Tích phân hàm số vô tỷ dạng đơn giản

Tài liệu tham khảo phân loại một số bài tập tích phân biểu thức vô tỷ; có ví dụ minh họa

gcs1619818303.doc Thái Minh Tích phân hàm số vơ tỷ dạng đơn giản ∫ R[ x; Dạng : n1 (ax + b) m1 ; n2 (ax + b) m2 , ]dx đặt ax + b = ts s BCNN(n1;n2;…) I=∫ dx đăt : x = t → dx = 6t dt x+ x 6t t3 t3 t2 dt Ví dụ: Tính: I = ∫ dt = ∫ dt = 6∫ (t − t + − )dt = − + 6t − ∫ +C t +1 t +1 t +1 t +t = 2t − 3t + 6t − ln | t + | +C = x − 33 x + 66 x − ln | x + | +C dx Dạng: ∫ đưa tam thức bậc hai dạng bình phương đưa tích ax + bx + c dx x dx = arcsin + C ; ∫ = ln | x + x + k | +C phân bản: ∫ a a2 − x2 x2 + k Ví dụ : I=∫ dx 3x − ∫ = ∫ dx x2 − = ln | x − x − | +C Ax + B dx; Ta tách tử số đạo hàm mẫu phân tích thành ax + bx + c tổng hai tích phân thuộc dạng biết Dạng: ∫ A Ab (2ax + b) + B − dx 2a 2a dx = A d (ax + bx + c) + ( B − Ab ) ∫ ∫ 2a 2a ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c Ax + B dx; = ∫ ax + bx + c Ví dụ: x+2 2x − + + d ( x − x + 6) dx I=∫ dx = ∫ dx = ∫ + ∫ 2 x − 5x + x − 5x + x − 5x + x − 5x + = + 2∫ dx = 5 + ln | x − + ( x − ) − + C 2 x − 5x + 25 (x − )2 − +6 dx Dạng: ∫ đặt x – k = đưa tích phân dạng biết t ( x − k ) ax + bx + c Ví dụ: dx 1 dt I=∫ đăt : x = → dx = − dt ; I = − ∫ = − ln | t + t + + C = − ln | + t x t x x2 +1 1+ t2 x − 5x + Dạng: ∫ Pn ( x) ∫ Pn ( x) ax + bx + c + | +C x2 dx Pn(x) đa thức bậc n Sử dụng đồng thức sau: dx = Qn −1 ( x) ax + bx + c + λ ∫ dx ax + bx + c ax + bx + c x + x + 3x + dx Ví dụ: Tính: ∫ x + 2x + x + x + 3x + dx dx = (ax + bx + c) x + x + + λ ∫ Sử dụng đồng thức : ∫ x + 2x + x + 2x + 2 -1- gcs1619818303.doc Thái Minh Lấy đạo hàm hai vế: x + x + 3x + x +1 = (2ax + b) x + x + + (ax + bx + c) +λ x + 2x + x + 2x + x + 2x + → x + x + x + ≡ (2ax + b)( x + x + 2) + (ax + bx + c )( x + 1) + λ 1 Đồng hệ số ta có: a = ; b = ; c = ; λ = 6 x + x + 3x + 1 dx = ( x + x + ) x + x + + ln | x + + x + x + | +C Vậy: ∫ 6 x + 2x + dx = ln | x + x + k | +C } {∫ x +k m n p 6.Dạng: ∫ x (a + bx ) dx Trong m;n;p số hữu tỷ + Nếu p số nguyên đặt x = ts , với s BSCNN mẫu số phân số m; n đưa tích phân dạng tích phân hữu tỷ m +1 + Nếu số nguyên, đặt a + bxn = ts với s mẫu số p n m +1 + p số nguyên Đặt ax-n + b = ts, với s mẫu số p +Nếu n Ví dụ: −1 +1 −1 1 1+ x I = ∫ dx = ∫ x (1 + x ) dx; có : = 2∈Z x −2 → Đăt : + x = t ; x dx = 2tdt −2 1 t5 t3 3 I = ∫ x x (1 + x ) dx = 3∫ (t − 1)t.2tdt = ∫ (t + t )dt = + + C = (1 + x ) + (1 + x ) + C Bài tập 2 dx dx 1+ x + x −1 2) I = ∫ 3) I = ∫ dx I = ∫ 2 ( x + 1) x + 3x − x4 −1 xdx xn 6).I = ∫ 4).I = ∫ dx 5).I = ∫ e x − 1dx ( x − 1) x − 1 + x n+2 xdx xe arctan x x +1 7).I = ∫ 8) I = ∫ dx 9).I = ∫ dx 2 x +x+2 x −1 (1 + x ) + x 5x − dx 1+ x 10).I = ∫ dx 11).I = ∫ 12).I = ∫ dx 2x + 8x + x x +1 x π 14).I = ∫ + sin x dx 0≤ x≤ 13).I = ∫ x − x + x − 2dx -2- ... } {∫ x +k m n p 6 .Dạng: ∫ x (a + bx ) dx Trong m;n;p số hữu tỷ + Nếu p số nguyên đặt x = ts , với s BSCNN mẫu số phân số m; n đưa tích phân dạng tích phân hữu tỷ m +1 + Nếu số nguyên, đặt a +... dạng tích phân hữu tỷ m +1 + Nếu số nguyên, đặt a + bxn = ts với s mẫu số p n m +1 + p số nguyên Đặt ax-n + b = ts, với s mẫu số p +Nếu n Ví dụ: −1 +1 −1 1 1+ x I = ∫ dx = ∫ x (1 + x ) dx; có :... Minh Lấy đạo hàm hai vế: x + x + 3x + x +1 = (2ax + b) x + x + + (ax + bx + c) +λ x + 2x + x + 2x + x + 2x + → x + x + x + ≡ (2ax + b)( x + x + 2) + (ax + bx + c )( x + 1) + λ 1 Đồng hệ số ta có: