PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG 1. Chuyển số phức về dạng lượng giác  Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng z  rcos  isin  thì ta luôn có : cos sin  n n z  r n  i n  Lệnh chuyển số phức z  a  bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3 Bước 1: Nhập số phức z  a  bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ z 1 3i ) 1+s3bq23= Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r  2 và 3    II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1. Gọi 1 2 z ,z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z  z 1  0 . Giá trị của 1 2 z  z bằng : A. 0 B.1 C. 2 D. 4 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017) Lời giải:  Cách Casio  Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 z  z 1  0 bằng chức năng MODE 5 3 w531=p1=1==  Vậy ta được hai nghiệm 1 1 3 2 2 z   i và 2 1 3 2 2 z   i . Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP w2qca1R2+as3R2b +qca1R2pas3R2b= 1 2  z  z  2 ta thấy B là đáp án chính xác Trang 211 VD2. Gọi 1 2 z ,z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z  2z  2  0 . Tính giá trị của biểu thức 2016 2016 P 1 2  z  z : A. 1009 2 B. 0 C. 2017 2 D. 1008 2 (Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017) Lời giải:  Cách Casio 1  Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2 z  2z  2  0 bằng chức năng MODE 5 3 w531=2=2==  Ta thu được hai nghiệm 1z  1 i và 2 z  1 i . Với các cụm đặc biệt 1 i , 1i ta có điều đặc biệt sau:   4 1 i  4 ,   4 1 i  4 w2(p1+b)4= Vậy         504 504 2016 2016 4 4 2016 2016 1 2 P z z 1 i 1 i 1 i 1 i                           504 504 504 504 1008 1008 1008 1009  4  4  4  4  2  2  2.2  2 2016 2016 1009 1 2 P  z  z  2 ta thấy A là đáp án chính xác  Cách Casio 2  Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm   4 1 i ta có thể xử lý 1 i bằng cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3 Với z1  1 i  rcos  isin  p1+bq23= Ta nhận được r  2 và góc 3 4      2016 2016 1 1 3 3 3 3 2 cos sin 2 cos 2016. sin 2016. 4 4 4 4 z i z i                        Tính 3 3 cos 2016. .sin 2016. 4 4 i                k2016Oa3qKR4+bOj2016 Oa3qKR4))o= Trang 311   2016 2016 1008 1z  2  2  Tương tự 2016 1008 1009

PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL

BÀI 33 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Chuyển số phức về dạng lượng giác

 Dạng lượng giác của số phức : Cho số phức z có dạng zrcosisin thì ta luôn có : z n r ncosnisinn

 Lệnh chuyển số phức z a bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3

Bước 1: Nhập số phức z a bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3 (Ví dụ

z  i )

1+s3$bq23=

Bước 2: Từ bảng kết quả ta đọc hiểu r 2 và

3





II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1 Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 2

:

(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

 Tính nghiệm của phương trình bậc hai 2

w531=p1=1==

 Vậy ta được hai nghiệm 1 1 3

z   i và 2 1 3

z   i Tính tổng Môđun của hai số phức trên ta lại dùng chức năng SHIFT HYP

w2qca1R2$+as3R2$b$

+qca1R2$pas3R2$b=

1 2 2

z z

   ta thấy B là đáp án chính xác

VD2 Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z22z20 Tính giá trị của biểu

Pz z :

(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio 1

 Tính nghiệm của phương trình bậc hai z22z20 bằng chức năng MODE 5 3 w531=2=2==

 Ta thu được hai nghiệm z1   và 1 i z2    Với các cụm đặc biệt 1 i   , 1 i 1 i  

ta có điều đặc biệt sau:  1 i4  4 ,  1 i4  4

 504  504 504 504 1008 1008 1008 1009

2016 2016 1009

Pz z  ta thấy A là đáp án chính xác

 Cách Casio 2

 Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt của cụm  1 i4 ta có thể xử lý   bằng 1 i

cách đưa về dạng lượng giác bằng lệnh SHIFT 2 3

Vớiz1    1 i rcosisin

p1+bq23=

Ta nhận được r  2 và góc 3

4



 

