bài tập chuyên đề dãy số

Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  1 BÀI TẬP DÃY SỐ 1. Cho dãy số   n u xác đònh bởi:   3 2 2 3 1 . ! n u n n n n     . Hãy tính tổng 1 2 2013 S u u u     . Đáp số: 2 2014 .2014 ! 1 S   . 2. Cho dãy số   n u xác đònh bởi: 4 2 2 arctan 2 n n u n n    . Hãy tính tổng 1 2 2013 S u u u     . Đáp số:   2 arctan 2013 2014 4 S     . 3. (VMO 2001, bảng B). Cho dãy số   n x được xác đònh như sau: 1 2 3 x  và   1 2 2 1 1 n n n x x n x     với mọi * n   . Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy   n x . Đáp số: 4002 4003 . 4. Giả sử 1 , n a n   và lim 1 n n a   . Cho k    , hãy tính 2 lim 1 k n n n n n a a a k a       . Đáp số:   1 2 k k  . 5. Với    , hãy tính 2 2 2 1 1 2 1 lim n n n n n n                                      . Đáp số: 2 1 3     . 6. Cho    . Hãy tính   limsin ! n n   . Đáp số: 0. 7. Tìm giới hạn của dãy số   n x biết: 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n n x n n n n                      . Đáp số: e . Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  2 8. Tìm giới hạn của dãy số   n x biết: 2 1 1 1 n n k k x n n            . Đáp số: 3 2 e . 9. Tính giới hạn: 2 1 lim 1 . n n n e n          . Đáp số: 1 2 e  . 10. Cho dãy số   n S xác đònh bởi: 1 cos n n k k S k n    . Tìm giới hạn: 2 lim n n S n  . Đáp số: 1 2 . 11. Tính        1 1 1 lim 1 1 2 2 2 1 n n n n n n n                 . Đáp số: ln 2 . 12. Cho dãy số   n a xác đònh bởi:   1 1 0 ln 1 1 , n n a a a n            . Hãy tính: a) lim n n na  ; b)   2 lim ln n n n na n   . Đáp số: a) 2 b) 2 3 . 13. Cho dãy số   n a xác đònh bởi công thức: 0 1 2 1 1 1 1 n n n n n n a C C C C      , 1 n   . Hãy tính lim n n a  . Đáp số: 2 . 14. Với x   đònh nghóa   x x x       . Hãy tính   lim 2 3 n n        . Đáp số: 1. 15. Cho hai dãy số dương   n a và   n b thỏa mãn điều kiện: Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  3 1 2 1 2 lim lim 0 n n n n n n a b a a a b b b           . và cho dãy   n c xác đònh như sau: 1 2 1 1 n n n n c a b a b a b      , n   . Hãy tính 1 2 lim n n n c c c c     . Đáp số: 0. 16. Tính   lim ! ! n n e ne       . Đáp số: 0. 17. (VMO 1994, bảng A). Cho   0,1 a  . Xét dãy số   n x được xác đònh bởi: 2 0 1 1 4 arccos arcsin , 2 1 n n n x a x x x n                     . Chứng minh rằng   n x có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng và tìm giới hạn đó. Đáp số: 1. 18. (VMO 2000, bảng B). Cho số thực 2 c  . Dãy số   n x được xây dựng theo cách sau: 0 1 0 , n n x c x c c x n             nếu các biểu thức dưới căn là không âm. Chứng minh rằng: dãy   n x được xác đònh với mọi giá trò n và tồn tại giới hạn hữu hạn và tồn tại giới hạn hữu hạn lim n n x  . Đáp số: 1 4 3 lim 2 n n c x      . 19. (VMO 2003, bảng B). Cho số thực 0   và cho dãy số thực   n x xác đònh bởi: 1 0 x  và   1 1, 1 n n nx x         . a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy   n x . Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  4 b) Chứng minh rằng dãy   n x có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn đó. Đáp số: a) – Với 2    thì 1 n n x n   . – Với 2    thì           2 1 1 1 1 11 1 n n n n n x                     . b) – Với 1 1    thì lim 1 n n x   . – Với 1 1    thì lim 1 n      . 20. (VMO 2005, bảng B). Cho dãy số   n x xác đònh bởi: 1 4 0 ; 3 x a         và 3 2 1 3 7 5 , 1 n n n n x x x x n       . Chứng minh rằng: dãy   n x có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn đó. Đáp số: – Nếu 0 a  thì lim 0 n n x   – Nếu 4 3 a  thì 4 lim 3 n n x   – Nếu 4 0 ; 3 a        thì lim 1 n n x   21. (VMO 2004, bảng A). Xét dãy số thực   n x được xác đònh bởi: 1 1 x  và     2 1 2 cos2 cos , 2 2cos2 2 c 2 1 os n n n x x n x              trong đó  là một tham số thực. Hãy xác đònh tất cả các giá trò của  để dãy số   n y với 1 1 1 1 , 2 n n k k y n x       có giới hạn hữu hạn khi n   và hãy tìm giới hạn của nó. Đáp số: , k k      và 1 lim 2 n n y   . 22. (VMO 1998, bảng B). Cho số thực a . Xét dãy số   n x được xác đònh bởi: 1 x a  và   2 1 2 3 1 , 3 1 n n n n x x x n x       . Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  5 Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đáp số: – Nếu 0 a  thì lim 0 n n x   – Nếu 0 a  thì lim 1 n n x   – Nếu 0 a  thì lim 1 n n x    23. Cho dãy số   n u xác đònh bởi: 1 1 2 1 , 1 2 1 n n n u u u n u             . Hãy tìm 1 lim n n n u u   . Đáp số: 2 1  . 24. (Moldova 2011). Cho dãy số   n x xác đònh như sau: 0 1 1, 41 x x   và   2 2 2 1 3 8 n n n n x x x x      . Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho và chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số tự nhiên. Đáp số:           1 25 17 3 2 3 25 17 3 2 3 44 1 6 n n n n x               . 25. Cho   n x là một dãy số bò chặn trên và thỏa mãn điều kiện: 12 1 3 , 1 4 4 nn n nx x x      . Chứng minh rằng dãy   n x có giới hạn hữu hạn khi n   . 26. (Đề nghò OLP 30/4/2000). Cho dãy số   n x thỏa mãn: 0 , , 1 n m n m x x x m n       . Chứng minh rằng dãy số n x n       có giới hạn hữu hạn. 27. (OLP 30/4/2013). Cho dãy số   n x như sau: 1 1 x  và 1 1 14 51 , 5 2 18 n n n x x n x         . Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  6 Tìm 2013 x và tìm lim n n x  . Đáp số: 2012 2013 2012 34 33.3 11.3 10 x    và lim 3 n n x    . 28. (Đề nghò OLP 30/4/2000). Cho dãy số   n u xác đònh như sau: 4 4 4 4 1 2 ; 0 2000.30 n n n n u a a a a      với * n   . Chứng minh rằng dãy số   n u hội tụ. 29. Cho dãy số   n x xác đònh như sau: 1 2 1 0, 2 x x   và   3 1 1 2 1 , 3 2 n n n x x x n        . Chứng minh rằng dãy số   n x hội tụ và tìm giới hạn của nó. Đáp số: 5 1 2  . 30. Cho dãy số   n x xác đònh bởi: 1 5 2 x  và 3 1 20 21 1 , 1 1 2 n n n n x x x n n         . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đáp số: 2. 31. (Đề nghò OLP 30/4/2011). Cho dãy số   n x xác đònh bởi: 1 2011 2010 x  và 2 1 2 4999 2 , 1 2499 n n n n x x x n n         . Chứng minh rằng dãy số   n x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đáp số: 1. 32. (Đề nghò OLP 30/4/2013). Cho dãy số   n x xác đònh như sau: 1 2 x  và 1 4 8 1, 1 n n x x n       . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Đáp số: 3. 33. (VMO 2013). Cho dãy số   n a xác đònh như sau: Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  7 1 1 a  và 1 2 3 2 1 , n n n a a a n       . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đáp số: 2. 34. (IMO Shortlist 1987). Cho     , k k a b là hai dãy số dương thỏa mãn: với mọi 1 n  ta có n n a b  và os o ,s 1 c c n n x n a x b x      . Chứng minh rằng dãy n n a b           có giới hạn hữu hạn và tính lim n n n a b  . Đáp số: 0. 