Cực trị hàm nhiều biến

CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2014 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 1/1 Cực trị tự Định nghĩa cực trị tự Định nghĩa Hàm hai biến f (x, y ) đạt cực đại điểm (x0, y0) f (x, y ) f (x0, y0), với (x, y ) nằm lân cận (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) gọi giá trị cực đại Hàm hai biến f (x, y ) đạt cực tiểu điểm (x0, y0) f (x, y ) f (x0, y0), với (x, y ) nằm lân cận (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) gọi giá trị cực tiểu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 2/1 Cực trị tự Định nghĩa cực trị tự Chú ý Nếu f (x, y ) f (x0, y0), với (x, y ) ∈ Df f đạt GTLN (x0, y0) Nếu f (x, y ) f (x0, y0), với (x, y ) ∈ Df f đạt GTNN (x0, y0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 3/1 Cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự Định lý Nếu hàm số z = f (x, y ) có cực trị điểm (x0, y0) đạo hàm riêng cấp f tồn tại điểm (x0, y0) fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 4/1 Cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự Chứng minh Cho (x0, y0) điểm cực đại Đặt g (x) = f (x, y0) Nếu f có cực đại điểm (x0, y0) g (x) = f (x, y0) f (x0, y0), với x thuộc lân cận x0 Theo định lý Fermat hàm biến g (x), ta có g (x0) = ⇒ g (x0) = fx (x0, y0) = Tương tự h(y ) = f (x0, y ) ta fy (x0, y0) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 5/1 Cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự Ý nghĩa hình học cực trị Chú ý Nếu fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = phương trình mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f (x, y ) điểm (x0, y0) z = f (x0, y0) = z0 Từ suy ý nghĩa hình học cực trị: Mặt phẳng tiếp diện với mặt cong z = f (x, y ) điểm cực trị mặt phẳng nằm ngang z = z0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 6/1 Cực trị tự Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y ) có cực trị Định lý Cho hàm số z = f (x, y ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai lân cận điểm dừng P(x0 , y0 ) Số A = fxx (x0 , y0 ), B = fxy (x0 , y0 ), C = fyy (x0 , y0 ), A B ∆= = AC − B Theo tiêu chuẩn Sylvester: B C Nếu ∆>0 điểm P(x0 , y0 ) điểm cực tiểu A>0 Nếu ∆>0 điểm P(x0 , y0 ) điểm cực đại A0 điểm P(x0 , y0 ) điểm cực tiểu A>0 d f (x0 , y0 ) = Adx + 2Bdxdy + Cdy dạng toàn phương xác định dương ∆>0 điểm P(x0 , y0 ) điểm cực đại Nếu A 0, A > hàm đạt cực tiểu (xi , yi ) Nếu ∆ > 0, A < hàm đạt cực đại (xi , yi ) Nếu ∆ < hàm không đạt cực trị (xi , yi ) Nếu ∆ = ta phải xét định nghĩa ∆f = f (x, y ) − f (xi , yi ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 10 / Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện Hình: Cực trị có điều kiện hàm f (x, y ) = x + 2y với điều kiện x + y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 37 / Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện Hình: Đường đẳng trị hàm f (x, y ) = x + 2y với điều kiện x + y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 38 / Giá trị lớn nhỏ Định nghĩa tập đóng, tập mở Định nghĩa Điểm biên tập hợp D điểm (a, b) cho hình tròn với tâm (a, b) chứa điểm thuộc D điểm không thuộc D Định nghĩa Tập đóng mặt phẳng R2 tập hợp chứa tất điểm biên TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 39 / Giá trị lớn nhỏ Định nghĩa tập đóng, tập mở Hình: Tập đóng tập hợp không tập đóng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 40 / Giá trị lớn nhỏ Định nghĩa tập đóng, tập mở Ví dụ Tập hợp D = {(x, y ) : x + y 1} chứa tất điểm bên đường tròn x + y = tập đóng chứa tất điểm biên nó, điểm biên điểm nằm đường tròn x + y = Định nghĩa Tập bị chặn mặt phẳng R2 tập hợp chứa hình tròn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 