å hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert... Giả sử åan hội tụ.. và åManhội tụ nên åa bn n hội tụ, do đó åa bn n hội tụ... CMR åa bn n hội tụ.. Suy ra lúc đó å an phân kỳ... CM ann å hội tụ...
Trang 1CHUỖI SỐ – CHUỖI HÀM
<VI.1> Tính tổng n
n 1 x
¥
=
å với : a) n
n
x =q (| q | 1)< b) xn 1
n(n 1)
= + c) xn 21 (n 2)
- d)
n
1 x
=
Giải:
Đặt Sn =x1+x2+ + xn
n n
1 q
1 q
n
n 1
q
x lim S
1 q
¥
®¥
=
-å
b) Ta có xk 1 1 ,
k k 1
=
-+ từ đó
Sn 1 1 1 1 1 1 1 1
n
n 1
¥
®¥
=
å
c) Ta có xk 21 1 1 1 , k 2
Sn x2 x3 xn 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
+
n n
n
n 1
¥
®¥
=
å
d) Ta có
k
x
k k 1
+
+
1 1
-+
+
1 1
n 1
=
-+
Trang 2Vậy n n
n
n 1
¥
®¥
=
å
<VI.2> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau : a) 2
n 1
1 n
¥
=
å b) n
n 1
1 2
¥
=
å
c) n
n 1
n 2
¥
=
å d)
n 1
1 n
¥
=
å e)
n 2
1
ln n
¥
=
å f) n n n
n 1
6
¥
=
+
Giải:
a) 12 1
n £n(n 1)
+ , " ³n 1 và
n 1
1 n(n 1)
¥
=
-å hội tụ nên 2
n 1
1 n
¥
=
å hội tụ
b) n
n 1
1 2
¥
=
å =åqn với 0 q 1 1
2
< = < nên n
n 1
1 2
¥
=
å hội tụ
c) do
( )
2
0 2
= ® nên n2
0
n 2 , n n< " ³
Từ đó
n 2
0
, n n
hay
( )n 0 n
, n n
mà
( )n
1 2
å hội tụ nên n
n 1
n 2
¥
=
å hội tụ
d) đặt Sn 1 1 1
với 0 1
2
e = , và mọi số nguyên nỴ N lây n N³ và m =2n thì Sm Sn 1 1 1 1( )
do đó theo tiêu chuẩn Cauchy, ( )Sn n không hội tụ, nên 1
n
å phân kỳ e) Từ n ln n , n 2> ³ ta có 1 1
ln n >n
mà 1
n
å phân kỳ nên
n 2
1
ln n
¥
=
å phân kỳ
Trang 3f) Với xn 2n n3n 1n 1n
+
= = + và các chuỗi : 1n
3
å và 1n
2
å hội tụ
Vậy n n n
n 1
6
¥
=
+
å hội tụ
<VI.3> Chứng minh rằng chuỗi:
1 2.4 2.4.6
1.3 1.3.5
+ + + phân kỳ
Giải:
Số hạng tổng quát xn 2.4.6 2n
1.3.5 (2n 1)
=
- >1
Þ dãy ( )xn n không có giới hạn là 0 nên n
1 x
¥
å phân kỳ
<VI.4> Cho ( )n
n 1 a
¥
=
å và ( )n
n 1 b
¥
=
å với an ³0 "n
bn ³0 "n
và n ( )
n n
a
b
®¥ = ³ CMR a) c 0= , và ( )n
n 1 b
¥
=
å hội tụ thì ( )n
n 1 a
¥
=
å hội tụ
b) c= ¥, và ( )n
n 1 b
¥
=
å phân kỳ thì ( )n
n 1 a
¥
=
å phân kỳ
c) 0 c< < ¥ thì ( )n
n 1 a
¥
=
å và ( )n
n 1 b
¥
=
å cùng bản chất, nghĩa là cùng phân kỳ hay cùng hội tụ, lúc đó sẽ ghi a ~ b (nn n ® ¥)
Giải:
a) do n n n
a
b
®¥ = nên $n0 sao cho 0 a£ n £b , n nn " ³ 0 Vậy ( )n
n 1 b
¥
=
å hội tụ dẫn đến ( )n
n 1 a
¥
=
å hội tụ
b) do n n n
a lim b
®¥ = ¥ nên $n0 sao cho bn £an ," ³n n0
Vậy ( )n
n 1 b
¥
=
å phân kỳ dẫn đến ( )n
n 1 a
¥
=
å phân kỳ
c) n n n
a
b
®¥ = với 0 c< < ¥,$n0:
cbn an 3c.bn
2 £ £ 2 , " ³n n0
Trang 4nếu ( )n
n 1 b
¥
=
å hội tụ thì n
n 1
3c b 2
¥
=
å hội tụ, do đó ( )n
n 1 a
¥
=
å hội tụ
nếu ( )n
n 1 b
¥
=
å phân kỳ thì n
n 1
c b 2
¥
=
å phân kỳ do đo ( )n
n 1 a
¥
=
å phân kỳ
<VI.5> Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a) 1
n(n 1)+
å b) 1 2
1 n+
å
c)
( )n
1
ln n
å d)
2
1 n(n n )+
å
e) n!2
n
å f) 1
n ln n
å
g) xnn (x 0)
å h) xn
n!
