Ta không thể dùng ñịnh nghĩa ñể xét sự khả vi của hàm số Tổng quát, chỉ có thể áp dụng ñịnh nghĩa ñể xét sự khả vi cho những hàm số dạng ña thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng ñ[r]
(1)Hàm số khả vi và vi phân toàn phần Ta ñã biết khái niệm ñạo hàm riêng cho chúng ta biết ñược tốc ñộ thay ñổi hàm số cho các biến số thay ñổi giá trị Bây gờ, chúng ta nghiên cứu thay ñổi hàm số biến cho hai biến số thay ñổi Xét hàm số tương ứng lượng: và cho là ñiểm thuộc miền xác ñịnh D Ta cho x, y thay ñổi lượng Khi ñó, giá trị hàm số thay ñổi ðịnh nghĩa 1: Hàm số f(x;y) ñược gọi là khả vi ñiểm có thể biểu diễn ñược dạng: số gia toàn phần (1) ñó A, B là số không phụ thuộc ∆x, ∆y; còn α, β → ∆x, ∆y → Khi ñó, ñại lượng A.∆x +B.∆y ñược gọi là vi phân toàn phần hàm số f(x;y) ứng với các số gia ∆x, ∆y và ñược ký hiệu Ví dụ: Xét hàm số Ta có: Hay: Do ñó: Cho nên hàm số khả vi và Nhận xét: Xét Cho , thì Khi ñó, áp dụng bất ñẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có: Do ñó, ε là VCB ρ → Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dạng: , 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao ρ (2) ví dụ ñược Ta không thể dùng ñịnh nghĩa ñể xét khả vi hàm số Tổng quát, có thể áp dụng ñịnh nghĩa ñể xét khả vi cho hàm số dạng ña thức, còn các hàm số khác thì không thể dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát khả vi ñiểm Vì vậy, ta cần phải tìm công cụ khác ñể giải vấn ñề này Hàm số ñược gọi là khả vi trên miền D nó khả vi ñiểm thuộc D ðịnh lý 1: (ðiều kiện cần ñể hàm số khả vi) Nếu hàm số khả vi thì nó liên tục ñiểm ñó Chứng minh: Vì hàm số khả vi, nên từ công thức (1) ta có: Vậy: Do ñó, hàm số liên tục .♦ Nhận xét: Nếu hàm số f(x;y) không liên tục thì không khả vi ñiểm ñó Hàm số khả vi trên miền D thì liên tục miền ñó ðịnh lý 2: Nếu f(x;y) khả vi thì nó có các ñạo hàm riêng tương ứng A và B biểu thức ñịnh nghĩa hàm số khả vi và chúng Chứng minh: Thật vậy, từ công thức (1) ta cho , ta ñược: ñó α →0 ∆x → Do ñó: Vậy Hoàn toàn tương tự ta có: Nhận xét: Như vậy, hàm số f(x,y) khả vi ñược xác ñịnh bởi: thì vi phân toàn phần hàm số Khác với hàm số biến (nếu hàm số có ñạo hàm thì khả vi), hàm số hai biến số f (x,y) có các ñạo hàm riêng $latex(x_0;y_0) thì chưa nó ñã khả vi ñiểm ñó Ta xét hàm số sau: (3) Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm riêng, ta có: Tương tự ta có: hàm số G(x;y) không liên tục (0; 0) (xem phần giới hạn hàm nhiều biến) nên không khả vi (0;0) ðịnh lý (ðiều kiện ñủ ñể hàm số khả vi) Cho hàm số f(x;y) có các ñạo hàm riêng miền D chứa ñiểm Nếu các ñạo hàm riêng liên tục M thì hàm số khả vi ñiểm ñó Các ví dụ: Cho hàm: Tính và Hàm có khả vi (0;0) hay không? Giải ðể tính các ñạo hàm riêng (0;0) ta phải dùng ñịnh nghĩa mà không thể giá trị (0;0) vào biểu thức ñạo hàm Ta có: tương tự: = = Mặc dù, hàm số có ñạo hàm riêng (0;0) không khả vi ñiểm ñó vì hàm số ñã cho không liên tục (0;0) Thật vậy: xét ñiểm (x;y) tiến ñiểm (0;0) theo ñường thẳng y = kx ta có Vậy giá trị giới hạn phụ thuộc vào hệ số k nện giới hạn không tồn Do ñó: Nên hàm số không liên tục (0;0) và ñó nó không khả vi (0;0) Tìm vi phân hàm số: Hàm số luôn xác ñịnh và liên tục với Khi ñó ta có: nên khả vi ñiểm (4)