1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x, y g x và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức b a S f x g x dx (1) (Dạng 1) Quy ước : Trong bài học này ta gọi đường thẳng x a là cận thứ nhất , x b là cận thứ hai Chú ý : Khi đề bài không cho hai cận thì hai cận sẽ có dạng 1 x x , 2 x x với 1 2 x x, là hai nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số x f y , x g y và hai cận y a, y b được tính theo công thức : b a S f y g y dy (2) (Dạng 2) 3. Tổng hợp phương pháp (gồm 3 bước) +)Bước 1: Xác định rõ hai hàm y f x, y g x hoặc x f y, x g y +)Bước 2: Xác định rõ 2 cận x a, x b hoặc y a, y b +)Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) rồi sử dụng máy tính casio 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1Đề minh họa môn Toán Bộ GDĐT lần 1năm 2017 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y x x và đồ thị hàm số 2 y x x A. 37 12 B. 9 4 C. 81 12 D. 13 GIẢI Ta có hai hàm số 3 y x x và 2 y x x Giải phương trình hoành độ giao điểm 3 2 3 2 0 2 0 1 2 x x x x x x x x x x Ta có 3 cận x 0; x 1; x 2 mà công thức chỉ có 2 cận vậy ta chia thành 2 khoảng cận 2 x 0 và 0 x 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 y x x , y 3 x và hai đường thẳng x 2; x 0 là 0 3 2 1 2 S x x x x dx Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 y x x , y 3 x và hai đường thẳng x 0; x 1 là 1 3 2 2 0 S x x x x dx Vậy tổng diện tích 0 1 3 2 3 2 2 0 S x x x x dx x x x x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân Trang 213 yqc(Q)3pQ))p(Q)pQ)d) Rp2E0+yqc(Q)3pQ))p( Q)pQ)d)R0E1= Vậy 37 12 S ta chọn đáp án chính xác là A Bình luận : Thật tuyệt vời phải không, và tư đây theo 3 bước kết hợp Casio ta sẽ làm mọi bài liên quan đến tính diện tích hình phẳng. VD2Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017 Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x 1, y ln 2. x, x 2 . Diện tích miền phẳng D bằng : A. 3 ln 16. 2 1 3ln 3 1 B. 4 ln2. 2 1 3ln3 1 3 C. 16 4 ln 2 ln2 1 27 3 D. 3 16 4 2 ln ln 2 1 27 3 GIẢI Ta có hai hàm số y ln x 1 và y ln 2. x Cận đầu tiên là x 2 ta đi tìm cận tiếp theo bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm ln x 1 ln 2. x ln x 1 ln 2. x 0 Để giải nhanh phương trình này ta sẽ sử dụng Casio với chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hQ)+1)ph2)OsQ)qr2= Ta được nghiệm x 1 Vậy ta tìm được hai cận x 1; x 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số y ln x 1 , y ln 2. x và hai đường thẳng x 1; x 2 là 2 1 S ln x 1 ln 2. x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2= Vậy S 0,0646... Tính giá trị xem đáp án nào có kết quả 0,0646... thì là đáp án chính xac. ta chọn B Bình luận : Trang 313 Việc tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta có thể tính nhanh bằng kỹ thuật dò nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE đã được học ở bài trước.
PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 20 TÍNH NHANH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f x , y g x hai đường thẳng x a, x b tính theo cơng thức b S f x g x dx (1) (Dạng 1) a Quy ước : Trong học ta gọi đường thẳng x a cận thứ , x b cận thứ hai Chú ý : Khi đề không cho hai cận hai cận có dạng x x1 , x x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x f y , x g y hai cận y a, y b tính theo cơng thức : b S f y g y dy (2) (Dạng 2) a Tổng hợp phương pháp (gồm bước) +)Bước 1: Xác định rõ hai hàm y f x , y g x x f y , x g y +)Bước 2: Xác định rõ cận x a, x b y a, y b +)Bước 3: Lắp vào công thức (1) hoăc (2) sử dụng máy tính casio 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa mơn Tốn Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x3 x đồ thị hàm số y x x 37 A 12 81 C 12 B D 13 GIẢI Ta có hai hàm số y x x y x x x Giải