å
i) 2
n 4
2n 1
¥
=
+
å j)
n 1
1 sin
¥
=
p
Giải:
n
n 1
1 n
¥
=
å phân kỳ nên
n 1
1 n(n 1)
¥
= +
å phân kỳ b) 1 2 12
1 n £n
1 n+
å hội tụ
c) Đặt
( )
1 x
ln n
= ta có
n
1
ln n ®¥
= ® (< 1)
( )n
1
ln n
å hội tụ
2 2
~ n(n n )+ n (n® ¥) nên
2
1 n(n n )+
å hội tụ
e) xn n!2
n
= từ đó ( )
( )
n 1
2 n
n 1 !
+ +
+
n
å phân kỳ f) Xét
1
n
n ln n
n
Trang 5mà 1
n
å phân kỳ, vậy 1
n ln n
å phân kỳ
g) xnn
n
å hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy
h) xn
n!
å hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert
i) do 22n 1 ~ 1(n )
+
å phân kỳ
j) Xét
n 2
1 sin
n
®¥
p
p
nên n sin ~ 12 (n )
p
® ¥ Vậy 1sin
p
å hội tụ
< VI.6> Cho chuỗi số
p
n 1
1.3.5 (2n 1) 2.4.6 2n
¥
=
å
Chứng minh rằng chuỗi hội tụ khi và chỉ khi p > 2 Giải:
Đặt
p p
n
1.3.5 (2n 1) x
2.4.6 2n
ta có 2
n
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+
1 12 1 12 1 1 2 1
+
do
( )2
k 1
¥
=
nên 2
n
2 2n 1
³
+ mà vì 1 1
2 2n 1+
å phân kỳ, ta có 2
n x
å phân kỳ
Từ đó suy ra
p 2£ : ta có p 2
x ³x nên p
n 1 x
¥
å phân kỳ
p 2> :
Trang 6Ta có
p
+
( )p2
1 2n 1
£ +
1 (2n 1)
¥
= +
å hội tụ (p 1)
2 > , nên p
n
n 1 x
¥ +
å hội tụ
<VI.7> Khảo sát sự hội tụ tuyệt đối của a)
( )
2n 1 2n 1 x ( 1)
2n 1 !
+ +
-+
å b)
( )
n
n 1
n
x ( 1)
x 2
+
-+
å
Giải:
a) Đặt
( ) ( )
2n 1 2n 1
2n 1 n
x x
a ( 1)
2n 1 ! 2n 1 !
+ +
+
Ta có
( ) ( ) ( )( )
n 1
n
a
+ +
+
Vậy åan hội tụ với " Ỵx hay
( )
2n 1 2n 1 x ( 1)
2n 1 !
