PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Chuyển số phức về dạng lượng giác  Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng z  rcos  isin  thì ta luôn có : cos sin  n n z  r n  i n  Lệnh chuyển số phức z  a  bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3 Bước 1: Nhập số phức z  a  bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ z 1 3i ) 1+s3bq23= Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r  2 và 3    II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Gọi 1 2 z ,z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z  z 1  0 . Giá trị của 1 2 z  z bằng : A. 0 B.1 C. 2 D. 4 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 z  z 1  0 bằng chức năng MODE 5 3 w531=p1=1==  Vậy ta được hai nghiệm 1 1 3 2 2 z   i và 2 1 3 2 2 z   i . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP w2qca1R2+as3R2b +qca1R2pas3R2b= 1 2  z  z  2 ta thấy B là đáp án chính xác Trang 211 VD2. Gọi 1 2 z ,z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z  2z  2  0 . Tính giá trị của biểu thức 2016 2016 P 1 2  z  z : A. 1009 2 B. 0 C. 2017 2 D. 1008 2 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017) Lời giải:  Cách Casio 1  Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 z  2z  2  0 bằng chức năng MODE 5 3 w531=2=2==  Ta thu được hai nghiệm 1z  1 i và 2 z  1 i . Với các cụm đặc biệt 1 i , 1i ta có điều đặc biệt sau:   4 1 i  4 ,   4 1 i  4 w2(p1+b)4= Vậy         504 504 2016 2016 4 4 2016 2016 1 2 P z z 1 i 1 i 1 i 1 i                           504 504 504 504 1008 1008 1008 1009  4  4  4  4  2  2  2.2  2 2016 2016 1009 1 2 P  z  z  2 ta thấy A là đáp án chính xác  Cách Casio 2  Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm   4 1 i ta có thể xử lý 1 i bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3 Với z1  1 i  rcos  isin  p1+bq23= Ta nhận được r  2 và góc 3 4      2016 2016 1 1 3 3 3 3 2 cos sin 2 cos 2016. sin 2016. 4 4 4 4 z i z i                        Tính 3 3 cos 2016. .sin 2016. 4 4 i                k2016Oa3qKR4+bOj2016 Oa3qKR4))o= Trang 311   2016 2016 1008 1z  2  2  Tương tự 2016 1008 1009

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Chuyển số phức dạng lượng giác  Dạng lượng giác số phức : Cho số phức z có dạng z  r  cos   i sin   ta ln có : z n  r n  cos n  i sin n   Lệnh chuyển số phức z  a  bi dạng lượng giác : Lệnh SHIFT Bước 1: Nhập số phức z  a  bi vào hình dùng lệnh SHIFT (Ví dụ z   3i ) 1+s3$bq23= Bước 2: Từ bảng kết ta đọc hiểu r     II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị z1  z2 : A B C D (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Tính nghiệm phương trình bậc hai z  z   chức MODE w531=p1=1==  3  i z2   i Tính tổng Mơđun hai số 2 2 phức ta lại dùng chức SHIFT HYP w2qca1R2$+as3R2$b$ Vậy ta hai nghiệm z1  +qca1R2$pas3R2$b=  z1  z2  ta thấy B đáp án xác Trang 1/11 VD2 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Tính giá trị biểu thức P  z12016  z22016 : A 21009 C 22017 D 21008 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải: B  Cách Casio  Tính nghiệm phương trình bậc hai z  z   chức MODE w531=2=2==  Ta thu hai nghiệm z1  1  i z2  1  i Với cụm đặc biệt 1  i , 1  i 4 ta có điều đặc biệt sau:  1  i   4 ,  1  i   4 w2(p1+b)^4= Vậy P  z12016  z22016   1  i    4  504   4  504 2016   1  i  2016   1  i     504    1  i     504  4504  4504  21008  21008  2.21008  21009 P  z12016  z22016  21009 ta thấy A đáp án xác  Cách Casio  Ngồi cách sử dụng tính chất đặc biệt cụm  1  i  ta xử lý 1  i cách đưa dạng lượng giác lệnh SHIFT Với z1  1  i  r  cos   i sin   p1+bq23= Ta nhận r  góc   3 2016  3 3  3 3   2016  z1   cos  i sin  z   i sin 2016    cos 