PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL: GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO

1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG1. Kỹ thuật ép hệ phương trình: Cho hệ thức f  x dx f a,b,c  , muốn tìm a,b,c thỏamãn hệ thức ha,b,c  m . Ta sẽ tính giá trị tích phân f  x dx  rồi lưu vào A .Vậy ta sẽ ép được hệ phương trình   , ,, ,f a b c Ah a b c m   . Để giải hệ phương trình này ta sẽ sửdụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE hoặc chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máytính Casio(Xem ví dụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6)2. Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc f  x dx  và nguyên hàm hệ quảf u tdt  qua phép đổi biến x  u t . Để sử dụng được máy tính Casio ta ép hệ số chonguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định f  x dx . Vì nguyên hàm gốc và nguyênhàm hệ quả là tương đương nên      f x dx f u t dx     ( , là 2 cận mới)(Xem ví dụ minh họa 7,8,9)2) VÍ DỤ MINH HỌAVD1. Biết423ln 2 ln 3 ln 5 dxa b cx x     với a,b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  cA. S  6 B. S  2 C. S  2 D. S  0(Câu 26 Đề minh họa Bộ GDĐT lần 2 năm 2017)Lời giải: Tính tích phân423dxx  x  và lưu vào biến Aya1RQ)d+Q)R3E4= qJz Khi đó   16 ln 2 ln 3 ln 5 ln 2 .3 .5 2 .3 .515a b c a b c A A  a  b  c  A    e QKQz=Trang 215Dễ thấy16 2 4 1 1 .2.2.2 2 .3 .5 2 .3 .5 4; 1; 1 215 3.5a b c a b c S              Đáp số chính xác là BVD2. Cho  21I  ln x 1 dx  a ln 3 bln 2  c  a,b,c Z  . Tính giá trị của biểu thứcA  a  b  cA. 0 B. 1 C. 2 D. 3(Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017)Lời giải: Tính giá trị tích phân  21I x dx   ln 1  rồi lưu giá trị này vào biến AyhQ)+1)R1E2=qJz Khi đó ln 3 ln 2 ln(3 .2 . ) ln 3 .2 . 3 .2Aa b c A a b c A a bcea b c A e e e ee        Để tính được 3 .2a b ta sử dụng chức năng MODE 7 với hàm   3 .2Aa bce f Xe  w7aQKQzRQKQ)==p9=10=1=Quan sát màn hình xem giá trị nào của f  X  (cũng là của 3 .2a b ) là số hữu tỉ thì nhậnDễ thấy với X  c  1 thì 27 3 2 3 .2 6.75 3 .24a b      a  3;b  2Tóm lại a  b  c  3 2 1  0 Đáp án A là đáp án chính xác.

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 23 GIẢI NHANH BÀI TỐN TÍCH PHÂN CHỐNG LẠI CASIO 1) KIẾN THỨC NỀN TẢNG  Kỹ thuật ép hệ phương trình: Cho hệ thức  f  x  dx  f  a, b, c  , muốn tìm a, b, c thỏa   mãn hệ thức h  a, b, c   m Ta tính giá trị tích phân  f  x  dx  lưu vào A   f  a, b, c   A Vậy ta ép hệ phương trình  Để giải hệ phương trình ta sử h  a, b, c   m dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE chức lập bảng giá trị MODE máy tính Casio (Xem ví dụ minh họa 1, 2, 3, 4, 5, 6) Kỹ thuật ép cận nguyên hàm: Cho nguyên hàm gốc  f  x  dx nguyên hàm hệ  f  u  t  dt qua phép đổi biến x  u  t  Để sử dụng máy tính Casio ta ép hệ số cho  nguyên hàm gốc để trở thành tích phân xác định  f  x  dx Vì nguyên hàm gốc nguyên   hàm hệ tương đương nên   ' f  x  dx   f  u  t   dx (  ',  ' cận mới) ' (Xem ví dụ minh họa 7,8,9) 2) VÍ DỤ MINH HỌA dx VD1 Biết   a ln  b ln  c ln với a, b, c số nguyên Tính S  a  b  c x x A S  B S   Tính tích phân x C S  2 D S  (Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017) Lời giải: dx lưu vào biến A x ya1RQ)d+Q)R3E4= qJz  Khi A  a ln  b ln  c ln  A  ln  2a.3b.5c   2a.3b.5c  e A  QK^Qz= 16 15 Trang 1/15 16 2.2.2.2   4.31.51  a.3b.5c  a  4; b  1; c  1  S  15 3.5  Đáp số xác B Dễ thấy VD2 Cho I   ln  x  1 dx  a ln  b ln  c  a, b, c  Z  Tính giá trị biểu thức A  abc A B C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) Lời giải:  Tính giá trị tích phân I   ln  x  1 dx lưu giá trị vào biến A yhQ)+1)R1E2=qJz eA ec eA a b a b Để tính ta sử dụng chức MODE với hàm f  X    c e w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1=  Khi a ln  b ln  c  A  ln(3a.2b.ec )  ln e A  3a.2b.ec  e A  3a.2b  Quan sát hình xem giá trị f  X  (cũng 3a.2b ) số hữu tỉ nhận Dễ thấy với X  c  1 3a.2b  6.75  27  33.2 2  a  3; b  2 Tóm lại a  b  c      Đáp án A đáp án xác  VD3 Cho I    sin x  cos x dx   a  b  ln  c ln  a, b, c  Q  Tính giá trị biểu thức : sin x  cos x A  abc A B D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) Lời giải: C   Tính giá trị tích phân I    sin x  cos x dx lưu giá trị vào biến A sin x  cos x yajQ))pkQ))RjQ))+kQ))R Trang 2/15 aqKR4EEaqKR2=qJz  Khi  a  b  ln  c ln  A  ln(3a b.2c )  ln e A Mà ta tính e A  QK^Qz= a b c     a  b  0; c  1  2  Đáp án B đáp án xác Tóm lại a  b  c    VD4 Cho I   sin xdx   a  b  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức A ab A 11 32 B  32 C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) Lời giải:  Tính giá trị tích phân I   ln  x  1 dx lưu giá trị vào biến A yjQ))^4R0EaqKR4=qJz  a  b  A   Khi  a  b  A Nếu đáp số A hệ  11 có nghiệm hữu tỉ (thuộc a  b  32 Q) ==$$Rp5P32== ; b   số hữu tỉ 32  B đáp án xác Rõ ràng a  Trang 3/15  VD5 Cho I   x 1  sin x  dx  2 a thức A  a  b A 20 b B 40   a, b, c  Z  với a phân số tối giản Tính biểu b C 60 D 10 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) Lời giải:   Tính giá trị tích phân I   x 1  sin x  dx lưu giá trị vào biến A yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4=q Jz  Khi 2 a  A Nếu đáp số A a  b  20  b  20  a  A  2 a b 20  a Sử dụng chức SHIFT SOLVE để tìm a (với a số nguyên ) QzQraqKd+Q)R20pQ)qr= 10= Kết không số nguyên  Đáp số A sai  Nếu đáp số B a  b  40  b  40  a  A  2 a 40  a $$$$R$4qr=20= Vậy a   b  32  Đáp án A đáp án xác VD6 Cho I   x3 ln xdx  thức A  a  b A 15 ae4  b c B 28  a, b, c  Z  với a b ; phân số tối giản Tính biểu c c C 36 D 46 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Internet 2017) Lời giải:  Tính giá trị tích phân I   x3 ln xdx lưu giá trị vào biến A Trang 4/15 yQ)(1+j2Q)))R0EaqKR4= qJz ae  b  A Nếu đáp số A c  15  a  b c  15 A  a A  b A  a.e  b 15 A  a A  a.e b A 1 Sử dụng chức MODE để tìm a (với a số nguyên ) w7a15QzpQzQ)pQK^4$Q)R  Khi Qz+1==p9=10=1= Kết khơng tìm số nguyên  Đáp số A sai 36 A  a A  a.e  Tương tự với đáp số C  b  A 1 C$$$oo36===== Ta tìm nghiệm a  129 số hữu tỉ  Đáp án C đáp án xác  VD7 Cho tích phân I   esin x sin xdx Nếu đổi biến số t  sin x :  A I   e t t.dt 1 B I   e t t.dt C I   e t t.dt  D I   e t t.dt (Trích đề thi ĐH khối B năm 2005) Lời giải:   Tính giá trị tích phân I   esin x sin xdx yQK^jQ))$j2Q))R0EaqKR 2= Trang 5/15  Nếu đáp án A giá trị tích phân câu A phải giống giá trị tích phân đề  Tính I   e t t.dt yQK^Q)$Q)R0EaqKR2= Kết số khác  Đáp số A sai  Tương tự với đáp số C I   e t t.dt  2yQ)QK^Q)R0E1=  Đáp án C đáp án xác Chú ý : Đổi cận phải đổi biến  Dễ dàng loại đáp án A D 4x 1 dx thành tích phân 2x   VD8 Sử dụng phương pháp đổi biến đưa tích phân I    f  t  dt Khi f  t  hàm hàm số