+ +
-+
å hội tụ tuyệt đối tại " Ỵx
b) Đặt
( )
n n
n 1
x x
+
n
n
x a
x 2
= +
Ta có x 1 x x 2
+
Û > -x 1
x 1 x 1
x 2 > Û < -+
x = -1 thì an =1 nên åan phân kỳ
Vậy
( )
n
n 1
n
x ( 1)
x 2
+
-+
å hội tụ tuyệt đối khi và chỉ khi x > -1
Trang 7<VI.8> Cho ( )bn n bị chặn và an ³ "0, n Giả sử åan hội tụ CMR åa bn nhội tụ Giải:
Do ( )bn n bị chặn nên $ >M 0 : | b | M,n £ "n
nên M.an ³| a b |,n n "n (an ³0)
và åManhội tụ nên åa bn n hội tụ, do đó åa bn n hội tụ
<VI.9> Xét tính hội tụ của ( )k
p
ln n n
å với k 1> và p 1>
Giải:
Với p > 1, ta có p 1= + a trong đó a >0 Xét
( )
( )
k
k p
n 2 1
2
ln n
ln n
n n
a ®¥
a +
a
Mà
1 2
1 n
a +
å hội tụ, nên ( )k
p
n 2
ln n n
¥
=
å hội tụ
<VI.10> Khảo sát tính hội tụ của
n 2
1
( , 0)
n ln n
¥
a b
=
a b >
å
Giải:
Xét hàm số f (x) 1
x ln xa b
= xác định trên [2, )¥ và là hàm số giảm
Hơn nữa ở bài tập tích phân, ta có
a >1
2
dx
x ln x
¥
a b
ị hội tụ
a <1
2
dx
x ln x
¥
a b
ị phân kỳ
a =1
- b >1
2
dx
x ln x
¥
a b
ị hội tụ
- b £1
2
dx
x ln x
¥
a b
ị phân kỳ Từ đó
n 2
1
n ln n
¥
a b
=
å hội tụ khi và chỉ khi a >1 hay a =1 và b >1
Trang 8<VI.11> Cho 2
n a
å và 2
n b
å hội tụ CMR åa bn n hội tụ Giải:
Ta có 2n 2n
n n
2
+
mà 2
n a
n b
å hội tụ nên 2 2
a +b
å hội tụ và do đó a2n b2n
2
+
å hội tụ vậy
n n
a b
å hội tụ, suy ra åa bn n hội tụ
<VI.12> Cho an ³ "0, n và åan phân kỳ CMR n
a
1 a
¥
= +
å phân kỳ, còn n
2
a
1 n a
¥
= +
å hội tụ
Giải:
Giả sử n
n n
a
0
1 a ®®¥
+ , nếu ngược lại thì n
a
1 a
¥
= +
å phân kỳ
Ta có : "e >0 , đặt '
1
e
e = + e
n '
0
n
a
n : n 0
1 a
+
an ' ' , n n0
1
e
Vậy n
n lim a =0
từ đó an £ a , n Nn " ³ 0 (N0 đủ lớn)
Suy ra lúc đó å an phân kỳ
Hơn nữa n n
+ Và n
n n
a
1 a ³ 2
+ nếu an = 0
do 1 an 2
å phân kỳ nên n
n
a
1 a+
å phân kỳ
Dễ dàng kiểm chứng n
n
1 a n £ n "
+ từ đó do 12
n
å hội tụ, ta có n
2 n
a
1 n a+
å hội tụ
Trang 9<VI.13> Cho an ³0, "n và åanhội tụ CM an
n
å hội tụ Giải:
Từ ( )2
n
å hội tụ
Theo <V.11>, an
n
å hội tụ
<VI.14> Tìm miền hội tụ của : a) ånxn b) xnn
n
å
c) å2 x- n n d) 2xn
n +2n
å
Giải:
n
®¥
= Þ = ® tại x= ±1 chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ của ånxn là (-1,1)
chuỗi xnn
n
å có miền hội tụ là (-¥ +¥, )
1
2
å2 x- n n hội tụ trên "x :| x | 2< và phân kỳ với "x :| x | 2>
x=-2 : ( )n
n
2 2
-å phân kỳ
X= 2 : 2nn
2
å phân kỳ Vậy miền hội tụ là (-2, 2)
n n
a x
å hội tụ với "x : | x | 1<
và phân kỳ với "x : | x | 1>
tại x= ±1 chuỗi hội tụ
Trang 10Vậy miền hội tụ là [-1,1]
<VI.15> Tìm miền hội tụ của a) xn
n
å b) åx ln nn
c)
( )
n x 4n 1 !
-å d)
( )
n n 2 x 2n 7 !+
Giải:
a) Bán kính hội tụ là R = 1
x 1= chuỗi phân kỳ
x= -1 chuỗi hội tụ (theo Leibnitz) miền hội tụ là [ 1,1)
-b) Bán kính hội tụ là R=1 tại x= ±1 chuỗi phân kỳ
Miền hội tụ là (-1, 1)
c)
( )
n
1 a
4n 1 !