 2016

2016

 Tính cos 2016.3 sin 2016.3



k2016Oa3qKR4$+bOj2016

Oa3qKR4$))o=

 2016

z  T 

VD3 Kí hiệu z z z và 1, 2, 3 z là bốn nghiệm phức của phương trình 4 z4z2120 Tính tổng :

T  z  z  z  z

(Đề minh họa bộ GD-ĐT lần 1 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

 Để tính nghiệm của phương trình ta dùng chức năng MODE 5 Tuy nhiên máy tính chỉ tính được phương trình bậc 2 và 3 nên để tính được phương trình bậc 4 trùng phương

4 2

z z   thì ta coi 2

z t khi đó phương trình trở thành 2

t  t  w531=p1=p12==

3

t

t





  



hay

2 2

4 3

z z



 



 Với z2 4 z 2

 Với 2

3

z   ta có thể đưa về 2 2

z  i z  i với 2

1

i   Hoặc ta có thể tiếp tục sử dụng chức năng MODE 5 cho phương trình 2 2

w531=0=3==

Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệm z 1,z  3i

 Tính T ta lại sử dụng chức năng tính môđun SHIFT HYP

w2qc2$+qcp2$+qcs3$b

$+qcps3$b=

 Đáp án chính xác là C

VD4- Giải phương trình sau trên tập số phức : 3   2  

z  i z  i z i 

A z  i B 1 3

z   i D.Cả A, B, C đều đúng

(Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

 Để kiểm tra nghiệm của 1 phương trình ta sử dụng chức năng CALC

Vậy z i là nghiệm

z   i nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều đúng có nghĩa là đáp án D chính xác Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp

án A đúng duy nhất

rp(1P2)+(s3)P2)b=

z   i tiếp tục là nghiệm có nghĩa là đáp án A và B đều đúng

 Đáp án chính xác là D

 Cách tự luận

 Để giải phương trình số phức xuất hiện số i trong đó ta không thể sử dụng chức năng MODE 5 được mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung

2

1 0

z i

z i z z

z z

 



  



 Phương trình 2

chức năng giải phương trình MODE 5

w531=1=1==

z i z   i z   i

 D là đáp án chính xác

VD5 Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm

1 1 3 ; 2 1 3

z   z  

A.z2i 3z 1 0 B. 2

z    C 2

z    D 2

z    (Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017)

Lời giải:

 Ta hiểu phương trình bậc hai 2

0

ax bx c nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định

lý Vi-et (kể cả trên tập số thực hay tập số phức )

1 2

1 2

b

z z

a c

z z

a









 Tính z1z2 2

w21+s3$b+1ps3$b=

Tính z z  1 2 4

(1+s3$b)(1ps3$b)=

Rõ ràng chỉ có phương trình z 2 2z40 có b 2

a

a 

 Đáp số chính xác là C

VD6 Phương trình 2

z iz  có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức :

(Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 1 năm 2017)

Lời giải:

 Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai ax2bx c 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu   , có hai nghiệm kép nếu 0   , vô nghiệm nếu 0   Tuy nhiên 0 trên tập số phức phương trình bậc hai ax2bx c 0 có 1 nghiệm duy nhất nếu 0

  , có hai nghiệm phân biệt nếu 0

0

 





 



 Vậy ta chỉ cần tính  là xong Với phương trình 2

z iz  thì 2

i

một đại lượng  vậy phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt 0

 Đáp số chính xác là A

VD7 Phần thực của số phức z là bao nhiêu biết    

5 10

10

z

i



 

Lời giải:

 Để xử lý số phức bậc cao 3 ta sử đưa số phức về dạng lượng giác và sử dụng công thức Moa-vơ Và để dễ nhìn ta đặt

