Hàm nhiều biến (lý thuyết)

- Các luật giới hạn (về tổng, hiệu, tích, thương) và định lý kẹp trong trường hợp một biến được mở rộng cho trường hợp hai biến... Bài toán trở thành tìm cực trị của hàm một biến z.[r]

Chƣơng 5: HÀM NHIỀU BIẾN (FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES) 5.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA (DEFINITIONS):

HÀM HAI BIẾN (FUNCTIONS OF TWO VARIABLES)

Ký hiệu hàm hai biến: z f x y , với x, y là biến độc lập z biến phụ thuộc

Ví dụ 1: Với hàm số sau, tính f  3, tìm miền xác định

(a)  ,

1

x y f x y

x

  

 (b)    

2

, ln

f x y  x y x

Giải:

(a)  3,

3

f    



Miền xác định hàm số f :

 

 , / 0, 1

D x y x  y x

(b) f 3, 3ln 2 2 3 Miền xác định hàm số f :

 

 2

, /

D x y x y

Ví dụ 2: Tìm miền xác định miền giá trị

  2

,

g x y  x y

Giải: Miền xác định hàm số g:

D x y, / 9x2y2 0 x y, /x2y2 9 D đĩa trịn có tâm  0,0 bán kính Miền giá trị g:z z/  9x2y2, x y, D 0,3 0 9x2 y2 3

ĐỊNH NGHĨA: Hàm số hai biến f là quy tắc cho tương ứng cặp số thực có thứ tự

 x y, tập D D R2 với số thực kí hiệu f x y , Tập D miền

ĐỒ THỊ (GRAPHS)

Ví dụ 3: Phác họa đồ thị hàm số f x y ,  6 3x2y

Giải: z 6 3x2y3x2y z 6: phương trình mặt phẳng Để vẽ mặt phẳng ta cần xác định giao điểm với trục tọa độ: Cho y z 0, ta có x2  mặt phẳng giao trục x x2

Tương tự giao với trục y y3 trục z tại z6

Ví dụ 4: Phác họa đồ thị hàm số g x y ,  9x2y2

Giải: 2 2

9

z x y x y z 

Đây phương trình mặt cầu tâm O bán kính Vì z0 nên đồ thị g nửa mặt cầu

HÀM SỐ BA HAY NHIỀU BIẾN HƠN(FUCTIONS OF THREE OR MORE VARIABLES) Hàm số ba biếnf quy tắc cho tương ứng số có thứ tự x y z, ,  thuộc miền xác định

3

DR với số thực kí hiệu f x y z , , 

Ví dụ 5: Tìm miền xác định f với f x y z , , lnzyxysinz

Giải: Hàm số xác định z y Vậy miền xác định hàm số là:

Dx y z, , R3/z y [Đây tập điểm nằm phía mặt phẳng z y]

Hàm số n biến f là quy tắc cho tương ứng số có thứ tự x x1, 2, ,xn thuộc Rn với số kí hiệu z f x x 1, 2, ,xn

Ví dụ 6: Một cơng ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác để chế biến loại thực phẩm Nếu ci chi phí đơn vị sản phẩm xilà số đơn vị sản phẩm sử dụng nguyên

liệu thứ i, tổng chi phí C dùng cho ngun liệu hàm số n biến x1, x2, …, xn  1, 2, , n 1 2 n n

C f x x x c x c x  c x

5.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC (LIMITS AND CONTINUITY): GIỚI HẠN (LIMITS)

ĐỊNH NGHĨA: Nếu f hàm hai biến với miền xác định D

thì đồ thị f tập hợp tất điểm x y z, , 3 cho z f x y ,  x y, thuộc D

ĐỊNH NGHĨA: Cho f hàm hai biến có miền xác định D chứa điểm gần  a b, Giới hạn f x y ,  x y, dần  a b, L với số  0 tồn tương ứng số

0

  cho với  x y, D  x a-  2 y b 2  f x y ,  L  Ta viết:

   x y,lima b, f x y , L hay limx a  , y b

f x y L

 

