Cực trị hàm nhiều biến
Trang 1Tìm cực trị của hàm số nhiều biến bằng cách
khảo sát lần lượt từng biến
Để tìm cực trị hàm số ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến nghĩa là: tìm GTLN,(GTNN) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số, tìm GTLN,(GTNN) vủa hàm số với biến thứ hai rồi ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại là tham số…
Ta cùng xét các ví dụ :
Bài toán 1:
Xét hàm số f(x,y) = (1 – x)(2 – y)(4x – 2y)
trên D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }
Tìm GTNN của f trên D
Giải:
Biến đổi hàm số đã cho thành:
f(x,y) = 2(1 – x)(2 – y)[ (2 – y) – 2(1 – x) ]
Đặt 1
2
ta chuyển về tìm GTNN của hàm số :
F(u,v) = –2uv2 + u2v trên E = { (u,v) | 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 }
Nghĩa là min ( , ) min [ min ( 2F u v 0 u 2 0 v1 uv2u v2 )]
Xét hàm số g(v) = –2uv2 + u2v ( 0 ≤ v ≤ 1) và u là tham số thỏa mãn 0 ≤ u ≤ 2
→ g’(v) = 0 khi 0 0
1
& 0
u
v v và qua v0 thì g’(v) đổi dấu từ (+) → (–) Suy ra min g(v) = min { g(0); g(1) } = min{0; u2 – 2u} = u2 – 2u ( do 0 ≤ u ≤ 2 )
→ ( , )minu v E F u v( , ) min (0 u 2 u2 2 )u 1 tương ứng với u = v = 1
Từ đó min f(x,y) = 2min F(u,v) = –2 khi x = 0, y = 1
Cách giải này có thể áp dụng vào các bài toán mà các biến phụ thuộc với nhau theo một đẳng thức (BT2) , một bất đẳng thức (BT3) hoặc một hệ phương trình (BT4) cho trước
Bài toán 2:
Xét a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b
Tìm GTLN của biểu thức:
P
Biến đổi giải thiết thành a+c = b(1 – ac) > 0 →
1
(1) 1
a c
a c b
ac
Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi thành:
Trang 22
1 1 (1 )(1 )
a c P
Xét
2
( )
1 (1 )(1 )
x c
f x
với 0 x 1
c
và coi c là tham số dương
→
2
2 2 2
2 ( 2 1)
'( )
(1 ) (1 )
f x
Trên 0,1
c
thì f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất là 0 2 0
1
1 0
c
Qua x0 thì f’(x) đổi dấu từ (+)→(–) nên f(x) đạt cực đại tại x0,
suy ra f(x) ≤ f(x0) = 1 2
1
c c
Xét hàm số g(c) với c > 0
g’(c) =
2
2(1 8 ) ( 1) (3 1)
c
Với c > 0 thì g’(c) = 0 tại c0 = 1
8 Qua c0 thì g’(c) đổi dấu từ (+)→(–) nên g(c0) là giá trị cực đại của hàm g(c)
Vậy max P = 10
3 khi 1 , 2, 1
Bài toán 3:
Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12
Tìm GTNN của biểu thức: P a b c( , , ) 1 2 3
a b c
Giải:
Đặt x 1,y 1,z 1
Từ giả thiết z(12xy – 21) ≥ 2x + 8y > 0
→ z 122x 821y
xy
với x 47
y
(1)
→ ( , , ) 2 2 8
xy
(2) Xét hàm số
2
( )
Trong đó y là tham số dương
2
'( )
(4 7)
f x
xy
Trang 3Trên 7 ,
4y
thì f ’(x) = 0 có nghiệm duy nhất 0 7 32 2 14
y x
và qua x0
thì ƒ’(x) đổi dấu từ (−) → (+) nên ƒ(x) đạt cực tiểu tại x0
5 ( ) ( ) 2
4
y
→ P(x,y,z) ≥ ƒ(x) + 2y ≥ ƒ(x0) + 2y = g(y) (3)
Xét hàm số ( ) 2 9 1 32 2 14
4 2
'( ) 0 (8 9) 32 14 28 0
Đặt t = 32y 2 14 > 0 thì phương trình trên trở thành t3−50t−112 = 0 có nghiệm duy nhất t = 8 ứng với y = 5/4
Có g’(5/4) = 0 nên với y > 0 và qua giá trị y0 = 5/4 thì g’(y) đổi dấu từ (−) → (+) nên g(y) đạt cực tiểu tại y0 = 5/4 Tại đó g(5/4) = 15/2
Ta có (3) → ( , , ) 5 15
P x y z g
Đẳng thức xảy ra ↔ 5, 3, 2
y x z hay 1, 4, 3
Vậy min 15
2
Bài toán 4:
Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn hệ
) 3 ( 5 4 ),
2 ( 15 4
) 1 ( } , min{
5 2
yz xz
y x z
Tìm max : Px y z x y z
3 2 1
) , ,
Giải : Từ (1) , (2) có:
15
4 , max
z z x
a) Xét hàm f(x) = 1x 1z với x > 0 và tham số z52
Xảy ra 2 trường hợp :
+)Nếu
5
2
z thì
z z x
15
4
theo (4) nên f(x)11 2 15
z z
+) Nếu
15
2 5
2
z theo (1) thì z
z
15
4
theo (4) f(x)
Z
4
15
g(z) Xét hàm g(z) với
15
2 5
2
z
Trang 4Có :g’(z) = 1 0
4
15
2
15
2
z
Từ đó g(z) là hàm giảm và f(x) g(x) g
5
2
=4 (6)
So sánh (5) & (6) rút ra 11 4
z
x đồng thời 1 1 4
z x
x=
5
2 ,
3
2
z (7)
b) Xét hàm số h(y) =1y 1z ( z
5
2
là tham số)
Từ (1) ,(3) y max
z
z
5
1 , (8) Lập luận như câu a) ta được
+) Nếu z
5
1
thì h(y) 2 5 (9)
+)
5
1 5
2
z h(y)
2
9
(10)
So sánh (9)& (10) 1 192
z
y đồng thời :
,
Từ a) , b) P
z x
1 1
z y
1 1
=13 Dấu “=” xảy ra
5
2 , 2
1 , 3
2
maxP ( x, y ,z ) = 13
***Sau đây là một số bài tập áp dụng phương pháp trên:
1) Cho x,y,z dương thỏa mãn :
min{ 2, 3} 2
2
3 6
3 10 2 5
x z
Tìm GTLN của 2 2 2
P
Trang 52) Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: 2
3 2
1
18 4 3
3
Tìm GTLN của 1 80 3 18 3
z