Tích phân hàm sơ cấp Hàm hữu tỷ (Phân thức đơn) 1) ∫ 2) ∫( = Aln | x – a | + C = ) ( +C ) (Phân thức đơn) , = p2 – 4q ∫ 1) > : x1,2 = PT = + ± √∆ Đưa tích phân 2) = : x0 = − PT = +( ) Đưa tích phân ± √ ∆ 3) < : x1,2 = + PT = ∆ = + Khi TP = ∫ + ∫ = M ln(u) + arctan( ) + C (Phân thức đơn) ∫( ) Lập luận tích phân 1) > : PT = ( ) + ⋯+ ( ) 2) = : PT = 3) < : PT = ( + ⋯+ ( ) + ( ) ) (Công thức truy hồi) In = ∫ ( ) 1) I1 = ∫ = arctan + 2) In = ∫ ( ) In = ( với n > + ) (Phân thức hữu tỷ) ( ) f(x) = ( ) Q(x) = (x – a)m (x2 + px + q)n , = p2 – 4q < Tích phân phân thức đơn ∫ ( ) +∫ =∫ ( ) ( Ví dụ Tìm ) +∫ + + ∫ ( ( ) + + ∫ ( ) ) + + ∫ Giải Maple (3) Phân tích ( )( ) =− =− + + + √ Tích phân ∫ = – 2ln| x + | + ln(x2 – x + 1) + + √ arctan √ +C Hàm vô tỷ (Căn nhị thức) , ∫ n = BSCNN(n, ) tn = x= Đưa tích phân hữu tỷ ∫ Ví dụ Tìm √ √ Giải Maple (4) N = 6, đổi biến t6 = x dx = 6t5 dt Thay vào tích phân = 6∫ TP = ∫ − +1− = 2t3 –3t2 + 6t – ln | t + 1| + C Thay t = √ TP = 2√ − √ + √ − ln √ + + C (Căn tam thức) ∫ ,√ + + 1) a > 0, < : Đổi biến u = , = b2 – ac √ ∆ = .sh TT = a(u2 + 2) 2) a > 0, > : Đổi biến u = √∆ = .ch TT = a(u2 – 2) 3) a < 0, > : Đổi biến u = TT = (–a)(2 – u2) √∆ = .sin ∫√ Ví dụ Tìm Giải Maple (5) TT = + √ ( ( ) TP = ∫ √ TP = ∫ ) + ∫ = ( ) + ∫ √ = √ + ln + − + Thay u = u(x), v = v(x) − + + ln TP = √ − +√ −3 +2 + (Căn tam thức) ∫( )√ Đổi biến y = Ví dụ Tìm ∫ ( đưa tích phân )√ Giải Maple (6) Đổi biến y= x+1= , dx = − Thay vào tích phân TP = − ∫ = − arcsin Thay y = TP = − arcsin √ + √ + 3 Hàm lượng giác (Hàm hữu tỷ) R(cosx, sinx)dx Đổi biến t = tan cos x = , sin x = , dx = Đưa tích phân hàm hữu tỷ ∫ Ví dụ Tìm Giải Đổi biến t = tan cos x = , dx = Thay vào tích phân TP = ∫ =∫ = √ arctan √ + Thay t = tan TP = √ arctan √ tan + Có thể chọn phép đổi biến đơn giản R(–cosx, sinx) = –R(cosx, sinx) : t = sin(x) R( cosx, –sinx) = –R(cosx, sinx) : t = cos(x) R(–cosx, –sinx) = R(cosx, sinx) : t = tan(x) Ví dụ Tìm ∫ Giải Phân thức lẻ với sinx, đổi biến t = cosx dt = – sinxdx, sin2x = – t2 Thay vào tích phân TP = ∫ = t2 – ln| t | + C Thay t = cosx TP = cos2x – ln| cosx | + C (Các dạng khác) cos(x)cos(x)dx sin(x)cos(x)dx sin(x)sin(x)dx Biến đổi tích thành tổng, hạ bậc, Ví dụ Tìm cos2 x sin3 x dx Giải m = 3, đổi biến t = cos x dt = –sin x dx, sin2 x = – t2 Thay vào tích phân Tp = – t2(1 – t2)dt = – t3 + Thay t = cos x Tp = – cos3 x + cos5 x + C t5 + C