Nếu f x y , L1    x y,  a b, theo đường C1 f x y , L2    x y,  a b, theo đườngC2, với L1L2      

,lim, ,

x ya b f x y không tồn Tập     2   2 2 

, , :

D a b  x y R xa  y b  gọi đĩa (disk) tâm (a,b), bán kính 

Ví dụ 1: Chứng minh

    2 , 0,0 lim x y x y x y   

Giải: Với  > 0, tìm  > cho: 0 x2y2 

2

3

0

x y

x  y  

Ta có:

2

2 2

2 2

3

0 x y 3

x y

y y x y

x  y   x y     Chọn   / 3, với :

2

2 2

2

3

0 3

3

x y

x y x y

x y



    

          

   Vậy    

2 2 , 0,0 lim x y x y x y   

Ví dụ 2: Chứng minh

   

2

2

,lim0,0

x y

x y x y





 không tồn

Giải: Đặt  

2

2

, x y

f x y

x y

 



Cho    x y,  0,0 dọc theo trục x thì y0: ta có   2

,0 x 1,

f x x

x

    f x y , 1 Cho    x y,  0,0 dọc theo trục y thì x0: ta có  

2

0, y 1,

f y y

y



     f x y ,  1  giới hạn cho khơng tồn

Ví dụ 3: Cho  

2

2

, xy

f x y

x y



 ,    x y,lim0,0 f x y , có tồn hay khơng?

Giải: Cho    x y,  0,0 dọc theo đường thẳng yx:

 ,  ,

x x

f x y f x x

x x x

  

  : f x y , 0    x y,  0,0 Cho    x y,  0,0 dọc theo parabola x y2:    

4 4 , , y f x y f y y

y x

  

 :

  ,

2

f x y     x y,  0,0 dọc theo parabola x y2 Vậy giới hạn không tồn

Lƣu ý:

-  - x y,lima b, xa,    x y,lima b, yb,    x y,lima b, cc

LIÊN TỤC (CONTINUITY):

Hàm đa thức (polynomial function) hai biến tổng số hạng có dạng cx ym n, c số, m, n số nguyên không âm, ví dụ: f x y ,  x45x y3 26xy47y6

Hàm hữu tỉ (rational function) tỉ số hàm đa thức, ví dụ:   ,

2

x y g x y

xy

 

Kết quả:

- Các đa thức hàm liên tục 2, hàm hữu tỷ liên tục miền xác định - Nếu f x y , liên tục D, g t  liên tục miền giá trị f hg f x y  ,  liên tục

trên D

Ví dụ 4: Tính

    

2 3

,lim1,2

x y x y x y  x y

Giải: Vì f x y , x y2 3x y3 23x2y hàm đa thức nên liên tục 2 Do đó:

    

2 3 2 3

,lim1,2 2 3.1 2.2 11

x y x y x y  x y      Ví dụ 5: Hàm số  

2

2

, x y

f x y

x y

 

 liên tục miền nào?

Giải: Hàm  

2

2

, x y

f x y

x y

 

 hàm hữu tỷ liên tục miền xác định D nó:

     

 , / , 0,0  D x y x y 

Ví dụ 6:Hàm số      

   

2

2 2, , 0,0

,

0 , , 0,0

x y

x y x y

g x y

x y

 

  

 

 



liên tục miền nào?

Giải: Hàm g x y , xác định điểm (0,0) hàm khơng liên tục (0,0)

   x y,lim0,0 g x y , không tồn (xem Ví dụ 2) Vậy hàm g x y  , liên tục D     x y, / x y,  0,0

5.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (DERIVATIVES AND DIFFERENTIALS)

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF FUCTIONS OF

TWO VARIABLES)

Cho hàm hai biến f x y , , giả sử biến x thay đổi cố định y yb Khi đó, hàm f trở thành hàm biến Đặt g x  f x b , , nếu g có đạo hàm a, ta gọi đạo hàm riêng

f x  a b, kí hiệu fx a b, Do đó:

ĐỊNH NGHĨA: Hàm số hai biến f liên tục  a b,

   x y,lima b, f x y ,  f a b ,

Ta nói f liên tục D f liên tục điểm  a b, D

 ,  

x

Vì:      

lim

h

g a h g a g a

h



 

  nên:

Tương tự, đạo hàm riêng f y  a b, là:

Ví dụ 1: Cho f x y , x3x y2 32y2, tìm fx 2,1 fy 2,1

Giải: Xem y số lấy đạo hàm x:

fx x y, 3x2 2xy3  fx 2,1 3.22 2.2.13 16

Xem x số lấy đạo hàm y:

fy x y, 3x y2 4 y  fy 2,1 3.2 12 24.1 8

Ví dụ 2: Cho  , sin

x f x y

y

 

  



 , tính

f x

 

f y

 

Giải: Ta có:

1

cos cos

1 1

f x x x

x y x y y y

     

   

     

           

 2

cos cos

1 1 1

f x x x x

y y y y y y

     

 

       

           

Ví dụ 3: Tìm  z/ x z/ y  với z hàm ẩn theo hai biến x y xác định phương trình

3 3

6

x y  z xyz

      , , , lim x h

f a h b f a b f a b

h           , , , lim y h

f a b h f a b f a b

h



 



Nếuf hàm hai biến, đạo hàm riêng hàm fx,fy xác định bởi:

           

0

, ,

, li

, ,

, lim , y m

x

h

h

f x y h f x y f

f x h y f x y f x y

h x y  h



   





KÍ HIỆU ĐẠO HÀM RIÊNG: Nếu z f x y ,

 ,  , , y ,  , y

x x x y

f z

f x y f f x y D f x y f f f x y z D f

y y y

f

x x x

  

        

  

   

  

QUY TẮC TÌM ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA z f x y ,

Để tìm fx, xem y số lấy đạo hàm f x y , x

Giải: Xem y số, lấy đạo hàm theo biến x hai vế phương trình cho: 2 2

3 6

2

z z z x yz

x z yz xy

x x x z xy

   

      

   

Tương tự, biến y ta

2

2

z y xz y z xy

   

 

ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM NHIỀU HƠN HAI BIẾN (PARTIAL DERIVATIVES OF FUCTIONS OF MORE THAN TWO VARIABLES)

Nếu f hàm số ba biến x, y, z đạo hàm riêng x xác định bởi:

     

0

, , , ,

, , lim

x

h

f x h y z f x y z f x y z

h



 



Tương tự ta có cơng thức đạo hàm riêng y z

Tổng quát, u hàm n biến, u f x x 1, 2, ,xn, đạo hàm riêng u biến thứ i, xi là:

 1   

0

, , , , , , , , ,

lim i i i n i n

h i

f x x x h x x f x x x u x h        

Ví dụ 4: Tìm fx, fy fz với f x y z , , exylnz

Giải: Ta có: ln , ln ,

xy

xy xy

x y z

e f ye z f xe z f

z

  

ĐẠO HÀM CẤP CAO (HIGHER DERIVATIVES):

Nếu f hàm hai biến, đạo hàm riêng fx, fy hàm hai biến Ta xét đạo hàm riêng    x , x , y

x y x

f f f  y

y

f , gọi đạo hàm riêng cấp hàm

f. Nếu z f x y , , ta sử dụng kí hiệu sau đây:

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm riêng cấp hai hàm số   3

,

f x y x x y  y

Giải: Ta có fx x y, 3x22xy3, fy x y, 3x y2 24y

Khi  3  3

3 6

xx xy

f x xy x y f x xy xy

x y

 

      

 

fyx 3x y2 4y 6xy2 fyy 3x y2 4y 6x y2

x y

 

      

 