phương trình hồnh độ giao điểm x x x x x x x x x 2 Ta có cận x 0; x 1; x 2 mà cơng thức có cận ta chia thành khoảng cận 2 x x Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x3 x , y x hai đường thẳng 3 x 2; x S1 x x x x dx 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị y x3 x , y x hai đường thẳng x 0; x S x x x x dx 0 Vậy tổng diện tích S x x x x 2 dx x x x x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân Trang 1/13 yqc(Q)^3$pQ))p(Q)pQ)d) Rp2E0$+yqc(Q)^3$pQ))p( Q)pQ)d)R0E1= 37 ta chọn đáp án xác A 12 Bình luận : Thật tuyệt vời phải không, tư theo bước kết hợp Casio ta làm liên quan đến tính diện tích hình phẳng VD2-[Đề cương chun KHTN Hà Nội năm 2017] Cho miền D giới hạn đồ thị hàm số y ln x 1 , y ln x , x Diện tích miền Vậy S phẳng D : A ln 16 C ln B ln 2 3ln ln 16 ln 27 ln 16 ln 27 D GIẢI Ta có hai hàm số y ln x 1 y ln x 1 Cận x ta tìm cận cách giải phương trình hồnh độ giao điểm ln x 1 ln x ln x 1 ln x Để giải nhanh phương trình ta sử dụng Casio với chức dò nghiệm SHIFT SOLVE hQ)+1)ph2)OsQ)qr2= Ta nghiệm x Vậy ta tìm hai cận x 1; x Diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm số y ln x 1 , y ln x hai đường thẳng x 1; x S ln x 1 ln x dx Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqchQ)+1)ph2)OsQ)R1E2= Vậy S 0, 0646 Tính giá trị xem đáp án có kết 0, 0646 đáp án xac ta chọn B Bình luận : Trang 2/13 Việc tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm hay tung độ giao điểm mà phức tạp ta tính nhanh kỹ thuật dò nghiệm với chức SHIFT SOLVE học trước VD3-[Th thử website Vnmath.com lần năm 2017] Đường thẳng y c chia hình phẳng giới hạn đường cong y x đường thẳng y thành hai phần Tìm c A B C 2 D 16 3 GIẢI Hai hàm số y x y Giải phương trình hoành độ giao điểm x x 2 Vậy cận thứ x 2 cận thứ hai x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x , y hai đường thẳng x 2, x : S x dx 2 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp4Rp2E2= 32 16 nửa diện tích 3 Vì đường thẳng y c chia hình phẳng S thành phần Diện tích hình 16 phẳng giới hạn đường cong y x , đường thẳng y c có độ lớn 3 Thử với đáp án A ta có y 16 Giải phương trình hồnh độ giao điểm Vậy S x 16 x 16 S1 16 x 16 dx 16 yqcQ)dpqs16Rpq^6$16Eq^ 6$16= 16 Vậy S1 (đúng) đáp án xác A VD4-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x trục Oy : A B C D 16 GIẢI Hai hàm số x y trục Oy có phương trình x Giải phương trình tung độ giao điểm y y 1 Vậy cận thứ y 1 cận thứ hai y Trang 3/13 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x y , x hai đường thẳng y 1, y : S y 1 dy 1 Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)dp1Rp1E1= đáp số xác C Bình luận : Bài tốn nên đưa dạng dễ dàng tính tốn Nếu đưa dạng ta phải tính y x lại phải tìm cận khó Ta hiểu với máy tính X hay Y kí hiệu nên Vậy S S y 1 1 dy x 1 dx 1 Nên ta thực phép tính với máy tính casio VD5-[Sách tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x y , đường cong x y trục hoành A 5 C B D GIẢI Hai hàm số x y x y Trục hồnh có phương trình y cận thứ y Để tìm cần thứ hai ta giải phương trình tung độ giao điểm : y y Để giải nhanh ta sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE Q)^a2R3$$+Q)^4$p2qr1= cận thứ hai y Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x y , x x hai đường 23 thẳng y 0, y : S y y dy Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqcQ)^a2R3$$p2+Q)^4R0E 1= Trang 4/13 Vậy S đáp số xác A Bình luận : Do cài đặt làm trịn máy tính máy nên ta nhanh nhạy việc làm trịn để tìm đáp án VD6-[Thi thử lớp tốn thầy Bình lần năm 2017] y2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn Elip có phương trình x 1 9 A B C 3 D 7 GIẢI Ta có x y y y2 y2 x2 x 1 Hai hàm số x 9 9 y2 Để tìm hai cận ta giải phương trình tung độ giao điểm : x 1 y2 