Cực trị hàm nhiều biến

Cực trị hàm nhiều biến

Tìm cực trị của hàm số nhiều biến bằng cách khảo sát lần lượt từng biếnĐể tìm cực trị hàm số ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến nghĩa là: tìm GTLN,(GTNN) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số, tìm GTLN,(GTNN) vủa hàm số với biến thứ hai rồi ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại là tham số…Ta cùng xét các ví dụ :Bài toán 1:Xét hàm số f(x,y) = (1 – x)(2 – y)(4x – 2y)trên D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }Tìm GTNN của f trên D.Giải:Biến đổi hàm số đã cho thành:f(x,y) = 2(1 – x)(2 – y)[ (2 – y) – 2(1 – x) ] Đặt 12v xu y= −= − ta chuyển về tìm GTNN của hàm số :F(u,v) = –2uv2 + u2v trên E = { (u,v) | 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 }Nghĩa là 2 20 2 0 1min ( , ) min[min ( 2 )]u vF u v uv u v≤ ≤ ≤ ≤= − +Xét hàm số g(v) = –2uv2 + u2v ( 0 ≤ v ≤ 1) và u là tham số thỏa mãn 0 ≤ u ≤ 2.→ g’(v) = 0 khi 0 01&04 2uv v= ≤ ≤ và qua v0 thì g’(v) đổi dấu từ (+) → (–)Suy ra min g(v) = min { g(0); g(1) } = min{0; u2 – 2u} = u2 – 2u ( do 0 ≤ u ≤ 2 )→ 2( , ) 0 2min ( , ) min ( 2 ) 1u v E uF u v u u∈ ≤ ≤= − = − tương ứng với u = v = 1Từ đó min f(x,y) = 2min F(u,v) = –2 khi x = 0, y = 1.Cách giải này có thể áp dụng vào các bài toán mà các biến phụ thuộc với nhau theo một đẳng thức (BT2) , một bất đẳng thức (BT3) hoặc một hệ phương trình (BT4) cho trước.Bài toán 2:Xét a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b. Tìm GTLN của biểu thức:2 2 22 2 21 1 1Pa b c= − ++ + +Biến đổi giải thiết thành a+c = b(1 – ac) > 0 → 1(1)1aca cbac<+=−Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi thành: 22 2 2 22 3 2( )21 1 (1 )(1 )a cPa c a c+= + + −+ + + +Xét 22 2 21 ( )( )1 (1 )(1 )x cf xx x c+= ++ + + với 10 xc< < và coi c là tham số dương.→22 2 22 ( 2 1)'( )(1 ) (1 )c x cxf xx c− + −=+ +Trên 10,c    thì f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất là 20 011 0x c c xc = − + + < <  Qua x0 thì f’(x) đổi dấu từ (+)→(–) nên f(x) đạt cực đại tại x0, suy ra f(x) ≤ f(x0) = 211cc++ (2)→ 2 223 2 32 ( ) 2 ( )1 11c cP f x g cc cc= − + ≤ + =+ ++Xét hàm số g(c) với c > 0g’(c) = 22 2 22(1 8 )( 1) (3 1)cc c c−+ + +Với c > 0 thì g’(c) = 0 tại c0 = 18. Qua c0 thì g’(c) đổi dấu từ (+)→(–) nên g(c0) là giá trị cực đại của hàm g(c).Vậy max P = 103 khi 1 1, 2,2 8a b c= = =.Bài toán 3:Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 21ab + 2bc + 8ac ≤ 12. Tìm GTNN của biểu thức: 1 2 3( , , )P a b ca