PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 31 QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Mẹo giải nhanh Bài tốn quỹ tích ln lên từ định nghĩa Ta đặt z x yi , biểu diễn số phức theo yêu cầu đề bài, từ khử i thu hệ thức : Nếu hệ thức có dạng Ax By C tập hợp điểm đường thẳng 2 Nếu hệ thức có dạng x a y b R tập hợp điểm đường tròn tâm I a; b bán kính R x2 y2 tập hợp điểm có dạng Elip a2 b2 x2 y2 Nếu hệ thức có dạng tập hợp điểm Hyperbol a b Nếu hệ thức có dạng y Ax Bx C tập hợp điểm Parabol Phương pháp Caso Tìm điểm đại diện thuộc quỹ tích cho đáp án ngược vào đề bài, thỏa mãn II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i z 2i Nếu hệ thức có dạng A x y B x y C x y D x y GIẢI Cách Casio Gọi số phức z có dạng z a bi Ta hiểu : điểm M biểu diễn số phức z M có tọa độ M a; b Giả sử đáp án A M thuộc đường thẳng x y 4a 2b z 2.5i Số phức z thỏa mãn z i z 2i z i z 2i Chọn a b Sử dụng máy tính Casio để kiểm tra qc1+2.5bp2pb$pqc1p2.5 b+2b= Ta thấy kết khác z i z 2i sai đáp án A sai Tương tự với đáp số B chọn a b 1.5 z 1.5i qc1+1.5bp2pb$pqc1p1.5 b+2b= Trang 1/9 Ta thấy kết z i z 2i đáp án xác B Cách mẹo Đặt z x yi (ta lên từ định nghĩa) Thế vào z i z 2i ta x y 1 i x2 y 2 i 2 x y 1 x y 2 x y 1 x y x2 4x y y x2 y2 y 4x y 1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng x y đáp án B xác Bình luận Trong dạng tốn ta nên ưu tiên dùng mẹo tính nhanh gọn Nhắc lại lần nữa, đặt z x yi biến đổi theo đề VD2-[Thi thử sở GD-ĐT Hà Tĩnh lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z i Chọn phát biểu A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn D.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip GIẢI Cách mẹo Đặt z x yi Thế vào z i ta x yi i x 2 2 y 12 1 x 2 y2 2 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 2;0 bán kính R Vậy đáp án C xác VD3-[Đề thi minh họa GD-ĐT lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 4i z i đường tròn Tính bán kính r đường trịn A r B r C r 20 D r 22 GIẢI Cách Casio Trang 2/9 Để xây dựng đường tròn ta cần điểm biểu diễn w , z sinh w nên ta chọn giá trị đại diện z thỏa mãn z Chọn z 0i (thỏa mãn z ) Tính w1 4i 0i i (3+4b)O4+b= Ta có điểm biểu diễn z1 M 12;17 Chọn z 4i (thỏa mãn z ) Tính w2 4i 4i i (3+4b)O4b+b= Ta có điểm biểu diễn z2 N 16;13 Chọn z 4i (thỏa mãn z ) Tính w3 4i 4i i (3+4b)(p4b)+b= Ta có điểm biểu diễn z3 P 16; 11 Vậy ta có điểm M , N , P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w Đường tròn có dạng tổng quát x y ax by c Để tìm a, b, c ta sử dụng máy tính Casio với chức MODE w5212=17=1=p12dp17d=p16= 13=1=p16dp13d=16=p11=1= p16dp11d== Vậy phương trình đường trịn có dạng x y y 399 x y 1 202 Bán kính đường trịn tập hợp điểm biểu diễn số phức w 20 Đáp án xác C Cách mẹo Đề yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w ta đặt w x yi Trang 3/9 w i x y 1 i Tiếp tục rút gọn ta 4i 4i x y 1 i 4i x y 4 x y i z 25 4i 4i Thế vào w 4i z i z 2 x y 4 x y z z 16 16 25 25 2 25 x 25 y 25 50 y 16 252 x y y 399 2 x y 1 20 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn bán kính r 20 đáp án C xác Bình luận Chức MODE để tìm phương trình đường trịn giải thích sau : Đường trịn có dạng x y ax by c Với M thuộc đường trịn 12a 17b c 122 17 Với N thuộc đường trịn 16a 13b c 162 132 Với P thuộc đường trịn 16a 11b c 162 112 12a 17b c 122 17 Vậy ta lập hệ phương trình ẩn bậc 16a 13b c 162 132 16a 11b c 162 112 Và ta sử dụng chức giải hệ phương trình ẩn bậc MODE để xử lý Hai cách hay có ưu điểm riêng, tự luận tiết kiệm thời gian chút việc tính tốn rút gọn dễ nhầm lẫn, cịn casio bấm máy nhiều tuyệt đối không sai VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] z 1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phần thực đường z i tròn tâm I bán kính R (trừ điểm) 1 1 1 1 A I ; , R B I ; , R 2 2 2 2 1 1 1 1 C I ; , R D I ; , R 2 2 2 2 GIẢI Cách mẹo Đặt z x yi x yi x y 1 i x yi z 1 ta z i x y 1 i x y 1 i x y 1 i x x y y xyi x 1 y 1 i Thế vào x y 1 Trang 4/9 2 z 1 1 1 Để phần thực x x y y x y z i 2 2 1 1 Vậy tập hợp điểm cần tìm đường trịn tâm I ; bán kính R đáp án B 2 2 xác III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z i z 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng A x y B x y C x y D x y Bài 2-[Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z : z z 4i phương trình có dạng A x y 25 B x y C x y 25 D x 3 y 25 Bài 3-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2i i z đường trịn Tính bán kính r đường trịn A r 20 B r 20 C r D r Bài 4-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần năm 2017] Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 i z A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I 2; 1 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 1;0 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R Bài 5-[Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần năm 2017] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z : A.Cả mặt phẳng B.