Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn KHỐI CẦU Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy AB = a cạnh bên SA = a AC cắt BD O a/ Chứng minh O tâm mặt cầu (S) qua điểm S, A, B, C, D tính bán kính R b/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải: a) Gọ i O = AC ∩ BD Khi : OA = OB = OC = OD = a 2 (1) 2 Vì SO ⊥ (ABCD) ⇒ ∆SOA vuô ng tạ i O ⇒ SO = SA − AO = a ⇒ SO = (2) a 2 ⇒ nă m điể m A,B,C,D,S cù ng nằ m trê n mặ t cầ u tâ m O , Từ (1),(2) suy : OA = OB = OC = OD = OS = bá n kính : R = b/ V = V = S a 2 ABCD SO = a a a 3 a (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hính chóp theo a Giải: a) * Gọi O trung điểm SC * Chứng minh: Các ∆ SAC, ∆ SCD, ∆ SBC vng A, D, B SC SC ) ⇔ S(O; 2 a SA + AC2 = a πa3 = 3πa ; * V = π = * OA = OB = OC = OD = OS = SC = 2 a 3 * S = 4π b) * R = Bài 3: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a đường chéo tạo với đáy góc 45 Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Giải: Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn 45 = CAC' = ,AC' 2a tâ m O trung điể m củ a AC' AC' Bá n kính : R = = a →= V πa Bài : Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu Giải: a) * Gọi O trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: ∆ DAC vng A ⇒ OA = OC = OD = CD D (T/c: Trong tam giác vng trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) * Chứng minh: ∆ DBC vng B ⇒ OB = O CD CD * OA = OB = OC = OD = CD ⇔ A, B, C, D ∈ mặt cầu S(O; 2 C A ) b) * Bán kính R = = CD = 2 AD2 + AC2 = B AD2 + AB2 + BC2 5a 25a2 + 9a2 + 16a2 = 2 5a 4 5a 125 2πa3 * S = 4π ; * V = R = = 50 π a π π = 3 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu Giải: HD: * Gọi I trung điểm AB Kẻ ∆ vng góc với mp(SAB) I * Dựng mp trung trực SC cắt ∆ O ⇒ OC = OS (1) * I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB (vì ∆ SAB vng S) ⇒ OA = OB = OS (2) * Từ (1) (2) ⇒ OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) C c O S B b a I A Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn SC AB + = * R = OA = = OI + AI a + b + c2 a + b + c2 * S = 4π π(a2 + b2 + c2 ) = a + b + c2 * V = π = π(a2 + b2 + c2 ) a2 + b2 + c2 Bài 6: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với đơi với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Giải: Gọi I trung điểm AB Từ I kẻ đường thằng ∆ vng góc với mp(SAB) ∆ trục ∆SAB vng Trong mp(SCI) , gọi J trung điểm SC , dựng đường trung trực cạnh SC ∆SCI cắt ∆ O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Khi : Tứ giác SJOI hình chữ nhật Ta tính : SI = = OS = , OI = JS = , bán kính R AB = 2 Diện tích : S = 4πR2 =π (cm ) Thể tích : V = πR = π (cm3 ) = 60° Bài 7: Cho tø diƯn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC), SA = a; AB = AC= b, BAC X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n h×nh cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn S.ABC Giải: Gäi I lµ träng t©m tam gi¸c ABC th× I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC; ®êng th¼ng (d) ®i qua I , vu«ng gãc víi mp(ABC) mp trung trùc cđa SA c¾t (d) t¹i O, OA =OB = OC = OS nªn O lµ t©m mỈt cÇu a b a 2b r =OA2 =OI + AI = + = + 3.2 2 S O A C I B Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a Giải: a a3 = = = Vlt AA '.S a ABC 4 Gọi O , O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , ∆A ' B'C ' thí tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ trung điểm I OO’ a a a 21 ) +( ) = a 21 πa Diện tích : Smc =π R =π ( ) = Bán kính R =IA = AO2 + OI2 = ( Bài 9: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ®Ịu cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¸c c¹nh ®Ịu b»ng a, c¹nh bªn b»ng b TÝnh thĨ tÝch mỈt cÇu ®i qua c¸c ®Ønh cđa l¨ng trơ Giải: -Gäi O vµ O’ lµ t©m ∆ABC vµ ∆A’B’C’ th× OO’ lµ trơc cđa c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC vµ∆A’B’C’ -Gäi I lµ trung ®iĨm OO’ th× IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I lµ t©m mỈt cÇu ngo¹i tiÕp l¨ng trơ -B¸n kÝnh mỈt cÇu lµ R = IA AA1 = a 3 7a2 12 ⇒ AI = a Tam gi¸c vu«ng AOI cã: AO = OI = OO' = 12 AA' = ⇒AI2 = OA2+OI2 = a 3 b + b4 = a2 = V= πR = 43 π AI2 = a + 3b 12 a3 73 ⇒ AI = = a 3π 28 72 a + 3b 2 = 7πa 18 = 21.a 54 =R V= 3 π R= π 8.3 (4a + 3b )= 18 (4a + 3b ) Bài 10: Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy đường cao h = Hãy tính Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải: Gọi hình chóp cho S.ABC O tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABC Khi SO trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy : SO ⊥ (ABC) Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d cạnh SA , cắt SO I IS I ∈ d ⇒ IA = ⇒ IA = IB = IC = IS I ∈ SO ⇒ IA = IB = IC Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I bán kính R = SI Ta có= OA AE AB = = 3 2 Vì ∆ SAO vng O nên SA = SO2 + OA2 = + = Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên : 3 SJ.SA SA2 = = = Vậy bán kính SJ.SA = SI.SO ⇒ SI = 2.SO 2.1 SO R = SI = Diện tích mặt cầu : S =π R2 =π (đvdt) Thầy Hà Hữu Hải - facebook.com/thaygiaohaihn ... Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b, BAC Xác định tâm bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC Gii: Gọi I trọng tâm tam giác ABC I tâm đường tròn ngoại tiếp