41 / Giá trị lớn nhỏ Sự tồn GTLN, GTNN hàm f (x, y ) Sự tồn GTLN, GTNN hàm f (x, y ) Định lý Nếu hàm số z = f (x, y ) liên tục miền đóng, bị chặn D ⊂ R2 f có GTLN, GTNN D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 42 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Để tìm GTLN, GTNN hàm f (x, y ) miền D ta thực bước sau: Tìm cực trị tự D (loại điểm không thuộc miền D) Tính giá trị hàm f (x, y ) điểm Tìm cực trị có điều kiện hàm f (x, y ) biên miền D Tính giá trị hàm f (x, y ) điểm cực trị So sánh giá trị hàm f điểm cực trị tự cực trị có điều kiện để xác định GTLN, GTNN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 43 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Ví dụ Tìm GTLN, GTNN hàm z = f (x, y ) = x − 2xy + 2y miền D = {(x, y ) ∈ R2 : x 3, y 2} Giải Tìm điểm dừng bên miền D fx = 2x − 2y = fy = −2x + = Điểm P1(1, 1) nằm bên miền D f (P1) = f (1, 1) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 44 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Hình: Miền D = {(x, y ) ∈ R2 : TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 3, y 2} TP HCM — 2014 45 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, gồm bốn đoạn thẳng C1, C2, C3, C4 Đường thẳng C1 có phương trình y = nên g (x) = f (x, 0) = x 2, x GTLN GTNN g (x) [0, 3] g (3) = f (3, 0) = 9, g (0) = f (0, 0) = Đường thẳng C2 có phương trình x = nên h(y ) = f (3, y ) = − 4y , y GTLN GTNN h(y ) [0, 2] h(2) = f (3, 2) = 1, h(0) = f (3, 0) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 46 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Đường thẳng C3 có phương trình y = nên k(x) = f (x, 2) = x − 4x + = (x − 2)2, x GTLN GTNN k(x) [0, 3] k(2) = f (2, 2) = 0, k(0) = f (0, 2) = Đường thẳng C4 có phương trình x = nên (y ) = f (0, y ) = 2y , y GTLN GTNN (y ) [0, 2] (0) = f (0, 0) = 0, (2) = f (0, 2) = So sánh tất giá trị, ta GTLN f (3, 0) = 9, GTNN f (0, 0) = f (2, 2) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 47 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Hình: GTLN, GTNN hàm z = f (x, y ) = x − 2xy + 2y miền D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 48 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Ví dụ Tìm GTLN, GTNN f (x, y ) = x + y − 12x + 16y miền D = {(x, y ) : x + y 25} Tìm điểm dừng bên miền D fx = 2x − 12 = fy = 2y + 16 = Điểm P1(6, −8) không nằm bên miền D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 49 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, có nghĩa cực trị có điều kiện x + y = 25   Lx (x, y ) = 2x − 12 − 2λx = L (x, y ) = 2y + 16 − 2λy =  y ϕ(x, y ) = x + y = 25 Ta có điểm dừng P2(3, −4) P3(−3, 4) f (3, −4) = −75, f (−3, 4) = 125 Vậy GTLN 125 GTNN −75 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 50 / Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 51 / [...]... 2014 13 / 1 Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị tự do Hình: Cực trị tự do của hàm số f (x, y ) = x 3 + 2y 3 − 3x 2 − 6y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 14 / 1 Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị tự do Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng 12m2 Hãy tìm thể tích lớn nhất của hình hộp này TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM... kiện Hàm f (x, y ) lúc này được gọi là hàm mục tiêu Điều kiện ϕ(x, y ) = 0 được gọi là điều kiện ràng buộc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 23 / 1 Cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện Hình: Cực trị của z = f (x, y ) thỏa điều kiện ϕ(x, y ) = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 24 / 1 Cực trị. .. TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 