Phương pháp tính cách bài toán tích phân

TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 1/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com Chuyên ñề : TÍCH PHÂN ÔN THI ðẠI HỌC 2015 Website: www.dangnhatlong.com BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ðẠO HÀM ( ) ( ) ( ) x x x x α.x'x k αα 2 1 ' 11 0' 2 ' 1 = −=       = = − ( ) ( ) u u u u u u uα.u'u αα 2 ' ' '1 '. 2 ' 1 = −=       = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x xx xx 2 2 2 2 cot1 sin 1 'cot tan1 cos 1 'tan sin'cos cos'sin +−=−= +== −= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uu u u u uu u u u uuu uuu 2 2 2 2 cot1'. sin ' 'cot tan1'. cos ' 'tan sin'.'cos cos'.'sin +−=−= +== −= = ( ) ( ) aaa ee xx xx ln' ' = = ( ) ( ) '.ln' '.' uaaa uee uu uu = = ( ) ( ) ax x x x a ln. 1 'log 1 'ln = = ( ) ( ) au u u u u u a ln. ' 'log ' 'ln = =     ( ) 2 ' dcx bcad y dcx bax y + − =⇒ + + = ; ( ) 2 22 '' '''2' ' '' bxa cabbxabxaa y bxa cbxax y + −++ =⇒ + ++ =    BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 ( ) ( ) Cbax a baxd ++=+ ∫ 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax a b ax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 CÁC CÔNG THỨC SUY RA: 1). ∫ ++= + Cbax a b ax dx ln 1 (a 0 ≠ ) 2). ∫ + − − − = −− C bx ax ba dx bxax dx ln 1 ))(( (a )b ≠ 3). ∫ + + − = − C ax ax a ax dx ln 2 1 22 4). C baxa bax dx + + − = + ∫ 1 . 1 )( 2 (a )0 ≠ 5). Caxx ax dx +++= + ∫ 2 2 ln 6). ( ) ( ) ( ) sin ax+b ln os ax+b os ax+b dx c C c = − + ∫ TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 2/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com 7). ( ) ( ) ( ) os ax+b ln sin ax+b sin ax+b c dx C = + ∫ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY SỬ DỤNG 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2   α β = α + β + α −β     α β = α −β − α +β     α β = α+β + α − β   2 2 2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 cos ; sin ; tan 2 2 1 cos2 + α − α − α α = α = α = + α * Nếu ñặt t an 2 x t = thì ta có : 2 2 sin 1 t x t = + ; 2 2 1 cos 1 t x t − = + ; 2 2 tan 1 t x t = − Vấn ñề 1: DÙNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM TÍNH NGUYÊN HÀM Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 ð S. F(x) = Cx xx ++− ln 2 3 3 23 2. f(x) = 2 4 32 x x + ð S. F(x) = C x x +− 3 3 2 3 3. f(x) = 2 1 x x − ð S. F(x) = lnx + x 1 + C 4. f(x) = 2 22 )1( x x − ð S. F(x) = C x x x ++− 1 2 3 3 5. f(x) = 4 3 xxx ++ ð S. F(x) = C xxx +++ 5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 6. f(x) = 3 21 xx − ð S. F(x) = Cxx +− 3 2 32 7. f(x) = x x 2 )1( − ð S. F(x) = Cxxx ++− ln4 8. f(x) = 3 1 x x − ð S. F(x) = Cxx +− 3 2 3 5 9. f(x) = 2 sin2 2 x ð S. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan 2 x ð S. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos 2 x ð S. F(x) = Cxx ++ 2sin 4 1 2 1 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 ð S. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = x x 22 cos . sin 1 ð S. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = x x x 22 cos . sin 2cos ð S. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ð S. F(x) = Cx +− 3cos 3 1 TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 3/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com 16. f(x) = 2sin3xcos2x ðS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 17. f(x) = e x (e x – 1) ð S. F(x) = Cee xx +− 2 2 1 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x− ð S. F(x) = 2e x + tanx + C 19. f(x) = 2a x + 3 x ð S. F(x) = C a a xx ++ 3 ln 3 ln 2 20. f(x) = e 3x+1 ð S. F(x) = Ce x + +13 3 1 21. 2 ( ) 3 2 x f x x = + 22. 1 3 ( ) f x x = 23. 2 ( ) cos f x x = 24. 2 ( ) 10 x f x = 25 3 2 2 3 3 1 ( ) 2 1 x x x f x x x + + − = + + 26. x xxxf 1 cos)( 3 −+= 27. x xxxg 2 4 cos 1 25)( +−= 28. x x x xh sin5 23 )( 4 ++−= 29. 24)( 2 +−= xtgxm x 30. 2 23 234 )( x xx xn +− = 31. 23 )32()( −= xxp 32. 4 3 xxxy ++= 33. y= x 2 (5 –x ) 4 Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ð S. f(x) = x 2 + x + 3 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 ð S. f(x) = 1 3 2 3 +− x x 3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 ð S. f(x) = 3 40 2 3 8 2 −− xxx 4. f’(x) = x - 2 1 2 + x và f(1) = 2 ð S. f(x) = 2 3 2 1 2 2 −++ x x x 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 ð S. f(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 6 . f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2 =−== fff x b ð S. f(x) = 2 51 2 2 ++ x x Vấn ñề 2: TÍNH TÍCH PHÂN ÁP DỤNG CÔNG THỨC CƠ BẢN Dạng cơ bản: ( ) ( ) ( ) ( ) b a a I f x dx F x F b F a b = = = − ∫ TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 4/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1. 1 3 0 ( 1) x x dx + + ∫ 2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x + + + ∫ 3. 2 1 1 x dx + ∫ 4. 2 3 (2sin 3 ) x cosx x dx π π + + ∫ 5. 1 0 ( ) x e x dx + ∫ 6. 1 3 0 ( ) x x x dx + ∫ 7. 2 1 ( 1)( 1) x x x dx + − + ∫ 8. 2 3 1 (3sin 2 ) x cosx dx x π π + + ∫ 9. 1 2 0 ( 1) x e x dx + + ∫ 10. 2 2 3 1 ( ) x x x x dx + + ∫ 11. 2 1 ( 1)( 1) x x x dx − + + ∫ 12. 3 3 1 x 1 dx ( ). − + ∫ 13. 2 2 2 -1 x.dx x + ∫ 14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x − − ∫ 15. x 2 5 2 dx x 2 + + − ∫ 16. 2 2 1 x 1 dx x x x ( ). ln + + ∫ 17. 2 3 3 6 x dx x cos . sin π π ∫ 18. 4 2 0 tgx dx x . cos π ∫ 19. 1 x x x x 0 e e e e dx − − − + ∫ 20. 1 x x x 0 e dx e e . − + ∫ 21. 2 2 1 dx 4x 8x + ∫ 22. 3 x x 0 dx e e ln . − + ∫ 23. 