PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 21. TÍNH NHANH THỂ TÍCH TRÒN XOAY

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Dạng 1 : Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S  x tạo bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x a  x  b . Giả sử S  x là hàm liên tục thì thể tích vật thể tích theo công thức :   b a V  S x dx  2. Dạng 2 : Cho hình phẳng H  tạo bởi các đường y  f  x , y  g  x và các đường thẳng x  a , x  b . Khi quay hình phẳng H  quanh trục Ox thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo công thức :     2 2 b a V   f x  g x dx  3. Dạng 3 : Cho hình phẳng H  tạo bởi các đường x  f  y , x  g  y và các đường thẳng y  a , y  b . Khi quay hình phẳng H  quanh trục Oy thì được vật thể tròn xoay có thể tích tính theo công thức :     2 2 b a V   f y  g y dy  2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1Đề minh họa môn Toán Bộ GDĐT lần 1năm 2017 Kí hiệu H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 1 x y  x  e , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi hình H  quay xung quanh trục Ox A. V  4  2e B. V  4  2e C.  2 V e 5 D.     2 V e 5 GIẢI  Hình phẳng được giới hạn bởi trục tung  cận thứ nhất là : x  0 Trục hoành có phương trình y  0 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường cong 2 1 x y  x  e và trục hoành  2 1 0 1 x x  e   x  Vậy cận thứ 2 là : x 1  Thể tích     1 2 2 0 2 1 0 x V   x  e  dx  Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2(Q)p1)QKQ))d R0E1=   2 V  7.5054...   e  5  Vậy ta chọn đáp án D  Cách tham khảo : Tự luận Trang 211  Thể tích       1 1 2 2 2 0 0 2 1 0 4 1 x x V   x  e  dx   x  e dx    Vì biểu thức dưới dấu tích phân có dạng u  x.v  x nên ta sử dụng tích phân từng phần. Tuy nhiên làm dạng này rất mất thời gian. Tác giả khuyến khích bạn đọc làm theo casio, dành thời gian cho việc tư duy xây dựng công thức để bấm máy.  Bình luận :  Qua ví dụ đầu tiên ta cũng đã thấy ngay sức mạnh của Casio khi xử lý các bài tích phân, các bài ứng dụng tích phân so với cách làm tự luận truyền thống. VD2Thi thử Group Nhóm toán lần 3 năm 2017 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 y  1 x ; y  0 quanh trục Ox A. 3 4 B. 4 3 C.  3 4 D.  4 3 GIẢI  Hàm thứ nhất : 2 y  1 x , hàm thứ hai : y  0 Giải phương trình hoành độ giao điểm 2 2 1 1 0 1 0 1 x x x x              Cận thứ nhất : x  1, cận thứ hai : x 1  Thể tích   1 2 2 2 1 V  1 x 0 dx      Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc1pQ)dRp1E1= 4 3 V    Vậy ta chọn đáp án D

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 21 TÍNH NHANH THỂ TÍCH TRỊN XOAY 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Dạng : Thể tích vật thể có diện tích thiết diện S  x  tạo mặt phẳng vuông góc với Ox điểm có hồnh độ x  a  x  b  Giả sử S  x  hàm liên tục thể tích vật thể tích theo cơng thức : b V   S  x  dx a Dạng : Cho hình phẳng  H  tạo đường y  f  x  , y  g  x  đường thẳng x  a , x  b Khi quay hình phẳng  H  quanh trục Ox vật thể trịn xoay tích tính theo cơng thức : b V    f  x   g  x  dx a Dạng : Cho hình phẳng  H  tạo đường x  f  y  , x  g  y  đường thẳng y  a , y  b Khi quay hình phẳng  H  quanh trục Oy vật thể trịn xoay tích tính theo cơng thức : b V    f  y   g  y  dy a 2) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa mơn Tốn Bộ GD-ĐT lần 1năm 2017] Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu hình  H  quay xung quanh trục Ox A B V    2e   V   2e C V  e  D V   e    GIẢI  Hình phẳng giới hạn trục tung  cận thứ : x  Trục hồnh có phương trình y  Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong y   x  1 e x trục hoành   x  1 e x   x  Vậy cận thứ : x  1  Thể tích V      x  1 e x   02 dx Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2(Q)p1)QK^Q)$)d R0E1=  V  7.5054    e    Vậy ta chọn đáp án D  Cách tham khảo : Tự luận Trang 1/11 1 2 Thể tích V      x  1 e x   02 dx  4   x  1 e x dx  0 Vì biểu thức dấu tích phân có dạng u  x  v '  x  nên ta sử dụng tích phân phần Tuy nhiên làm dạng thời gian Tác giả khuyến khích bạn đọc làm theo casio, dành thời gian cho việc tư xây dựng cơng thức để bấm máy  Bình luận :  Qua ví dụ ta thấy sức mạnh Casio xử lý tích phân, ứng dụng tích phân so với cách làm tự luận truyền thống  VD2-[Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017] Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x ; y  quanh trục Ox A  C 4 B D  GIẢI  Hàm thứ : y   x , hàm thứ hai : y   x  1 Giải phương trình hoành độ giao điểm  x    x    x   Cận thứ : x  1 , cận thứ hai : x  1  Thể tích V    1    dx  x2 Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc1pQ)dRp1E1= V    Vậy ta chọn đáp án D VD3-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho D miền hình phẳng giới hạn y  sin x ; y  0; x  0; x   Khi D quay quanh Ox tạo thành khối trịn xoay Thể tích khối tròn xoay thu : A B C  D  GIẢI  Hàm thứ : y  sin x , hàm thứ hai : y   Cận thứ : x  , cận thứ hai : x    Thể tích V     sin x   02 dx Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân Trang 2/11 qw4qKyqcjQ))R0EaqKR2= V    Vậy ta chọn đáp án B VD4-[Sách tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị 2y hàm số x  đường thẳng y  0; y  y 1 A B 2 C 3  D  GIẢI 2y , hàm thứ hai : x  y 1 Cận thứ y  , cận thứ hai y   Hàm thứ x  2  2y   Thể tích V         dy  y 1   Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(as2Q)RQ)d+1$)dR0 E1= V    Vậy ta chọn đáp án C VD5-[Sách tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x đường thẳng y  0, y  : A   C B  D  GIẢI  Xét y  x  x   x  1   y Vì  x  1    y   y  Khi x     y  x    y hàm thứ có dạng x    y , hàm thứ hai : x    y  Phương trình hồnh độ giao điểm   y    y   y   y  Vì y   cận thứ x  cận thứ hai y  Trang 3/11   Thể tích V      y   2  1 y  dy Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(1+s1pQ)$)dp(1ps1 pQ)$)dR0E1=  V  8, 3775    Vậy ta chọn đáp án B VD6-[Sách tập giải tích nâng cao lớp 12 T.154] Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn hình trịn trịn tâm I  2;0  bán kính R  : A B 4 C 5 42 D 2 GIẢI  Hàm thứ đừng trịn tâm I  2;0  bán kính R  có phương trình 2  x  2   y  0    x  2   y2 Vì  x  1    y   1  y  Khi x    1 y2  x   1 y2 hàm thứ có dạng x    y , hàm thứ hai : x    y  y  1  Phương trình hồnh độ giao điểm   y    y   y    y 1  Cận thứ y  1 cận thứ hai y  1   Thể tích V      y 1   2  1 y2  dy Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân qKyqc(2+s1pQ)d$)dp(2ps 1pQ)d$)dRp1E1=  V  39.4784  4  Vậy ta chọn đáp án A VD7-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x  , biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x  1 tam giác có cạnh ln 1  x  Trang 4/11 A  ln  1 B  ln  1 C  ln  1 D 16  ln  1 GIẢI  Thiết diện vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox tam giác có diện tích S  S  x    ln 1  x    ln 1  x   Diện tích S  S  x  hàm liên tục  0;1 nên thể tích vật thể cần tìm tính theo cơng thưc V   ln 1  x  dx  2.7673   ln  1 y4s3$h1+Q))R0E1=  Ta chọn đáp án A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Gọi  S  miền giới hạn đường cong y  x , trục Ox hai đường thẳng x  1; x  Tính thể tích vật thể trịn xoay  S  quay quanh trục Ox : A 31  B 31  C 31 D 31 1 Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần năm 2017] Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox giới hạn đồ thị hàm số x y    x  e hai trục tọa độ A 2 e  10   e  10 B 2 e  10 C   2e  10  D  Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  sin x; x  0; x   Thể tích vật thể trịn xoay sinh mặt phẳng  H  quay quanh trục Ox : A 2 B  2 C D  Bài 4-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền – Cần Thơ lần năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn y  x  x , y  Tính thể tích khối tròn xoay thu a  quay  H  xuong quanh trục Ox ta V     1 Khi b  A B C a  241; b  15 a  1; b  15 a  16; b  15 a  7; b  15 D Trang 5/11 Bài 5-[Câu 54b Sách tập giải tích nâng cao 12] Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  giới hạn đường y  x , trục tung hai đường thẳng y  1, y  quanh trục Oy Khẳng định ? A B C V  D V 5 V 2 V 3 Bài 6-Cho hình phẳng  S  giới hạn đường y  x  x C  , trục tung Khi quay hình  S  quanh trục Oy tạo thành vật thể trịn xoay tích ? 5 A V  9 B V  C V 11 D V  8 Bài 7-Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên cho hình trịn tâm I  2;1 bán kính R  quay quanh trục Oy A 11 B V   V  4 C V 112 D V  42 Bài 8-[Bài 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  1 , x  Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  1  x  1 hình vng có cạnh  x A 17 B 16 C D Bài 9-[Bài 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x   Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x    tam giác có cạnh sin x A  B C 2 3 D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Đề cương chuyên KHTN Hà Nội năm 2017] Gọi  S  miền giới hạn đường cong y  x , trục Ox hai đường thẳng x  1; x  Tính thể tích vật thể trịn xoay  S  quay quanh trục Ox : A 31  B 31  31 C D 31 1 GIẢI  Đương cong thứ y  f  x   x , đường thứ hai trục hoành có phương trình y  g  x   Hình phẳng giới hạn đường cong thứ y  x , trục hoành y  hai đường thẳng x  1; x  tích V    f  x   g  x  dx    2 x   02 dx Trang 6/11 qKyqc(Q)d)dp0dR1E2=  Đáp số xác C  Chú ý: Chú ý cơng thức tính thể tích có  có bình phương f  x  , g  x  Rất nhiều học sinh thường quên yếu tố so với cơng thức tính diện tích Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần năm 2017] Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh trục Ox giới hạn đồ thị hàm số x y    x  e hai trục tọa độ A B 2 e  10   e  10 C   2e  10  2 e  10 D  GIẢI x  Hình phẳng giới hạn đường thứ có phương trình y  f  x     x  e đường thứ hai trục hồnh có phương trình y  g  x   Hình phẳng giới hạn trục tung nên có cận thứ x  Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong y  f  x  x trục hoành :   x  e   x   Cận thứ hai x  2  Thể tích cần tìm V    f 2  x   g  x  dx   0 x   2  x e      dx    15.0108    2e  10  qKyqc((2pQ))QK^aQ)R2$$) dR0E2=  Đáp số xác C Bài 3-[Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  sin x; x  0; x   Thể tích vật thể trịn xoay sinh mặt phẳng  H  quay quanh trục Ox : A 2 C 2 B 2 D  GIẢI  Hàm thứ y  f  x   sin x , hàm thứ hai (của trục Ox ) y  Cận thứ x  , cận thứ hai x     Thể tích cần tìm V    f 2   x   g  x  dx   0  sin x  2  dx  4.9348  2 qw4qKyqcjQ))dR0EqK= Trang 7/11  Đáp số xác B  Chú ý: Để tính tích phân hàm lượng giác ta cần chuyển máy tính chế độ Radian qw4 Bài 4-[Thi thử Trung tâm Diệu hiền – Cần Thơ lần năm 2017] Cho hình phẳng  H  giới hạn y  x  x , y  Tính thể tích khối trịn xoay thu a  quay  H  xuong quanh trục Ox ta V     1 Khi b  A B C a  241; b  15 a  1; b  15 a  16; b  15 D a  7; b  15 GIẢI x   Phương trình hoành độ giao điểm x  x     cận thứ x  cận thứ hai x  x2 Ta cận thứ x  cận thứ hai x  a Khi diện tích hình phẳng : a S   ax  dx 16  0 15 qKyqc(2Q)pQ))od)dR0E2=   Tính thể tích V    f  x   g  x  dx      2x  2  dx  a 16 a a  Mà V     1       a  1; b  15 b 15 b 15 b   Đáp số xác A Bài 5-[Câu 54b Sách tập giải tích nâng cao 12] Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng  H  giới hạn đường y  x , trục tung hai đường thẳng y  1, y  quanh trục Oy Khẳng định ? A B C V  D V 5 V 2 GIẢI  Hình phẳng  H  giới hạn đường thứ x  f  y   V 3 y đường thứ hai (trục tung) : x  Cận thứ y  cận thứ hai y   Theo cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay quay quanh trục Oy : V     f  y   g  x  dy    x   dy  4.099   Trang 8/11 qKyqc(q^3$Q)$)dp0R1E2=  Đáp số xác C  Chú ý: Để tính thể tích hình phẳng xoay quanh trục Oy phải chuyển phương trình đường cong dạng x  f  y  x  g  y  Bài 6-Cho hình phẳng  S  giới hạn đường y  x  x C  , trục tung Khi quay hình  S  quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay tích ? 5 A V  9 B V  C V 11 D V  8 GIẢI  x    y  AO   Xét y  x  x   x  1   y   với y  Đường cong  C  chia  x    y  AB  làm nhánh  Phương trình tung độ giao điểm hai nhánh :   y    y   y   y   Theo cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay quay quanh trục Oy : V     1 1 y     1  8  y dy  8.3775    qKyqc(1+s1pQ)$)dp(1ps1pQ )$)dR0E1=  Đáp số xác D Bài 7-Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên cho hình trịn tâm I  2;1 bán kính R  quay quanh trục Oy A V  4 11 B V   C V 112 D V  42 GIẢI Trang 9/11 2  Phương trình đường trịn  I ; R  :  x    y    x     y  x    y x   1 y2 Đường tròn  C  chia làm nhánh  x   1 y2    CB   CA Theo cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay quay quanh trục Oy : 2   V  2     y    y dy  39.4784  4   2qKyqc(2+s1pQ)d$)dp(2ps1 pQ)d$)dR0E1=      Đáp số xác A Bài 8-[Bài 29 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  1 , x  Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  1  x  1 hình vng có cạnh  x 17 A 16 C B D GIẢI  Thiết diện vật thể tạo mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng  Diện tích thiết diện S  S  x   1  x   Vì hàm S  S  x  liên tục  1;1 nên vật thể tích : V   1  x dx  1 16 y4(1pQ)d)Rp1E1=  Đáp số xác C Bài 9-[Bài 30 trang 172 Sách giáo khoa giải tích nâng cao 12] Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x  , x   Biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   x    tam giác có cạnh sin x A  B 2 C D Trang 10/11 GIẢI  Thiết diện vật thể tạo mặt phẳng vng góc với trục Ox tam giác  Diện tích thiết diện S  S  x    sin x   sin x   Vì hàm S  S  x  liên tục  0;   nên vật thể tích : V   sin xdx  16 qw4ys3$jQ))R0EqK=  Đáp số xác D Trang 11/11 ... cơng thức tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Oy : V     1 1 y     1  8  y dy  8.3775    qKyqc(1+s1pQ)$)dp(1ps1pQ )$)dR0E1=  Đáp số xác D Bài 7 -Tính thể tích khối... Bài 6-Cho hình phẳng  S  giới hạn đường y  x  x C  , trục tung Khi quay hình  S  quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay tích ? 5 A V  9 B V  C V 11 D V  8 Bài 7 -Tính thể tích. .. thức tính thể tích có  có bình phương f  x  , g  x  Rất nhiều học sinh thường quên yếu tố so với cơng thức tính diện tích Bài 2-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần năm 2017] Thể