19 / 1 Cực trị có điều kiện Đặt vấn đề Trong những bài toán ứng dụng, chúng ta thường gặp bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến khi có thêm điều kiện ràng buộc nào đó đối với biến số Ví dụ Hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng hình chữ nhật đó có chu vi là 2p TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 20 / 1 Cực trị có... y0) Giá trị f (x0, y0) là giá trị cực đại có điều kiện Hàm f (x, y ) đạt cực tiểu có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0, nếu như f (x, y ) f (x0, y0), với mọi (x, y ) thỏa ϕ(x, y ) = 0, nằm trong lân cận của (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) là giá trị cực tiểu có điều kiện TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 22 / 1 Cực trị có điều kiện Định nghĩa cực trị có... (x0, y0) + λ.ϕx (x0, y0) = 0 fy (x0, y0) + λ.ϕy (x0, y0) = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 26 / 1 Cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện Định lý Nếu hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0 và ∇ϕ(x0, y0) = 0 thì... điều kiện Nếu d 2L(x0, y0, λ0) không xác định dấu thì P(x0, y0) không là điểm cực trị 1 2 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 28 / 1 Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện Tìm cực trị của z = f (x, y ) với ϕ(x, y ) = 0 Lập hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λϕ(x, y ) Tìm điểm dừng của L(x, y ,... vào biểu thức d 2L(xi , yi , λi ) ta được 1 hàm theo dx 2 hoặc dy 2 Trong bài toán cực trị có điều kiện dx 2 + dy 2 > 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 31 / 1 Cực trị có điều kiện Phương pháp Lagrange tìm cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm cực trị của hàm f (x, y ) = x 2 + 2y 2 với điều kiện x 2 + y 2 = 1 Giải Tìm điểm dừng của hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λ.ϕ(x,.. .Cực trị tự do Phương pháp tìm cực trị tự do Ví dụ Tìm cực trị tự do của hàm số f (x, y ) = x 3 + 2y 3 − 3x 2 − 6y Bước 1 Tìm điểm dừng fx = 3x 2 − 6x = 0 fy = 6y 2 − 6 = 0 ⇒ Có 4 điểm dừng P1(0, −1), P2(0, 1), P3(2, −1), P4(2, 1) Bước 2 Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 fxx = 6x − 6, fxy = 0, fyy = 12y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 11 / 1 Cực trị tự do Phương... TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 27 / 1 Cực trị có điều kiện Điều kiện đủ để hàm số z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện Định lý Cho z = f (x, y ) có cực trị có điều kiện với điều kiện ϕ(x, y ) = 0 tại P(x0, y0) Lập hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λ.ϕ(x, y ) Nếu d 2L(x0, y0, λ0) > 0 thì P(x0, y0) là điểm cực tiểu có điều kiện Nếu d 2L(x0, y0, λ0) < 0 thì P(x0, y0) là điểm cực đại... y > 0 Thay y = p − x vào S ta được hàm một biến S(x) = x(p − x) với điều kiện 0 < x < p Hàm số p S(x) đạt GTLN trong khoảng (0, p) khi x = 2 Như vậy, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước là hình vuông TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 21 / 1 Cực trị có điều kiện Định nghĩa cực trị có điều kiện Hàm f (x, y ) đạt cực đại có điều kiện tại điểm (x0, ... CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 13 / Cực trị tự Phương pháp tìm cực trị tự Hình: Cực trị tự hàm số f (x, y ) = x + 2y − 3x − 6y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM... (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 3/1 Cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y ) có cực trị tự Định lý Nếu hàm số z =... (x0, y0) Giá trị f (x0, y0) giá trị cực tiểu có điều kiện TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2014 22 / Cực trị có điều kiện Định nghĩa cực trị có điều kiện Hàm f (x, y