1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

CỰC TRỊ hàm NHIỀU BIẾN TOÁN CAO cấp a2 (lý THUYẾT + ví dụ)

9 2,6K 24

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 9
Dung lượng 112,28 KB

Nội dung

c´o diˆe`u kiˆe.n chung quy l`a gia’i hˆe... c´o diˆe`u kiˆe.n.

Trang 1

9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n

9.3.1 Cu c tri.

H`am f (x, y) c´o cu c da.i di.a phu.o.ng (ho˘a.c cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng) b˘a`ng

f (x0, y0) ta.i diˆe’m M0(x0, y0) ∈ D nˆe´u tˆ` n ta.i δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m Mo 0

sao cho v´o.i mo.i diˆe’m M 6= M0 thuˆo.c lˆan cˆa.n ˆa´y ta c´o

f (M ) < f (M0) (tu.o.ng ´u.ng : f (M ) > f (M0)).

Go.i chung cu c da.i, cu c tiˆe’u cu’a h`am sˆo´ l`a cu c tri cu’a h`am sˆo´

Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n dˆe’ tˆo` n ta.i cu c tri di.a phu.o.ng: Nˆe´u ta.i diˆe’m M0 h`am

f (x, y) c´o cu c tri di.a phu.o.ng th`ı ta.i diˆe’m d´o ca’ hai da.o h`am riˆeng cˆa´p

1 (nˆe´u ch´ung tˆ` n ta.i) dˆe`u b˘a`ng 0 ho˘a.c ´ıt nhˆa´t mˆo.t trong hai da.o h`amo

riˆeng khˆong tˆ` n ta.i (d´o l`a nh˜u.ng diˆe’m t´o.i ha.n ho˘a.c diˆe’m d`u.ng cu’ao

h`am f (x, y)) Khˆong pha’i mo.i diˆe’m d`u.ng dˆe`u l`a diˆe’m cu c tri

Diˆ`u kiˆe.n du’: gia’ su.’e

f xx00 (M0) =, f xy00 (M0) = B, f yy00 (M0) = C.

Khi d´o:

i) Nˆe´u ∆(M0) =

A B

> 0 v` a A > 0 th`ı ta.i diˆe’m M0 h`am f c´o

cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng

ii) Nˆe´u ∆(M0) =

A B

B C

> 0 v` a A < 0 th`ı ta.i diˆe’m M0 h`am f c´o cu c da.i di.a phu.o.ng

iii) Nˆe´u ∆(M0) =

A B

< 0 th`ı M0 l`a diˆe’m yˆen ngu a cu’a f, t´u.c l`a ta.i M0 h`am f khˆong c´o cu c tri

iv) Nˆe´u ∆(M0) =

A B

B C

= 0 th`ı M0 l`a diˆe’m nghi vˆa´n (h`am f c´o thˆe’ c´o v`a c˜ung c´o thˆe’ khˆong c´o cu c tri ta.i d´o)

Trang 2

9.3.2 Cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n

Trong tru.`o.ng ho p do.n gia’n nhˆa´t, cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n cu’a h`am f(x, y)

l`a cu c da.i ho˘a.c cu c tiˆe’u cu’a h`am d´o da.t du.o c v´o.i diˆe`u kiˆe.n c´ac biˆe´n

x v` a y tho’a m˜ an phu.o.ng tr`ınh ϕ(x, y) = 0 (phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo c).

Dˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n v´o.i diˆe`u kiˆe.n r`ang buˆo.c ϕ(x, y) ta lˆa.p

h`am Lagrange (h`am bˆo’ tro..)

F (x, y) = f (x, y) λ ϕ(x, y)

trong d´o λ l`a h˘a`ng sˆo´ nhˆan chu.a du.o c x´ac di.nh v`a di t`ım cu c tri thˆong thu.`o.ng cu’a h`am bˆo’ tro n`ay Dˆay l`a phu.o.ng ph´ap th`u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange

T`ım diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n dˆe’ tˆo` n ta.i cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n chung quy l`a gia’i

hˆe phu.o.ng tr`ınh

∂F

∂x =

∂f

∂x + λ

∂ϕ

∂x = 0

∂F

∂y =

∂f

∂y + λ

∂ϕ

∂y = 0 ϕ(x, y) = 0

(9.15)

T`u hˆe n`ay ta c´o thˆe’ x´ac di.nh x, y v`a λ.

Vˆa´n dˆ` tˆoe ` n ta.i v`a d˘a.c t´ınh cu’a cu c tri di.a phu.o.ng du.o c minh di.nh trˆen co so.’ x´et dˆa´u cu’a vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am bˆo’ tro

d2F = ∂

2

F

∂x2dx2+ 2

2

F

∂x∂y dxdy +

2F

∂y2dy2

du.o c t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri x, y, λ thu du.o c khi gia’i hˆe (9.15) v´o.i diˆe`u kiˆe.n l`a

∂ϕ

∂x dx +

∂ϕ

∂y dy = 0 (dx

2

+ dy2 6= 0).

Cu thˆe’ l`a:

Trang 3

i) Nˆe´u d2F < 0 h` am f (x, y) c´o cu c da.i c´o diˆe`u kiˆe.n.

ii) Nˆe´u d2F > 0 h` am f (x, y) c´o cu c tiˆe’u c´o diˆe`u kiˆe.n

iii) Nˆe´u d2F = 0 th`ı cˆ` n pha’i kha’o s´at.a

Nhˆa n x´et

i) Viˆe.c t`ım cu c tri cu’a h`am ba biˆe´n ho˘a.c nhiˆe`u ho.n du.o c tiˆe´n h`anh

tu.o.ng tu nhu o.’1

ii) Tu.o.ng tu c´o thˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n cu’a h`am ba biˆe´n ho˘a.c

nhiˆ`u ho.n v´o.i mˆo.t ho˘a.c nhiˆe`u phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c (sˆo´ phu.o.nge

tr`ınh r`ang buˆo c pha’i b´e ho.n sˆo´ biˆe´n) Khi d´o cˆ` n lˆa.p h`am bˆo’ tro v´o.ia

sˆo´ th`u.a sˆo´ chu.a x´ac di.nh b˘a`ng sˆo´ phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c

iii) Ngo`ai phu.o.ng ph´ap th`u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange, ngu.`o.i ta c`on

d`ung phu.o.ng ph´ap khu.’ biˆe´n sˆo´ dˆe’ t`ım cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n

9.3.3 Gi´ a tri l´ o.n nhˆ a ´t v` a b´ e nhˆ a ´t cu’a h` am

H`am kha’ vi trong miˆ`n d´ong bi ch˘a.n da.t gi´a tri l´o.n nhˆa´t (nho’ nhˆa´t)e

ho˘a.c ta.i diˆe’m d`u.ng ho˘a.c ta.i diˆe’m biˆen cu’a miˆe`n

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 T`ım cu..c tri di.a phu.o.ng cu’a h`am

f (x, y) = x4+ y4− 2x2+ 4xy − 2y2.

Gia’i i) Miˆ`n x´ac di.nh cu’a h`am l`a to`an m˘a.t ph˘a’ng Re 2

ii) T´ınh c´ac da.o h`am riˆeng f0

x v`a f0

y v`a t`ım c´ac diˆe’m t´o.i ha.n Ta c´o

f x0 = 4x3− 4x + 4y, f y0 = 4y3+ 4x − 4y.

Do d´o

4x3 − 4x + 4y = 0 4y3 + 4x − 4y = 0

Trang 4

v`a t`u d´o

(

x1 = 0

y1 = 0

(

x2 = −

√ 2

y2 =

√ 2

(

x3 =

√ 2

y3 = −

2.

Nhu vˆa.y ta c´o ba diˆe’m t´o.i ha.n V`ı f x0, f y0 tˆ` n ta.i v´o.i mo.i diˆe’mo

M (x, y) ∈ R2 nˆen h`am khˆong c`on diˆe’m t´o.i ha.n n`ao kh´ac

iii) Ta t´ınh c´ac da.o h`am riˆeng cˆa´p hai v`a gi´a tri cu’a ch´ung ta.i c´ac diˆe’m t´o.i ha.n

f xx00 (x, y) = 12x2 = 4, f xy00 = 4, f yy00 = 12y2 − 4.

Ta.i diˆe’m O(0, 0): A = −4, B = 4, C = −4

Ta.i diˆe’m M1(−

2, +

2): A = 20, B = 4, C = 20 Ta.i diˆe’m M2(+

2, −

2): A = 20, B = 4, C = 20.

iv) Ta.i diˆe’m O(0, 0)ta c´o

A B

B C

=

= 16 − 16 = 0.

Dˆa´u hiˆe.u du’ khˆong cho ta cˆau tra’ l`o.i Ta nhˆa.n x´et r˘a`ng trong lˆan

cˆa.n bˆa´t k`y cu’a diˆe’m O tˆo` n ta.i nh˜u.ng diˆe’m m`a f(x, y) > 0 v`a nh˜u.ng

diˆe’m m`a f (x, y) < 0 Ch˘ a’ng ha.n do.c theo trung c Ox (y = 0) ta c´o

f (x, y)

y=0 = f (x, 0) = x4− 2x2 = −x2(2 − x2) < 0

ta.i nh˜u.ng diˆe’m du’ gˆa` n (0, 0), v`a do.c theo du.`o.ng th˘a’ng y = x

f (x, y)

y=x = f (x, x) = 2x4 > 0

Nhu vˆa.y, ta.i nh˜u.ng diˆe’m kh´ac nhau cu’a mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’a diˆe’m O(0, 0) sˆo´ gia to`an phˆ` n ∆f (x, y) khˆong c´o c`a ung mˆo.t dˆa´u v`a do d´o ta.i O(0, 0) h`am khˆong c´o cu c tri di.a phu.o.ng.

Ta.i diˆe’m M1(−

2,

√ 2) ta c´o

A B

B C

=

20 4

4 20

= 400 − 16 > 0

Trang 5

v`a A > 0 nˆ en ta.i M1(−

2,

√ 2) h`am c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a

fmin = −8

Ta.i diˆe’m M2(√2, −√2) ta c´o AC − B2 > 0 v` a A > 0 nˆen ta.i d´o

h`am c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng v`a fmin = −8

V´ ı du 2 Kha’o s´at v`a t`ım cu c tri cu’a h`am

f (x, y) = x2+ xy + y2− 2x − 3y.

Gia’i i) Hiˆe’n nhiˆen D f ≡R

ii) T`ım diˆe’m d`u.ng Ta c´o

f0

x = 2x + y − 2

f0

y = x + 2y − 3

2x + y − 2 = 0,

x + 2y − 3 = 0.

e thu du.o c c´o nghiˆe.m l`a x0 = 1

3, y0 =

4

3 Do d´o

1

3,

4 3

 l`a diˆe’m d`u.ng v`a ngo`ai diˆe’m d`u.ng d´o h`am f khˆong c´o diˆe’m d`u.ng n`ao kh´ac v`ı

f0

x v`a f0

y` n tˆa.i ∀(x, y).o

iii) Kha’o s´at cu c tri Ta c´o A = f00

x2 = 2, B f00

xy = 1, C = f00

y2 = 2

Do d´o

∆(M0) =

2 1

1 2

= 3 > 0 v` a A = 2 > 0

nˆen h`am f c´o cu..c tiˆe’u ta.i diˆe’m M0(1

3,

4 3

 N

V´ ı du 3 T`ım cu..c tri cu’a h`am f(x, y) = 6 − 4x − 3y v´o.i diˆe`u kiˆe.n l`a

x v` a y liˆen hˆe v´o.i nhau bo.’i phu.o.ng tr`ınh x2+ y2 = 1

Gia’i Ta lˆa.p h`am Lagrange

F (x, y) = 6 − 4x − 3y + λ(x2+ y2 − 1).

Ta c´o

∂F

∂x = −4 + 2λx,

∂F

∂y = −3 + 2λy

Trang 6

v`a ta gia’i hˆe phu.o.ng tr`ınh

−4 + 2λx = 0

−3 + 2λx = 0

x2+ y2 = 1 Gia’i ra ta c´o

λ1 = 5

2, x1 =

4

5, y1 =

3 5

λ2 = −5

2, x2 = −

4

5, y2 = −

3 5 V`ı

2F

∂x2 = 2λ, ∂

2F

∂x∂y = 0,

2F

∂y2 = 2λ

d2F = 2λ(dx2 + dy2).

e´u λ = 5

2, x =

4

5, y =

3

5 th`ı d

2

F > 0 nˆen ta.i diˆe’m 4

5,

3 5

 h`am c´o cu c tiˆe’u c´o diˆe`u kiˆe.n

e´u λ = −5

2, x = −

4

5, y = −

3

5 th`ı d

2

F < 0 v`a do d´o h`am c´o cu c da.i c´o diˆe`u kiˆe.n ta.i diˆe’m−4

5, −

3 5

 Nhu vˆa.y

fmax= 6 + 16

5 +

9

5 = 11,

fmin = 6 − 16

5 −

9

5 = 1. N

V´ ı du 4 T`ım cu..c tri c´o diˆe`u kiˆe.n cu’a h`am

1) f (x, y) = x2 + y2+ xy − 5x − 4y + 10, x + y = 4.

2) u = f (x, y, z) = x + y + z2

(

z − x = 1,

y − xz = 1.

Trang 7

Gia’i 1) T`u phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c x + y = 4 ta c´o y = 4 − x v`a

f (x, y) = x2+ (4 − x)2+ x(4 − x) − 5x − 4(4 − x) + 10

= x2− 5x + 10,

ta thu du.o c h`am mˆo.t biˆe´n sˆo´

g(x) = x2− 5x + 10

v`a cu c tri di.a phu.o.ng cu’a g(x) c˜ung ch´ınh l`a cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n cu’a

h`am f (x, y) ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap kha’o s´at h`am sˆo´ mˆo.t biˆe´n sˆo´ dˆo´i

o.i g(x) ta t`ım du.o c g(x) c´o cu c tiˆe’u di.a phu.o.ng

gmin = g5

2



= 15

4 ·

cu c tiˆe’u c´o diˆ`ue kiˆe.n ta.i diˆe’m 5

2,

3 2



(y = 4 − x ⇒ y = 4 −5

2 =

3

2) v`a

fmin = f5

2,

3 2



= 15

4 · 2) T`u c´ac phu.o.ng tr`ınh r`ang buˆo.c ta c´o

z = 1 + x

y = x2+ x + 1

v`a thˆe´ v`ao h`am d˜a cho ta du.o c h`am mˆo.t biˆe´n sˆo´

u = f (x, y(x), z(x)) = g(x) = 2x2+ 4x + 2.

˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng h`am g(x) c´o cu c tiˆe’u ta.i x = −1 (khi d´o y = 1,e

z = 0) v`a do d´o h`am f (x, y, z) c´o cu c tiˆe’u c´o diˆe`u kiˆe.n ta.i diˆe’m

(−1, 1, 0) v`a

f = f (−1, 1, 0) = 0 N

Trang 8

V´ ı du 5 B˘a`ng phu.o.ng ph´ap th`u.a sˆo´ bˆa´t di.nh Lagrange t`ım cu c tri c´o diˆ`u kiˆe.n cu’a h`ame

u = x + y + z2

v´o.i diˆ`u kiˆe.ne

(

z − x = 1

(xem v´ı du 4, ii))

Gia’i Ta lˆa.p h`am Lagrange

F (x, y, z) = x + y + z2+ λ1(z − x − 1) + λ2(y − zx − 1)

v`a x´et hˆe phu.o.ng tr`ınh

∂F

∂x = 1 − λ1− λ2z = 0

∂F

∂y = 1 + λ2 = 0

∂F

∂z = 2z + λ1− λ2x = 0

ϕ1 = z − x − 1 = 0

ϕ2 = y − xz − 1 = 0.

e n`ay c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t x = −1, y = 1, z = 0, λ1 = 1 v`a

λ2 = −1 ngh˜ıa l`a M0(−1, 1, 0) l`a diˆe’m duy nhˆa´t c´o thˆe’ c´o cu c tri cu’a h`am v´o.i c´ac diˆ`u kiˆe.n r`ang buˆo.c ϕe 1 v`a ϕ2

T`u c´ac hˆe th´u.c

z − x = 1

y − xz = 1

ta thˆa´y r˘a`ng (9.16) x´ac di.nh c˘a.p h`am ˆa’n y(x) v`a z(x) (trong tru.`o.ng ho p n`ay y(x) v`a z(x) dˆe˜ d`ang r´ut ra t`u (9.16)) Gia’ su.’ thˆe´ nghiˆe.m

Trang 9

y(x) v` a z(x) v`ao hˆe (9.16) v`a b˘a`ng c´ach lˆa´y vi phˆan c´ac dˆo` ng nhˆa´t

th´u.c thu du.o c ta c´o

(

dz − dx = 0

dy − xdz − zdx = 0

(

dz = dx

dy = (x + z)dx. (9.17)

Bˆay gi`o t´ınh vi phˆan cˆa´p hai cu’a h`am Lagrange

d2F = 2(dz)2 − 2λ2dxdz. (9.18) Thay gi´a tri λ2 = −1 v`a (9.17) v`ao (9.18) ta thu du.o c da.ng to`an

phu.o.ng x´ac di.nh du.o.ng l`a

d2F = 4dx2.

T`u d´o suy ra h`am d˜a cho c´o cu c tiˆe’u c´o diˆe`u kiˆe.n ta.i diˆe’m

M0(−1, 1, 0) v` a fmin= 0 N

V´ ı du 6 T`ım gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a nho’ nhˆa´t cu’a h`am

f (x, y) = x2+ y2− xy + x + y

trong miˆ`ne

D = {x 6 0, y 6 0, x + y > −3}.

Gia’i Miˆ`n D d˜a cho l`a tam gi´ac OAB v´o.i dı’nh ta.i A(−3, 0),e

B(0, −3) v` a O(0, 0).

i) T`ım c´ac diˆe’m d`u.ng:

f x0 = 2x − y + 1 = 0

f y0 = 2y − x + 1 = 0

T`u d´o x = −1, y = −1 Vˆa.y diˆe’m d`u.ng l`a M(−1, −1).

Ta.i diˆe’m M ta c´o:

f (M ) = f (−1, −1) = −1.

... 4x3− 4x + 4y, f y0 = 4y3+ 4x − 4y.

Do d´o

4x3 − 4x + 4y = 4y3 + 4x − 4y = 0...

∂x2dx2+

2

F

∂x∂y dxdy +< /sup>

2F

∂y2dy2... l`a

∂ϕ

∂x dx +< /sup>

∂ϕ

∂y dy = 0 (dx

2

+ dy2 6= 0).

Cu

Ngày đăng: 17/11/2014, 08:22

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w