b c= + +Giải:Đặt 1 1 1, ,x y za b z= = =Từ giả thiết z(12xy – 21) ≥ 2x + 8y > 0→ 2 812 21x yzxy+≥−với 74xy> (1)→ 2 8( , , ) 24 7x yP x y z x yxy+≥ + +− (2)Xét hàm số 22 8 4 5 8 7( )4 7 4 7 4x y x y x yf x x xxy xy y + − += + = > − − Trong đó y là tham số dương.2 2 2216 56 32 25'( )(4 7)x y xy yf xxy− − +=− Trên 7,4y + ∞   thì f ’(x) = 0 có nghiệm duy nhất 2032 1474 4yxy y+= + và qua x0 thì ƒ’(x) đổi dấu từ (−) → (+) nên ƒ(x) đạt cực tiểu tại x0.Từ đó 0 05( ) ( ) 24f x f x xy≥ = −→ P(x,y,z) ≥ ƒ(x) + 2y ≥ ƒ(x0) + 2y = g(y) (3)Xét hàm số 29 1( ) 2 32 144 2g y y yy y= + + +2 2'( ) 0 (8 9) 32 14 28 0g y y y= ⇔ − + − =Đặt t = 232 14y + > 0 thì phương trình trên trở thành t3−50t−112 = 0 có nghiệm duy nhất t = 8 ứng với y = 5/4Có g’(5/4) = 0 nên với y > 0 và qua giá trị y0 = 5/4 thì g’(y) đổi dấu từ (−) → (+) nên g(y) đạt cực tiểu tại y0 = 5/4. Tại đó g(5/4) = 15/2.Ta có (3) → 5 15( , , )4 2P x y z g ≥ =  Đẳng thức xảy ra ↔ 5 2, 3,4 3y x z= = = hay 1 4 3, ,3 5 2a b c= = =Vậy 15min2P =.Bài toán 4: Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn hệ ≥≥≤≤)3(54),2(154)1(},min{52yzxzyxzTìm max : zyxPzyx321),,(++=Giải : Từ (1) , (2) có: ≥ )4(154,maxzzxa) Xét hàm f(x) = zx11+ với x > 0 và tham số 52≥zXảy ra 2 trường hợp :+)Nếu 52≥z thì zzx154≥≥theo (4) nên f(x)15211≤=+≤zzz (5) +) Nếu 15252≤≤ ztheo (1) thì zzx ≥≥154 theo (4) →f(x)=+≤ZZ 1415g(z)Xét hàm g(z) với 15252≤≤ zCó :g’(z) = 014152<−z khi152<zTừ đó g(z) là hàm giảm và f(x)≤ g(x)≤g52=4 (6)So sánh (5) & (6) rút ra 411≤+zx đồng thời 411=+zx→x=52,32=z (7)b) Xét hàm số h(y) =zy11+ ( z≥52là tham số)Từ (1) ,(3) → y≥ maxzz51, (8)Lập luận như câu a) ta được +) Nếu z51≥ thì h(y)52≤ (9)+)5152≤≤ z → h(y) 29≤ (10)So sánh (9)& (10) →2911≤+zy đồng thời :1 1 9 2 1,2 5 2khi z yy z+ = = =Từ a) , b) → P+≤zx11 +2+zy11 =13Dấu “=” xảy ra52,21,32===⇔ zyx→ maxP ( x, y ,z ) = 13***Sau đây là một số bài tập áp dụng phương pháp trên:1) Cho x,y,z dương thỏa mãn : 1 1min{ 2, 3}223 63 10 2 5z x yx zy z≤ <+ ≥+ ≥ Tìm GTLN của 2 2 21 2 3Px y z= + +2) Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: 22 2 20 33 2118 4 33z y xxy yx y z z x< ≤ ≤ ≤+ ≥+ + ≥Tìm GTLN của 3 31 80 18z2 27 8F xy x y= + + . Tìm cực trị của hàm số nhiều biến bằng cách khảo sát lần lượt từng biến ể tìm cực trị hàm số ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến nghĩa. GTLN,(GTNN) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số, tìm GTLN,(GTNN) vủa hàm số với biến thứ hai rồi ứng với giá trị đã xác định của biến