Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 NỘI DUNG SỰ HỘI TỤ THEO ĐIỂM CỦA DÃY HÀM, CHUỖI HÀM SỰ HỘI TỤ ĐỀU CỦA DÃY HÀM, CHUỖI HÀM TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa dãy hàm ĐỊNH NGHĨA 1.1 Cho U = {u(x)}, x ∈ X tập hợp hàm số xác định X Ánh xạ N −→ U n −→ un (x) gọi dãy hàm Kí hiệu un(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM +∞ n=1 ,x ∈ X TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa dãy hàm ĐỊNH NGHĨA 1.2 Dãy hàm un(x) +∞ n=1 gọi hội tụ +∞ hội điểm x0 ∈ X , dãy số un(x0) n=1 tụ Trong trường hợp ngược lại, dãy hàm +∞ gọi phân kỳ điểm un (x) x0 ∈ X n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa dãy hàm ĐỊNH NGHĨA 1.3 Nếu dãy hàm un(x) +∞ n=1 , x ∈ X hội tụ với x ∈ M ⊂ X dãy hàm un (x) +∞ n=1 , x ∈ X gọi hội tụ tập M Tập hợp M ⊂ X tất điểm x ∈ X cho dãy hàm +∞ hội tụ, gọi miền hội tụ un (x) n=1 dãy hàm un(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ n=1 ,x ∈ X DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa dãy hàm ĐỊNH NGHĨA 1.4 Nếu dãy hàm un(x) M +∞ n=1 , x ∈ X hội tụ tập u(x) = lim un (x), n→+∞ x ∈ M, gọi giới hạn dãy hàm un(x) M Khi đó, ta nói dãy hàm un(x) +∞ n=1 +∞ n=1 hội tụ theo điểm M đến hàm u(x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa dãy hàm VÍ DỤ 1.1 Tìm giới hạn dãy hàm un(x) x un (x) = , n n ∈ N, +∞ n=1 với x ∈ [0, 1] x = x lim = 0, ∀x ∈ [0, 1] n→+∞ n n→+∞ n lim un (x) = lim n→+∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa dãy hàm VÍ DỤ 1.2 Tìm giới hạn dãy hàm un(x) un (x) = xn , n ∈ N, +∞ n=1 với x ∈ R Với x ∈ (−1, 1], ta có lim un (x) = lim xn = n→+∞ n→+∞ 0, x ∈ (−1, 1) 1, x=1 Với x −1 x > dãy hàm xn khơng có giới hạn TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM +∞ n=1 TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Cho dãy hàm un(x) Định nghĩa chuỗi hàm +∞ n=1 xác định X ĐỊNH NGHĨA 1.5 Biểu thức có dạng +∞ un (x) = u1 (x) + u2 (x) + + un (x) + , n=1 gọi chuỗi hàm xác định X TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 / 64 Sự hội tụ theo điểm dãy hàm, chuỗi hàm Định nghĩa chuỗi hàm ĐỊNH NGHĨA 1.6 Chuỗi hàm +∞ n=1 un (x) gọi hội tụ điểm x0 ∈ X , chuỗi số +∞ n=1 un (x0 ) hội tụ Trong trường hợp ngược lại, chuỗi hàm +∞ n=1 un (x) gọi phân kỳ điểm x0 ∈ X TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 10 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ VÍ DỤ 2.10 (−1)n+1 xn Tìm giới hạn lim− n x→1 n=1 n x +1 +∞ (−1)n+1 xn Chuỗi hàm n hội tụ [0, +∞) n x +1 n=1 +∞ theo dấu hiệu Abel (−1)n+1 xn (−1)n+1 lim n = x→1− n x +1 n Do (−1)n+1 xn +∞ (−1)n+1 lim n = = ln x→1− n=1 n x + n=1 n +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 50 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm hôi tụ ĐỊNH LÝ 2.7 Nếu chuỗi hàm +∞ n=1 un (x) hội tụ M tất hàm un(x), n ∈ N liên tục M tổng S(x) chuỗi hàm +∞ n=1 un (x) hàm liên tục M Chú ý Điều kiện hội tụ chuỗi hàm điều kiện đủ điều kiện cần, có nghĩa tổng chuỗi hàm liên tục hội tụ khơng hàm liên tục TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 51 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ VÍ DỤ 2.11 Chuỗi hàm + +∞ n=1 (xn − xn−1 ), x ∈ (0, 1) có tổng S(x) ≡ hàm liên tục (0, 1) Tuy nhiên, chuỗi hàm không hội tụ (0, 1) Vì với x ∈ (0, 1) dãy tổng riêng +∞ , Sn (x) = xn hội tụ theo chuỗi hàm Sn(x) n=1 điểm hàm S(x) ≡ Tuy nhiên, lim sup |Sn (x) − S(x)| = = n→+∞ x∈(0,1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 52 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ ĐỊNH LÝ 2.8 Cho dãy tổng riêng Sn(x) +∞ n=1 hội tụ M đến hàm S(x) hàm Sn(x), n ∈ N liên tục M Khi S(x) hàm liên tục M, có nghĩa lim S(x) = S(x0 ), x→x0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM x0 ∈ M TP HCM — 2016 53 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ VÍ DỤ 2.12 Tìm tập xác định hàm số f (x) khảo sát tính liên tục với +∞ f (x) = n=1 x+ n n Theo tiêu chuẩn Cauchy n x+ n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n = x+ n n→+∞ → |x| = C(x) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 54 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm hôi tụ Chuỗi hội tụ C(x) = |x| < Chuỗi phân kỳ C(x) = |x| > 1 Nếu x = ±1 lim x + n→+∞ n n = nên chuỗi phân kỳ Vậy tập xác định hàm số f (x) D = (−1, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 55 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Khi |x| Tính chất chuỗi hàm tụ r < chuỗi hàm +∞ n=1 x+ n n hội tụ (−1, 1) x+ n chuỗi +∞ n=1 r+ n n r+ n n n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy Do đó, hàm tổng f (x) liên tục (−1, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 56 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ TÍCH PHÂN CỦA CHUỖI HỘI TỤ ĐỀU THEO TỪNG SỐ HẠNG ĐỊNH LÝ 2.9 Nếu chuỗi hàm +∞ n=1 un (x) hội tụ [a, b] đến tổng S(x) tất hàm un(x), n ∈ N liên tục [a, b] hàm S(x) khả tích [a, b] b b +∞ un (x) dx = S(x)dx = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b +∞ a n=1 DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM un (x)dx n=1 a TP HCM — 2016 57 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ VÍ DỤ 2.13 cos2 nx Chứng minh rằng, hàm f (x) = n=1 n(n + 1) +∞ 2π liên tục R tính f (x)dx Theo tiêu chuẩn Weierstrass, ta có cos2 nx n(n + 1) , ∀x ∈ R, n(n + 1) hội tụ nên chuỗi cho hội tụ n=1 n(n + 1) R Do đó, hàm tổng f (x) liên tục R chuỗi số +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 58 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm 2π 2π +∞ f (x)dx = 0 +∞ n=1 Tính chất chuỗi hàm hôi tụ +∞ cos nx dx = n(n + 1) n=1 n=1 2π cos2 nxdx = n(n + 1) 2π (1 + cos 2nx)dx +∞ π = = π 2n(n + 1) n(n + 1) n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 59 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm hôi tụ ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI HỘI TỤ ĐỀU THEO TỪNG SỐ HẠNG ĐỊNH LÝ 2.10 Nếu tất hàm un (x), n ∈ N có đạo hàm liên tục [a, b] chuỗi hàm +∞ n=1 chuỗi hàm +∞ n=1 un (x) hội tụ [a, b], un (x) hội tụ theo điểm x0 ∈ [a, b] ln có khẳng định sau: +∞ n=1 un (x) hội tụ [a, b] Tổng S(x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ n=1 un (x) có đạo hàm liên tục [a, b] DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 60 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm hôi tụ ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI HỘI TỤ ĐỀU THEO TỪNG SỐ HẠNG +∞ S (x) = +∞ un (x) = n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM un (x) n=1 TP HCM — 2016 61 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm tụ VÍ DỤ 2.14 Tìm tập xác định hàm số f (x) khảo (−1)n x sát tính khả vi nó, với f (x) = n=1 n + x x Dãy hàm n → xác định x = −n n+x dãy đơn điệu giảm, hội tụ nên theo tiêu +∞ (−1)n x chuẩn Leibniz chuỗi hội tụ với n=1 n + x x = −n Vậy hàm f (x) xác định x = −n +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 62 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm (−1)n x Vì hàm x → n+x Tính chất chuỗi hàm tụ n liên tục (n + x) x +∞ n hội x = −n chuỗi hàm (−1)n (n + x)2 n=1 tụ theo dấu hiệu Dirichlet x = −n Do đó, f (x) khả vi liên tục x = −n chuỗi = (−1)n hàm lấy đạo hàm theo số hạng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 63 / 64 Sự hội tụ dãy hàm, chuỗi hàm Tính chất chuỗi hàm hôi tụ CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM TP HCM — 2016 64 / 64