáp án A khơng đáp án C  Cách tự luận  Gọi mặt phẳng  P  có dạng Ax  By  Cz  D   P  chứa trục Oz  P  chứa điểm thuộc trục Oz Gọi hai điểm A  0;0;0  B  0;0;1  P  qua A  D  ,  P  qua B  C  D   C  D  Chọn A   Khi  P  : x  By  có vecto pháp tuyến nQ 1; B;0      n ; n n P Q Q;n 1 Góc hai mặt phẳng 600  cos 600          nP nQ nQ n   1    1.2  B.1    12  B  02 22 2  B2 1   10 B  B   B   10 B    B  B    10  B  1  B  16 B     B    2 2  Đáp án xác C Bài 6-[Câu 19 trang 145 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho  P  : 3x  y  5z   đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  y   ,    : x  z    P  Khi : Gọi  góc đường thẳng d mặt phẳng D   900 GIẢI  d giao tuyến hai mặt phẳng   ,    nên nhận d vng góc với hai vecto pháp tuyến hai mặt phẳng     Vecto phương ud   n ; n    4; 4;  A   30 B   450 C   600 w8111=p2=0=w8211=0=p2=W q53Oq54=     ud nP  Gọi  góc ud ; nP ta có cos      0.8660  u d nP w8114=2=2=w8213=4=5=W qcq53q57q54)P(qcq53)O qcq54))= Trang 10/11 Ta có sin   cos   qjM)=    600  Đáp số xác C Chính xác B Trang 11/11 ... 12] x  y 1 z  Tính góc đường thẳng  : mặt phẳng  P  : x  y  z     1 A 300 B 450 C 600 D 900 GIẢI   Đường thẳng  có vecto phương u  2;1;1 mặt phẳng  P  có vecto pháp tuyến  n...   GIẢI  Cách Casio Để thực cách ta làm phép thử Ta thấy tất mặt phẳng xuất đáp án qua điểm A, B Vậy ta cần tính góc mặt phẳng xuất đáp án mặt phẳng  Oxy  xong   Với mặt phẳng  Q ... 2  hình chiếu vng góc gốc tọa độ O lên mặt phẳng  P  Tìm số đo góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  : x  y   A 300 B 450   C 600 D 900 GIẢI  Mặt phẳng  P  vng góc với OH nên nhận