2016 4  4    3  3    Tính cos  2016   i.sin  2016      k2016Oa3qKR4$+bOj2016    Oa3qKR4$))o= Trang 2/11 z12016    2 2016  21008 Tương tự z22016  21008  T  21009 VD3 Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z  z  12  Tính tổng : T  z1  z2  z3  z4 A T  B T  C T   D T   (Đề minh họa GD-ĐT lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Để tính nghiệm phương trình ta dùng chức MODE Tuy nhiên máy tính tính phương trình bậc nên để tính phương trình bậc trùng phương z  z  12  ta coi z  t phương trình trở thành t  t  12  w531=p1=p12==  z2  t  Vậy  hay  t  3  z  3    Với z   z  2 Với z  3 ta đưa z  3i  z   3i với i  1 Hoặc ta tiếp tục sử dụng chức MODE cho phương trình z  3  z   w531=0=3== Tóm lại ta có nghiệm z  1, z   3i Tính T ta lại sử dụng chức tính mơđun SHIFT HYP w2qc2$+qcp2$+qcs3$b $+qcps3$b=  Đáp án xác C VD4- Giải phương trình sau tập số phức : z   i  1 z   i  1 z  i  Trang 3/11 A z  i i B z    2 i C z    D.Cả A, B, C 2 (Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Để kiểm tra nghiệm phương trình ta sử dụng chức CALC Q)^3$+(b+1)Q)d+(b+1)Q)+brpb= Vậy z  i nghiệm  Tiếp tục kiểm tra z    i giá trị nghiệm đáp án A B 2 có nghĩa đáp án D xác Nếu giá trị khơng nghiệm có đáp án A rp(1P2)+(s3)P2)b= i tiếp tục nghiệm có nghĩa đáp án A B Vậy z    2  Đáp án xác D  Cách tự luận  Để giải phương trình số phức xuất số i ta khơng thể sử dụng chức MODE mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung Phương trình  z  z  z   z  z  1 i    z  i   z  i   z  z  1     z  z 1  Phương trình z  z   không chứa số i nên ta sử dụng máy tính Casio với chức giải phương trình MODE w531=1=1== 3 Tóm lại phương trình có nghiệm z  i ; z    i; z    i 2 2  D đáp án xác VD5 Trong phương trình đây, phương trình có hai nghiệm z1   ; z2   A z  i z   B z  2z   C z  2z   D z  2z   (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017) Trang 4/11   Lời giải: Ta hiểu phương trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm tuân theo định lý Vi-et (kể tập số thực hay tập số phức ) b  z  z    a  z z  c  a Tính z1  z2  2 w21+s3$b+1ps3$b= Tính z1 z2  (1+s3$b)(1ps3$b)= Rõ ràng có phương trình z  2z   có  b c   a a  Đáp số xác C VD6 Phương trình z  iz   có nghiệm tập số phức : A B C D.Vô số (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017) Lời giải:  Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai ax  bx  c  có hai nghiệm phân biệt   , có hai nghiệm kép   , vô nghiệm   Tuy nhiên tập số phức phương trình bậc hai ax  bx  c  có nghiệm     , có hai nghiệm phân biệt     Vậy ta cần tính  xong Với phương trình z  iz     i   5 đại lượng  phương trình có nghiệm phân biệt  Đáp số xác A 10 VD7 Phần thực số phức z biết z   3i  10  1  i  C  2i D 25 i Lời giải: Để xử lý số phức bậc cao   3 ta sử đưa số phức dạng lượng giác sử dụng công A 1  i  1  i  B thức Moa-vơ Và để dễ nhìn ta đặt z  z110 z25 z310 Trang 5/11  Tính z1   i  r  cos   i sin   Để tính r  ta lại sử dụng chức SHIF 1pbq23= 10     10     Vậy z1   cos  i sin z   i sin10   cos10  4  4      Tính cos10  i sin10 4 k10OapqKR4$)+bj10Oap qKR4$)=   Vậy z110   10  2 i  25.i      Tương tự z25  25  cos  i sin   25     i  6    2 2  10    z310  210  cos10  i sin10 i       3  2    Tổng hợp   5 i   i  2  z110 z25  z  10  z3   210    i  2  a2^5$bO2^5$(pas3R2$+a1 R2$b)R2^10$(pa1R2$pas3 R2$b)= Vậy z   Đáp số xác B III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho phương trình z  2z  17  có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1  z2 : A 17 B 13 C 10 D 15 (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Trang 6/11 Bài Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z  2z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 