Ứng dụng tích phân

Ứng dụng tích phân Độ dài cung () : x = x(t), y = y(t) với t  [, ] +  s() = ∫ Ví dụ Tính độ dài cung cycloit x = t – sint, y = – cost với t  [0, 2] Giải  Maple (1) s = 2s() () : x = t – sint, y = – cost, t  [0, ]  x’(t) = – cost, y’(t) = sint (1 − cos ) + (sin ) s = 2∫ = ∫ sin = (dvdd) () : y = y(x), x  [a, b] ( ) 1+ s() = ∫  Ví dụ Tính độ dài cung y3 = x2 bị chắn y = – x2 Giải  Maple (2) Giao điểm = =2− = ±1 =1   s = 2s() () : x = y3/2, y  [0, 1]  x’(y) = s=∫ 4+9 = 13 − (dvdd) () : r = r() với   [, ] + s() = ∫  Ví dụ Tính độ dài cung cacdioit r = + cos Giải  Maple (3) s = 2s() () : r = + cos với   [0, ]  r’() = – sin s = 2∫ (1 + cos = ∫ sin ) + (− sin ) = (dvdd) Diện tích hình phẳng Phương trình tắc Maple (4) 1) D = { a  x  b, f(x)  y  g(x) }  S(D) = ∫ ( )− ( ) 2) D = { c  x  d, f(y)  x  g(y) }  S(D) = ∫ ( )− ( ) 3) S(D) = S(D1) + + S(Dn) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn x2 = y y2 = x Giải  Maple (5) Giao điểm = =  =0 =0 =1 =1  D = {  x  1, x2  y  √ } S(D) = ∫ √ − = (dvdt) Phương trình tham số 1) D = { a  x = x(t)  b,  y  y(t) với t  [, ] } S(D) = ∫  ( )| ( )| 2) (D) : x = x(t), y = y(t) với t  [, ] S(D) = ∫  ( ) ( )− ( ) ( ) Ví dụ Tính diện tích miền hình x = a.cos3t, y = a.sin3t với t  [0, 2] Giải  Maple (6) x’(t) = –3acos2tsint, y’(t) = 3asin2t cost S(D) = ∫ cos sin = a2 (dvdt) r() Phương trình tọa độ cực D = {     ,  r  r() } S(D) = ∫  ( )   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn r = 2cos r  Giải  Maple (7) Giao điểm r = 2cos r = với –      S = 2S(D) D = {    ,  r  2cos}  =±  S(D) = ∫ (2cos ) − ∫ (1) = ∫ (1 + cos ) = + √ Thể tích vật thể Thể tích vật thể tích phân thiết diện Maple (8) ( ) V() = ∫  Ví dụ Tính thể tích vật giới hạn hai hình trụ y2 + z2 = a2 z2 + x2 = a2 Giải  Maple (9) V = 8V()  Thiết diện qua (0, 0, z) hình vng cạnh x=y=√ −  V = 8∫ ( − , S(z) = a2 – z2 ) = a3 (dvtt) Vật tròn xoay  tạo D quay quanh trục  1) D = { a  x  b,  y  y(x) } trục Ox  ( ) V() = ∫ 2) D = { a  x  b,  y  y(x) } trục Oy  V() = 2∫ | ( )| 3) D = {     ,  r  r() } trục cực  V() = ∫ ( ) sin Maple (10) Ví dụ Tính thể tích vật thể tạo hình phẳng giới hạn y2 = x y = x2, quay quanh trục Ox Giải  Maple (11) V = V1 – V2 D1 = {  x  1,  y  √ } D2 = {  x  1,  y  x2 } quay quanh trục Ox  V = ∫ – ∫ =  (dvtt) Diện tích mặt tròn xoay Mặt S tạo  : y = f(x), x  [a, b] 1) Quay quanh trục Ox  1+ S = 2∫ ( ) 2) Quay quanh trục Oy  1+ S = 2∫ ( ) Maple (12) Ví dụ Tính diện tích mặt nón x2 + y2 = z2 ,  z  a Giải  Mặt nón tạo x = z với  z  a quay quanh Oz  S = 2∫ + (1) = a2 (dvdt) Mặt S tạo cung  quay quanh Ox () : x = x(t), y = y(t), t  [, ]  S = 2∫ ( ) + Ví dụ Tính diện tích mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 Giải  Mặt cầu tạo nửa đường tròn x = acost y = asint với t  [0, ] quay quanh Ox (− asin ) + (acos ) S = 2∫ asin = 4a2 (dvdt) Mặt S tạo cung  quay quanh trục Ox () r = r(),   [, ]  S = 2∫ ( ) sin + Ví dụ Tính diện tích mặt trịn xoay tạo đường hình tim r = + cos với   [0, 2] quay quanh trục cực Giải  () : r = + cos với   [0, ]  S= 2∫ (1 + cos =  (dvdt) ) sin (1 + cos ) + (− sin )