2 0 dx 1 x sin π + ∫ 24. ∫ − ++ 1 1 2 )12( dxxx 25. ∫ −− 2 0 3 ) 3 2 2( dxxx 26. ∫ − − 2 2 )3( dxxx 27. ∫ − − 4 3 2 )4( dxx 28. dx xx ∫       + 2 1 32 11 29. ∫ − 2 1 3 2 2 dx x xx 30. ∫ e e x dx 1 1 31. ∫ 16 1 . dxx 32. dx x xx e ∫ −+ 2 1 752 33. dx x x ∫         − 8 1 3 2 3 1 4 Vấn ñề 3: MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN Dạng 1: I = ( ) ( 0) b a p x dx c cx d ≠ + ∫ ( P(x) là m ộ t ñ a th ứ c). N ế u b ậ c P(x) l ớ n h ơ n ho ặ c b ằ ng 1 ta chia t ử cho m ẫ u Ví dụ 1: Tính 1 2 1 3 4 5 2 3 x x I dx x − + − = − ∫ Giải TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 5/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com 1 1 2 1 1 31 3 17 3 17 31 17 31 4 ln 2 3 = ln5 2 4 2 3 4 4 8 2 8 I x dx x x x x − −       = + + = + + − −     −       ∫ Dạng 2: 2 ( ) b a P x I dx x px q = + + ∫ ( P(x) là một ña thức) Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng 2 ta chia tử cho mẩu ta ñược các tích phân có dạng: + ( -1) b a x dx α α ≠ ∫ = 1 1 1 1 1 1 + + +     = −     + +   b a x b a α α α α α + I 1 2 b a Ax B dx x px q + = + + ∫ Cách tính I 1 :    2 0 x px q + + = vô nghiệm ( 0 ∆ < ) Ta bi ế n ñổ i: Ax+B = [ ] (2 ) (2 ) ( ) 2 2 2 A A Ap x p p B x p B+ − + = + + − 1 2 2 2 ( ) 2 2 b b a a A x p Ap dx I dx B x p q x px q + = + − + + + + ∫ ∫ * I 2 = 2 2 b a x p dx x p q + + + ∫ ðặt t = x 2 +px+q (2 ) dt x p dx ⇒ = + ðổi cận: ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = 2 ln ln = =   =   ∫ dt I t t β β α α β α * I 3 = 2 2 2 2 2 ( 0) 4 ( ) ( ) 2 2 4 = = = − > + + + + + + − ∫ ∫ ∫ b b b a a a dx dx dx p m q p p p x px q x m x q ðặt tan 2 p x m t + = 2 (1 tan ) dx m t dt ⇒ = + ðổi cận: ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = [ ] 2 3 2 (1 tan ) 1 1 1 [ ] tan + = = = = − + ∫ ∫ m t dt I dt t m t m m m m β β β α α α β α Ví dụ: Tính 3 2 2 3 2 7 13 x I dx x x + = − + ∫ Giải ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 25 3 2 2 7 7 2 2 7 2 2 2 2 7 3 25 2 7 13 2 7 13 2 7 I = ln 7 13 = - ln3 7 13 + I = 7 13 7 3 2 4 x x x x dx I dx x x x x x dx x x x x dx dx x x x   + = − + + = − +   − = + − + − + −   + = − +   − + = − +   − +     ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 6/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com ( ) 2 7 3 tan t ; 2 2 2 2 3 1 tan 2     − = ∈ −         ⇒ = + π π Ñaët x t dx t dt ðổi cận: 6 2 3 2 3 3 3 9 I dx π π π − − = = ∫ 3 25 3 ln3 2 18 I π − = +    2 0 x px q + + = có nghiệm kép 2 p x = ( 0 ∆ = ) 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 p M A M x N M Ax B Ax B M N Mp p p p p N x px q N B x x x x =  + +  + +  = = + = ⇒ ⇒   + + + =   + + + +  I 1 = 2 ( ) ( ) 2 2 b a M N dx p p x x + + + ∫ ln 2 2 b a p N M x p x     = + −     +   Ví dụ: Tính 1 2 1 2 5 2 1 x I dx x x + = + + ∫ Giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 5 2 5 2 1 1 1 1 x x A B x x x x x + + = = + + + + + + 2 2 2 1 1 2 5 ( 1) 2 2 5 3 2 3 3 3 1 2ln 1 2ln 1 ( 1) 1 