A 10 B 20 C D.10 (Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009) Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z  27  Tính tổng T  z1  z2  z3 A T  B T  3 C T  D T  (Thi thử Group Nhóm toán lần năm 2017) Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z  3z   Tính tổng sau T  z1  z2  z3  z4 A B C D (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Bài Xét phương trình z  tập số phức Tập nghiệm phương trình :    1     A S  1 B S  1; i  D S     i  C S  1;    2     2  (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) 1 Bài Biết z nghiệm phương trình z   Tính giá trị biểu thức P  z 2009  2009 z z A P  B P  C P   D P  LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho phương trình z  2z  17  có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1  z2 : A 17 B 13 C 10 D 15 (Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Tìm hai nghiệm phương trình z  2z  17  w531=p2=17==  Tính tổng hai mơđun lệnh SHIFT HYP w2qc1+4b$+qc1p4b= Vậy z1  z2  17  Đáp số xác A Trang 7/11 Bài Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z  2z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 A 10 B 20 C D.10 (Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009) Lời giải:  Cách Casio  Tìm hai nghiệm phương trình z  2z  10  w531=2=10==  Tính tổng bình phương hai mơđun lệnh SHIFT HYP w2qcp1+3b$d+qcp1p3b$d= 2 Vậy A  z1  z2  20  Đáp số xác B Bài Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z  27  Tính tổng T  z1  z2  z3 A T  B T  3 C T  D T  (Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Tính nghiệm phương trình z  27  chức MODE w541=0=0=27== 3 3 3  i , z3   i 2 2  Tính tổng mơđun T  z1  z2  z3 Vậy z1  3, z2  w541=0=0=27====w1w2 qcp3$+qca3R2$+a3s3R2 $b$+qca3R2$pa3s3R2$b= Trang 8/11 Vậy T   Đáp số xác C Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z  3z   Tính tổng sau T  z1  z2  z3  z4 A B C D (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Đặt t  z Tìm nghiệm phương trình 2t  3t   w532=p3=p2==  z2  t  Vậy   z   t     2  Với z   z   1 i2 i z  z Với z  2 2  Tính tổng mơđun T  z1  z2  z3  z4 w2qcs2$$+qcps2$$+qcab Rs2$$$+qcapbRs2= Vậy T   Đáp số xác C Bài Xét phương trình z  tập số phức Tập nghiệm phương trình :    1     A S  1 B S  1; i  D S     i  C S  1;    2     2  (Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Giải phương trình bậc ba z   với chức MODE 54 w541=0=0=p1== Trang 9/11 3  Phương trình có nghiệm x1  1, x2    i, x3    i 2 2  Đáp số xác C 1 Bài Biết z nghiệm phương trình z   Tính giá trị biểu thức P  z 2009  2009 z z A P  B P  C P   D P  Lời giải:  Cách Casio  Quy đồng phương trình z   ta phương trình bậc hai z  z   Tính nghiệm z phương trình với chức MODE w531=p1=1==  Ta thu hai nghiệm z hai nghiệm có vai trị nên cần lấy nghiệm z đại diện    Với z   i ta chuyển dạng lượng giác  z  1 cos  i sin  2 3  a1R2$+as3R2$bq23=       Vậy  z 2009  12009  cos 2009  i sin 2009    cos 2009  i sin 2009  3  3  2009 Tính z lưu biến A Wk2009OaqKR3$)+bj2009 OaqKR3$)=qJz Tổng kết P  A  1 A Trang 10/11 Qz+a1RQz=  Đáp số xác A Trang 11/11 ... Đáp số xác C 1 Bài Biết z nghiệm phương trình z   Tính giá trị biểu thức P  z 2009  2009 z z A P  B P  C P   D P  Lời giải:  Cách Casio  Quy đồng phương trình z   ta phương trình. .. z1 z2  (1+s3$b)(1ps3$b)= Rõ ràng có phương trình z  2z   có  b c   a a  Đáp số xác C VD6 Phương trình z  iz   có nghiệm tập số phức : A B C D.Vô số (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên... Với phương trình z  iz     i   5 đại lượng  phương trình có nghiệm phân biệt  Đáp số xác A 10 VD7 Phần thực số phức z biết z   3i  10  1  i  C  2i D 25 i Lời giải: Để xử lý số