PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 26. TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một mặt phẳng  Cho điểm M  x0 ; y0 ;z0  và mặt phẳng P: Ax  By Cz  D  0 thì hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳngP là giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng P   là đường thẳng qua M và vuông góc với P (  nhận P n  làm u  ) 2. Hình chiếu vuông góc của một điểm đến một đường thẳng  Cho điểm M  x0 ; y0 ;z0  và đường thẳng : N N N x x y y z z d a b c      thì hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d là điểm H thuộc d sao cho . 0 MH d d  u  MH u      3. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng đến một mặt phẳng  Cho đường thẳng d và mặt phẳng P . Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d đến mặt phẳng P là giao điểm của mặt phẳng   và mặt phẳng P    là mặt phẳng đi chứa d và vuông góc với P    nhận d u  và P n  là cặp vecto chỉ phương    chứa mọi điểm nằm trong đường thẳng d 4. Lệnh Caso  Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE 8  Nhập thông số vecto MODE 8 1 1  Tính tích vô hướng của 2 vecto : vectoA SHIFT 5 7 vectoB  Tính tích có hướng của hai vecto : vectoA x vectoB  Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP  Lệnh tính độ lớn một vecto SHIFT HYP  Lệnh dò nghiệm của bất phương trình MODE 7  Lệnh dò nghiệm của phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1Thi thử Sở GDĐT tỉnh Hà Tĩnh lần 1 năm 2017 Cho mặt phẳng  : 3x  2y  z  6  0 và điểm A2;1;0 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng   có tọa độ A.2;2;3 B.1;1;2 C.1;0;3 D. 1;1;1 GIẢI  Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên    Đướng thẳng AH song song với vecto pháp tuyến n 3; 2;1    của     2 3 : 1 2 x t AH y t z t              Tọa độ điểm A2  3t;1 2t;1 t Trang 211 (Phần này ta dễ dàng nhẩm được mà không cần nháp)  Để tìm t ta chỉ cần thiết lập điều kiện A thuọc   là xong 3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q) +6qr1=  t  1 H 1;1;1  Đáp số chính xác là D

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 26 TÌM HÌNH CHIẾU VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Hình chiếu vng góc điểm đến mặt phẳng  Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  hình chiếu vng góc H M mặt phẳng  P  giao điểm đường thẳng  mặt phẳng  P     đường thẳng qua M vng góc với  P  (  nhận nP làm u ) Hình chiếu vng góc điểm đến đường thẳng x  xN y  y N z  z N  Cho điểm M  x0 ; y0 ; z0  đường thẳng d : hình chiếu   a b c vng góc M lên đường thẳng d điểm H thuộc d cho     MH  ud  MH ud  Hình chiếu vng góc đường thẳng đến mặt phẳng  Cho đường thẳng d mặt phẳng  P  Hình chiếu vng góc đường thẳng d đến mặt phẳng  P  giao điểm mặt phẳng   mặt phẳng  P          mặt phẳng chứa d vng góc với  P    nhận ud nP cặp vecto phương  chứa điểm nằm đường thẳng d Lệnh Caso  Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE  Nhập thơng số vecto MODE 1  Tính tích vô hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB  Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB  Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP  Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP  Lệnh dị nghiệm bất phương trình MODE  Lệnh dị nghiệm phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần năm 2017] Cho mặt phẳng   : 3x  y  z   điểm A  2; 1;0  Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng   có tọa độ C 1;0;3 D  1;1; 1 GIẢI Gọi H hình chiếu vng góc A lên    Đướng thẳng AH song song với A  2; 2;3  B 1;1; 2   x   3t   vecto pháp tuyến n  3; 2;1     AH  :  y  1  2t z  t   Tọa độ điểm A   3t; 1  2t ;1  t  Trang 1/11  (Phần ta dễ dàng nhẩm mà không cần nháp) Để tìm t ta cần thiết lập điều kiện A thuọc   xong 3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q) +6qr1=  t  1  H  1;1; 1  Đáp số xác D VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M  3;3;3 qua mặt phẳng  P  : x  y  z   1 1  1 1 A M '  ; ;  B M '   ;  ;    3 3  3 3  7 7 7 7 C M '   ;  ;   D M '  ; ;   3 3  3 3 GIẢI  Tương tự ví dụ ta nhẩm tọa độ hình chiếu vng góc H M lên  P   M   t;3  t;3  t  Tính t Casio 3+Q)+3+Q)+3+Q)p1qr1= 1 1 Ta thu t    H  ; ;  3 3  Ví A ' đối xứng với M qua H nên H trung điểm MM ' Theo quy tắc trung  7 7 điểm ta suy M '   ;  ;    3 3  Đáp số xác C VD3-[Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần năm 2017] x  y 1 z 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : điểm   2 M 1; 2; 3 Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d : A H 1; 2; 1 B H 1; 2; 1 C H  1; 2; 1 D H 1; 2;1 GIẢI  Gọi H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d x   t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y  1  t  Tọa độ  z   2t  H   2t; 1  t;1  2t  Trang 2/11     MH  d  MH ud  với ud  2;1;  Sử dụng máy tính Casio bấm : 2(3+2Q)p1)+(p1+Q)p2)+2(1 +2Q)pp3)qr1= Khi t  1  H 1; 2; 1  Đáp số xác B VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x 1 y  z 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : điểm   1 A  2; 1;1 Gọi I hình chiếu vng góc A lên d Viết phương trình mặt cầu  C  có tâm I qua A 2 A x   y     z  1  20 2 B x   y     z  1  2 2 2 C  x  1   y     z  1  20 D  x  1   y     z  1  14 GIẢI   Điểm I có tọa độ I 1  t;  t; 1  t    Thiết lập điều kiện vng góc  IA.ud  p1(1pQ)p2)+(2+Q)pp1)+ 2(p1+2Q)p1)qr1=  t   I 1; 2; 1   Với I 1; 2; 1 A  2; 1;1 ta có : R  IA2  IA  14 w8112p1=p1p2=1pp1=W qcq53)==d=  Đáp số xác D VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x 1 y 1 x  Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng   1  Oxy  : Trang 3/11 x   x   2t  x  1  2t  x  1  2t     A  y  1  t B  y  1  t C  y   t D  y  1  t z  z  z  z      GIẢI  Ta hiểu : Hình chiếu vng góc d ' d lên mặt phẳng  Oxy  giao tuyến mặt phẳng   chứa d vng góc với  Oxy  mặt phẳng  Oxy    Mặt phẳng   chứa d vng góc với  Oxy  nên nhận vecto phương u  2;1;1  đường thẳng d vecto pháp tuyến nOxy  0;0;1 cặp vecto phương     n  ud ; nOxy   1; 2;  w8112=1=1=w8210=0=1=W q53Oq54= Hơn   qua điểm có tọa độ 1; 1;  nên có phương trình :    :1 x  1   y  1   z       : x  y     : x  y   Phương trình d ' có dạng  Chuyển sang dạng tham số ta có : Oxy : z        ud '   nOxy ; n    2; 1;  w8111=p2=0=w8210=0=1= Wq53Oq54= Có đáp án thỏa mãn vecto phương có tọa độ  2; 1;0  B , C , D Tuy nhiên có đáp án B chứa điểm M 1; 1;0  điểm thuộc d '  Đáp số xác B VD6-[Câu 61 Sách tập hình học nâng cao 12]   x   3t  Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d :  y  2t  z  2t     : x  y  z   x5  A 4 2z y x5 B  4 2z y Trang 4/11 C  x 5  3 y  z D x   2z y GIẢI Lập phương trình mặt phẳng    chứa d vng góc với      n  ud ; n    8; 4;8  w8113=p2=p2=w8211=2=p2= Wq53Oq54=  ;0;0  nên có phương trình 2     qua điểm   7   x    y  8z   x  y  z   2  2 x  y  z   Ta có d ' :  x  y  2z       Tính nd '   n ; n    8;6;   n  4;3;  vecto phương d ' x5   Đường thẳng d ' lại qua điểm  5;  ;  nên có phương trình :  4    Đáp án xác A 2z y BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần năm 2017] Hình chiếu vng góc A  2; 4;3 lên mặt phẳng  P  : x  y  z  19  có tọa độ :  20 37   37 31  B   ; ;  C   ; ;  D Kết khác  7 7  5  Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm A 1; 1;  M 1; 2; 2  Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng  P  A N  3; 4;8 B N  3;0; 4  C N  3;0;8  D N  3; 4; 4  Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho A  5;1;3 , B  5;1; 1 , C 1; 3;0  , D  3; 6;  Tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng  BCD  : A  1;7;5  B 1; 7;5  C 1; 7; 5  D 1; 7;5  Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Trang 5/11 x 1 y z  mặt phẳng   2  P  :  x  y z  Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P  x  y 1 z 1 x  y 1 z 1 A B     1 3 1 x  y 1 z 1 x  y  z 1     C D 1 1 3 Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm A  1;3;  , B  4;0; 3 , C  5; 1;4  Tìm tọa độ hình chiếu H A lên Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : đường thẳng BC 12  12   77 77 12 77 12  77 A  ;  ;  B  ; ;  C  ;  ;   D   ;  ;    17 17 17   17 17 17   17 17 17   17 17 17  Bài 6-[Câu 76 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng M  3;1; 1 qua đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng   : x  y  13     : y  z   A  2; 5; 3 B  2; 5;3  C  5; 7; 3 D  5; 7;3 Bài 7-[Câu 22 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x 1 y 1 z  Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d mặt phẳng tọa   1 đọ  Oxy  : x   x   2t  x  1  2t   A  y  1  t B  y  1  t C  y   t D z  z  z      x  1  2t   y  1  t z   LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần năm 2017] Hình chiếu vng góc A  2; 4;3 lên mặt phẳng  P  : x  y  z  19  có tọa độ : A 1; 1;   20 37  B   ; ;   7 7  37 31  C   ; ;   5 5 GIẢI D Kết khác  x  2  2t   Đường thẳng  chứa A vng góc với  P  có phương trình :  y   3t  z   6t  Điểm H hình chiếu vng góc A lên  P  nên có tọa độ H  2  2t;  3t;3  6t   Tính t Casio 2(p2+2Q))p3(4p3Q))+6(3+6 Q))+19qr1= Trang 6/11 Chuyển t dạng phân thức qJz=  20 37  Vậy t    H   ; ;   7 7 Vậy đáp số xác B Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm M 1; 2; 2  Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng  P  A N  3; 4;8 B N  3;0; 4  C N  3;0;8  D N  3; 4; 4  GIẢI x  1 t   Phương trình  :  y  2  t  Tọa độ hình chiếu H 1  t; 2  t ; 2  t   z  2  t   Tìm t Casio ta t  1+Q)p2+Q)p(p2pQ))p4qr1= Với t   H  2; 1; 3  N  3;0; 4   Đáp án xác B Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho A  5;1;3 , B  5;1; 1 , C 1; 3;0  , D  3; 6;  Tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng  BCD  : A  1;7;5  B 1; 7;5  C 1; 7; 5  D 1; 7;5  GIẢI     Tính vecto phương  BCD  : u   BC ; BD    5; 10; 10  w8111pp5=p3p1=0pp1= w8213pp5=p6p1=2pp1= Wq53Oq54=  BCD  qua B  5;1; 1   BCD  : 5  x  5  10  y  1  10  z  1  Trang 7/11  x  y  2z    Gọi H hình chiếu A lên  BCD   H   t;1  2t ;3  2t  Tính t w15+Q)+2(1+2Q))+2(3+2Q)) +5qr1=  t  2  H  3; 3; 1  A ' 1; 7; 5   Đáp án xác C Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x 1 y z  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : mặt phẳng   2  P  :  x  y z  Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P  x  y 1 z 1 x  y 1 z 1 A B     1 3 1 x  y 1 z 1 x  y  z 1     C D 1 1 3 GIẢI     Lập mặt phẳng   chứa d vng góc với  P   n  ud ; nP   1; 7;  w8112=2=3=w821p1=1=2=W q53Oq54=   :  x  1  y   z     x  y  4z    x  y  4z    Đường thẳng d có phương trình tổng quát  Để so sánh kết ta phải  x  y  z   chuyển phương trình đường thẳng d dạng tắc     Ta có : ud   n ; nP    18; 6; 6   u  3;1;1 vecto phương d w8111=p7=4=w821p1=1=2=W q53Oq54= Hơn điểm M  2;1; 1 thuộc d  Phương trình tắc d : x  y 1 z    1  Đáp số xác C Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Trang 8/11 Cho ba điểm A  1;3;  , B  4;0; 3 , C  5; 1;4  Tìm tọa độ hình chiếu H A lên đường thẳng BC 12   77 A  ;  ;   17 17 17  12   77 77 12 C  ;  ;   D   ;  ;    17 17 17   17 17 17  GIẢI   Đường thẳng BC nhân vecto BC 1; 1;7  vecto phương qua điểm B  4;0; 3 77 12 B  ; ;   17 17 17  x   t   BC :  y  t  z  3  7t  Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC  H   t ;  t; 3  t       Mặt khác AH  BC  AH BC  w1(4+Q)pp1)p(pQ)p3)+7(p3 +7Q)p2)qr1= Chuyển t dạng phân số qJz 9 12   77  H  ; ;  17  17 17 17   Đáp số xác A Bài 6-[Câu 76 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng M  3;1; 1 qua đường thẳng d giao tuyến hai mặt t  phẳng   : x  y  13     : y  z   A  2; 5; 3 B  2; 5;3  C  5; 7; 3 D  5; 7;3 GIẢI 4 x  y  13   d giao tuyến mặt phẳng   ;    nên có phương trình tổng quát :   y z       Vecto phương d ud   n ; n    6;8;   nhận u  3; 4;  vecto phương w8114=p3=0=w8210=1=p2=W q53Oq54= Trang 9/11  x   3t  Đường thẳng d có vecto qua điểm N  4;1;3 nên có phương trình tham số  y   4t  z   2t   Điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d nên có tọa độ M   3t;1  4t;3  2t     Mặt khác MH  d  MH u  w13(4+3Q)pp3)+4(1+4Q)p1) +2(3+2Q)pp1)qr1=  t  1  H 1; 3;1 M ' đối xứng M qua d H trung điểm MM '  M '  5; 7;3  Đáp số xác D Bài 7-[Câu 22 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x 1 y 1 z  Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d mặt phẳng tọa   1 đọ  Oxy  :  x  1  2t x   x   2t  x  1  2t     A  y  1  t B  y  1  t C  y   t D  y  1  t z  z  z  z      GIẢI  Dưng mặt phẳng   chứa đường thẳng d vng góc với     Oxy   n  ud ; nOxy   1; 2;  w8112=1=1=w8210=0=1=W q53Oq54= Mặt phẳng   chứa điểm N 1; 1;  nên có phương trình :   :  x  1   y  1   z     x  y    Đường thẳng d ' hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng  Oxy   d ' x  y   giao tuyến    Oxy   d ' :  z      Tính ud   n ; nOxy    2; 1;   nhận u  2;1;0  vecto phương w8111=p2=0=w8210=0=1=W q53Oq54= Trang 10/11  x   2t  Lại có d ' qua điểm có tọa độ 1; 1;0   d ' :  y  1  t z    Đáp số xác B Trang 11/11 ... VD3-[Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần năm 2017] x  y 1 z 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : điểm   2 M 1; 2; 3 Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng... 1     C D 1 1 3 Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm A  1;3;  , B  4;0; 3 , C  5; 1;4  Tìm tọa độ hình chiếu H A lên Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz... nhiên lần năm 2017] x 1 y z  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : mặt phẳng   2  P  :  x  y z  Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng  P  x  y 1