=
n 1 n
4n 1 !
+
Bán kính hội tụ R= ¥ Miền hội tụ là (-¥ +¥, )
d)
( )
n n
2 a
2n 7 !
= + thì
( ) ( ) ( )( )
n 1
n 1
n n
2n 7 !
+
miền hội tụ là (-¥ +¥, )
<VI.16> Chứng minh rằng n
n 0 x
¥
=
å hội tụ đều trên [0, ]1
2 và không hội tụ đều trên (0, 1)
Giải:
Ta có
n n
ỉ ư
£ç ÷ " Ỵ
è ø Và 1n
2
å hội tụ nên åxn hội tụ đều trên [0,1
2]
n
S (x) 1 x x= + + + + x
1 xn 1
1 x
+
-=
-x (0,1)
n
1
1 x
-xét S (x)n 1 xn 1
+
Trang 11-với n cho trước, ta có : n
x 1
x lim
1 x
® = ¥
- nên x : xn 1
1 x
Vậy Sn(x) không hội tụ đều về S(x) trên (0, 1)
<VI.17> CMR ( ) n
n 0
1 x x
¥
=
-å không hội tụ đều trên [0, 1]
Giải:
n
k 0
1 x
1 x
+
¥
+
=
-å
S (x) 0n = tại x 1= Vậy S (x)n S(x) 1, x 1
0 , x 1
¹ ì
ỵ
do đó : ( ) n
n
f (x)= -1 x x liên tục trên [0, 1] và S(x)không liên tục trên [0, 1] nên
n
S (x) không hội tụ đều về S(x) trên [0, 1]
<VI.18> Chứng minh 2 1 2
n +x
å hội tụ đều trên [0, )¥ Giải:
do åan hội tụ nên åf (x)n hội tụ đều
<VI.19> Chứng minh sin nx
n n
å hội tụ đều trên Giải:
Với f (x)n sin nx
n n
=
do f (x)n 1
n n
£ và 1
n n
å hội tụ nên åf (x)n hội tụ đều
<VI.20> Xét tính hội tụ đều của åx en - nx trên [0,¥) Giải:
Xét hàm số n nx
n
f (x) x e= - ta có ' nx n nx
f (x) nx e= - - -nx e
=nx en 1- -nx(1 x- )
Trang 12
n
0 f (x) e£ £ - , " Ỵx [0,¥) mà åe-n hội tụ vậy åf (x)n hội tụ đều
<VI.21> Chứng minh chuỗi xnn
1 x+
å hội tụ đều trên mọi đoạn [0, c] với 0 c 1< < , nhưng không hội tụ đều trên [0,1)
Giải:
Với mọi số c (0,1)Ỵ Xét hàm số f (x)n xn n
1 x
= + tăng (theo biến x)
c
1 x
+
Do åcn hội tụ nên åf (x)n hội tu đều trên [0, c]
Xét trên [0, 1) Đặt n n k k
k 1
x
S (x)
1 x
=
= +
å
m, n
" cho trước ta có
m n n 1n 1 m 1m 1 ( )
do nn
x 1
lim
® = + nên x [0,1 :) xn n 1
+ vậy åf (x)n không hội tụ đều trên [0, 1)
<VI.22> Cho 2
n 1
1
f (x)
1 n x
¥
=
= +
å
a) Tìm miền xác định của f
b) Xét tính liên tục của f
Giải:
a)
x = 0 , chuỗi không hội tụ nên f không xác định
x 0 1 +¥
' n
f (x) + 0 -
n
f (x) e-n
0 0
Trang 13x 12
n
= - , số hạng tổng quát 12
1 n x+ không xác định, hàm số không xác định
x \{0, 1 1 1, 2, 2 , }
1 2 3
2
1
1 n x+
å hội tụ tuyệt đối , f xác định
Vậy miền xác đinh của f là D \{0, 1 1 1, 2 , 2 , }
1 2 3
b) Lấy x0 bất kỳ trên D
Tồn tại a bỴ, : x0Ỵ a b Ì[ ], D
Do f (x)n 12
1 n x
= + giảm (theo biến x) trên [ ]a b, nên
[ ]
