PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 18. TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

1) MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hôm nay mình nhận được 1 câu hỏi của thầy Bình Kami, một câu hỏi về tính quãng đường của một vật chuyển động thẳng biến đổi đều, câu hỏi đã được xuất hiện trong đề thi minh họa của BGDĐT năm 2017 Câu 24 đề minh họa 2017 Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m s thì người lái đạp phanh , từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc vt  2t 10 m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây , kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ? A. 15m B. 20m C. 25m D. 40m Xem nào, khi xe dừng lại vận tốc sẽ về 0 hay 0  2t 10 vậy thời gian xe còn di chuyển thêm được là 5(s). Vậy quãng đường s  v.t 10.5  50m mà xe chạy chậm dần vậy sẽ phải nhỏ hơn 50m , chắc là 40m phải không nhỉ ? Để chắc chắn, có lẽ mình phải lập 1 bảng mô tả quãng đường : Mốc 0 Hết giây thứ 1 Hết giây thứ 2 Hết giây thứ 3 Hết giây thứ 4 Hết giây thứ 5 Vận tốc 10 8 8  6 6  4 4  2 2  0 Quãng đường 9 7 5 3 1 Như vậy tổng quãng đường xe đi được khi vận tốc giảm đến 0 là 9  7  5 31 25m Cách này có vẻ tin cậy hơn nhiều, nhưng mất của mình thời gian đến hơn 2 phút Vậy còn cách gì nhanh hơn không nhỉ ? Thầy BìnhKami e làm được rồi. Minh Nguyệt đã giải được bài toán và tìm ra đáp án chính xác 25m, rất tốt về mặt kết quả nhưng về mặt thời gian tính lại hơi lâu. Bài này ta có thể hoàn thành trong thời gian 20s nhờ 1 công cụ gọi là tích phân     5 0 S   2t 10 dt  25 m Ta bấm máy tính như sau : Khởi động chức năng tính tích phân :y Nhập biểu thức cần tính tích phân và nhấn nút = (p2Q)+10)R0E5= Máy tính sẽ cho chúng ta kết quả là 25m. Chỉ mất 20s thật tuyệt vời phải không nào Thầy BìnhKami, Tích phân là công cụ gì mà hay vậy ạ ??? Trang 217 Tích phân là 1 trong những công cụ tuyệt vời nhất mà nền toán học đã tạo ra , sử dụng tích phân có thể tính được quãng đường, vận tốc của 1 vật thể hoặc có thể tính được diện tích của 1 hình rất phức tạp ví dụ như hình tròn, hình tam giác, hình e líp ... thì còn có công thức nhưng diện tích của mặt ao hồ hình thù phức tạp thì chỉ có tích phân mới xử lý được, hoặc tính thể tích của 1 khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp thì lại phải nhờ đến tích phân. Tích phân hiện đại được nhà toán học Anh Isac Newton và nhà toán học Pháp Laibơnit công bố khoảng cuối thế kỉ 17 nhưng người đặt nền móng cho sự hình thành và phát triển của Tích phân là nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Acsi met Tích phân chia làm 2 dạng : Tích phân bất định (không cận) thường được biết tới tên là Nguyên hàm và Tích phân xác định (có cận) thường được biết đến với tên Tích phân mà các e sẽ được học ở học kì 2 lớp 12. 2) CÁCH TÍNH NGUYÊN HÀM  Xây dựng công thức tính nguyên hàm : Ta có   5 4 x  5x vậy ta nói nguyên hàm của 4 5x là 5 x kí hiệu 4 5 5x dx  x  C  Tương tự sin x  cos x vậy ta nói nguyên hàm của cos x là sin x , kí hiệu cos xdx  sin x C  Tổng quát : f  x dx  F  x  C  F  x  f  x  VD1Sách BT Nâng cao 12 Hàm số   2 x F x  e là nguyên hàm của hàm số nào : A.   2x f x  e B.   2 2 . x f x  x e C.   2 2 x e f x x  D.   2 2 1 x f x  x e  GIẢI Thưa thầy, bài này e làm được ạ  Đầu tiên e tính đạo hàm của F  x , vì F  x là một hàm hợp của e nên em áp dụng công thức   . u u e  e u ạ .  