Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài viết này, tác giả giới thiệu lại phương pháp tìm cực trị của hàm hai biến và sau đó tổng quát hóa phương pháp cho hàm nhiều hơn hai biến, với mỗi nội dung tác giả đưa ra một[r]
(1)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI
CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN TRONG CÁC MƠ HÌNH KINH TẾ TOÁN
Đào Thị Trang
Trường đại học Cơng Nghiệp Thực Phẩm TP.HCM
TĨM TẮT
Trong viết này, tác giả giới thiệu lại phương pháp tìm cực trị hàm hai biến sau tổng quát hóa phương pháp cho hàm nhiều hai biến, với nội dung tác giả đưa số mơ hình kinh tế để minh họa Ý tưởng chung phương pháp là: thứ nhất, tìm điểm thỏa điều kiện cần điểm cực trị; thứ hai, khảo sát dấu vi phân cấp hai điểm thỏa điều kiện cần để đưa đến kết luận điểm xét có phải cực trị hay khơng Vì mục đích ứng dụng nên kết tốn học trình bày khơng chứng minh viết
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong mơ hình kinh tế tốn, loại mơ hình tối ưu có vai trò quan trọng, quy cho mục đích hoạt động kinh tế bỏ phải nhỏ nhất thu vào phải lớn nhất Công cụ tốn học chủ yếu để nghiên cứu mơ hình tối ưu lý thuyết cực trị hàm số Những nội dung vừa nêu giảng dạy học phần mơ hình tốn kinh tế trường đại học Cơng Nghiệp Thực Phẩm Thành Phố Hờ Chí Minh Tuy nhiên, tác giả cho nhiều lý do, có lý thời lượng mà nội dung trình bày chưa đầy đủ Cụ thể, ứng với dạng mơ hình tối ưu tiêu chuẩn tối ưu nêu ra, điều gây cảm giác “rời rạc” cho người học Người học mới bắt đầu khó nhận điểm chung thiết lập mối liên quan dạng mơ hình tối ưu Bởi thế, mới có tình sinh viên phản hời khơng giải toán là: “Dạng em chưa học” hay “Do em quên tiêu chuẩn tối ưu nó” Thực tế, tất mơ hình tối ưu (kể tối ưu hóa tuyến tính) có học phần chúng ta có chất tốn tìm cực trị hàm số có ràng buộc tự
2 NỘI DUNG
Chúng ta bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất cực trị tự hàm hai biến, phần trình bày tương đối rõ Các phần trường hợp tổng quát hóa phần nên tác giả chỉ giới thiệu phương pháp ví dụ minh họa
2.1 Cực trị tự của hàm hai biến
Cho hàm ( , )f x y xác định ¡ tồn vi phân toàn phần cấp
' '
x y
df f dxf dy điểm (x y0, 0) Khi đó, với số gia V Vx, y ta có
2
0 0 0
( , ) ( , ) ( , )
f x Vx y Vy f x y df x y o Vx Vy Ta có điều kiện cần để (x y0, 0) điểm cực trị hàm ( , )f x y
0
( , ) 0, ,
(2)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI
'
0
'
0
( , ) 0; ( , )
x y
f x y f x y
Khai triển Taylor (x y0, 0) đến vi phân cấp hai ta
2
2
0
0 0 0
( , )
( , ) ( , ) ( , ) ,
2! d f x y
f x Vx y Vy f x y df x y o Vx Vy Suy điều kiện đủ để (x y0, 0) điểm cực trị f x y( , )là:
i)
0
( , )
d f x y (x y0, 0) điểm cực tiểu
ii)
0
( , )
d f x y (x y0, 0) điểm cực đại Do vi phân cấp hai
2 '' '' ''
'' '' '' ''
( , )
,
xx xy yy
xx xy
xy yy
d f x y f dx f dxdy f dy f f dx dx dy
f f dy
nên
0
( , )
d f x y dạng toàn phương theo hai biến dx dy, với ma trận
'' '' '' ''
xx xy
xy yy
f f
f f
Do đó, điều kiện đủ để (x y0, 0) điểm cực trị ( , )f x y phát biểu lại là:
iii) '' xx
H f
'' ''
2 '' ''
xx xy
xy yy
f f
H
f f
(x y0, 0) điểm cực tiểu;
iv) '' xx
H f
'' ''
2 '' ''
xx xy
xy yy
f f
H
f f
(x y0, 0) điểm cực đại
Bài toán 1. Cho hàm chi phí sản xuất đối với hai mặt hàng 3
1
C = Q +Q - Q Q , Q Q1, 2là sản lượng hai mặt hàng Tìm mức sản lượng để chi phí sản xuất nhỏ nhất
(3)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 2
2
2
2 1
1
1
3 6 0 , 0, 0
2 1
3 6 0 , 2, 2
2
Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q ìïï é ì = ï - = ï = ï ï ê ï Û ï Þ í í ê ï - = ï ê = ï ï = ïỵ ïïïỵ ë
Điều kiện đủ: Lập ma trận
1 1
1 2
'' '' '' '' 6 6
Q Q Q Q
Q Q Q Q
C C Q
Q C C
Với (Q Q1, 2) ( )= 0, , định thức
1
1
2
6
6 0, 36
6
Q
H Q H
Q
,
nên ( ) ( )
1, 0,
Q Q = điểm cực trị Với ( ) ( )
1, 2,
Q Q = , định thức
con
1
1
2
6
6 12 0, 108 6
Q
H Q H
Q
nên (Q Q1, 2) ( )= 2, điểm cực tiểu Vậy (Q Q1, 2) ( )= 2, mức sản lượng làm cho tổng chi phí C đạt cực tiểu
2.2 Cực trị tự của hàm n biến
Bài tốn: Tìm cực trị hàm số f x( , ,1 xn)xác định tập mở
n
D Điều kiện cần: Cho hàm số f x( , ,1 xn)xác định tập mở D n, điểm
0 0
( , , n )
x x x D Giả sử f x( , ,1 xn) đạt cực trị tự x0 tồn đạo hàm riêng cấp ',
i x
f i
1
' '
n
x x
f x f x
Điều kiện đủ:Giả sử f x( , ,1 xn) có các đạo hàm riêng cấp hai
''
, , 1,
i j x x
f i j n liên tục lân cận điểm x0 thoả mãn điều kiện cần
1
' ' 0
n
x x
f x f x Đặt
1 1
2 2
1 '' '' '' '' '' '' '' '' '' k k
k k k k
x x x x x x
x x x x x x
k
x x x x x x
f f f
f f f
H
f f f
L L
(4)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI
i) Hk 0, k 1,n 0
( , , n )
x x x điểm cực tiểu f x( , ,1 xn) ; ii) 1 kHk 0, k 1,n 0
1
( , , n )
x x x điểm cực đại f x( , ,1 xn)
Bài toán Giả sử sản lượng Q loại hàng hoá phụ thuộc vào vốn K, lao động L giá bán P theo công thức Q K2L2P212K6L8P5
Hãy xác định mức sử dụng yếu tố đầu vào K, L, P cho sản lượng Q đạt giá trị lớn nhất
Giải. Điều kiện cần: K L P, , nghiệm hệ
' ' '
2 12 0; 0;
K L P
Q K
Q L
Q P
Giải hệ ta K L P, , 6,3,
Điều kiện đủ: Ta có ''
2
KK
Q ''
0
KL
Q QKP'' 0
''
0
LK
Q QLL'' 2 QLP'' 0
'' 0
PK
Q '' 0
PL
Q '' 2
PP
Q
Ta
1
2 0
2
2 0; 0;
0
0
H H H
Vậy K L P, , 6,3,4 điểm cực đại Q Nói cách khác, với mức sử dụng 6,
K L3,P4 làm cho sản lượng Q đạt cực đại 2.3 Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến
Bài tốn: Tìm cực trị hàm n biến f x( , ,1 xn) thoả m điều kiện (m n )
1
1
( , , ) 0; * ( , , )
n
m n
g x x
g x x
(5)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI
Đặt
1 1
1
L( , , , , , ) ( , , ) ( , , )
m
n m n j j n
j
x x f x x g x x
,
là hàm m n biến gọi hàm phụ Lagrange
Điều kiện cần: Giả sử f g, 1, ,gm có đạo hàm riêng cấp
0
(x , ,xn )và f đạt cực trị thoả điều kiện * 0
1 , , n
x x x Khi tờn 10, ,m0 cho
' 0
' 0 0
1
( ) 0, 1,
** , , , , , 0, 1,
j
i
j
x n m
L x g x j m
L x x i n
Điều kiện đủ:Giả sử 0 0 0
1
, , , n , , , m
x x x nghiệm hệ **
1
, , , m
f g g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục 0
,
x Đặt
1 1 1
1
1 1
1
'' '' '' ''
'' '' '' '' '' ''
'' ''
,
0
0
k m
k k k k k m k
m k m
x x x x x x
x x x x x x
k
x x
x x
L L L L
L L L L
H
L L
L L
khi điểm x0,0:
i) 1 mHk 0, k m 1,n hàm f đạt cực tiểu thoả điều kiện * x0 ii) 1 kHk 0, k m 1,n hàm f đạt cực đại thoả điều kiện * x0
Bài tốn Một cơng ty sản x́t ba sản phẩm với sản lượng X, Y, Z Hàm tổng chi phí sản x́t cho ba sản phẩm nói 2
4
TCX Y Z Giá bán ba sản phẩm pX 2,pY 1,pZ 3 Với vốn đầu tư hết 35, hỏi nhà sản xuất nên điều chỉnh sản lượng sản phẩm mức để tổng doanh thu lớn nhất
Giải. Ta có mơ hình tốn sau: Tìm X0,Y0,Z0 cho
2
R X Y Z Max với điều kiện X24Y22Z2 35 Đặt hàm
2
2 35
F X Y Z X Y Z
(6)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI
' ' '
' 2
2
1
3
4 35
X Y Z F X F Y F Z
F X Y Z
Giải hệ ta hai nghiệm , , , 4, ,3,1
2
X Y Z
Điều kiện đủ: Bài tốn cho có n3,m1 ''
2
XX
F ''
0
XY
F FXZ'' 0 FX'' 2X
'' 0
YX
F '' 8
YY
F '' 0
YZ
F '' 8
Y
F Y
''
0
ZX
F ''
0
ZY
F FZZ'' 4 FZ'' 4Z
Ta có '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' ''
3 '' '' '' ''
'' '' ''
2 8 ;
0
2 0 8 0 4 0
XX XY X
YX YY Y
X Y
XX XY XZ X
YX YY YZ Y
ZX ZY ZZ Z
X Y Z
F F F X
H F F F Y
F F X Y
X
F F F F
Y
F F F F
H
Z
F F F F
X Y Z
F F F
Tại , , , 4, ,3,1
2
X Y Z
ta
2
3
1
0
2
0 136 0;
8
1
0
2
0 280 0.
0 12
8 12
(7)NGHIÊN CỨU & TRAO ĐỔI
thỏa điều kiện 1 kHk 0,k2,3 nên hàm R đạt cực , , 4, ,31 X Y Z
Vậy công
ty sản xuất sản phẩm mức sản lượng 4,1,
2 lúc doanh thu đạt cực đại 3 KẾT LUẬN
Qua trình bày trên, tác giả hy vọng việc giải toán mơ hình tối ưu kinh tế có áp dụng lý thuyết cực trị hàm nhiều biến khơng cịn vấn đề khó khăn đối với người học Trong vấn đề này, việc người học cần phải làm trước hết, chuyển xác mơ hình kinh tế thành mơ hình kinh tế tốn; thứ hai, xác định dạng tốn vừa mơ hình hóa xem thuộc dạng nêu trên; cuối cùng, sử dụng phương pháp tương ứng để giải
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quang Dong, “Giáo trình mơ hình tốn kinh tế”, NXB Thống kê Hà Nội, 2006 [2] Phan Quốc Khánh, “Phép tính vi tích phân”, Tập 1, NXBGD, 1996
[3] Nguyễn Hải Thanh, “Các phương pháp tốn kinh tế”, trường đại học nơng nghiệp Hà Nội, 2008
Alpha C Chiang, Kevin Wainwright, “ Fundamental Methods of Mathematical Economics”, Ne