y2 y2 1 1 1 y y 3 9 cận thứ y 3 cận thứ hai y y2 y2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số x , x 1 hai 9 đường thẳng y 3, y : S 3 1 y2 y2 dy Sử dụng Casio với lệnh tính tích phân yqc2s1paQ)dR9Rp3E3= Vậy S 9.4247 3 đáp số xác B Bình luận : Trong chương trình lớp 10 sách giáo khoa đề cập đến tính chất hình Elip chưa đề cập đến cơng thức tính diện tích Elip việc sử dụng tích phân để tính diện tích Elip ứng dụng tuyệt vời VD7-[Thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB, CD đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB 2 m , AD m Tính diện tích đất phần cịn lại (đơn vị tính m ) Trang 5/13 A 4 C B 1 D 4 GIẢI Diện tích hình chữ nhật ABCD : S1 AB.CD 4 m Hình sin có biên độ 1 chu kì 2 nên có phương trình : y sin x Gắn hinh lên trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O giao điểm đồ thị hình sin với trục hồnh MN Ta có diện tích hình mầu đen bên phải trục hoành : S sin x dx qw4yqcjQ))p0R0EqK= Diện tích cần tìm S1 S 4 đáp số xác B Bình luận : Nếu đề thay đổi thành AD biên độ hình sin 2 có phương trình y sin x VD8-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Cho hình thang cong H giới hạn đường y e x , y 0, x x ln Đường thẳng x k k ln chia H thành hai phần có diện tích S1 , S hình vẽ bên Tìm k để S1 S 2 A k ln B k ln C k ln D k ln 3 GIẢI ln Gọi S diện tích hình H ta có S e x dx yqcQK^Q)R0Eh4)= k Vì S1 S mà tổng diện tích S1 e x dx Thử đáp án ta có k ln yqcQK^Q)R0Eh3)= Trang 6/13 Đáp số xác D VD9-[Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng m Hổi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất ? (Số tiền làm tròn đến hàng ngàn) A 7.862.000 B 7.653.000 C 7.128.000 D 7.826.000 GIẢI Xét hệ tọa độ Oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình Elip viền khu vườn x2 y 1 64 25 x2 64 Diện tích S dải đất lần phần hình phẳng giới hạn đồ thị y f x , trục hoành, đường thẳng x 4 , đường thẳng x Xét phần đồ thị Elip nằm phía trục hồnh có y S 1 4 x2 dx 76.5389182 64 2yqc5s1paQ)dR64Rp4E4= Số tiền cần 100.000S O100000= Đáp số xác B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x , đường thẳng y x trục hoành miền x : A B C D D 15 Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x x y x x A 15 14 B 15 C 15 Trang 7/13 Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x y x : 10 A 40 C 20 B D 52 Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x đồ thị hàm số y x trục tung A ln B ln C 5 ln D ln Bài 5-[Đoàn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm toán 12] Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y ln x , y , x 1 thể viết dạng S a 1 Tìm khẳng định sai : e A B a 3a 2 a 3a a a20 , x e có e C a 3a D Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số P : y x x tiếp tuyến với P qua điểm A 2; 2 : A 16 C 64 B D 40 Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y ax a , trục hoành đường thẳng x a ka Tính giá trị tham số k A k B k C k 12 D k LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên KHTN Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y x , đường thẳng y x trục hoành miền x : A 10 C B D GIẢI x Phương trình hồnh độ giao điểm x x Tuy nhiên đề yêu cầu tính diện x 2 tích miền x Ta tính diện tích hình phẳng miền 0;1 Cận thứ x , cận thứ hai x Diện tích cần tính : S x x dx Trang 8/13 yqcQ)dp(2pQ))R0E1= Chú ý: Nếu đề khơng u cầu tính diện tích hình phẳng miền x ta tính tồn miền 2;0 Ta có : S x x dx 2 Nếu đề yêu cầu tính diện tích hình phẳng miền x ta tính miền 2;0 Ta 10 Các e học sinh ý điều dễ gây nhầm lẫn Bài 2-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x x y x x có : S x x dx 2 15 A B 14 15 C 15 D 15 GIẢI x Phương trình hồnh độ giao điểm x x x x x x x x 1 x x 1 Ta có cận thứ x 1 , cận thứ hai , cận thứ ba x 1 Diện tích cần