2 2 x A x B A A A B B I dx x x x x ⇒ + = + + = =   ⇒ ⇒   + = =       = + = + − = +     + + +     ∫    2 0 x px q + + = có 2 nghiệm x 1, x 2 ( 0) ∆ > 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) M x x N x x Ax B Ax B M N x px q x x x x x x x x x x x x − + − + + = = + = + + − − − + − − 2 1 M N A M Mx Nx B N + =   ⇒ ⇒   − + =   1 1 2 1 2 ln ln ( ) ( ) b b a a M N I dx M x x N x x x x x x     = + = − + −     − −   ∫ Ví dụ: Tính 3 2 2 4 5 4 5 x I dx x x − = − − ∫ x 2 3 t 3 π − 6 π − TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 7/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com Giải 2 4 5 4 5 4 5 ( 5) ( 1) 4 5 ( 1)( 5) 1 5 3 4 2 4 5 ( ) 5 5 5 5 2 x x A B x A x B x x x x x x x A A B x A B x A B A B B − − = = + ⇒ − = − + + − − + − + −  =  + =   ⇒ − = + − + ⇒ ⇒   − + = −   =   3 3 2 2 3 5 3 5 3 4 5 2 2 2 ln 1 ln 5 ln ln 1 5 2 2 2 3 2 3 I dx x x x x       = + = + + − = +     + −       ∫ Tích phân dạng: ( , ) (c, e 0) b n a cx d I R x dx ex f + = ≠ + ∫ ðặt t = n cx d ex f + + ⇒ x = ( ) '( ) t dx t dt ϕ ϕ ⇒ = ðổi cận : ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − ∫ I g t dt G t G G β β α α β α Ví dụ: Tính 7 3 3 0 ( 1) 3 1 x I dx x + = + ∫ Gi ả i: ðặ t 3 3 2 3 1 3 1 3 1 3 t t x t x x dx t dt − = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ðổ i c ậ n: 7 0 1; 2 3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = 3 2 2 2 2 5 2 3 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 46 3 ( 2) ( 2 ) 3 3 3 5 15 t t I t dt t tdt t t dt t t − +   = = + = + = + =     ∫ ∫ ∫ Tích phân dạng: I = 2 ( , b a I R x m x dx = − ∫ ( m > 0 ) ðặt sin x m t = ; 2 2 t π π     ∈ −         ( hoặc os = x mc t [ ] ( ) 0; ∈t π ) cos dx m tdt ⇒ = (- sin = dx m tdt ) ðổ i c ậ n: ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − ∫ I g t dt G t G G β β α α β α Ví dụ: Tính 2 2 2 0 4 I x x dx = − ∫ Gi ả i : 2sin t ; 2cos 2 2   − = ∈ ⇒ =     π π Ñaët x t dt tdt ; ðổ i c ậ n: 0 0; 2 2 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 8/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 4sin 4 4sin .2cos 8 sin cos (1 cos4 ) sin4 4 2 I t t tdt t tdt t dt t t π π π π π   = − = = + = + =     ∫ ∫ ∫    I = 2 ( , ) b a R x x m dx ± ∫ (m > 0) Cách 1: ðặ t: 2 ( ) '( ) t x x m x t dx t dt ϕ ϕ = + ± ⇒ = ⇒ = ðổ i c ậ n: ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = = = − ∫ I g t dt G t G G β β α α β α Cách 2: * 2 − x m ðặt ost m x c = * 2 + x m ðặt tan = x m t Ví dụ: Tính 1 2 0 1 I x dx = + ∫ Giải: ðặt 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 t t t x x t x x t xt x x x dx dt t t − + = + + ⇒ − = + ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ = 2 2 2 1 1 1 ; 2 2 t t x t t t − + + = − = ðổi cận: 0 1; 1 1 2 x t x t= ⇒ = = ⇒ = + 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ( )( ) 2 2 4 4 1 1 1 3 2 2 1 2ln ln(1 2) 4 2 2 4 2 2(3 2 2) t t t t I dt dt t dt t t t t t t t t + + + + + + + +   = = = + +         + = + − = + + −       +     ∫ ∫ ∫ ðặc biệt: các d ạ ng tích phân sau ( ) ( ) b b 2 2 2 n 2 a a ; ; x ; b b n n n a a m x x m x m x dx dx x m dx dx x x     − ± − ±             ∫ ∫ ∫ ∫ ( v ớ i n là s ố nguyên d ươ ng l ẽ ) ðặ t 2 2 2 2 2 2 * * ( ) = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − = ± t m x t m x x m t xdx tdt t x m ðổ i c ậ n: ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = [ ] ( ) ( ) I g t dt G t β β α α = = ∫ Ví dụ: Tính 1 3 2 0 1 I x x dx = + ∫ Gi ả i: 1 1 3 2 2 2 0 0 1 1 . I x x dx x x xdx = + = + ∫ ∫ ðặ t: 2 2 2 2 2 1 1 1 t x t x x t xdx tdt = + ⇒ = + ⇒ = − ⇒ = ðổ i c ậ n: 0 1; x= 2 = ⇒ = x t 2 2 2 5 3 2 4 2 1 1 1 2 2 2 ( 1) . ( ) 5 3 15 t t I t t tdt t t dt   + = − = − = − =     ∫ ∫ TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 9/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com Tích phân dạng: (ln ) b a f x I dx x = ∫ ðặt t = lnx dt= dx x ⇒ ðổ i c ậ n: ;x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = ( ) I f t dt β α = ∫ Ví dụ: Tính 3 2 1 ln (1 ln ) x I dx x x = + ∫ Giải: ðặt ln dx t x dt x = ⇒ = ; ðổi cận: 1 0; 3 ln3 x t x t = ⇒ = = ⇒ = ln3 ln3 2 3 2 0 0 1 1 ln 1 ln(1 ln 3) 1 2 2 tdt I t t   = = + = +   + ∫ Vấn ñề 4: TÍCH PHÂN ðỔI BIẾN SỐ * ðổi biến số dạng 1: ( ) ( ( )) '( ) b a f x dx f t t dt β α ϕ ϕ = ∫ ∫ * Quy tắc ñổi biến số dạng 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên ñoạn [a;b], ñể tính ( ) b a f x dx ∫ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. ðặt x = u(t) và tính / ( ) dx u t dt = . Bước 2. ðổi cận: , x a t x b t α β = ⇒ = = ⇒ = . Bước 3. / ( ) [ ( )] ( ) ( ) b a f x dx f u t u t dt g t dt β β α α = = ∫ ∫ ∫ . Ví dụ 1. Tính tích phân 1 2 2 0 1 I dx 1 x = − ∫ . Giải ðặt x sin t, t ; dx cos tdt 2 2 π π   = ∈ − ⇒ =     1 x 0 t 0, x t 2 6 π = ⇒ = = ⇒ = 6 6 2 0 0 cos t cos t I dt dt cos t 1 sin t π π ⇒ = = − ∫ ∫ 6 6 0 0 dt t 0 6 6 π π π π = = = − = ∫ . Vậy I 6 π = . Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 I 4 x dx = − ∫ . Hướng dẫn: ðặt x 2 sin t = ðS: I = π . TOÁN 12 www.dangnhatlong.com  Biên soạn : ðặng Nhật Long Trang 10/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com Ví dụ 3. Tính tích phân 1 2 0 dx I 1 x = + ∫ . Giải ðặt 2 x tan t, t ; dx (tan x 1)dt 2 2   π π   = ∈ − ⇒ = +        x 0 t 0, x 1 t 4 π = ⇒ = = ⇒ = 4 4 2 2 0 0 tan t 1 I dt dt 4 1 tan t π π + π ⇒ = = = + ∫ ∫ . Vậy I 4 π = . Ví dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 − = + + ∫ . Hướng dẫn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) − − = = + + + + ∫ ∫ . ðặt x 1 tan t + = ðS: I 12 π = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4 x = − ∫ . ðS: I 2 π = . Ví dụ 6. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 − = + + ∫ . ðS: I 12 π = . * Công thức ñổi biến số dạng 2 ( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ) b b a a f x x dx f t dt ϕ ϕ ϕ ϕ = ∫ ∫ * Quy tắc ñổi biến số dạng 2: ðể tính tích phân b / a f[u(x)]u (x)dx ∫ ta thực hiện các bước sau: Bước 1. ðặt t = u(x) và tính / dt u (x)dx = . Bước 2. ðổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) = ⇒ = = α = ⇒ = = β . Bước 3. b / a f[u(x)]u (x)dx f(t)dt β α = ∫ ∫ . Ví dụ 7. Tính tích phân 2 e e dx I x ln x = ∫ . Giải ðặt dx t ln x dt x = ⇒ = 2 x e t 1, x e t 2 = ⇒ = = ⇒ = [...]... = − 3 + 2 3 Chú ý: 1 Phân tích I = ∫ 0 3−x dx , r i ñ t t = 1+ x 1 + x s tính nhanh hơn NH NG CÁCH BI N ð I THÔNG THƯ NG: Hàm s Hàm s ch a [ϕ ( x) ] n Hàm s ch a m u Hàm s ch a ϕ ( x) dx Tích phân ch a x Tích phân ch a e x Tích phân ch a e f ( x ) dx Tích phân ch a x dx Tích phân ch a 2 x Tích phân ch a cos xdx dx Tích phân ch a cos 2 x Biên so n : ð ng Nh t Long Trang 11/ 45 Cách ñ t t = ϕ ( x) t=m... dangnhatlong.com@gmail.com TOÁN 12 www.dangnhatlong.com dx sin 2 x ð t t = cot x Tích phân ch a a2 − x2 Tích phân ch a a2 + x2  π π ð t x = a sin t , t ∈  − ;   2 2 ð t x = a tan t Tích phân ch a x2 − a2 Tích phân ch a ð t x= 1 Tích phân ch a ð t t = x + x2 + k x +k 1 ax + b ± cx + d Tích phân ch a a sin t 2 Nhân lư ng liên h p BÀI T P BÌNH THƯ NG: ∫ Lo i 1 : b a f (ϕ ( x)).ϕ , ( x).dx 1 1 5 ∫ (3x − 2) dx ; ∫ ( 1) Tính. .. 31) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 0 2 TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T ð I Phương pháp gi i toán 1 D ng 1 b ∫ Gi s c n tính tích phân I = f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau a Bư c 1 L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên ño n [a; b], gi s f(x) có BXD: x f(x) b Bư c 2 Tính I = ∫ a + x1 f(x) dx = a x1 0 x2 − 0 x2 b + b ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx a x1 x2 2 Ví d 9 Tính tích phân I = ∫ x 2 − 3x + 2 dx −3... 2 Chú ý: ðôi khi ta ph i ñ i bi n s trư c khi l y tích phân t ng ph n π2 4 Ví d 7 Tính tích phân I = ∫ cos xdx 0 Hư ng d n: π 2 ð t t= x ⋯ ⇒ I = 2 ∫ t cos tdt = ⋯ = π − 2 0 Biên so n : ð ng Nh t Long Trang 31/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com TOÁN 12 www.dangnhatlong.com e Ví d 8 Tính tích phân I = ∫ sin(ln x)dx 1 ðS: I = (sin1 − cos1)e + 1 2 BÀI T P NG D NG π π 2 ∫ x cos x dx 1) ∫x 2) 0 1 2...TOÁN 12 www.dangnhatlong.com 2 ⇒I= dt = ln t t ∫ 1 = ln 2 V y I = ln 2 π 4 cos x ∫ (sin x + cos x) Ví d 8 Tính tích phân I = 2 1 3 dx 0 Hư ng d n: π 4 I= cos x ∫ (sin x + cos x) 3 π 4 1 ∫ (tan x + 1) dx = 3 0 0 dx ð t t = tan x + 1 cos2 x 3 ðS: I = 8 3 Ví d 9 Tính tích phân I = dx 2x + 3 ∫ (1 + x) 1 2 Hư ng d n: ð t t = 2x + 3 3 ðS: I = ln 2 1 Ví d 10 Tính