Vi phân toàn phần

Vi phân toàn phần Vi phân cấp Cho f : D  ℝ A(a, b)  D0  Quan hệ hàm – biến x = x – a, y = y – b f = f(x, y) – f(a, b)  Hàm f khả vi A  f = x + y + .() ,   ℝ,  = ∆ +∆ , () ⎯⎯⎯ ∆ →  Vi phân toàn phần df(a, b) = x + y Ví dụ Khảo sát tính khả vi f(x, y) = xy A(1, 2) Giải  x = x – 1, y = y – f = xy – = 2(x – 1) + (y – 2) + (x – 1)(y – 2) = 2x + y + .() | () | = |∆ ∆ | ∆ +∆  || ⎯⎯⎯ ∆ →  Hàm f khả vi điểm A df(1, 2) = 2x + y (Định lý bản) Cho f : D  ℝ A  D0 1) f khả vi   DHR 2)  DHR liên tục  khả vi  df(x, y) = Cho f : D  ℝ +  Hàm f khả vi D  khả vi  X  D  Vi phân cấp df : D  ℝ, (x, y)  df(x, y) Các tính chất vi phân biến 1) f khả vi  liên tục 2) f  C1  khả vi 3) Các qui tắc tính vi phân biến 4) Hàm sơ cấp khả vi bên D Ví dụ Tính vi phân tồn phần f(x, y) = x3 + y3 – 3xy Giải  f  C1(D = ℝ2) = 3x2 – 3y, = 3y2 – 3x df = (3x2 – 3y)dx + (3y2 – 3x)dy  Tại A(1, 2) (1, 2) = –3, (1, 0) = df(1, 0) = –3dx + 9dy Vi phân cấp cao Cho f : D  ℝ  Vi phân cấp hai d2 f(X) = d{ df(X) }  Vi phân cấp n dn f(X) = d{ d(n–1)f(X) } Cho f : D  ℝ 1) f  C2  d2f(x, y) = khả vi cấp dx2 + dxdy + dy2 + = 2) f  Cn  ( , ) khả vi cấp n dn f(x, y) = ∑ + = ( , ) 3) Các qui tắc tính vi phân biến 4) Hàm sơ cấp khả vi cấp bên D Ví dụ Tính vi phân cấp cao f(x, y) = x3 + y3 – 3xy Giải  f  C(D = ℝ2) = 3x2 – 3y, = 3y2 – 3x = 6x, = –3, = 6, = = 6y = 0, =6 f(4) = 0,  df = (3x2 – 3y)dx + (3y2 – 3x)dy d2f = 6xdx2 – 6dxdy + 6ydy2 d3f = 6dx3 + 6dy3 d4f = 0, (Công thức Taylor) Cho f  Cn+1(D, ℝ) A  D0  H  ℝ2 : [A, A + H]  D f(A + H) = f(A) + df(A)(H) + + + ! d2f(A)(H2) + dnf(A)(Hn) + o(|| H ||n) Ứng dụng vi phân Đạo hàm hàm hợp  z = f(u, v) u = u(x, y), v = v(x, y)  z = f(u(x, y), v(x, y)) = g(x, y)  f, u, v  C1 g  C1  dz = z’u du + z’v dv du = u’x dx + u’y dy, dv = v’x dx + v’y dy dz = z’u ( ) + z’v( ) = ( )dx + ( )dy = z’x dx + z’y dy Đạo hàm hàm ẩn  f(x, y, z) =   f  C1, f’z  z = (x, y)   C1  df = f’x dx + f’y dy + f’z dz = dz = ( )dx + ( )dy = z’x dx + z’y dy  z = z(x, y) dz = A.dx + B.dy  z’x = A, z’y = B Ví dụ Cho f  C1 Tìm đạo hàm hàm ẩn z = z(x, y) xác định f(x + z, y – z) = Giải  f , u = x + z, v = y – z  C1 df = f’u du + f’v dv = f’u(dx + dz) + f’v(dy – dz) = (f’u – f’v)dz = f’udx + f’vdy  f’u – f’v  + dz =  = , Đạo hàm hàm ngược =  f : D  ℝ2, (x, y)  (u = u(x, y), v = v(x, y)) ′ ′  u, v  C1 Jf = = ′ = ′ ′ ′ 0 + ′ + ′  = (… ) = (… )  = ′ = ′ + (… ) + (… ) + ′ + ′  f–1 : E  D  ℝ2, (u, v)  (x, y) x, y  C1 Jf–1 = |… | = (Jf)–1 Ví dụ Cho u, v  C1 u = x2 – y2, v = xy Tìm đạo hàm x(u, v), y(u, v) Giải  Jf = −2 =2 =  = 2(x2 + y2)  −2 + =   = x’u = y’u = ( ) ( ) ( ) ( ) + + , x’v = , y’v =  (x, y)  (0, 0)