ĐỊNH LÍ CLAIRAUT: Giả sử hàm f xác định đĩa D chứa điểm  a b, Nếu hàm số fxy fyx hàm số liên tục D

fxy a b,  fyx a b,

        2 2 2 2 2 2 x xy

x x xx

y y

y

y x yx y y

f f z

f f

x x x x

f f z

f f

y y y

f f z

f f

y x y x y x

f f z

f f

x y x y x y y

HÀM KHẢ VI (DIFFERENTIABLE FUNCTIONS):

Nếu hàm hai biến f có đạo hàm riêng liên tục, thực tương tự hàm biến, ta thiết lập

được phương trình mặt phẳng tiếp xúc(tangent plane) với mặt z = f(x, y) điểm P(x0, y0, z0) là:

     

0 x 0, 0 y 0, 0

zz  f x y xx  f x y yy

Rõ ràng điểm mặt phẳng tiếp xúc gần tiếp điểm P khoảng cách từ điểm đến mặt z = f(x, y) nhỏ Tức là, x thay đổi từ a đến a x, b thay đổi từ bđến b y, số gia tương ứng z  z f a  x b,   y f a b , ta có ước lượng sau, gọi

xấp xỉ tuyến tính (linear aproximation) hàm z = f(x, y) điểm (a, b)

 ,  ,

x y

z f a b x f a b y

    

Định lí sau cho phép ta kiểm tra tính khả vi hàm hai biến

Ví dụ 6: Chứng minh f x y , xexy khả vi  1,0 tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc đồ thị f điểm Dùng phương trình vừa tìm ước lượng f 1.1, 0.1 

Giải: Đạo hàm riêng là: fx x y, exyxyexy, fy x y, x e2 xy

 1,0 1,  1,0

x y

f  f 

Cả hai hàm fxvà fy liên tục (1,0) nên f khả vi (1,0) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc:  1,0 x 1,0 1 y 1,0 0

z f  f x  f y   z x y

Xấp xỉ tuyến tính tương ứng: xexy  x y  f 1.1, 0.1 1.1 0.1 1 

VI PHÂN(DIFFERENTIALS)

Cho hàm hai biến khả vi z f x y , , ta định nghĩa vi phân dx dy biến độc lập (có thể nhận giá trị nào) Khi đó, vi phân tồn phần (total differential) dz được định nghĩa:

ĐỊNH NGHĨA: Hàm z f x y , khả vi  a b, z biểu diễn dạng:

 ,  ,

x y

z f a b x f a b y  x  y

         , với 1và2 0   x, y  0,

Ví dụ 7:

(a) Cho z f x y , x23xyy2, tìm vi phân dz

(b) Nếu x thay đổi từ đến 2.05 y thay đổi từ đến 2.96, so sánh giá trị z dz

Giải:

a dz zdx zdy 2x 3y dx 3x 2y dy

x y

 

     

 

b Đặt x = 2, dx = x = 0.05, y = 3, dy = y = -0.04, ta có:

2.2 3.3 *0.05 3.2 2.3 *  0.04 0.65

dz     

Số gia z là:  z f 2.05, 2.96 f  2,3 0.6449

5.4 QUY TẮC DÂY CHUYỀN VÀ ĐẠO HÀM HÀM ẨN (THE CHAIN RULE AND IMPLICIT DIFFERENTIATION)

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (THE CHAIN RULE)

Ví dụ 1: Cho z x y2 3xy4, với xsin 2t ycost, tính dz

dt t0

Giải: dz z dx z dy 2xy 3y42cos 2t x2 12xy3 sint dt x dt y dt

 

      

 

Khi t0ta có xsin 00 ycos 1 Do đó:

6

t

dz

dt  

Ví dụ 2: Cho zexsiny, với xst2 ys t2 , tìm  z/ s  z/ t

Giải:Ta có:          

2

2 2

sin osy st sin os s

x x

z z x z y

e y t e c st te t s t sc t s x s y s

      

       

    

         

2 2

sin cosy st sin cos s

x x

z z x z y

e y st e s se t s t s t t x t y t

           

 

    

 ,  ,

x y

z z

dz f x y dx f x y dy dx dy

x y

 

   

 

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TRƯỜNG HỢP 1):Giả sử z f x y , hàm khả vi theo biến x,y, với xg t , yh t  hàm khả vi theo biến t, z hàm khả vi theo biến t

dz f dx f dy dt x dt y dt

 

 

  hay

dz z dx z dy

dt x dt y dt

 

 

 

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TRƯỜNG HỢP 2):Giả sử z f x y , hàm khả vi theo biến x,y, với xg s t , , yh s t , hàm khả vi theo biến s t thì: z z x z z x z y

t x

z y

s x s y s t y t



    

 

  

   

 

   

Ví dụ 3: Cho ux y4 y z2 3, với xrset, yrs e2 t, zr s2 sint, tính giá trị u

s





2, 1,

r s t

Giải:     3   2 

4 t 2 t sin

u u x u y u z

x y re x yz rse y z r t s x s y s z s



      

      

      

Khi r 2, s 1, t x 2,y 2,z u 192

s



        



ĐẠO HÀM HÀM ẨN (IMPLICIT DIFFERENTIATION)

- Cho y f x  hàm khả vi theo x phương trình dạng F x y , 0 Sử dụng quy tắc dây chuyền, lấy đạo hàm hai vế phương trình theo biến x ta được:

F dx F dy

x dx y dx

 

 

  Vì

dx

dx  nên

F y

 

 ,

F dy x F dx y       hay

- Cho z f x y , phương trình F x y z , , 0 Nếu F f khả vi, theo quy tắc dây chuyền: F x F y F z

x x y x z x

     

  

      Vì x x

 

 x y

 

 nên:

F F z x z x

   

  

Nếu F

z

 

 , ta được:

F z x F x z        

Tương tự ta có

F z y F x z         Vậy:

Ví dụ 4: Tìm y biết x3y3 6xy

Giải: Phương trình cho viết lại là: F x y , x3y36xy0 Vậy

2

2

3

3

x y

F

dy x y y x

dx F y x y x

         x y F dy dx  F

QUY TẮC DÂY CHUYỀN (TỔNG QUÁT): Giả sử u hàm khả vi n biến x x1, 2, ,xnvà xi hàm khả vi m biến t t1, , ,2 tm Khi đó, u hàm theo biến t t1, , ,2 tm

1

n, 1, 2, ,

i i i n i

x

u u x u x u

i m

t x t x t x t

Ví dụ 5: Tìm z

x

 

z y 

 biết

3 3

6

x y  z xyz

Giải: Đặt f x y z , , x3y3 z3 6xyz1, ta có:

2

2

2

,

2

y x

z z

F F

z x yz z y xz

x F z xy y F z xy

           

   

5.5 GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU (MAXIMUM AND MINIMUM VALUES)

GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI ĐỊA PHƢƠNG VÀ CỰC TIỂU ĐỊA PHƢƠNG (LOCAL MAXIMUM AND MINIMUM VALUES)

Lƣu ý: Khái niệm (x,y) gần (a,b) có nghĩa với (x,y) thuộc đĩa có tâm (a,b)

Từ định lí ta thấy f có cực đại địa phương hay cực

tiểu địa phương  a b,  a b, điểm tới hạn f Tuy nhiên điểm tới hạn, hàm có cực đại địa phương, cực tiểu địa phương khơng có hai

Ví dụ 1: Cho f x y , x2y22x6y14 Khi fx x y, 2x2 fy x y, 2y6

Các đạo hàm riêng x1 y3 nên  1,3 điểm tới hạn hàm số Ta có: f x y ,  4 x1 2 y3 2  f x y , 4, x y, Do đó: f 1,3 4 cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục f

ĐỊNH NGHĨA:

Hàm hai biến f có cực đại địa phương (local maximum)  a b,  ,  ,

f x y  f a b  x y, gần  a b, , số f a b , gọi giá trị cực đại địa phương (local maximum value) Hàm hai biến f có cực tiểu địa phương (local minimum)  a b,

 ,  ,

f x y  f a b  x y, gần  a b, , số f a b , gọi giá trị cực tiểu địa phương (local minimum value).

Nếu bất đẳng thức cho  x y, thuộc miền xác định f ta nói f cócực đại

tuyệt đối/ cực tiểu tuyệt đối (absolute maximum/absolute minimum)tại  a b,

ĐỊNH NGHĨA:

Điểm  a b, gọi điểm tới hạn (critical point) fx a b, 0 fy a b, 0,

một hai đạo hàm riêng không tồn

ĐỊNH LÍ: Nếu f có cực đại địa phương hay cực tiểu địa

Ví dụ 2: Tìm giá trị cực trị f x y ,  y2x2

Giải: fx  2 ,x fy 2y f có điểm tới hạn (0,0)

Ta có f (0,0)=0

Với điểm trục x, y0 nên f x y ,   x2 0x0 Với điểm trục y, x0 nên f x y ,  y2 0y0 Vậy, đĩa với tâm  0,0 chứa điểm mà f có thể nhận giá

trị dương giá trị âm, f  0,0 0 khơng thể giá trị cực trị f hay f khơng có giá trị cực trị

Lƣu ý: (i) Trường hợp (c), điểm  a b, gọi điểm yên ngựa(saddle point) hàm f

(ii) Nếu D = khơng thể kết luận điểm (a, b)

Ví dụ 3: Tìm giá trị cực đại địa phương, cực tiểu địa phương điểm yên ngựa

  4

,

f x y x y  xy

Giải: Ta có: fx 4x34y fy 4y34x

Cho fx 0, fy 0, ta tìm điểm tới hạn  0,0 , (1,1), -1,-1 

 

2 2

12 , 4, 12 , , 144 16

xx xy yy xx yy xy

f  x f   f  y D x y  f f f   x y 

+ D 0,0   16  f khơng có cực đại cực tiểu địa phương

 0,0  0,0 điểm yên ngựa

+ D 1,1 1280 fxx 1,1 12 0: f  1,1  1 giá trị cực tiểu địa phương f

+ D  1, 1 1280 fxx  1, 1 120: f   1, 1 giá trị cực tiểu địa phương của f

 Tìm cực trị địa phƣơng có điều kiện

Bài tốn tìm cực trị địa phương hàm hai biến z = f (x,y) với điều kiện g(x,y)=0 gọi bài tốn tìm cực trị có điều kiện (hay cực trị ràng buộc)

+ Trƣờng hợp 1: Nếu từ điều kiện g(x,y)=0 giải tìm y = y(x) vào hàm z ta z hàm theo biến x Bài tốn trở thành tìm cực trị hàm biến z

Ví dụ 4: Tìm giá trị cực trị hàm số z f x y , x2 2xy2y với điều kiện x y 1

Giải: Với điều kiện x    y 1 y 1 x, y xác định với x Do zx2 2 1x  x 2 1x3x2 4x2 xác định với x

TIÊU CHUẨN ĐẠO HÀM CẤP (SECOND DERIVATIVES TEST):Giả sử đạo hàm riêng cấp f liên tục đĩa tâm  a b, , giả sử fx a b, 0và fy a b, 0 Đặt        

2

, xx , yy , xy ,

D D a b  f a b f a b  f a b 

(a) Nếu D0và fxx a b, 0 f a b , cực tiểu địa phương (b) Nếu D0và fxx a b, 0 f a b , cực đại địa phương

Ta có: zx 6x4,

x

z   x zxx  6

Vậy, 2

3

z   

  giá trị cực tiểu có điều kiện hàm số cho

+ Trƣờng hợp 2: Nếu từ điều kiện g(x,y)=0 ta khơng thể giải tìm y theo x (hay x theo y), ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multiplier method) sau:

Ví dụ 5: Tìm giá trị cực trị địa phương hàm số

  2

, 2 10 107

z f x y   x  xyy  x y

với điều kiện 2x y

Giải: Hàm Lagrange: F x y , , 2x2 2xyy210x4y1072x y 5

12

0 10

1

0 2

5

2

0 2

5 x

y

x

F x y

F x y y

x y

F

 



  

       

        

  

      

   



4, 2, 2, 2,

xx xy yy x y

F   F  F   g  g 

2

12

, 4.1 2.2 2.2.2.1 20

5

D 

        

 

Vậy hàm số cho đạt cực đại có điều kiện 12 1, 5

 

 

 , giá trị cực đại có điều kiện

12 598

,

5 5

f   

 

GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI TUYỆT ĐỐI VÀ CỰC TIỂU TUYỆT ĐỐI CỦA HÀM HAI BIẾN TRÊN MỘT TẬP ĐĨNG BỊ CHẶN

Tập đóng (closed set) trong 2 tập chứa tất điểm biên nó, chẳng hạn đĩa

 

 2 

, /

D x y x y 

Tìm giá trị cực trị tuyệt đối hàm số z = f (x,y) với điều kiện g(x,y) = 0:

1 Viết hàm Lagrange: F x y( , , )  f x y , g x y( , ) với số  chưa xác định Tìm điểm dừng F , tức điểm x y, , thỏa Fx 0, Fy 0, F 0, giả sử (a,b) điểm dừng ứng với giá trị 0

3 Tính DF gxx 2y F gyy x22F g gxy x y (a,b) Kết luận

Tập bị chặn (bounded set) 2là tập chứa đĩa Trong 2, tập đóng bị chặn

Phương pháp tìm giá trị cực đại tuyệt đối giá trị cực tiểu tuyệt đối hàm hai biến f:

Ví dụ 6: Tìm giá trị cực đại tuyệt đối giá trị cực tiểu tuyệt đối hàm số

 

, 2

f x y x  xy y hình chữ nhật D x y, / 0 x 3,0 y 2

Giải: Trước tiên ta tìm điểm tới hạn hàm số, ta có: fx 2x2y fy   2x

Cho đạo hàm riêng khơng ta tìm điểm tới hạn  1,1 thuộc D Ta có f  1,1 1 Biên D gồm bốn đoạn thẳng L L L1, 2, 3, và L4

Trên L1, ta có y0 f x ,0 x2, 0 x 3: hàm tăng nên giá trị nhỏ f 0,0 0 giá trị lớn

 3,0

f 

Trên L2, ta có x3 f  3,y  9 , 0y  y 2: giá trị lớn f  3,0 9 giá trị nhỏ f  3, 1

Trên L3 ta có y2và f x ,  x2 4x 4 (x2) , 02  x 3: giá trị nhỏ f  2, 0 giá trị lớn f  0, 4

Và cuối L4 ta có x0 f  0,y 2 , 0y  y 2: giá trị lớn f  0, 4 giá trị nhỏ f 0,0 0

Do đó, biên D, giá trị lớn 9, giá trị bé Vậy giá trị cực đại tuyệt đối f

D f 3,0 9, giá trị cực tiểu tuyệt đối f D f 0,0  f 2, 0

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f x y , x2y2 hình trịn

2

4

x  y 

Tìm giá trị cực đại cực tiểu tuyệt đối hàm số f liên tục tập đóng bị chặn D: Tìm giá trị f điểm tới hạn f D

2 Tìm giá trị cực trị f biên D

3 Giá trị lớn nhất/nhỏ hai bước giá trị cực đại tuyệt đối/ cực tiểu tuyệt đối f D

Giải: fx 2x , fy  2y

Cho đạo hàm riêng khơng ta tìm điểm tới hạn (0,0) thuộc hình trịn 2

x y  Ta có f 0,0 0

Biên hình trịn có phương trình x2 y2  4 y2  4 x2

Do biên hình trịn    2  

, 4 2

f x y x  x  x    x : giá trị nhỏ

là f 0, 2   4, giá trị lớn f 2,04