Đường thẳng C.Một điểm D.Hai đường thẳng Bài 6-Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z z 2i Parabol có dạng: x2 x2 x C y D y x x 3 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z i z 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng A x y B x y C x y D x y GIẢI Cách 1: Casio Giả sử đáp án A đúng, điểm biểu diễn số phức z x yi thuộc đường thẳng x y A y 3x x B y Trang 5/9 1 số phức z i 6 Xét hiệu z i z 2i Nếu hiệu đáp án A Để làm việc ta sử dụng máy tính Casio qc1pa1R6$b+1pb$pqc1pa1R6 Chọn x y $bp1+2b= Hiệu khác đáp án A sai 1 số phức x i Xét hiệu : 6 qc1+a1R6$b+1pb$pqc1+a1R6 Thử với đáp án B Chon x y $bp1+2b= Vậy hiệu z i z 2i z i z 2i Đáp án xác B Cách 2: Tự luận Vì đề yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z nên ta đặt z x yi Theo đề z i z 2i x y 1 i x y i 2 x 1 y 1 x 1 y x2 2x y y x2 2x y y x y Vậy đáp án xác B Bài 2-[Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z : z z 4i phương trình có dạng A x y 25 C x y 25 B x y 2 D x 3 y 25 GIẢI Đặt số phức z x yi Ta có : z z 4i x yi x y i x y x 3 y x y x x y y 16 x y 25 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng x y 25 Đáp án xác A Bài 3-[Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – Bình Định lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2i i z đường trịn Tính bán kính r đường trịn A r 20 B r 20 C r GIẢI D r Trang 6/9 Cách 1: Casio Chọn số phức z thỏa mãn z w1 2i i 4i Ta có điểm biểu diễn w1 M 7; 4 Chọn số phức z 2 thỏa mãn z w2 2i i 2 1 0i Ta có điểm biểu diễn số phức w2 N 1;0 Chọn số phức z 2i thỏa mãn z w3 2i i 2i 2i Ta có điểm biểu diễn số phức w3 P 5; 3p2b+(2pb)O2b= Sử dụng máy tính tìm phương trình đường trịn di qua điểm M , N , P w527=p4=1=p7dp4d=p1=0 =1=p1d=5=2=1=p5dp2d== Vậy phương trình đường trịn cần tìm 2 x y x y x 3 y 20 có bán kính r 20 Đáp án xác B Cách 2: Tự luận Vì đề yêu cầu tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w nên ta đặt w x yi w 2i Theo đề w 2i i z z 2i x y i x y i i z 2i i i z x y x y 1 2 2x y x y Ta có z 4 5 2 x y x y 1 100 x y 30 x 20 y 65 100 x2 y 6x y 2 x 3 y 20 Bài 4-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần năm 2017] Trang 7/9 Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 i z A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I 2; 1 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 1;0 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R GIẢI Đặt số phức z x yi Ta có : z 1 i z x yi x yi 1 i x yi x y x y i 2 x 1 y x y x y x x y x xy y x xy y x2 y 2x x 1 y 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 1;0 , bán kính R Đáp án xác D Bài 5-[Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần năm 2017] Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z : A.Cả mặt phẳng B.Đường thẳng C.Một điểm D.Hai đường thẳng GIẢI Đặt số phức z x yi 2 Ta có z z x yi x yi x y x xyi yi y y xyi y y xi y ix Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng y y ix Đáp án xác D Bài 6-Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z z 2i Parabol có dạng: A y 3x x B y x2 x C y x2 D y x x 3 GIẢI Đặt số phức z x yi Nếu đáp số A với z x yi thỏa mãn y 3x x Chọn cặp x; y thỏa y x x ví dụ A 0; z 2i Xét hiệu z z z 2i 2qc2bp1$pqc2bp(p2b)+2b= Trang 8/9 Vậy z z z 2i 6 z z z 2i Đáp số A sai Tương tự với đáp số B chọn z i Xét hiệu z z z 2i 2qc1pabR2$p1$pqc1pab R2$p(1+abR2$)+2b= Vậy z z z 2i z z z 2i Đáp số B xác Trang 9/9 ... năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z i Chọn phát biểu A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường... Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 i z A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 2; 1 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn... Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 i z A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I 2; 1 , bán kính R A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn