Cực trị hàm nhiều biến

T T T Ì Ì Ì M M M C C C Ự Ự Ự C C C T T T R R R Ị Ị Ị C C C Ủ Ủ Ủ A A A B B B I I I Ể Ể Ể U U U T T T H H H Ứ Ứ Ứ C C C C C C Ó Ó Ó N N N H H H I I I Ề Ề Ề U U U B B B I I I Ế Ế Ế N N N MộtbàiToánđãcho,dĩnhiêncónhiềucáchgiải.Chúngtôimuốnnóiởđâyvài một trongnhữngphươngphápấy! I.ĐƯAVỀPHƯƠNGTRÌNHBẬCHAICÓNGHIỆM NguyễnLái GVTHPTCHUYÊNLƯƠNGVĂNCHÁNH Trongbàiviếtnàyxintrìnhbày cáchgiảimột dạngtoántìmcựctrịcủabiểuthứccónhiều biến,trongđóbiểuthứcđiềukiện đãcho chứacácbiếncóbậc bìnhđẳng Phươngpháp đặty=tx, từđósuyracác biến cònlạiphụthuộctheo ẩnt…đưabiểuthứcđã chovềhàmsốcóchứabiếnmới tduy nhấtdạngS=f(t).Dùngđiềukiệnphươngtrìnhbậchai cónghiệmđểgiải Sau đâylàcácbàitoánminh họa: Vídụ 1.Chohaisốthực x,y thoảmãnđiều kiện: 1 3 3 2 2 + = + xy y x . Tìmgiátrịlớnnhất, giá trịnhỏnhấtcủabiểu thức 1 3 2 4 1 2 2 2 - - + - + = xy y x xy y S . Lờigiải.Thayđiềukiện xy y x 3 3 1 2 2 - + = ,biểuthứcviếtlại 2 2 2 3 4 y x x xy S + - = . Nếuy=0,từđiều kiệnsuyra 3 3 1 2 - = Þ = S x . Nếu 0 ¹ y ,đặty=tx 0 3 4 1 3 4 2 2 = + + - Û + - = Þ S t St t t S . Khi 0 ¹ S ,đểphương trìnhcónghiệm 1 4 0 4 3 0 ) 3 ( 4 0 ' 2 £ £ - Û £ - + Û ³ + - Û ³ D S S S S S . Khi x y t S 2 2 1 = Þ = Þ = ,từđiềukiệnsuyrax=1;y=2 hoặcx=1;y=2 . Tương tựkhi Þ - = 4 S 19 1 ; 19 2 - = = y x hoặc 19 1 ; 19 2 = - = y x . Vậy,giátrịlớnnhấtcủabiểuthứcS =1khivàchỉkhi(x=1;y=2)hoặc(x=1;y=2). Giátrịnhỏnhất S =4khivàchỉkhi( 19 1 ; 19 2 - = = y x )hoặc( 19 1 ; 19 2 = - = y x ). Vídụ 2. Chohaisốthực x 0 ¹ ,y 0 ¹ thayđổivà thỏamãnđiều kiện: x y y x y x 2 2 2 2 2 + = + . Tínhgiátrịlớnnhất ,giátrị nhỏnhấtcủabiểu thức . 1 2 y x P + = Lờigiải:Vì 0 ; ¹ y x ,nênđặt y=tx . Từgiảthiết x y y x y x 2 2 2 2 2 + = + ) 2 ( 1 2 2 3 2 3 2 2 2 t t t x x t tx x t x + + = Þ + = + Þ .(vì 2 , 0 - ¹ ¹ t t ) 1 2 5 2 1 ) 2 )( 1 2 ( 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 + + + = + + + = ÷ ø ö ç è æ + = ÷ ø ö ç è æ + = + = Þ t t t t t t t t x t x y x P Xéthàm số 0 2 5 ). 2 ( 2 5 2 1 2 5 2 2 2 2 2 2 = - + - - Û + + = + Û + + + = P t t P t t P Pt t t t P Khi 2 ¹ P ,đểphương trìnhcónghiệm Û ³ D 0 2 9 2 1 0 9 16 4 2 £ £ - Û £ - - P P P . Khi 2 ; 2 1 2 1 = - = Þ - = Þ - = y x t P . Khi 3 2 1 2 9 = = Þ = Þ = y x t P . Vậy,Giátrịlớnnhất 2 9 = P khivàchỉkhi 3 2 = = y x . Giátrịnhỏnhất 2 1 - = P khivàchỉkhi 2 ; 2 = - = y x . Vídụ 3.Tìmgiátrịlớn nhất,giátrị nhỏnhất củabiểuthức xy x y T 4 2 3 2 2 + - = . trongđóx,y làhaisố thựcthayđổithoảmãn 4 2 2 2 £ + y x . Lờigiải.Nếu y=0 2 2x T - = Þ .Theođiềukiệntacó 0 8 £ £ - T . Nếu 0 2 0 2 2 > + Þ ¹ y x y . Xéthàm số 2 2 2 2 2 4 2 3 y x xy x y u + + - = Đặty=tx 0 2 4 ) 3 2 ( 1 2 2 4 3 2 2 2 = + + - - Û + - + = Þ u t t u t t t u . Khi 2 3 ¹ u đểphương trìnhcónghiệm thì 0 ) 2 )( 3 2 ( 4 0 ' ³ + - - Û ³ D u u 2 2 2 2 2 5 5 3 2 4 2 10 0 2 2 2 2 2 y x xy u u u x y - + Û + - £ Û - £ £ Û - £ £ + . Vì Þ £ + < 4 2 0 2 2 y x 2 2 10 3 2 4 8y x xy - £ - + £ . Dođógiátrịlớnnhất 8T = ;giátrịnhỏnhất 10T = - . Vídụ 4.Chox,y,z làcácsố thựcthỏamãnhệ ï î ï í ì > + = + = + + 0 3 6 3 2 2 z y yz x yz xy x Chứngminhrằngtaluôncó: z y x + £ 3 , Lờigiải.Tacó yz xy x - + 2 =( ( 2 ) 3 2 - + + yz xy x yz x + 2 ) xy x yz + = Þ = 2 0 . Từhệ, ta nhậnthấy 0 ¹ y và 0 ¹ x . Đặt y=tx x t t z tx x txz xy x yz + = Þ + = Û + = Þ 1 2 2 2 . Xétbiểuthức z y x Q + = ,thay y=tx; x t t z + = 1 tacó: Q 0 ) 1 ( 1 1 2 2 = + - + Û + + = + + = Q t Q Qt t t t x t t tx x . Vì 0 ¹ Q ,đểphương trìnhcónghiệm ,tacó 3 1 0 1 2 3 0 2 £ Þ £ - + Û ³ D Q Q Q . Hay 3 1 £ + z y x .Vìtheo giảthiếtx+y>0 z y x + £ Þ 3 (đpcm). Đẳng thứcxảyrakhivàchỉkhi 2 ; 1 1 3 1 = = = Û = Û = z x y t Q . Mờicácbạn tiếp tụcgiảicácbàitoán sau theophương pháp trên Bài1 Chocácsốthựcx,y thoảmãnđiềukiện:x 2 +y 2 =1. Tìmgiátrịlớnnhất ,giá trịnhỏnhấtcủabiểu thức: 3 3 2 2 2 2 + + + + = y xy xy x S . Bài2.Chứngminhrẳng: 3 3 4 3 3 3 4 2 2 - £ - - £ - - y xy x trongđóx,ylà cácsốthựcthoảmãn 3 2 2 £ + + y xy x . Bài3.Chohaisố thựctuỳýthoảmãn điềukiện: xy y x xy y x 2 ) ( 3 3 = + + + . Tìmgiátrịlớnnhất,giá trịnhỏnhấtcủa biểuthứcS=x+y. Bài4.Chox,y,zlà cácsốthựcthỏamãn hệ: î í ì = + + + = + + + 2 ) ( ) ( 4 2 ) 3 5 ( 2 x y x z z x x xy z x z Tìmgiátrịlớnnhất, giátrịnhỏ nhất: . 2 2 xy z x T + + = Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho các số thực x , y thoả mãn điều kiện : G(x ; y) = 0 ( hoặc G(x; y )0 ≥ hoặc G(x;y)0≤ ) . Tìm GTLN , GTNN ( nếu có ) của biểu thức P = F(x ; y). Cách giải : Gọi T là miền giá trị của P . Khi đó m là một giá trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x ; y): (;) 0 (;) = ⎧ ⎨ = ⎩ Gxy F xy m ( hoặc (;) 0 (;) ≥ ⎧ ⎨ = ⎩ Gxy F xy m hoặc (;) 0 (;) ≤ ⎧ ⎨ = ⎩ Gxy F xy m ) Sau đó tìm các giá trị của tham số m để một trong các hệ trên có nghiệm . Từ đó suy ra miền giá trị T của P , rồi suy ra GTLN , GTNN ( nếu có ) của P. Sau đây là các bài toán minh hoạ . Bài toán 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện : ( ) 33 33 3 (1) 1 x xyy−+ −=xy Tìm GTLN , GTNN của biểu thức =++ 3 33 F xyxy . Lờ i gi ả i : Gọi T 1 là miền giá trị của F . Ta có 1 mT∈ ⇔ hệ sau có nghiệm: ( ) 33 33 3 3 33 (1) 1 x xyy xyxym ⎧ −+ −= ⎪ ⎨ ⎪ ++ = ⎩ xy Đặ t : 3 3 3 S xy Pxy ⎧ =+ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ . Ta có 2 ,,: 4 x ySPS ∃⇔∃ ≥ P H ệ trên 22 30 23 S SP S S m S Pm PmS ⎧⎧ −− = + = ⇔⇔ ⎨⎨ += =− ⎩⎩ Ta có : 2 22 2 4( ) 440 3 SS SPS SS S − ≥⇔≥ ⇔−≤⇔≤≤04 T ừ đ ó h ệ PT đầ u có nghi ệ m ⇔ 2 () 2 3 f SS Sm =+= có nghiệ m 0 S 4 ≤ ≤ . Vì hàm b ậ c hai f(S) đồ ng bi ế n trên [ ] 0;4 nên PT f(S) = 3m có nghi ệ m 04 S ≤ ≤ (0) 3 (4) 0 3 24fmf m⇔ ≤≤ ⇔≤≤ . Do đó 0m⇔≤ ≤8 [ ] 1 0;8T = Vậy minF = 0 , maxF = 8. Bài toán 2 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 3≤ 22 x-xy+y Tìm GTLN , GTNN của biểu thức 22 Q = x + x y -2 y Lời giải : Gọi T 2 là miền giá trị của Q . Ta có 2 mT∈ ⇔ hệ sau có nghiệm: 3 ⎧ ≤ ⎨ ⎩ 22 22 x-xy+y (1) x+xy-2y=m (2) Nếu y = 0 thì hệ (1),(2) ⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨ = ⎪ ⎩ 2 2 3x x m , suy ra trường hợp này hệ có nghiệm (x ; 0) ⇔≤ ≤03m Nếu y 0 thì đặt x = ty ta có hệ : ≠ ⎧ −+ ≤ ⎨ +− = ⎩ 22 22 (1)3( (2)( yt t yt t m 3) 4) 2)tt+−Từ (4) ta phải có m( > 0 và thay 2 2 2 2 m y tt = + − vào (3) được −+ ≤ +− 2 2 (1) 3 2 mt t tt Trường hợp này hệ (1),(2) có nghiệm ⎧ +− ⎪ ⇔ ⎨ −+ ≤ ⎪ +− ⎩ 2 2 2 m( 2) > 0 Ö (1) 3 2 tt H mt t tt có nghiệm ⎡ > ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ ⎢ ≤ ∈ −∞ − ∪ +∞ ⎪ ⎢ ⎩ ⇔ ⎢ < ⎧ ⎢ ⎪ ⎢ ⎨ ≥∈− ⎢ ⎪ ⎩ ⎣ 0 3 () ã Ö ( ; 2) (1; ) 0 3 () ã Ö ( 2;1) m ft c nghimt m m ft c nghimt m ( I ) ( với − + = + − 2 2 1 () 2 tt ft tt , { } \2;1t ∈−R ) Ta có : −+ ′ = +− 2 22 26 () (2 1tt ft tt () ) , t ′ = 0 ± ⇔= 37 2 t f Bảng biến thiên của hàm f(t) t −∞ - 2 −37 2 1 37 2 + + ∞ f’(t) + + 0 - - 0 + −127 9 + ∞ 1 + ∞ f(t) 1 −∞ − ∞ 12 7 9 + Từ bảng biến thiên ta có ( I ) ⎡ > ⎧ ⎪ ⎢ ⎨ + ⎢ ≤ ⎪ ⎢⎡ <≤−+ ⎩ ⇔⇔ ⎢⎢ < ⎧ − −≤< ⎢⎢ ⎣ ⎪ ⎢ ⎨ − ⎢ ≥ ⎪ ⎢ ⎩ ⎣ 0 122 3 012 9 0 127 0 127 3 9 m m m m m m 7 Kết hợp các trường hợp trên ta được : −− ≤ ≤−+127 127m . Do đó ⎡⎤ =−− −+ ⎣⎦ 3 127;127T . Vậy minQ = 127−− , maxQ = 127−+ ( Bài này các bạn có thể tham khảo hướng dẫn giải đề số 4 - THTT tháng 6/2007 ) Bài toán 3 : Cho hai số thực x, y thoả mãn : 22 916683(18) x yxy xy+++≤− Tìm GTNN của biểu thức = ++ +(1)(1Kxx yy ) Lời giải : Gọi T 