10 5

1 2 10 3

z z z

z



 Tính z1  1 i rcosisin Để tính r và  ta lại sử dụng chức năng SHIF 2 3 1pbq23=

z   i  

Tính cos10 sin10



q

) KR4$)=

1 2 2

z  i i

3

Tổng hợp

5 5

10 5

1 2

10

2 2

2

z z

z

z

i

R2$b)=

Vậy z 1 Đáp số chính xác là B

III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho phương trình 2

z    có hai nghiệm phức z và 1 z Giá trị của 2 z1  z2

là :

(Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017)

Bài 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 2z 10 0 Tính giá trị biểu thức

A z  z

(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)

Bài 3 Kí hiệu z z z là nghiệm của phương trình 1, 2, 3 3

z   Tính tổng T  z1  z2  z3

(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017) Bài 4 Gọi z z z z là bốn nghiệm phức của phương trình 1, 2, 3, 4 4 2

2z 3z 20 Tính tổng sau

T  z  z  z  z

(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)

Bài 5 Xét phương trình z  trên tập số phức Tập nghiệm của phương trình là : 3 1

2

S     

S   i

S   i

(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017) Bài 6 Biết z là nghiệm của phương trình z 1 1

z

  Tính giá trị biểu thức 2009

2009

1

P z

z

2

4

P 

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Cho phương trình z 2 2z 17 0 có hai nghiệm phức z và 1 z Giá trị của 2 z1  z2

là :

(Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

 Tìm hai nghiệm của phương trình 2

z    w531=p2=17==

 Tính tổng hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP

w2qc1+4b$+qc1p4b=

Vậy z1  z2 2 17  Đáp số chính xác là A

Bài 2 Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 2z 10 0 Tính giá trị biểu thức

A z  z

(Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009)

Lời giải:

 Cách Casio

 Tìm hai nghiệm của phương trình 2

z    w531=2=10==

 Tính tổng bình phương hai môđun bằng lệnh SHIFT HYP

w2qcp1+3b$d+qcp1p3b$d=

Vậy A z12 z2 2 20  Đáp số chính xác là B

Bài 3 Kí hiệu z z z là nghiệm của phương trình 1, 2, 3 z 3 270 Tính tổng T  z1  z2  z3

(Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

 Tính nghiệm của phương trình 3

z   bằng chức năng MODE 5 4 w541=0=0=27==

z   z   i z   i

 Tính tổng môđun T  z1  z2  z3

w541=0=0=27====w1w2

qcp3$+qca3R2$+a3s3R2

$b$+qca3R2$pa3s3R2$b=

Vậy T 9  Đáp số chính xác là C

Bài 4 Gọi z z z z là bốn nghiệm phức của phương trình 1, 2, 3, 4 2z43z220 Tính tổng sau

T  z  z  z  z

(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

t z Tìm nghiệm của phương trình 2

w532=p3=p2==

Vậy

2 2









 Với 2

Với

2

z  z  z 

 Tính tổng môđun T  z1  z2  z3  z4

w2qcs2$$+qcps2$$+qcab

Rs2$$$+qcapbRs2=

Vậy T 3 2  Đáp số chính xác là C

Bài 5 Xét phương trình 3

1

z  trên tập số phức Tập nghiệm của phương trình là :

2

S     

S   i

S   i

(Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017)

Lời giải:

 Cách Casio

 Giải phương trình bậc ba 3

z   với chức năng MODE 54 w541=0=0=p1==

 Phương trình có 3 nghiệm 1 1, 2 1 3 , 3 1 3

x  x    i x    i

 Đáp số chính xác là C

Bài 6 Biết z là nghiệm của phương trình z 1 1

z

  Tính giá trị biểu thức 2009

2009

1

P z

z

2

4

P  Lời giải:

 Cách Casio

 Quy đồng phương trình z 1 0

z

  ta được phương trình bậc hai 2

phương trình này với chức năng MODE 5 3

w531=p1=1==

 Ta thu được hai nghiệm z nhưng hai nghiệm này có vai trò như nhau nên chỉ cần lấy một nghiệm z đại diện là được

z   i  

a1R2$+as3R2$bq23=

Tính z2009 và lưu và biến A

OaqK

) )

A

Qz+a1RQz=

 Đáp số chính xác là A