35. (Đề nghò OLP 30/4/2002). Cho 0 a  và dãy   n x xác đònh như sau: 1 x a  và   1 3 3 1 3 4 log 1 , 3 n n x x n        . Tính lim n n x  . Đáp số: 2. 36. Cho dãy số   n x xác đònh như sau:   0 1 2011 ln 1 0 , n x n x x e n             . Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính giới hạn của nó. Đáp số: 5 1 ln 2          . 37. (Vietnam TST 1985). Cho dãy số   n x xác đònh như sau: 1 1 2 1 2,9 3 , 1 n n n x x x n x             Hãy tìm một số thực nằm bên trái dãy con   1 3 5 , , , x x x và nằm bên phải dãy con   2 4 6 , , , x x x của dãy   n x . Đáp số:   3 5 1 2  . Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  8 38. (Đề nghò OLP 30/4/2006). Cho dãy số   n u xác đònh bởi: 1 1 1, 3 u u   và 2 1 1 1 1 4 2 2 2 1 , n n n n n n u u u u u u n             . Chứng minh rằng dãy   n u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy đó. Đáp số: 2. 39. (Đề dự bò thi HSG tỉnh Gia Lai 2010, bảng A). Cho dãy số   n x xác đònh bởi:   2 0 1 2 3 5 , , log 3 4 , n n x x n x x x x n               . Chứng minh rằng dãy số   n x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đáp số: 2. 40. (Đề nghò thi OLP 30/4/2004). Cho dãy số   n u xác đònh bởi: 0 1 2 1 1 1 1 , 3 2 1 3 , 4 4 n n n u u u u u n                 . Tìm lim n n u  . Đáp số: 1. 41. Chứng minh rằng với 3 n  , phương trình   ln 1 n x x x   có đúng hai nghiệm là , n n u v trong đó n n u v  ; hơn nữa lim 1 n n u   , lim n n v    . 42. Cho phương trình: 2 * 3 2 , 4 n x x nx n      . Chứng minh rằng * n    , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   0; n u   . Chứng minh rằng dãy   n u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  9 Đáp số: 1 3 . 43. Cho phương trình: * 1 2 1 1 1 1 0, 1 2 n n x x x x n           . a) Chứng minh rằng với mọi * n   , phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất   0; 1 n u  . b) Chứng minh rằng dãy   n u với n u xác đònh ở câu a) có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Đáp số: b) 0. 44. Cho phương trình: 2 tan tan tan 0 2 2 2 n x x x                             . a) Chứng minh rằng với mỗi 2 n  , phương trình có một nghiệm duy nhất trong khoảng 0 ; 4        . Ký hiệu nghiệm đó là n u . b) Chứng minh rằng   n u có giới hạn hữu hạn khi n   . 45. Cho dãy hàm     n u x xác đònh như sau:     2 1 2 u x u x x    ;       1n n u x u u x   ; 1 n  . a) Chứng minh phương trình:   0 n u x  có đúng 2 n nghiệm phân biệt. b) Chỉ ra nghiệm lớn nhất n u của phương trình này và tìm lim n n u  . Đáp số: b) 2. 46. Cho phương trình:       1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 2 1 1 1x x x n n n n             , * n   a) Chứng minh rằng với 23 n  thì phương trình trên có nghiệm dương duy nhất. Ký hiệu nghiệm đó là   n u . Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia Văn Phú Quốc-GV. Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  10 b) Chứng minh rằng dãy số   n u có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn đó. Đáp số: b) 1. 47. (Vietnam TST 1990). Cho dãy số   n x thỏa mãn: 1 4 1 x x   ; 2 3 9 x x   và 4 4 1 2 3 n n n n n x x x x x      , * n    Chứng minh rằng dãy số   n x có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đáp số: 3. 