Khi đó :       2 2 2 2 . 2 . x x x F x  e  e x  x e  Vậy F  x là nguyên hàm của hàm của hàm   2 2 . x f x  x e và ta chọn đáp án B ạ. VD2Đề thi minh họa ĐHQG 2016 Nguyên hàm của hàm số 2 . x y  x e là : A.   2 2 2 x e x  C B. 1 2 1 2 2 x e x C         C. 2 1 2 2 x e x C         D.   1 2 2 2 x e x  C GIẢI Thưa thầy, chúng ta sẽ thử lần lượt , với đáp án A thì     2 2 2 x F x  e x  . Nhưng việc tính đạo hàm của F  x là   2 2 2 x e x  thì e thấy khó quá ạ , e quên mất công thức ạ Trang 317 Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều khi chúng ta đột nhiên bị quên công thức đạo hàm hay bản thân chúng ta chưa học phần này thì làm sao ?? Thầy sẽ cho các e một thủ thuật Casio để các e quên công thức vẫn biết đâu là đáp án đúng :  Ta biết F  x  f (x) việc này đúng với mọi x thuộc tập xác định  Vậy sẽ đúng với x 1 chẳng hạn . Khi đó F 1  f 1  Tính giá trị f 1  7,3890... Q)QK2Q)r1=  Tính đạo hàm F 1 với từng đáp án , bắt đầu từ đáp án A là     2 2 2 x F x  e x  qy2QK2Q)(Q)p2)1= Vậy ta được kết quả F 1  14.7781... đây là 1 kết quả khác với f 1  Đáp án A sai  Tính đạo hàm F 1 của đáp án B với   1 1 2 2 2 x F x e x         qya1R2QK2Q)(Q)pa1R2 )1= Ta thu được kết quả giống hệt f  x vậy F  x  f  x hay   1 2 1 2 2 x F x e x         là nguyên hàm của f  x  Đáp án B là đáp án chính xác  Bình luận :  Nếu F  x là 1 nguyên hàm của f  x thì F  x C cũng là 1 nguyên hàm của hàm f  x vì F  x C  F  x C  F  x  0  F  x  f  x  Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích đối với với những bài phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm cùng một lúc , và tránh nhầm lẫn trong việc tính toán

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 18 TÌM NHANH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1) MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hơm nhận câu hỏi thầy Bình Kami, câu hỏi tính quãng đường vật chuyển động thẳng biến đổi đều, câu hỏi xuất đề thi minh họa BGD-ĐT năm 2017 [Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô chạy với vận tốc 10  m / s  người lái đạp phanh , từ thời điểm , tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   2t  10  m / s  , t khoảng thời gian tính giây , kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tơ cịn di chuyển mét ? A 15 m B 20 m C 25 m D 40 m Xem nào, xe dừng lại vận tốc hay  2t  10 thời gian xe di chuyển thêm ( s ) Vậy quãng đường s  v.t  10.5  50  m  mà xe chạy chậm dần phải nhỏ 50  m  , 40  m  phải không ? Để chắn, có lẽ phải lập bảng mô tả quãng đường : Mốc Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Vận tốc 10  86 64 42 20 Quãng đường Như tổng quãng đường xe vận tốc giảm đến      25  m  Cách tin cậy nhiều, thời gian đến phút !!! Vậy cịn cách nhanh khơng ? Thầy BìnhKami e làm Minh Nguyệt giải tốn tìm đáp án xác 25  m  , tốt mặt kết mặt thời gian tính lại lâu Bài ta hồn thành thời gian 20  s  nhờ công cụ gọi tích phân S    2t  10  dt  25  m  Ta bấm máy tính sau : Khởi động chức tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân nhấn nút = (p2Q)+10)R0E5= Máy tính cho kết 25  m  Chỉ 20  s  thật tuyệt vời phải khơng !!! Thầy BìnhKami, Tích phân cơng cụ mà hay ??? Trang 1/17 Tích phân công cụ tuyệt vời mà toán học tạo , sử dụng tích phân tính qng đường, vận tốc vật thể tính diện tích hình phức tạp ví dụ hình trịn, hình tam giác, hình e líp … cịn có cơng thức diện tích mặt ao hồ hình thù phức tạp có tích phân xử lý được, tính thể tích khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp lại phải nhờ đến tích phân Tích phân đại nhà toán học Anh Isac Newton nhà toán học Pháp Laibơnit công bố khoảng cuối kỉ 17 người đặt móng cho hình thành phát triển Tích phân nhà tốn học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-simet Tích phân chia làm dạng : Tích phân bất định (không cận) thường biết tới tên Ngun hàm Tích phân xác định (có cận) thường biết đến với tên Tích phân mà e học học kì lớp 12 2) CÁCH TÍNH NGUN HÀM  Xây dựng cơng thức tính ngun hàm : Ta có  x  '  x ta nói nguyên hàm 5x x kí hiệu  5x dx  x  C Tương tự  sin x  '  cos x ta nói nguyên hàm cos x sin x , kí hiệu  cos xdx  sin x  C Tổng quát :  f  x  dx  F  x   C  F '  x   f  x  VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số F  x   e x nguyên hàm hàm số : A f  x   e 2x B f  x   x.e ex C f  x   2x 2x D f  x   x2e x  GIẢI Thưa thầy, e làm !  Đầu tiên e tính đạo hàm F  x  , F  x  hàm hợp e nên em áp dụng công thức  eu  '  eu u '   2  Khi : F '  x   e x '  e x  x  '  x.e x  Vậy F  x  nguyên hàm hàm hàm f  x   x.e x ta chọn đáp án B VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y  x.e x : 1  A 2e x  x    C B e2 x  x    C 2  1  C 2e x  x    C D e x  x    C 2  GIẢI Thưa thầy, thử , với đáp án A F  x   2e2 x  x   Nhưng việc tính đạo hàm F  x  2e2 x  x   e thấy khó q , e quên công thức !! Trang 2/17 Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều bị quên công thức đạo hàm hay thân chưa học phần ?? Thầy cho e thủ thuật Casio để e quên công thức đáp án :  Ta biết F '  x   f ( x) việc với x thuộc tập xác định  Vậy với x  chẳng hạn Khi F ' 1  f 1  Tính giá trị f 1  7,3890 Q)QK^2Q)r1=  Tính đạo hàm F ' 1 với đáp án , đáp án A F  x   2e2 x  x   qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta kết F ' 1  14.7781 kết khác với f 1  Đáp án A sai 1   Tính đạo hàm F ' 1 đáp án B với F  x   e x  x   2  qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2 $)$1= 1  Ta thu kết giống hệt f  x  F '  x   f  x  hay F  x   e x  x   2  nguyên hàm f  x   Đáp án B đáp án xác  Bình luận :  Nếu F  x  nguyên hàm f  x  F  x   C nguyên hàm hàm f  x   F  x   C  '  F '  x   C '  F '  x    F '  x   f  x   Việc sử dụng Casio dể tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích với phức tạp, áp dụng nhiều cơng thức tính đạo hàm lúc , tránh nhầm lẫn việc tính tốn !! VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  : A  f  x  dx   x  1 C  f  x  dx   2x   C 2x   C B  f  x  dx   x  1 D  f  x  dx  2x   C 2x   C GIẢI Trang 3/17  Cách : CASIO  Nhắc lại lần công thức quan trọng Nếu F  x  nguyên hàm f  x  F '  x   f  x  Khi ta chọn giá trị x  a thuộc tập xác định F  a   f  a   Chọn giá trị x  chẳng hạn (thỏa điều kiện x    x  ) Khi f    1, 732 s2Q)p1r2=n  Theo quy trình ta chọn đáp án F  x  đáp án A, B, C, D đáp án thảo mãn F '    f    1, 732  x  1 x  qya2R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$ 2= Thử với đáp án A F  x   Vậy F '    3, 4641 