tích phân I = 3−x dx... Thay vào công th c (1) b a + Bư c 3: Tính toán uv và tìm cách tính ∫ vdu b a Nh ng cách ñ t thông thư ng: u x P( x) ∫ P( x)e dx ∫ P( x) cos xdx ∫ P( x) sin xdx Biên so n : ð ng Nh t Long dv e x dx P( x) cos xdx P( x) sin xdx Trang 30/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com TOÁN 12 www.dangnhatlong.com ∫ P( x) ln xdx ∫ e cos xdx ln x ex x P( x) cos xdx 1 Ví d 1 Tính tích phân I = ∫ xe dx x 0 Gi i  du =... 2 − 6 2 D ng 2 2 0 2 ∫ (x Ví d 10 Tính tích phân I = − ∫ 59 2 59 2 5 − 4 cos2 x − 4 sin xdx 0 b Gi s c n tính tích phân I = ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx , ta th c hi n a Biên so n : ð ng Nh t Long Trang 33/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com TOÁN 12 www.dangnhatlong.com Cách 1 b Tách I = b ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = a ∫ b ∫ f(x) dx ± a g(x) dx r i s d ng d ng 1 trên a Cách 2 Bư c 1 L p b ng xét d u chung... 34/ 45 Email: dangnhatlong.com@gmail.com TOÁN 12 www.dangnhatlong.com 2 Ví d 13 Tính tích phân I = ∫ min { 3 , 4 − x } dx x 0 Gi i ð t h(x) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 B ng xét d u x h(x) 1 2 ∫3 I= x ∫ dx + 0 1 0 1 0 – 2 +  3x 1  x2  2 5  ( 4 − x ) dx = +  4x −  = +  ln 3 0  2 1 ln 3 2 2 V yI= 2 5 + ln 3 2 B T ð NG TH C TÍCH PHÂN Phương pháp gi i toán 1 D ng 1 b ð ch ng minh b ∫ f(x)dx...  −  = ∫   16 64 16 0 8 0 24  0 32 π V yI= 32 π 2 Ví d 4 Tính tích phân I = ∫ 0 dx cos x + sin x + 1 Hư ng d n: x 2 ðS: I = ln 2 ð t t = tan Bi u di n các hàm s LG theo t = tan β Tích phân có d ng: I = ∫ α 2t 1− t2 2t a ; cos a = ; tan a = : sin a = 2 2 2 1+ t 1+ t 1− t2 asinx+bcosx+c dx a 's inx+b'cosx+c' Cách gi i : β Ta phân tích : asinx+bcosx+c ∫ α a 's inx+b'cosx+c' dx = A + B ( a ' cosx-b'sinx... n ñ 5: TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯ NG GIÁC β Tích phân có d ng: I = ∫ R ( sin m x; cos n x ) dx α Cách gi i: - N u m l , n ch - N u n l , m ch - N u m,n ñ u l - N u m,n ñ ch n:ñ t n:ñ t thì : ñ n:ñ t cos x = t ( G i t t là l sin ) sin x = t ( G i t t là l cos ) t cos x = t ho c sin x = t ñ u ñư c ( g i t t l sin ho c l cos ) tan x = t ( g i t t là ch n sinx , cosx ) π 2 Ví d 1 (b c sin l ) Tính tích phân I . ( ) t x ϕ = Tích phân chứa dx x ðặt ln t x = Tích phân chứa x e ðặt x t e = Tích phân chứa ( ) f x e ðặt ( ) t f x = Tích phân chứa dx x ðặt t x = Tích phân chứa 2 dx x . dangnhatlong.com@gmail.com Tích phân chứa 2 sin dx x ðặt cot t x = Tích phân chứa 2 2 a x − ðặt sin , ; 2 2 x a t t π π   = ∈ −     Tích phân chứa 2 2 a x + ðặt a tan x t = Tích phân chứa. dụ 4. Tính tích phân 3 1 2 0 dx I x 2x 2 − = + + ∫ . Hướng dẫn: 3 1 3 1 2 2 0 0 dx dx I x 2x 2 1 (x 1) − − = = + + + + ∫ ∫ . ðặt x 1 tan t + = ðS: I 12 π = . Ví dụ 5. Tính tích phân 2 2 0 dx I 4