3 là miền giá trị của K . Ta có mT 3 ∈ ⇔ ) hệ sau có nghiệm: 22 916683(18 (1)(1) x yxy xy xx yy m ⎧ +++≤− ⎨ ++ += ⎩ Hệ trên ⎧ −≤ + ≤ ⎧ +++−≤ ⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ +++=+ +++=+ ⎪⎪ ⎩ ⎩ 2 22 22 33 4 1 (5) (3 4 ) 2(3 4 ) 3 0 111 111 ()() (6) ()() 222 222 xy xy xy xym xym Dễ thấy : nếu 1 2 m thì hệ vô nghiệm ≤− Với 1 2 m , xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta có : tập hợp nghiệm của (5) là miền mặt phẳng >− (H) ở giữa hai đường thẳng song song 1 :3 4 3 0dxy + += và dx 2 :3 4 1 0 + y−= có chứa cả biên là hai đường thẳng và , còn tập hợp nghiệm của (6) là đường tròn (C) có tâm I( 1 d 2 d 1 2 − ; 1 2 − ) , bán kính 1 2 Rm=+ . Trường hợp này hệ (5),(6) có nghiệm ⇔ (C) và (H) có điểm chung ⇔ 1 11 (; ) 10 2 100 dId R m m≤⇔ ≤ +⇔≥− 49 ( thoả mãn m > 1 2 − ) . Do đó 3 49 ; 100 T ⎡⎞ =− +∞ ⎟ ⎢ ⎣⎠ . Vậy =− 49 min 100 K ( không tồn tại maxK) . (Bạn đọc tự vẽ hình minh hoạ). Bài toán 4 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 2cos 2cos 3 cos cos 2 cos cos (2 . ) 2 4 42 x y xy xy++ ++ + +−≥ Tìm GTLN , GTNN của biểu thức : cos 2 cos 2 M xy = + Lời giải : Gọi T 4 là miền giá trị của M . Ta có ∈ ⇔ 4 mT hệ sau có nghiệm: 2cos 2cos 3 cos cos 2 cos cos (2) 2 4 42 (*) cos 2 cos 2 x y xy xy xym ++ ++ + ⎧ +−≥ ⎪ ⎨ += ⎪ ⎩ Hệ(*) ⇔ cos cos 2 cos cos cos cos 22 22 22 3 1cos cos (2 ) (22 2)2 42 0 2 2 22 2 22 2 cos cos cos cos cos cos ++ + ⎧ ⎧ ⎧ ≤+≤ −+ +≤ ≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⇔⇔ ⎨⎨⎨ ++ 22 2 + += += ⎪⎪⎪ += ⎩ ⎪ ⎩ xy xy xy xy mm m xy xy xy vy== ⎪ ⎩ Đặt ux ta có hệ : cos ; cos 22 3 1( 2 1, 1 (8) 2 (9) 2 ⎧ ≤+≤ ⎪ ⎪ ≤≤ ⎨ ⎪ + ⎪ += ⎩ uv uv m uv 7) v Hệ (*) có nghiệm hệ (7),(8),(9) có nghiệm. ⇔ Dễ thấy , với m hệ (7),(8),(9) vô nghiệm . 2≤− Với m > - 2 , xét trong mặt phẳng toạ độ Ouv khi đó tập hợp nghiệm của (7) và (8) là hình O u A B C D 1 1 1 2 1 2 thang cân ABCD ( gồm các điểm ở trong hình thang và các điểm trên cạnh hình thang) , còn tập hợp nghiệm của (9) là đường tròn ( T ) có tâm O(0 ; 0) , bán kính 2 2 + = m R ( hình vẽ ) Từ đó , hệ (7),(8),(9) có nghiệm đường tròn ⇔ ( T ) có điểm chung với hình thang ABCD (; )dOCD R OB⇔≤≤ 225 1 222 + ⇔≤ ≤⇔−≤≤ m m 1 2 0 ( thoả mãn m > - 2) (Ở đây đường thẳng CD: , đường thẳng AB: 10uv+−= 223uv + −= và các tam giác OCD , OAB cân tại O) . Do đó 4 1 1; 2 ⎡ =− ⎢ ⎣⎦ T ⎤ ⎥ . Vậy minM = -1 , maxM = 1 2 Bài toán 5 : (Tuyển sinh đại học khối A năm 2006 ) Cho hai số thực thay đổi x ≠ 0 , y ≠ 0 thoả mãn : 22 (x y)xy x y xy + =+− Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 33 11 A xy =+ Lời giải : Gọi T 5 là tập giá trị của A . Ta có 5 mT ∈ ⇔ hệ sau có nghiệm x ≠ 0 , y 0 : ≠ 22 22 22 22 2 33 33 (x y)xy x y xy (x y)xy x y xy (x y)xy x y xy 11 (x y)(x y xy) xy(x y) m mm xy (xy) (xy) ⎧⎧ + =+− + =+− ⎧ +=+− ⎪⎪ ⎪ ⇔⇔ ⎨⎨ ⎨ ++− + += == ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎩⎩ 2 2 (x y)xy (x y) 3xy xy ()m xy ⎧ +=+− ⎪ ⇔ + ⎨ = ⎪ ⎩ (V) Đặt ( ) , ta có hệ : Sxy Pxy =+ ⎧ ⎨ = ⎩ 2 S4≥ P 2 2 SP S 3P S () m P ⎧ = − ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ (VI) Hệ (V) có nghiệm x 0 , y 0 hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn . ≠ ≠ ⇔ 2 S4P≥ Do 22 2 2 13 SP x y xy (x y) y 0 24 =+−=− + > với mọi x ≠ 0 , y ≠ 0 S 0 P ⇒> với mọi x 0 , y ≠ ≠ 0 Từ đó : • Nếu thì hệ (V) vô nghiệm m0≤ • Nếu m > 0 thì từ phương trình 2 SS () m m PP =⇒= Sm.⇒= P thay vào phương trình đầu của hệ (VI) được : 22 mP mP 3P (m m)P 3=−⇔− = ( vì SP > 0 nên P 0 ) ≠ Để có P từ phương trình này thì mm0m1 − ≠⇔ ≠ ( m > 0 ) và ta được 3 P m( m 1) = − , do đó 3 S m1 = − . Trường hợp này hệ (VI) có nghiệm ( S ; P ) thoả mãn khi và chỉ khi : 2 S4P≥ 2 312 () m1 m(m1) ≥ −− 2 4( m 1) 3 3m4(m1) m4 m( m 1) − ⇔≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≤ − 0m16(m1)⇔< ≤ ≠ Tóm lại các giá trị của m để hệ (V) có nghiệm x ≠ 0 , y ≠ 0 là : 0m16,m1 < ≤≠ Do đó : ( ] { } 5 T0;16\1= V ậ y : maxA = 16 ( chú ý không t ồ n t ạ i minA ) Bài toán 6 : ( HSG quốc gia - Bảng A + B năm 2005 ) Cho hai số thực x, y thoả mãn : x3x13y2y− += +− Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Kxy= + Lời giải : ĐKXĐ : x1,y≥− ≥−2 Gọi T 6 là tập giá trị của K . Ta có hệ sau có nghiệm: 6 mT∈⇔ 3( x 1 y 2) m x3x13y2y (VII) xym xym ⎧ ⎧ ++ + = −+=+− ⎪⎪ ⇔ ⎨⎨ += += ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ Đặt ux=+1 và vy =+ 2 thì và h ệ (VII) tr ở thành : u,v 0≥ 22 2 m uv 3(u v) m 3 uvm3 1m uv ( m 3) 29 ⎧ += ⎪ += ⎧ ⎪ ⇔ ⎨⎨ +=+ ⎩ ⎪ =−− ⎪ ⎩ ⇔ u , v là hai nghiệm của phương trình : 2 22 m1m t t ( m 3) 0 18t 6mt m 9m 27 0 329 −+ −−=⇔ − +−−= 2 2 (10) Từ đ ó , hệ (VII) có nghi ệm ( x ; y ) sao cho khi và ch ỉ khi (10) có hai nghiệ m không âm và đ i ều ki ệ n là : x1,y≥− ≥− 2 t t 2 t 9(m 18m 54) 0 m9321 S0 m93 32 m9m27 P0 18 ⎧ ⎪ ′ Δ=− − − ≥ ⎪ + ⎪ =≥ ⇔ ≤≤+ ⎨ ⎪ ⎪ −− =≥ ⎪ ⎩ 15 . Do đó 6 9321 T; 9 2 315 ⎡ ⎤ + =+ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Vậy : minK = 9321 2 + , maxK = 9315+ Bình luận : Ưu thế của phương pháp trên là quy bài toán tìm GTLN , GTNN về bài toán tìm tham số để hệ có nghiệm , vì vậy không cần chỉ rõ giá trị của biến số để biểu thức đạt GTLN , GTNN . Nếu dùng các bất đẳng thức để đánh giá thì nhất thiết phải chỉ rõ các giá trị của biến số để tại đó biểu thức đạt GTLN , GTNN . Các bạn có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức có nhiều hơn hai biến số . Cuối cùng mời các bạn vận dụng phương pháp trên để làm các bài tập sau : Bài 1 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : 22 2( ) 7xy xy+ =++ . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức = −+ − 3 3 (2) (2Pxx yy) Bài 2 : Cho hai số thực x , y thoả mãn : + ++≤(1)(1)xx yy 0 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức 2007 2008 2009 = ++ Qxy Bài 3 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 22 4x - 3x y +3 y 6 ≤ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bi ể u th ứ c 2 2 F =x +xy-2y Bài 4 : Cho các s ố th ự c không âm x , y tho ả mãn : 4 xy+ = . Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t và nh ỏ nh ấ t của biểu thức 19 Qx y =+++ Bài 5 : Cho các số thực x, y thoả mãn : 1 cos cos 2 xy + = . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức cos3 cos3 L xy =+ Bài 6 : (Đại học khối B năm 2008 ) : Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn hệ thức . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức 22 xy+= 1 2 2 2(x 6xy) P 12xy2y + = ++ Bài 7 : ( Cao đẳng kinh tế kỹ thuật năm 2008 ) Cho hai số x , y thoả mãn 22 xy 2+ = . Tìm GTLN , GTNN của biểu thức 33 P2(x y)3xy =+− Bài 8 : Cho các số dương x , y thoả mãn : xy + x + y = 3 . Tìm GTLN của biểu thức 2 3x 3y xy P y1 x1 x y =++ −− +++ 2 x y ( Đ /s : maxP = 3/2) . cáchgiảimột dạngtoántìm cực trị củabiểuthứccó nhiều biến, trongđóbiểuthứcđiềukiện đãcho chứacác biến cóbậc bìnhđẳng Phươngpháp đặty=tx, từđósuyracác biến cònlạiphụthuộctheo. z Tìmgiá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất: . 2 2 xy z x T + + = Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức có từ một biến số trở lên . Bài viết. trở lên . Bài viết này chúng tôi xin trao đổi về phương pháp tìm cực trị của biểu thức hai biến số nhờ miền giá trị , trong đó hai biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trước . Bài toán : Cho