tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 NỘI DUNG CỰC TRỊ TỰ DO TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 NỘI DUNG CỰC TRỊ TỰ DO CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 NỘI DUNG CỰC TRỊ TỰ DO CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 Cực trị tự Định nghĩa cực trị tự ĐỊNH NGHĨA 1.1 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại điểm (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ), với (x, y) nằm lân cận (x0 , y0 ) Giá trị f (x0 , y0 ) gọi giá trị cực đại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 Cực trị tự Định nghĩa cực trị tự ĐỊNH NGHĨA 1.1 Hàm hai biến f (x, y) đạt cực đại điểm (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ), với (x, y) nằm lân cận (x0 , y0 ) Giá trị f (x0 , y0 ) gọi giá trị cực đại Hàm hai biến f (x, y) đạt cực tiểu điểm (x0 , y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ), với (x, y) nằm lân cận (x0 , y0 ) Giá trị f (x0 , y0 ) gọi giá trị cực tiểu TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 Cực trị tự Định nghĩa cực trị tự CHÚ Ý Nếu f (x, y) f (x0, y0), với (x, y) ∈ Df f đạt GTLN (x0 , y0 ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 Cực trị tự Định nghĩa cực trị tự CHÚ Ý Nếu f (x, y) f (x0, y0), với (x, y) ∈ Df f đạt GTLN (x0 , y0 ) Nếu f (x, y) f (x0, y0), với (x, y) ∈ Df f đạt GTNN (x0 , y0 ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 Cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ z = f (x, y) CÓ CỰC TRỊ TỰ DO ĐỊNH LÝ 1.1 Nếu hàm số z = f (x, y) có cực trị điểm (x0 , y0 ) đạo hàm riêng cấp f tồn tại điểm (x0, y0) fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (1) TP HCM — 2016 / 52 Cực trị tự Điều kiện cần để hàm số z = f (x, y) có cực trị tự CHỨNG MINH Cho (x0, y0) điểm cực đại Đặt g(x) = f (x, y0) Nếu f có cực đại điểm (x0, y0) g(x) = f (x, y0 ) f (x0 , y0 ), với x thuộc lân cận x0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ VÍ DỤ 3.2 Tìm GTLN, GTNN hàm z = f (x, y) = x2 − 2xy + 2y miền D = {(x, y) ∈ R2 : x 3, y 2} Giải Tìm điểm dừng bên miền D fx = 2x − 2y = fy = −2x + = Điểm P1(1, 1) nằm bên miền D f (P1 ) = f (1, 1) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 45 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ HÌNH: Miền D = {(x, y) ∈ R2 : TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 3, y 2} TP HCM — 2016 46 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, gồm bốn đoạn thẳng C1, C2, C3, C4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 47 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, gồm bốn đoạn thẳng C1, C2, C3, C4 Đường thẳng C1 có phương trình y = nên g(x) = f (x, 0) = x2, x GTLN GTNN g(x) [0, 3] g(3) = f (3, 0) = 9, g(0) = f (0, 0) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 47 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, gồm bốn đoạn thẳng C1, C2, C3, C4 Đường thẳng C1 có phương trình y = nên g(x) = f (x, 0) = x2, x GTLN GTNN g(x) [0, 3] g(3) = f (3, 0) = 9, g(0) = f (0, 0) = Đường thẳng C2 có phương trình x = nên h(y) = f (3, y) = − 4y, y GTLN GTNN h(y) [0, 2] h(0) = f (3, 0) = 9, h(2) = f (3, 2) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 47 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Đường thẳng C3 có phương trình y = nên k(x) = f (x, 2) = x2 − 4x + = (x − 2)2, x GTLN GTNN k(x) [0, 3] k(0) = f (0, 2) = 4, k(2) = f (2, 2) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 48 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Đường thẳng C3 có phương trình y = nên k(x) = f (x, 2) = x2 − 4x + = (x − 2)2, x GTLN GTNN k(x) [0, 3] k(0) = f (0, 2) = 4, k(2) = f (2, 2) = Đường thẳng C4 có phương trình x = nên (y) = f (0, y) = 2y, y GTLN GTNN (y) [0, 2] (2) = f (0, 2) = 4, (0) = f (0, 0) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 48 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Đường thẳng C3 có phương trình y = nên k(x) = f (x, 2) = x2 − 4x + = (x − 2)2, x GTLN GTNN k(x) [0, 3] k(0) = f (0, 2) = 4, k(2) = f (2, 2) = Đường thẳng C4 có phương trình x = nên (y) = f (0, y) = 2y, y GTLN GTNN (y) [0, 2] (2) = f (0, 2) = 4, (0) = f (0, 0) = So sánh tất giá trị, ta GTLN f (3, 0) = 9, GTNN f (0, 0) = f (2, 2) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 48 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ HÌNH: GTLN, GTNN hàm z = f (x, y) = x2 − 2xy + 2y miền D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 49 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ VÍ DỤ 3.3 Tìm GTLN, GTNN f (x, y) = x2 + y − 12x + 16y miền D = {(x, y) : x2 + y 25} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 50 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ VÍ DỤ 3.3 Tìm GTLN, GTNN f (x, y) = x2 + y − 12x + 16y miền D = {(x, y) : x2 + y 25} Tìm điểm dừng bên miền D fx = 2x − 12 = fy = 2y + 16 = Điểm P1(6, −8) không nằm bên miền D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 50 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, có nghĩa cực trị có điều kiện x2 + y = 25 Lx (x, y) = 2x − 12 + 2λx = Ly (x, y) = 2y + 16 + 2λy = ϕ(x, y) = x2 + y − 25 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 51 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, có nghĩa cực trị có điều kiện x2 + y = 25 Lx (x, y) = 2x − 12 + 2λx = Ly (x, y) = 2y + 16 + 2λy = ϕ(x, y) = x2 + y − 25 = Ta có điểm dừng P2(3, −4) P3(−3, 4) f (3, −4) = −75, f (−3, 4) = 125 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 51 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Tìm điểm dừng biên D, có nghĩa cực trị có điều kiện x2 + y = 25 Lx (x, y) = 2x − 12 + 2λx = Ly (x, y) = 2y + 16 + 2λy = ϕ(x, y) = x2 + y − 25 = Ta có điểm dừng P2(3, −4) P3(−3, 4) f (3, −4) = −75, f (−3, 4) = 125 Vậy GTLN 125 GTNN −75 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 51 / 52 Giá trị lớn nhỏ Phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN TP HCM — 2016 52 / 52