giá trị khác f    1, 732 điều có nghĩa điều kiện F '  x   f  x  không đáp ứng Vậy đáp án A sai  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B Khi F  x    x  1 x  qya1R3$(2Q)p1)s2Q)p1$$ 2= Ta F '    1, 732 giống hệt f    1, 732 có nghĩa điều kiện F '  x   f  x  thỏa mãn Vậy đáp án xác B  Cách tham khảo : Tự luận  Dựa vào đặc điểm hàm f  x  ta thấy x  mặt chất có dạng  x  1 Ta nghĩ đến công thức đạo hàm  u n  '  n.u n 1.u ' +)Trong công thức đạo hàm số mũ u bị giảm Vậy hàm F  x  có số mũ lớn hàm f  x  đơn vị Vậy F  x  phải có số mũ 3 +)Vậy có đáp án A B thỏa mãn  x  1 x    x  1 Trang 4/17   Ta thực phép đạo hàm  x  1  '   x  1  x  1 '  x    1   Cân hệ số ta  x  1  '  x  Điều có nghĩa nguyên hàm 3  1 F  x    x  1   x  1 x   B đáp án 3  Bình luận :  Nếu có chút kiến thức đạo hàm việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án nhẹ nhàng Chúng ta việc thử với đáp án A B đáp án có số mũ  Điều đặc biệt dạng số mũ nguyên hàm F  x  lúc lớn số  mũ hàm số f  x  đơn vị +) Chúng ta áp dụng cách linh hoạt Ví dụ tìm ngun hàm hàm số m 1 y vơ đơn giản Ta thấy y  m mặt chất x x x x 1 mũ  chắn nguyên hàm phải x mũ    x 2 +) Ta xét đạo hàm gốc x ' (*) Việc lại cân hệ số, để tạo x m m thành ta nhân vế (*) với 2m xong Khi 2m x '  Thật đơn x x giản phải không !! x  3x  VD4- Một nguyên hàm hàm số f  x   : x    A 2 x  x  ln x x2  x  ln x  C B x 3x   ln x 2 D x2  x x2  GIẢI  Cách : CASIO  Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định  x   x  Khi f    7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n x2  Với đáp án C ta có F  x    3x  ln x  có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$ 5= Trang 5/17 Ta F '    7.6  f   Vậy đáp án C đáp án xác  Cách tham khảo : Tự luận x  3x   Hàm f  x   có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ với bậc tử bậc lớn x bậc mẫu bậc  Phương pháp giải : Thực phép chia tử số cho mẫu số ta được: f  x   x   x Khi hàm số trở thành dạng đơn giản ta dễ dàng tìm nguyên hàm  x2  x2 +) Có   3x  '  x   x nguyên hàm x    +) Có  ln x  '  Cân hệ số ta có :  2 ln x  '   2 ln x nguyên hàm x x  x  x2  x  3x  Tổng kết   3x  ln x  '  x    x x   x2 x2  x  ln x nguyên hàm cần tìm  x  ln x  2 nguyên hàm 1   Cân hệ số ta  x  1  '  x  Điều có nghĩa nguyên hàm 3  1 F  x    x  1   x  1 x   B đáp án 3  Bình luận :  Tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ dạng toán hay biết nguyên tắc tư duy, khơng biết khó khăn  Ta phải nhớ này, phân thức hữu tỉ có bậc tử lớn bậc mẫu ta thực phép chia tử số cho mẫu số thu hàm số dễ tính ngun hàm  Ngồi cịn dạng hay phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử ta xử lý ? Mời bạn xem ví dụ VD5 - Nguyên hàm hàm số f  x   : x 4 A ln  x    ln  x    C B ln  x    ln  x    C Hay ln C x2 C x2 x2 D ln x   C GIẢI  Cách : CASIO  Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định  x   x  Trang 6/17 Khi f    7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n x2  3x  ln x  có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$ 5=  Với đáp án C ta có F  x   Ta F '    7.6  f   Vậy đáp án C đáp án xác  Cách tham khảo : Tự luận  Hàm f  x   có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích x 4 thành nhân tử  Phương pháp giải : Chia phân thức phức tạp ban đầu thành phân thức phức tạp 4  +) Có x   x   x   +) Ta tách phân thức lớn thành phân thức nhỏ đơn giản : 1  m  n x 4 x2 x2 +) Để tách ta lại dùng phương pháp hệ số số bất định: m  x  2  n  x  2 1  m  n   x 4 x2 x2 x 2  x   x     m  x    n  x    x   x  m  n   m  2n  0  m  n m      2m  2n n  1 1 Vậy   x 4 x2 x2 Thành công việc đưa phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức 1  ln x  '  ,  ln u   u ' x u Dễ dàng áp dụng : 1 1 ln  x    '  ln  x    '   x  2 '   x   '  x2 x2 x2 x2 x2  1  Tổng hợp ln  x    ln  x    '   ln '    x2  x 4 x2 x2  Vậy nguyên hàm f  x  F  x   ln x2 C x2 Trang 7/17  Bình luận :  Qua ví dụ thấy hữu hiệu phương pháp hệ số bất định, phân số phức tạp chia thành phân số đơn giản  Về ngun tắc tích phân hàm phân thức chia thành hàng chục phân số đơn giản trương trình học THPT chia làm phân thức Chúng ta theo dõi phép chia sau : 4x2  5x  4x2  5x 1 4x2  5x 1 m n p      x  x  x   x    x  1  x   x  1 x  1 x  x  x   Tử số vế trái = Tử số vế phải  x  x   m  x  1  n  x  x    p  x  x     m  2n  p m     5  n  p  n  1  m  p n    4x2  5x 1    x  2x  x  x  x 1 x 1 Và ta dễ tính nguyên hàm   x  x 1 x 1 ln  x    ln  x  1  ln  x  1  C Thật hiệu phải khơng !! VD6-[Báo tốn học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm hàm số f  x   sin x.cos x tập số thực là: Cuối ta thu : A cos x  C 4 B  cos x  C C  sin x.cos x D  sin x  C GIẢI  Cách : CASIO  Chuyển máy tính Casio chế độ Radian (khi làm toán liên quan đến lượng giác) qw4   Chọn giá trị x ví dụ x      Khi giá trị f  x  x  f    0, 4330 6 jQ))kQ))rqKP6=n      Theo đáp án A F  x   cos x Nếu đáp án A F '    f   Ta tính 6 6   F    0, 4430 giá trị khác f   Vậy đáp án A sai 6 qya1R4$k2Q))$aqKR6= Trang 8/17  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B qypa1R4$k2Q))$aqKR6=     Ta F '    0, 4430  f   Vậy đáp án xác B 6 6  Cách tham khảo : Tự luận  Dễ thấy cụm sin x cos x quen thuộc ta nhớ đến cơng thức có nhân đôi : sin x  2sin x cos x  Từ ta rút gọn f  x   sin x  Cái đạo hàm sin cos !! Ta nhớ đến công thức :  cos u  '  u '.sin u Áp dụng  cos x  '   sin x  x  '  2sin x   Cân hệ số cách chia vế cho 4 ta :   cos x  '  sin x    Từ ta biết F  x    cos x  Bình luận :  Khi sử dụng máy tính Casio để làm tập liên quan đến hàm lượng giác ta nên đổi sang chế độ Radian để phép tính đạt độ chuẩn xác cao  Ngoài cách gộp hàm f  x  theo cơng thức góc nhân đơi , ta tư sau : Nếu ta coi sin x  u cos x  u ' ta nhớ tới công thức  u n  '  n.u n 1.u ' 1  Ta thiết lập quan hệ  sin x  '  sin x cos x hay  sin x  '  sin x cos x 2  Vậy ta biết F  x   sin x nhiên so sánh đáp án lại khơng có đáp án giống 1  cos x 1 Vậy ta tiếp tục biến đổi chút sin x    cos x   F  x  2 4  cos x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm sin x  cos4 x dx : Trang 9/17 A tan x  C B tan x  C C tan x  C D tan x  C Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f  x   2016 x : A 2016 x C ln 2016 B 2016 x ln 2016  C x.2016 x 1 D C ln 2016 C x.2016  x ln 2016  C Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau x  x  2 nguyên hàm hàm số f  x   :  x  1 x2  x  A x1 x2  x  C x  x2  x  B x1 D x2 x1 Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm ngun hàm hàm số     x  x  x dc x3  3ln x  x C 3 x3  3ln x  x C C 3 A B x3  3ln x  x C 3 D x3  ln x  x C 3 Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm : A x2  x   x  dx B  Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] A  ln x   C  ln x  B C  sin 3xdx  x  x  2dx ln x dx : x   ln x  D e x dx  C ln x C C D C Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số f  x   e x 1  2017e 2 x  : A e x  2017 e  x  C 2017  x ex  e C C B e x  2017 e  x  C D e x  2017 x e C Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm ln x   ln x   C 3 ln x   ln x   C C 3 A 3 2x  dx :  x 1  2x B  ln x   ln x   C D  ln x   ln x   C Trang 10/17 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên 2017] Nguyên hàm A tan x  C B tan x  C sin x  cos4 x dx : C tan x  C D tan x  C GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn chế độ Radian cho máy tính Casio chọn giá trị x   chẳng hạn sin x   F    cos x 6 qw4ajQ))dRkQ))^4rqKP6=  Ta có f  x     Tính đạo hàm F  x   tan x x  ta F  x   0, 44    qya1R3$lQ))^3$$aqKR6=  D đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận sin x  Biến đổi  tan x cos x cos x  Theo công thức đạo hàm  u n  '  n.u n 1.u ' Với u  tan x n   Vậy F '  x   f  x   Ta có  tan x  '  3.tan x 1 1  Vậy F  x   tan x   tan x  '  tan x 2 cos x cos x 3  nguyên hàm  tan x  C họ nguyên hàm cần tìm Bài 2-[Thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017] Nguyên hàm hàm số f  x   2016 x : A 2016 x C ln 2016 C x.2016  x ln 2016  C B 2016 x ln 2016  C x.2016 x 1 D C ln 2016 GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn  Ta có f  x   2016 x F    4064256 Trang 11/17 2016^Q)r2= 2016 x ta F '    4064256 ln 2016 qya2016^Q)Rh2016)$$2=  Tính đạo hàm F  x    Vậy F '  x   f  x   4064256  A đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận  Theo công thức đạo hàm  a x  '  a x ln x Với a  2016  2016 x  2016 x x '  2016 Ta có  2016 x  '  2016 x.ln 2016   Vậy F x  nguyên    ln 2016  ln 2016  2016 x hàm   C họ nguyên hàm cần tìm ln 2016 Bài 3-[THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017] Hàm số sau x  x  2 nguyên hàm hàm số f  x   :  x  1 A x  x 1 x1 x2  x  C x  B x  x 1 x1 D x2 x1 GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn x  x  2  Ta có f  x   f     x  1 aQ)(Q)+2)R(Q)+1)dr2= x2  x 1 10 ta F '    1.111  x 1 qyaQ)d+Q)p1RQ)+1$$2=  Tính đạo hàm F  x    Vậy F '  x   f  x   F  x   x2  x 1 nguyên hàm f  x   A đáp x 1 án xác Trang 12/17  Cách tham khảo: Tự luận x  x    x  1  1   1 2  x  1  x  1  Biến đổi  x  1   1  Theo công thức đạo hàm   '  u ' Với u  x  u u  x  x   x( x  2) 1     Ta có  x '    x   '  '    '  1 2 x 1  x 1   x  1  x  1  x    x  1 x2  x 1 nguyên hàm  Đáp số C x 1 x2  x   F ( x)   nguyên hàm  Đáp số B x 1 x2  F ( x)   nguyên hàm  Đáp số D x 1 Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm hàm số     x  x  x dc Vậy F  x   x3  ln x  x C 3 x3  3ln x  x C C 3 A B x3  3ln x  x C 3 D x3  ln x  x C 3 GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn 11   Ta có f  x   x   x f    x Q)d+a3RQ)$p2sQ)r2= x3 11   3ln x  x ta F '    2.6715  3 qyaQ)^3R3$+3hQ))pa4R3$sQ )^3$$$2=  Tính đạo hàm F  x   x3 11   Vậy F '  x   f  x    F  x    3ln x  x nguyên hàm f  x   C 3 đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận Trang 13/17   3ln x  '  x x  Theo công thức  x n  '  n.x n 1 với n  3   4  4 3   x  '  x   x  '  x   x '  x 3    3   Theo công thức đạo hàm  ln x  '    x3 3 x3 Vậy   3ln x  x  '  x  x  x hay F  x    3ln x    3 x3 nguyên hàm Bài 5-[THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ 2017] Không tồn nguyên hàm : A x2  x   x  dx B  C  sin 3xdx  x  x  2dx D e x dx  GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn  Ta có f  x    x  x  f   không tồn spQ)d+2Q)p2r2= Vậy hàm số đáp số C không tồn  Cách tham khảo: Tự luận  Dễ thấy  x  x     x  1   với giá trị x  R  Vậy  x  x  không tồn Bài 6-[Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017] A  ln x   C  ln x  B  ln x dx : x  ln x  C C ln x C D C GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn ln x  Ta có f  x   f    0.4162 x ashQ))RQ)r2=  ln x  ta F '    0.4612 qya2R3$shQ))^3$$$2=  Tính đạo hàm F  x   Trang 14/17  Vậy F '  x   f  x   0.4162  F  x    ln x  nguyên hàm f  x   B đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận  Theo công thức  u n  '  n.u n 1.u ' với u  ln x  1   2 3 1 ln x 2   ln x  '  ln x   x  '  ln x    ln x   '  x x x 3    3  ln x 2  ln x   '  Vậy  hay F  x   ln x  nguyên hàm  x   Bài 7-[Báo Toán học tuổi trẻ T11 năm 2016] Nguyên hàm hàm số f  x   e x 1  2017e 2 x  : A e x  2017 e  x  C 2017  x ex  e C C B e x  2017 e  x  C D e x  2017 x e C GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn  Ta có f  x   e x 1  2017e 2 x  f    265.5822 QK^Q)$(1p2017QK^p2Q)$)r 2=  Tính đạo hàm F  x   e x  2017e  x ta F '    265.5822 qyQK^Q)$+2017QK^pQ)$$2=  Vậy F '  x   f  x   265.5822  F  x   e x  2017e  x nguyên hàm f  x   A đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận  Biến đổi e x 1  2017e 2 x   e x  2017e  x  Theo công thức  e x  '  e x  e  x   e x   2017e  x   2017e  x Vậy  e x  2017 e  x  '  e x  2017 e  x hay F  x   e x  2017e  x  e x 1  2017e 2 x  nguyên hàm Trang 15/17 Bài 8-[THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017] Họ nguyên hàm ln x   ln x   C 3 ln x   ln x   C C 3 A 3 2x  dx :  x 1  2x B  ln x   ln x   C D  ln x   ln x   C GIẢI  Cách 1: CASIO  Chọn giá trị x  chẳng hạn 2x   Ta có f  x   f    2x  x 1 a2Q)+3R2Q)dpQ)p1r2=  Tính đạo hàm F  x    ln x   ln x  ta F '    1.4  3 qyap2R3$h2Q)+1)+a5R3$hQ) p1)$2=  Vậy F '  x   f  x    F  x    ln x   ln x  nguyên hàm f  x   B 3 đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận  Vì mẫu số tách thành nhân tử : x  x    x  1 x  1 nên ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để tách phân số : 2x  1  m  n  x   m  x  1  n  x  1 2x  x 1 x 1 2x   m   2m  n    x    2m  n  x  m  n    m  n  n    2x  Vậy ta tách   2x  x 1 x 1 2x  1   5  Theo công thức  ln u  '  u '    ln x   ln x   '   u   x  2x   F  x   ln x  nguyên hàm Trang 16/17 ... nguyên hàm  Đáp số C x 1 x2  x   F ( x)   nguyên hàm  Đáp số B x 1 x2  F ( x)   nguyên hàm  Đáp số D x 1 Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm hàm số     x ... số sau x  x  2 nguyên hàm hàm số f  x   :  x  1 x2  x  A x1 x2  x  C x  x2  x  B x1 D x2 x1 Bài 4-[THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa 2017] Tìm nguyên hàm hàm số     x  x  x dc... đáp án A B đáp án có số mũ  Điều đặc biệt dạng số mũ nguyên hàm F  x  lúc lớn số  mũ hàm số f  x  đơn vị +) Chúng ta áp dụng cách linh hoạt Ví dụ tìm ngun hàm hàm số m 1 y vô đơn giản