PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32. CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Bất đẳng thức thường gặp  Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho các số thực a,b, x, y ta luôn có      2 2 2 2 2 ax  by  a  b x  y . Dấu = xảy ra a b x y    Bất đẳng thức Vectơ : Cho 2 vecto u  x; y  và v  x ; y   ta luôn có u  v  u  v        2 2 2 2 2 2  x  y  x  y  x  x  y  y Dấu = xảy ra 0 x y x y    2. Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc  Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn C bán kính R. Với mỗi điểm M thuộc đường tròn C thì cũng thuộc đường tròn C tâm gốc tọa độ bán kính 2 2 OM  a  b . +)Để z lớn nhất thì OM lớn nhất đạt được khi đường tròn C tiếp xúc trong với đường tròn C và OM  OI  R +)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất đạt được khi đường tròn C tiếp xúc ngoài với đường tròn C và OM  OI  R  Dạng 2 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là đường thẳng d  . Với mỗi điểm M thuộc d  thì cũng thuộc đường tròn C +)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc với d  và OM  d O;d  Trang 29  Dạng 3 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là Elip có đỉnh thuộc trục lớn Aa;0 và đỉnh thuộc trục nhỏ B0;b . Với mỗi điểm M thuộc d  thì cũng thuộc đường tròn E +)Để z lớn nhất thì OM lớn nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và max z  OM  OA +)Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và max z  OM  OB  Dạng 4 : Cho số phức z có tập hợp các điểm biễu diễn số phức z là Hyperbol   2 2 2 2 : 1 x y H a b   có hai đỉnh thuộc trục thực Aa;0, Aa;0 thì số phức z có môđun nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các đỉnh trên. (môđun lớn nhất không tồn tại)

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 32 CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Bất đẳng thức thường gặp  Bất đẳng thức Bunhiacopxki :Cho số thực a, b, x, y ta ln có a b  ax  by    a  b2  x  y  Dấu = xảy   x y       Bất đẳng thức Vectơ : Cho vecto u  x; y  v  x '; y ' ta ln có u  v  u  v  x  y  x '2  y '2   x  x '   y  y ' x y  0 x' y' Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc Dấu = xảy   Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C  bán kính R Với điểm M thuộc đường tròn  C  thuộc đường tròn  C ' tâm gốc tọa độ bán kính OM  a  b +)Để z lớn OM lớn đạt đường tròn  C ' tiếp xúc với đường tròn  C  OM  OI  R +)Để z nhỏ OM nhỏ đạt đường tròn  C ' tiếp xúc ngồi với đường tròn  C  OM  OI  R  Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z đường thẳng  d  Với điểm M thuộc  d  thuộc đường tròn  C ' +)Để z nhỏ OM nhỏ OM vng góc với  d  OM  d  O;  d   Trang 1/9  Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z Elip có đỉnh thuộc trục lớn A  a;0  đỉnh thuộc trục nhỏ B  0; b  Với điểm M thuộc  d  thuộc đường tròn  E  +)Để z lớn OM lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn max z  OM  OA +)Để z nhỏ OM nhỏ M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ max z  OM  OB  Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z Hyperbol x2 y  H  :   có hai đỉnh thuộc trục thực A '  a;0  , A  a;0  số phức z có a b môđun nhỏ điểm biểu diễn số phức z trùng với đỉnh (môđun lớn không tồn tại) II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần năm 2017] Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z  1  i B z  2  2i C z   2i D z   2i GIẢI Trang 2/9  Cách Casio  Trong số phức đáp án, ta tiến hành xắp xếp số phức theo thứ tự môđun tăng dần : 1  i  2  2i   2i   2i  Tiếp theo tiến hành thử nghiệm số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức thỏa mãn hệ thức điều kiện z   4i  z  2i Với z  1  i Xét hiệu :  1  i    4i   1  i   2i qc(p1+b)p2p4b$pqcp1+b p2b=  Ra giá trị khác z  1  i không thỏa mãn hệ thức  Đáp án A sai Tương tự với z   2i qc2+2bp2p4b$pqc2+2bp2b= Vậy số phức z   2i thỏa mãn hệ thức  Đáp số C đáp số xác  Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   4i  z  2i  a   b  4 i  a  b   i 2   a  2  b  4  a2  b  2  a  4a   b  8b  16  a  b  4b   4a  4b  16  ab4  Trong đáp án có đáp án C thỏa mãn a  b    Đáp án xác C  Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   4i  z  2i  a   b  4 i  a  b   i 2   a  2  b  4  a2  b  2  a  4a   b  8b  16  a  b  4b   4a  4b  16  ab  Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : 2 16   a  b   12  12  a  b2   z  a  b   z 2 a b   Dấu = xảy   1  a  b   z   2i a  b  Trang 3/9 VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Với số phức z thỏa mãn 1  i  z   7i  Tìm giá trị lớn z A max z  B max z  C max z  D max z  GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn 1  i  z   7i    a  bi 1  i    7i   a  b 1 a  b  7i  2   a  b  1   a  b     2a  2b  50  12a  16b   a  b  6a  8b  25  2   a  3   b    Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  3;  bán kính R  Ta gọi đường tròn  C   Với điểm M biểu diễn số phức z  a  bi M thuộc đường tròn tâm O  0;0  bán kính a  b2 Ta gọi đường tròn  C ' , Mơđun z bán kính đường tròn  C '  Để bán kính  C ' lớn O, I , M thẳng hàng (như hình)  C ' tiếp xúc với  C  Khi OM  OI  R     Đáp số xác D  Cách tự luận  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn 1  i  z   7i    a  bi 1  i    7i   a  b 1 a  b  7i  2   a  b  1   a  b     2a  2b  50  12a  16b   a  b  6a  8b  25  2   a  3   b     Ta có z  a  b  6a  8b  24   a  3   b    26 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :  a  3   b     a  3   b    6 2  82   a  3   b     10   Vậy z  36  z   đáp án D xác  Bình luận Trang 4/9  Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá z khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm vững bất đẳng thức Bunhiacopxki biến dạng  Trong tình tốn này, so sánh cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ đơn giản dễ hiểu tiết kiệm thời gian VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 , giá trị lớn giá trị nhỏ z : A.10 B C 3D GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   z   10  a   bi  a   bi  10   a  4  b2    a  4  b  10   a  4  b  10  a  4  b2  a  8a  16  b  100  a  8a  16  b  20  20 5  a  4 a  4 2  a  4  b2  b  100  16a  b  25  4a  25  a  8a  16  b   625  200a  16a  9a  25b  225 a b2   1 25 Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn A  5;0  , đỉnh thuộc đáy nhỏ B  0;3  Với điểm M biểu diễn số phức z  a  bi M thuộc đường tròn tâm O  0;0  bán kính a  b2 Ta gọi đường tròn  C ' , Mơđun z bán kính đường tròn  C '  Để bán kính  C ' lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn M  A  5;0   OM   max z   Để bán kính  C ' lớn M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ M  B  0;3  OM   z   Đáp số xác D  Cách tự luận  Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   z   10  a   bi  a   bi  10 Trang 5/9   a  4  b2   a  4   a  4  b2    a     b   b  10 2  10 Theo bất đẳng thức vecto ta có :  a  4  10  2  b2    a     b  2   a      a     b   b    10  4a  4b  10  z  z    a  4 Ta có   b2   a  4  b  10 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 100    a  4  b2   a  4 2  b2   1    a  4  b   a  4  b  2 2 2  100   2a  2b  32   a  2b  32  50  a2  b2  Vậy z   z    z   đáp án D xác VD4-Trong số phức z thỏa mãn z   z   , tìm số phức z có mơđun nhỏ A z   3i B z  1  3i C z  D z   i GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z có dạng z  x  yi z thỏa mãn z   z    x   yi  x   yi    x  2  y2    x  2  y2    x  2   x  2  y    x  2  x  2 2  y2  2  y2  y2   x  2  y2 1   y  1  x   x    2  2   4x  4x  x  4x   y  1  x   x2   x  2 y2 1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Hypebol  H  : x  y2  có đỉnh thuộc thực A '  1;0  , B 1;0   Số phức z  x  yi có điểm biểu diễn M  x; y  có mơđun OM  a  b Để OM đạt giá trị nhỏ M trùng với hai đỉnh  H  M  A  M 1;0   z  Trang 6/9  Đáp án xác C II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Môđun z nhỏ đạt : 1  2 1 2 A B C  D  2 Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 C 16 D 16 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z 1 D 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Mơđun z nhỏ đạt : 1  2 1 2 A B C  D  2 GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn 2z   2i   x   yi  2i  A B 2 C   2x  2   y  2  1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C  có tâm I 1; 1 bán kính 2   x  1   y  1   Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thuộc đường tròn tâm O bán kính R R '  z  x  y Vì để R  z nhỏ đường tròn  C ' phải tiếp xúc ngồi với đường  C ' Khi điểm M tiếp điểm đường tròn  C   C ' 1  2 s(1p0)d+(p1p0)d$pa1R2= z  OM  OI  R   Đáp số xác A Trang 7/9 Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 C 16 D 16 GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn z  3i  i z   10  x   y  3 i  y   xi  10  x   y  3    y  3  y  3  x  10  x  10  x   y  3 2   y  3  x  100  20 x   y  3  x   y  3 2  20 x   y  3  100  12 y  25 x  16 y  400 x2 y   1 16 25 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip  E  : x2 y   có đỉnh thuộc 16 25 trục nhỏ A  4;0  , A '  4;0   Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thuộc đường tròn tâm O bán kính R '  z  x  y Vì elip  E  đường tròn  C  có tâm O nên để OM nhỏ M đỉnh thuộc trục nhỏ  M  A '  z1  4 , M  A  z2  Tổng hợp z1.z2   4   16  Đáp số xác D  Mở rộng  Nếu đề hỏi tích z1 z2 với z1 , z2 có giá trị lớn hai điểm M biểu diễn hai số phức hai đỉnh thuộc trục lớn B  0; 5  , B '  0;5  M  B '  z1  5i , M  A  z2  5i Tổng hợp z1 z2  5i  5i   25i  25 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z 1 1 A B C D 5 GIẢI  Cách mẹo  Gọi số phức z  x  yi thỏa mãn iz   z   i   y   xi  x    y  1 i 2    y    x   x     y  1 Trang 8/9  y  y   x2  x2  4x   y  y   x  y 1   20 x   y  3  100  12 y Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng  d  : x  y    Với điểm M  x; y  biểu diễn số phức z  x  yi thi z  OM  OH với H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng  d  OH khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng d  Tính OH  d  O;  d    1.0  2.0  12  22  5  Đáp số xác D x  y   xyi x3  xy  x  x yi  y 3i  yi  xy x  yi    x  yi x  yi x2  y Vậy z  Trang 9/9 ... Đáp án xác C II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Mơđun z nhỏ đạt : 1  2 1 2 A B C  D  2 Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z  3i  i z   10 Hai số phức z1 z2 có mơđun... Dạng : Cho số phức z có tập hợp điểm biễu diễn số phức z Hyperbol x2 y  H  :   có hai đỉnh thuộc trục thực A '  a;0  , A  a;0  số phức z có a b mơđun nhỏ điểm biểu diễn số phức z trùng... nhỏ Hỏi tích z1 z2 A 25 B 25 C 16 D 16 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz   z   i Tính giá trị nhỏ z 1 D 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Mơđun z nhỏ