f ( ) f (x) f ( ), xb £ £ a " Ỵ a b " Ỵ N, , n , vì vậy f (x)n £max( f ( ) , f ( ) ) an b n a = n Trong đó an = f ( )n a hay an = f ( )n b và có åan hội tụ Suy ra åf (x)n hội tụ đều trên [ ]a b, , mà các hàm fn liên tục trên [ ]a b, , vậy f liên tục trên [ ]a b, Tức là f liên tục tai x0 và do đó f liên tục trên D
<VI.23>Xét tính liên tục của f (x) 3nx2 3
=
+
å trên [0,¥) Giải:
Với x 0³ thì : 3nx2 3 nx32 x22
+ Với bất kỳ x 0³ tồn tại a > 0 thỏa 0 x a£ £ nên
0 3nx2 3 n.a32 a22
+ mà a22
n
å hội tụ nên 3nx2 3
x +n
å hội tụ đều trên [0, a]
suy ra f (x) 3nx2 3
=
+
å liên tục trên [0, a] (vì f (x)n 3nx2 3
= + liên tục, "n)
Þf liên tục tại moi xỴ[0,¥)
<VI.24> Tính đạo hàm của f (x) 2 1 2
=
+
å
Giải:
Trang 14với f (x)n 21 2
= + ta có
'
2x
f (x)
-= + nên '
2 | x |
f (x)
n
£ với x0Ỵ cho trước
' n
f (x)
å hội tụ đều trên [x0-1, x0+1]
åf (x)n hội tụ đều trên [x0-1, x0+1], ta lại có các hàm '
n
f liên tục nên
'
'
vậy
'
2
2x
+
<VI.25> Tính các tổng vô hạn:
a) -2x 4x+ 3-6x5+ + - ( 1) 2k.xk 2k 1- | x | 1<
b) 1 2x 3x2 32 nxn 1n
-+ + + + + | x | a<
c) x x2 x3 xn
+ + + + + | x | 1<
Giải:
a) Xét chuỗi n 2n 1
n 1 ( 1) 2nx
¥
-=
-å (1) | x | 1<
n
f (x) ( 1) 2nx= - - có một nguyên hàm là
n 2n n
F (x) ( 1) x= - Chuỗi (1) có bán kính hội tụ là R = 1, nên với mọi x0Ỵ -( 1,1)
0
-(1) hội tụ đều trên [-a a, ] Hơn nữa åF (x)n cũng hội tụ trên [-a a, ] nên:
=
=
S (x) F (x) F (x)n = 1 + + n
2
1 ( x )
1 x
1
x
1 x
¥
®¥
-+
å
Trang 15nên
' 2
f (x)
¥ = -ỉ ư =
å
b) Chuỗi cho có dạng åf (x)n với
f (x)n nxn 1n
a
-= với | x | a<
có nguyên hàm là F (x)n xnn x n, x 1
ỉ ư
è ø Lý luận như trên :
' n
f (x)
=çç ç ÷ ÷÷ =
-è ø
c) Chuỗi đã cho có dạng n
n 1
f (x)
¥
=
å với
n x n 1
n
0
x
n
do n 1
n 1 t
¥
-=
å hội tụ đều trên [0, x], với | x | 1<
n
f (x) ¥ t dt- ¥ t - dt
x ( )
0
dt
ln 1 x
1 t
-ị
<VI.26> Cho n 2n 1
n 0
x
f (x) ( 1)
(2n 1)!
+
¥
=
-+
å
và n 2n
n 0
x
(2n)!
¥
=
-a) CMR f (0) 0= và f (0) 1= b) f ,g khả vi trên và f (x) g(x)''
g (x) f (x)
ï í
=
Giải:
a) Bạn đọc tự kiểm tra
b) Các chuỗi f (x),g(x) có bán kính hội tụ là R= ¥ nên hội tụ đều trên mọi đoanj
[ ]a, b Các hàm thành phần
( )
2n 1 n
n
x
f (x) ( 1)
2n 1 !
+
=
và n 2n
n
x
g (x) ( 1)
(2n)!
Trang 16khả vi liên tục trên
Do '
f (x) g (x)= và '
g (x)= -f (x)
-Sự hội tụ đều của f (x),g(x) dẫn đến sự hội tụ đều của '
n
f (x)
n
g (x)
å
Từ đó
'
f (x)=ỉ f (x)ư = f (x)= g (x) g(x)=
và
'
g (x)=ỉ g (x)ư = + g (x)= - f (x)= -f (x)