48. Cho dãy số   n x được xác đònh bởi 1 2 3 1 2 3 0; 9 3 1 n n n n x x x x x x x n                 . Tìm lim n n x  . Đáp số: 9 2 . 49. Dãy số   n u được xác đònh bởi công thức 2 1 1 1 ( !) n n k u n k      . Chứng minh rằng dãy   n u có giới hạn hữu hạn và giới hạn đó là một số vô tỷ. 50. (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1999). Cho dãy 2 1, 1,2, n a n a n n    với a là tham số thực. a) Tìm các giá trò a sao cho   n a hội tụ. b) Tìm các giá trò a sao cho   n a tăng. Đáp số: a) 1 a   ; b) 1 a   . 51. (Balkan 2002). Cho   n a thỏa mãn điều kiện: 1 2 2 1 20, 30, 3 , 1 n n n a a a a a n         . Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 1 5 n n a a   là một số chính phương. Đáp số: 3 n  . 52. Cho dãy số   n a xác đònh bởi: 2 0 1 2; 4 0 15 60, n n n a a a a n       . [...].. .Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia 1 a  8 có thể biểu diễn thành tổng của 5 2n ba số nguyên dương liên tiếp với n  1 53 (VMO 1989) Xét dãy số Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13, Chứng minh rằng: số b  Đặt f n  1985n2  1956n  1960 a) Chứng rằng tồn tại vô hạn số F của dãy trên sao cho f F chia hết cho 1989 b) Tồn tại hay không một số G của dãy sao cho f(G) +... số nguyên dương n0 sao cho với mọi 62 Cho dãy số an được xác đònh bởi an  n  n0 thì a a2 a3    n1  n  2009 a1 a2 an 63 Cho dãy số un u1  2  xác đònh như sau:  1 un 1  1  u ;n  1,2, n  Gọi p là số lẻ, q là số chẵn bất kì Chứng minh rằng: up  uq Văn Phú Quốc-GV Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  12 Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia 64 (Taiwan 2000) Cho dãy. .. (St Petersburg City MO 2002).Cho dãy số an xác đònh bởi: Văn Phú Quốc-GV Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  11 Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia  an  1 , if an  1   2   2 an , if a  1 n 1  an  an  1 Cho a0 là một số nguyên dương, an  2 với mỗi n  1;2; ;2011 và a2002  2 Tính a0 ? Đáp số: a0  3.22002  1 u  0;u2  1 59 Cho dãy số un xác đònh bởi:  1  un...  1 là một số chính phương xn n  z n c) Tính xn ,yn , zn theo n Đáp số: d) d) Tính lim 1 2 68 Cho dãy số an xác đònh bởi: Văn Phú Quốc-GV Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  13 Bài tập dãy số và giới hạn dành cho hs thi Quốc gia a1  1   n 1 an  1.an1  2 an 2   1 n  1a1 ,n  2  a) Chứng minh rằng: a2  1,a3  3 a2  0,an 2  3 an1  an  0 n  2 b) Tìm số dư trong... dãy số nguyên n  3 , giả sử rằng dãy số thực dương a1 ,a2 , ,an thỏa mãn ai 1  ai 1  ki ai với dãy k1 ,k2 , ,kn là dãy số nguyên dương bất kỳ (trong đó a0  an và an1  a1 ) Chứng minh rằng: 2n  k1  k2   kn  3 n 65 (China 2000) Cho a1 ,a2 , ,an là các số không âm thỏa mãn: am  n  am  an m,n   Chứng minh rằng: n  am  ma1    1 am với m   mọi n  m 66 (China MO 2006) Cho dãy. .. n1 không phải là k 1995 một số chính phương n   * 56 (VMO 1987) Cho dãy số xn,yn xác đònh bởi:   1986 x0  365 ; xn 1  xn xn  1  1622 , n  0 3 và y 0  16 ; y n 1  y n  yn  1  1952 , n  0 Chứng minh rằng: xn  yk  0 , n,k  1 57 Cho dãy số xn xác đònh bởi: x0  0;x1  1; x2  0 và n 2   n  1 n  1 n1 x n n n Chứng minh rằng xn là số chính phương với mọi n  0... Tồn tại hay không một số G của dãy sao cho f(G) + 2 chia hết cho 1989? 54 (VMO 1998 A) