BÀI tập CHUYÊN đề CHUỖI số CHUỖI hàm

CHUỖI SỐ – CHUỖI HÀM <VI.1> Tính tổng n n1 x ¥ = å với : a) n n xq(|q|1) =< b) n 1 x n(n1) = + c) n 2 1 x(n2) n1 =³ - d) ( ) n 1 x n1nn(n1) = +++ . Giải: Đặt n12n Sxx x =+++ a) 2n n n 1q Sqq qq 1q - =+++= - nn n n1 q xlimS 1q ¥ ®¥ = == - å b) Ta có k 11 x, kk1 =- + từ đó n 111111 S1 1 223nn1n1 ỉưỉưỉư =-+-++-=- ç÷ç÷ç÷ ++ èøèøèø nn n n1 xlimS1 ¥ ®¥ = == å c) Ta có k 2 1111 x,k2 k12k1k1 ỉư ==-³ ç÷ + èø n23n 11111111 Sxx x1 232435n1n1 ỉư ỉưỉưỉưỉư =+++=-+-+-++- ç÷ç÷ç÷ç÷ ç÷ -+ èøèøèøèø èø 1111 1 22nn1 ỉư =+ ç÷ + èø nn n n1 113 xlimS1 224 ¥ ®¥ = ỉư ==+= ç÷ èø å d) Ta có ( ) k 1k1k x k.k1 k1kk(k1) +- == + +++ 11 kk1 =- + nên n 111111 S 1223nn1 ỉư ỉưỉư =-+-++- ç÷ ç÷ç÷ + èøèø èø 1 1 n1 =- + . PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Vậy nn n n1 xlimS1 ¥ ®¥ = == å <VI.2> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau : a) 2 n1 1 n ¥ = å b) n n1 1 2 ¥ = å c) n n1 n 2 ¥ = å d) n1 1 n ¥ = å e) n2 1 lnn ¥ = å f) nn n n1 23 6 ¥ = + å . Giải: a) 2 11 nn(n1) £ + , n1 "³ và n1 1 n(n1) ¥ = - å hội tụ nên 2 n1 1 n ¥ = å hội tụ. b) n n1 1 2 ¥ = å = n q å với 1 0q1 2 <=< nên n n1 1 2 ¥ = å hội tụ. c) do ( ) nn n 2 nn 0 2 2 ®¥ =® nên n 2 0 n2,nn <"³ . Từ đó n 2 0 nn n2 ,nn 22 £³ hay ( ) 0 n n n1 ,nn 2 2 £³ mà ( ) n 1 2 å hội tụ nên n n1 n 2 ¥ = å hội tụ. d) đặt n 11 S1 2n =+++ với 0 1 2 e= , và mọi số nguyên n ỴN lây nN ³ và m =2n thì mn 1111 SS () n1n2nn2 -=+++³=e +++ do đó theo tiêu chuẩn Cauchy, ( ) n n S không hội tụ, nên 1 n å phân kỳ. e) Từ nlnn,n2 >³ ta có 11 lnnn > mà 1 n å phân kỳ nên n2 1 lnn ¥ = å phân kỳ. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com f) Với nn n nnn 2311 x 632 + ==+ và các chuỗi : n 1 3 å và n 1 2 å hội tụ. Vậy nn n n1 23 6 ¥ = + å hội tụ. <VI.3> Chứng minh rằng chuỗi: 2.42.4.6 1 1.31.3.5 +++ phân kỳ. . Giải: Số hạng tổng quát n 2.4.6 2n x 1.3.5 (2n1) = - >1 Þ dãy ( ) n n x không có giới hạn là 0 nên n 1 x ¥ å phân kỳ. <VI.4> Cho ( ) n n1 a ¥ = å và ( ) n n1 b ¥ = å với n a0n ³" n b0n ³" và ( ) n n n a limc0 b ®¥ =³ . CMR a) c0 = , và ( ) n n1 b ¥ = å hội tụ thì ( ) n n1 a ¥ = å hội tụ. b) c =¥ , và ( ) n n1 b ¥ = å phân kỳ thì ( ) n n1 a ¥ = å phân kỳ. c) 0c <<¥ thì ( ) n n1 a ¥ = å và ( ) n n1 b ¥ = å cùng bản chất, nghóa là cùng phân kỳ hay cùng hội tụ, lúc đó sẽ ghi nn a~b(n) ®¥ . Giải: a) do n n n a lim0 b ®¥ = nên 0 n $ sao cho nn0 0ab,nn ££"³ Vậy ( ) n n1 b ¥ = å hội tụ dẫn đến ( ) n n1 a ¥ = å hội tụ. b) do n n n a lim b ®¥ =¥ nên 0 n $ sao cho nn ba £ , 0 nn "³ Vậy ( ) n n1 b ¥ = å phân kỳ dẫn đến ( ) n n1 a ¥ = å phân kỳ. c) n n n a limc b ®¥ = với 0c <<¥ , 0 n $ : nnn c3c ba.b 22 ££ , 0 nn "³ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com nếu ( ) n n1 b ¥ = å hội tụ thì n n1 3c .b 2 ¥ = å hội tụ, do đó ( ) n n1 a ¥ = å hội tụ nếu ( ) n n1 b ¥ = å phân kỳ thì n n1 c .b 2 ¥ = å phân kỳ do đo ( ) n n1 a ¥ = å phân kỳ. <VI.5> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: a) 1 n(n1) + å b) 2 1 1n + å c) ( ) n 1 lnn å d) 2 1 n(nn) + å e) 2 n! n å f) 1 nlnn å g) n n x (x0) n ³ å h) n x n! å i) 2 n4 2n1 n4n3 ¥ = + -+ å j) n1 1 sin nn ¥ = p å . Giải: a) 11 ~(n) n n(n1) ®¥ + và do n1 1 n ¥ = å phân kỳ nên n1 1 n(n1) ¥ = + å phân kỳ. b) 22 11 1nn £ + nên 2 1 1n + å hội tụ. c) Đặt ( ) n n 1 x lnn = ta có n n n 1 x0 lnn ®¥ =® (< 1) ( ) n 1 lnn å hội tụ d) 3 2 2 11 ~ n(nn) n + ( n ®¥ ) nên 2 1 n(nn) + å hội tụ. e) n 2 n! x n = từ đó ( ) ( ) 22 n1 2 n n1! xnn xn!n1 n1 + + =´=®¥ + + , nên chuỗi 2 n! n å phân kỳ. f) Xét 1 n nlnn 1 lnn n =®¥ PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com mà 1 n å phân kỳ, vậy 1 nlnn å phân kỳ. g) n n x n å hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. h) n x n! å hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. i) do ( ) 2 2n11 ~n n4n3n + ®¥ -+ nên 2 2n1 n4n3 + -+ å phân kỳ j) Xét n 2 1 sin nn nsin 1 n n ®¥ p p =®p nên ( ) 2 1 nsin~n nn p ®¥ . Vậy 1 sin nn p å hội tụ. < VI.6> Cho chuỗi số p n1 1.3.5 (2n1) 2.4.6 2n ¥ = - éù êú ëû å Chứng minh rằng chuỗi hội tụ khi và chỉ khi p > 2 . Giải: Đặt p p n 1.3.5 (2n1) x 2.4.6 2n - éù = êú ëû ta có 2 n 135(2n1)35(2n1)(2n1)1 x 1 2462n24(2n2)2n2n1 + = -+ 1111111 11 1.11 1. 242242n2n1 ỉưỉưỉưỉưỉưỉư = +++ ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ + èøèøèøèøèøèø 222 1111 11 1. 24(2n)2n1 ỉư ỉưỉư = ç÷ ç÷ç÷ + èøèø èø do ( ) 2 222 k1 1111111 2 244k42 2n ¥ = +++=£= å nên 2 n 11 x. 22n1 ³ + mà vì 11 . 22n1 + å phân kỳ, ta có 2 n x å phân kỳ. Từ đó suy ra p2 £ : ta có p2 nn xx ³ nên p n 1 x ¥ å phân kỳ. p2 > : PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Ta có p p 2 p2 2 nn 222 1111 x(x)11 1 24(2n)2n1 éù ỉư ỉưỉư == êú ç÷ç÷ç÷ + èøèø èø ëû ( ) p 2 1 2n1 £ + mà p n1 2 1 (2n1) ¥ = + å hội tụ p (1) 2 > , nên p n n1 x ¥ + å hội tụ. <VI.7> Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của a) ( ) 2n1 2n1 x (1) 2n1! + + - + å b) ( ) n n1 n x (1) x2 + - + å . Giải: a) Đặt ( ) ( ) 2n1 2n1 2n1 n x x a(1) 2n1!2n1! + + + =-= ++ Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2n32 n1 2n1 n n xx2n1! a .0 a2n3!2n22n3 x + + + ®¥ + ==® +++ Vậy n a å hội tụ với x "Ỵ  . hay ( ) 2n1 2n1 x (1) 2n1! + + - + å hội tụ tuyệt đối tại x "Ỵ  . b) Đặt ( ) n n n1 n nn x x a(1)(x2) x2 x2 + =-="¹- + + . n n x a x2 = + Ta có x 1xx2 x2 <Û<+ + x1 Û>- x 1x1 x2 >Û<- + x = -1 thì a n =1 nên n a å phân kỳ. Vậy ( ) n n1 n x (1) x2 + - + å hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi x > -1 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com <VI.8> Cho ( ) n n b bò chặn và n a0,n ³" . Giả sử n a å hội tụ. CMR nn ab å hội tụ. . Giải: Do ( ) n n b bò chặn nên n M0:|b|M,n $>£" nên nnn M.a|a.b|,n ³" ( n a0 ³ ). và n Ma å hội tụ nên nn ab å hội tụ, do đó nn ab å hội tụ. <VI.9> Xét tính hội tụ của ( ) k p lnn n å với k1 > và p1 > . Giải: Với p > 1, ta có p1 =+a trong đó 0 a> . Xét ( ) ( ) k k p n 2 1 2 lnn lnn n 0(0) 1 2 n n a ®¥ a + a =®> Mà 1 2 1 n a + å hội tụ, nên ( ) k p n2 lnn n ¥ = å hội tụ. <VI.10> Khảo sát tính hội tụ của n2 1 (,0) nlnn ¥ ab = ab> å . Giải: Xét hàm số 1 f(x) xlnx ab = xác đònh trên [2,) ¥ và là hàm số giảm. Hơn nữa ở bài tập tích phân, ta có 1 a> 2 dx xlnx ¥ ab ò hội tụ. 1 a< 2 dx xlnx ¥ ab ò phân kỳ 1 a= - 1 b> 2 dx xlnx ¥ ab ò hội tụ - 1 b£ 2 dx xlnx ¥ ab ò phân kỳ Từ đó n2 1 nlnn ¥ ab = å hội tụ khi và chỉ khi 1 a> hay 1 a= và 1 b> PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com <VI.11> Cho 2 n a å và 2 n b å hội tụ. CMR nn ab å hội tụ . Giải: Ta có 22 nn nn ab ab,n. 2 + £" mà 2 n a å , 2 n b å hội tụ nên 22 nn ab + å hội tụ và do đó 22 nn ab 2 + å hội tụ vậy nn ab å hội tụ, suy ra nn ab å hội tụ. <VI.12> Cho n a0,n ³" và n a å phân kỳ CMR n n1 n a 1a ¥ = + å phân kỳ, còn n 2 n1 n a 1na ¥ = + å hội tụ. . Giải: Giả sử n n n a 0 1a ®¥ ® + , nếu ngược lại thì n n1 n a 1a ¥ = + å phân kỳ. Ta có : 0 "e> , đặt ' 1 e e= +e ' n 0 n a n:n0 1a $³Þ<e + ' n0 ' a,nn 1 e Þ<=e³ -e . Vậy n n lima0 = từ đó nn0 aa,nN £"³ (N 0 đủ lớn). Suy ra lúc đó n a å phân kỳ. Hơn nữa nn nn n n aa1 a(a0) 1a2 2a ³=> + Và n n n a1 a 1a2 ³ + nếu a n = 0. do n 1 a 2 å phân kỳ nên n n a 1a + å phân kỳ. Dễ dàng kiểm chứng n 22 n a1 ,n 1a.nn £" + từ đó do 2 1 n å hội tụ, ta có n 2 n a 1na + å hội tụ. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com <VI.13> Cho n a0 ³ , n " và n a å hội tụ. CM n a n å hội tụ. . Giải: Từ ( ) 2 nn aa = åå và 2 1 n å hội tụ. Theo <V.11>, n a n å hội tụ. <VI.14> Tìm miền hội tụ của : a) n nx å b) n n x n å c) nn 2x - å d) n 2 x n2n + å . Giải: a) n n nn n anan1 ®¥ =Þ=® tại x1 =± chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của n nx å là ( ) 1,1 - b) n nn n n 11 aa0 nn ®¥ =Þ=® chuỗi n n x n å có miền hội tụ là ( ) , -¥+¥ c) n n nn 1 a2|a| 2 - =Þ= nn 2x - å hội tụ trên x:|x|2 "< và phân kỳ với x:|x|2 "> x=-2 : ( ) n n 2 2 - å phân kỳ. X= 2 : n n 2 2 å phân kỳ Vậy miền hội tụ là ( ) 2,2 - . d) n nn 2 n2 n 11 aa1 n2n n2n ®¥ =Þ=® + + n n ax å hội tụ với x:|x|1 "< và phân kỳ với x:|x|1 "> tại x1 =± chuỗi hội tụ. PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com Vậy miền hội tụ là [ ] 1,1 - <VI.15> Tìm miền hội tụ của a) n x n å b) n xlnn å c) ( ) n x 4n1! - å d) ( ) n n 2 x 2n7! + å . Giải: a) Bán kính hội tụ là R = 1. x1 = chuỗi phân kỳ. x1 =- chuỗi hội tụ (theo Leibnitz) miền hội tụ là [1,1) - b) Bán kính hội tụ là R=1 tại x1 =± chuỗi phân kỳ. Miền hội tụ là (-1, 1). c) ( ) n 1 a 4n1! = - , thì ( ) ( ) ( )( )( ) n1 n 4n1! a2 a4n3!4n4n14n24n3 + - == ++++ Bán kính hội tụ R =¥ Miền hội tụ là (,) -¥+¥ d) ( ) n n 2 a 2n7! = + thì ( ) ( ) ( )( ) n1 n1 n n 2n7! a22 a2n9!22n82n9 + + + =´= +++ miền hội tụ là (,) -¥+¥ . <VI.16> Chứng minh rằng n n0 x ¥ = å hội tụ đều trên 1 [0,] 2 và không hội tụ đều trên (0, 1). . Giải: Ta có n n 11 x,x[0,] 22 ỉư £"Ỵ ç÷ èø Và n 1 2 å hội tụ nên n x å hội tụ đều trên [ 1 0, 2 ] đặt 2n n S(x)1xx x =++++ n1 1x 1x + - = - x(0,1) "Ỵ ta có n n 1 limS(x)S(x) 1x == - xét n1 n 1x S(x) 1x1x + -= PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com [...]... £ e- n , "x Ỵ [ 0, ¥ ) mà åe -n hội tụ vậy åf n (x) hội tụ đều xn å 1 + x n hội tụ đều trên mọi đoạn [0, c] với 0 < c < 1 , nhưng không hội tụ đều trên [ 0,1) Chứng minh chuỗi Giải: Với mọi số c Ỵ (0,1) Xét hàm số f n (x) = xn tăng (theo biến x) 1+ xn cn Do đó f n (x) £ £ cn , " Ỵ [ 0, c] n 1+ x Do åc n hội tụ nên åf n (x) hội tu đều trên [0, c] Xét trên [0, 1) xk k k =1 1 + x "m, n cho trước... Chứng minh ån 2 1 hội tụ đều trên [0, ¥) + x2 Giải: Với f n (x) = do åa n 1 1 £ a n = 2 , "x Ỵ [ 0, ¥ ) 2 n +x n 2 hội tụ nên åf Chứng minh n å (x) hội tụ đều sin nx hội tụ đều trên  n n Giải: sin nx n n 1 do f n (x) £ và n n Với f n (x) = ån 1 n hội tụ nên Xét tính hội tụ đều của åx e åf n - nx n (x) hội tụ đều trên [ 0, ¥ ) Giải: Xét hàm số f n (x) = x n e- nx ta có f n'... 2 1+ x 3 Sm (x) - Sn (x) = vậy åf n (x) không hội tụ đều trên [0, 1) ¥ 1 2 n =1 1 + n x a) Tìm miền xác đònh của f b) Xét tính liên tục của f Giải: a) x = 0 , chuỗi không hội tụ nên f không xác đònh Cho f (x) = å PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com 1 1 không xác đònh, hàm số không xác đònh , số hạng tổng quát 2 n 1+ n2x -1 -1 -1 1 1 "x Ỵ  \ {0,... kiểm tra b) Các chuỗi f (x), g(x) có bán kính hội tụ là R = ¥ nên hội tụ đều trên mọi đoanj [ a, b] Các hàm thành phần f n (x) = (-1)n và g n (x) = ( -1) n x 2n +1 ( 2n + 1) ! x 2n (2n)! PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com khả vi liên tục trên  Do f n' (x) = g n -1 (x) và g 'n (x) = -f n -1 (x) Sự hội tụ đều của f (x), g(x) dẫn đến sự hội tụ đều của åf '... + 2 + 3 + + n + a a a a 2 3 n x x x c) x + + + + + 2 3 n Giải: b) a) Xét chuỗi ¥ å (-1) n 2nx 2n -1 (1) | x |< a | x |< 1 | x |< 1 n =1 n với f n (x) = (-1) 2nx 2n -1 có một nguyên hàm là Fn (x) = (-1) n x 2n Chuỗi (1) có bán kính hội tụ là R = 1, nên với mọi x 0 Ỵ (-1,1) $a > 0 : x 0 Ỵ [ -a, a ] Ì ( -1,1) (1) hội tụ đều trên [ -a, a ] Hơn nữa å F (x) cũng hội tụ trên [ -a, a ] nên: n ' ¥ ỉ ¥... nên å f n (x) = ç = 2 2 ÷ è 1 + x ø (1 + x 2 ) ¥ b) Chuỗi cho có dạng f n (x) = åf (x) với n nx n -1 với | x |< a an n có nguyên hàm là Fn (x) = xn ỉ x ư =ç ÷ , an è a ø x . tụ đều. <VI.21> Chứng minh chuỗi n n x 1x + å hội tụ đều trên mọi đoạn [0, c] với 0c1 << , nhưng không hội tụ đều trên [ ) 0,1 . . Giải: Với mọi số c(0,1) Ỵ . Xét hàm. của n2 1 (,0) nlnn ¥ ab = ab> å . Giải: Xét hàm số 1 f(x) xlnx ab = xác đònh trên [2,) ¥ và là hàm số giảm. Hơn nữa ở bài tập tích phân, ta có 1 a> 2 dx xlnx ¥ ab ò hội. Bán kính hội tụ là R = 1. x1 = chuỗi phân kỳ. x1 =- chuỗi hội tụ (theo Leibnitz) miền hội tụ là [1,1) - b) Bán kính hội tụ là R=1 tại x1 =± chuỗi phân kỳ. Miền hội tụ là (-1,