tính : S x x 1 x x 1 dx x x 1 x x 1 dx 1 15 yqc(Q)d+Q)p1)p(Q)^4$+Q)p 1)Rp1E0$+yqc(Q)d+Q)p1)p( Q)^4+Q)p1)R0E1= 4 2 Đáp số xác C Chú ý: Em hiểu phép biến đổi tính diện tích bấm máy theo công thức 1 S x x dx x x dx rút gọn thao tác bấm máy Bài 3-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x y x : A 10 B 40 20 C D 52 GIẢI Phương trình hồnh độ giao điểm x x x x x x (1) Với x (1) x x x (vì x ) Với x (1) x x x 2 (vì x ) Cận thứ x 2 , cận thứ hai x Trang 9/13 20 yqcQ)d+1pqcQ)$p3Rp2E2= Diện tích cần tính : S 2 x x 3 dx Đáp số xác B Chú ý: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối x x giải Casio thay chia khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối Q)dpqcQ)$p2qrp5= qr5= Ta tìm hai nghiệm x 2; x Bài 4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x đồ thị hàm số y x trục tung A ln B ln C 5 ln D ln GIẢI Đề cho trục tung có phương trình x nên cận thứ x Phương trình hoành độ giao điểm x x x nghiệm cận thứ hai x 1 Diện tích cần tính : S x x dx 1.0573 ln yqc2^Q)$p(3pQ))R0E1= Đáp số xác A Chú ý: Để giải phương trình x x ta sử dụng máy tính Casio 2^Q)$Qr3pQ)qr1= Ta nhận nghiệm x Tuy nhiên x lại nghiệm xem lại “Sử dụng Casio tìm nghiệm phương trình mũ.” Bài 5-[Đồn Quỳnh -Sách tập trắc nghiệm tốn 12] Trang 10/13 Biết diện tích S hình phẳng giới hạn đường y ln x , y , x 1 thể viết dạng S a 1 Tìm khẳng định sai : e A B a 3a 2 a 3a a a20 , x e có e C a 3a D GIẢI Diện tích hình phẳng giới hạn y ln x , y , x , x e : e e S ln x dx 1.2642 e yqchQ))Ra1RQKEEQK= S 1 2 Vì S a 1 a e 1 e P(1pa1RQK$)= Chỉ có phương trình câu C khơng chứa nghiệm đáp án C đáp án xác Chú ý: Bài không cần dùng đến kiến thức tích phân làm Đề u cầu tìm đáp án mà số a khơng thỏa mãn a khơng phải nghiệm chung phương trình Mà nghiệm chung phương trình nên đáp số C không thỏa mãn Bài 6-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số P : y x x tiếp tuyến với P qua điểm A 2; 2 : A 16 C 64 B D 40 GIẢI Viết phương trình tiếp tuyến qua A 2; 2 ta thu Tiếp tuyến thứ y 2 x với tiếp điểm B 0; Tiếp tuyến thứ hai y x 14 với tiếp điểm C 4;10 Ta hiểu hình phẳng cần tính diện tích phần đường cong có đỉnh A, B, C ta thu ba cận : x 0; x 2; x 4 S x x 2 x dx x x x 14 dx 2 16 Trang 11/13 yqc(Q)dp2Q)+2)p(p2Q)+2)R 0E2$+yqc(Q)dp2Q)+2)p(6Q) p14)R2E4= Đáp số xác C Chú ý: Để biết tiếp tuyến lại y 2 x 2; y x 14 xem lại Casio tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số Giải thích cơng thức (1) : Trên miền x 0; 2 ta thấy hai cận hình thành hai đường cong y x x 2; y 2 x nên diện tích phải tính theo cơng thức x x 2 x dx Bài 7-[Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội lần năm 2017] Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y ax a , trục hoành đường thẳng x a ka Tính giá trị tham số k A k B k C k 12 D k GIẢI Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong trục hoành : ax x Ta cận thứ x cận thứ hai x a Khi diện tích hình phẳng : a S ax dx a a Thiết lập quan hệ 2 ax dx ka k 2 ax dx a2 Chọn giá trị dương a ví a dụ a k x dx 1.33 3 90 a1R9$Oy2s3Q)R0E3= Ra kết khác đáp án A sai Đáp số xác B Chú ý: Dù ta chọn giá trị dương a đáp số k Khi k 1.1252 1.125 1.125 x dx 1.33 3 ví dụ ta chọn a 1.125 a1R1.125d$y2s1.125Q)R0E1 125= Trang 12/13 Trang 13/13 ... ý: Nếu đề khơng u cầu tính diện tích hình phẳng miền x ta tính tồn miền 2;0 Ta có : S x x dx 2 Nếu đề yêu cầu tính diện tích hình phẳng miền x ta tính miền 2;0 Ta... Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x x y x x A 15 14 B 15 C 15 Trang 7/13 Bài 3-[Đề cương chun KHTN Hà Nội năm 2017] Diện tích hình phẳng giới... 1 1 dy x 1 dx 1 Nên ta thực phép tính với máy tính casio VD5-[Sách tập Nâng cao Giải tích lớp 12 t.153] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x y , đường cong x y