sau ? A f  t   C f  t   2t  t2 B f  t   2t  t  2 D f  t    2t  2t   8t   t   t   8t   t   2t (Trích đề thi ĐH khối D năm 2011)  Tính giá trị tích phân I   Lời giải: 4x 1 dx 2x   ya4Q)p1Rs2Q)+1$+2R0E4= Trang 6/15  Nếu đáp án A f  t   2t  giá trị tích phân t2 5 2t  2t  dt  6.2250 điều sai I   dt  9.6923 t2 t2 3 I  ya2Q)dp3RQ)+2R3E5= Kết số khác  Đáp số A sai  Tương tự với đáp số B xác ya(2Q)dp8Q)+5)(Q)p2)RQ )R3E5= VD9 Nếu sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm, ta đặt t   ln x nguyên hàm ln x  ln x dx có dạng :  x A  3t  t  1 dt B  t  t  1 dt C  3t  t  1 dt D  t  t  1 dt Lời giải:  Để sử dụng máy tính Casio ta phải tiến hành chọn cận để đưa nguyên hàm (tích phân bất định) trở thành tích phân (tích phân xác định) Ta chọn hai cận e7 Tính giá trị tích phân e7 ln x  ln x dx  43.1785 1 x ahQ))Oq^3$1+hQ))RQ)R1E QK^7=  x   t   ln1   Khi tiến hành đổi biến ta phải đổi cận :  Nếu đáp án A  x  e7  t   ln 37  giá trị tích phân câu A phải giống giá trị tích phân đề Tính   I   3t t  dt yQK^Q)$Q)R0EaqKR2= Trang 7/15 Kết số khác  Đáp số A sai  Tương tự với đáp số C I   e t t.dt  y3Q)^3$(Q)^3$p1)R1E2=n  Đáp án A đáp án xác Chú ý : Ta chọn cận không thiết phải e7 (chỉ cần thỏa mãn tập xác định hàm số được) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trang 8/15  Bài Cho tích phân  tan xdx  a  b  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức P  ab A P  B P  C P  D P  11 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) 1 x Bài Cho tích phân  a, b  Q   e x dx  a.e2  b.e  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức x P  ab A P  1 B P  0.5 C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017)  cos x  cos x   3sin x  cos x dx  a ln  b ln  c  a, b, c  Z  Bài Cho tích phân Tính P  abc A P  3 B P  2 C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Cho tích phân  2x dx  a ln  b ln  c ln11  a, b, c  Z  Tính giá trị biểu  5x  thức P  a  b  c A P  B P  3 C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) 2 x  2x  Bài Cho tích phân  dx  a ln  b ln  c  a, b, c  Z  Tính giá trị biểu x2  x thức P  a  b  c A P  B P  2 C D 1 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  x  I  dx x x2 1 A  đưa tích phân thành tích phân sau ? dt t 1 B dt t 1  C  t t 2 3 dt 1  D  t t dt 1  3 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t   3cos x đưa nguyên hàm sin x  sin x I  dx thành nguyên hàm sau ?  3cos x A  2t  t dt B 2t  dt 9 t C  2t  t dt D 2t  dt 9 t (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Trang 9/15 Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t   3cos x sin x  sin x I  dx thành nguyên hàm sau ?  3cos x A  2t  t dt B 2t  dt 9 t C  2t  t dt D đưa nguyên hàm 2t  dt 9 t (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Trang 10/15 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài Cho tích phân  tan xdx  a  b  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức P  ab A P  B P  C P  D P  11 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải:   Tính giá trị tích phân  tan xdx lưu vào biến A qw4ylQ))dR0EaqKR4=qJz a  b  A   Nếu đáp số A ta có hệ phương trình   a  1.7334 số hữu a  b   tỉ  Đáp số A sai w511=qK=Qz=1=1=5P4== a  b  A a    Tương tự với đáp án B ta có hệ phương trình   B đáp số  b  a  b    xác ==$$R3P4=== Bài Cho tích phân  a, b  Q  P  ab A P  1 1 x x e dx  a.e2  b.e  a, b  Q  Tính giá trị biểu thức x  B P  0.5 C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải:  Tính giá trị tích phân 1 x x e dx lưu vào biến A x2  ya1pQ)RQ)d$QK^Q)R1E2=qJz Trang 11/15 ae  be  A a  0.5  Với đáp số A ta có hệ phương trình   b  a  b  0.5 w51QKd=QK=Qz=1=1=0.5===  Đáp số A xác  Bài Cho tích phân cos x  cos x   3sin x  cos x dx  a ln  b ln  c  a, b, c  Z  Tính P  abc A P  3 B P  2 C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải:   Tính giá trị tích phân cos x  cos x   3sin x  cos x dx lưu vào biến A yak3Q))+2kQ))R2+3jQ))pk2 Q))R0EaqKR2=qJz  Vậy a ln  b ln  c  A  ln  a.3b.ec   ln  e A   2a.3b  eA Tìm a.3b chức c e lập bảng giá trị MODE với biến X  c w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1= Ta 2a.3b  18 với X  c  2 Vậy 18  2.32  2a.3b  a  1; b   P  a  b  c      Đáp số xác D Bài Cho tích phân  2x thức P  a  b  c A P  dx  a ln  b ln  c ln11  a, b, c  Z  Tính giá trị biểu  5x  B P  3 C D (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải: Trang 12/15  Tính giá trị tích phân  2x dx  lưu vào biến A  5x  ya1R2Q)d+5Q)+3R1E4=qJz  Vậy a ln  b ln  c ln11  A  ln  2a.5b.11c   ln  e A  25 5.5   52.2 1.111 22 2.11 Rõ ràng a  1; b  2; c  1  P  a  b  c      Đáp số xác D  2a.5b.11c  e A  Bài Cho tích phân x2  2x  1 x  x dx  a ln  b ln  c  a, b, c  Z  Tính giá trị biểu thức P  a  b  c A P  B P  2 C D 1 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải: dx  Tính giá trị tích phân   lưu vào biến A 2x  5x  yaQ)d+2Q)+2RQ)d+Q)R1E2=q Jz eA  Vậy a ln  b ln  c  A  ln  e   ln  e   e  e   c Tìm a.3b e chức lập bảng giá trị MODE với biến X  c w7aQK^QzRQK^Q)==p9=10=1= a b c A a b c A a b  23.31  a  3; b  1 với X  c   P  a  b  c      Đáp số xác A Ta 2a.3b  2.66    Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  x  I  dx x x2 1 đưa tích phân thành tích phân sau ? Trang 13/15 A  dt t 1 B dt t 1  C  t t 2 3 dt 1 D   t t dt 1  3 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải:  Tính giá trị tích phân I   dx  x x 1  12 ya1RQ)sQ)dp1Ra2Rs3EEs2= Tích phân có giá trị t  12 đáp án Ta có đáp án B có giá trị : dt    12 qw4ya1RQ)d+1Ra1Rs3EE1=  Đáp số xác A Chú ý : Giá trị tích phân khơng thay đổi theo phép đổi biến (đặt ẩn phụ) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t   3cos x sin x  sin x I  dx thành nguyên hàm sau ?  3cos x A  2t  t dt B 2t  dt 9 t C  2t  t dt đưa nguyên hàm D 2t  dt 9 t (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Lời giải:   Chọn cận  2 sin x  sin x dx  3cos x Tính giá trị tích phân I   yaj2Q))+jQ))Rs1+3kQ))R0E aqKR2=  x   t   cos 3x   Tiến hành đổi biến phải đổi cận  x    t   Trang 14/15  Với đáp số D ta có  1 2t  dt 4 t a1R9$yap2Q)p1RsQ)R4E1=nn  Đáp số xác D Chú ý : Chọn cận nhiên nên chọn cận x cho t đẹp Trang 15/15 ... ln  b ln  c  a, b, c  Z  Bài Cho tích phân Tính P  abc A P  3 B P  2 C P  D P  (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Cho tích phân  2x dx  a ln  b ln  c... 2 C D 1 (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Bài Nếu sử dụng phương pháp đổi biến với ẩn phụ t  x  I  dx x x2 1 A  đưa tích phân thành tích phân sau ? dt t 1 B dt t... t dt D đưa nguyên hàm 2t  dt 9 t (Tổng hợp tích phân chống Casio – Nguồn Internet 2017) Trang 10/15 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN  Bài Cho tích phân  tan xdx  a  b  a, b  Q  Tính giá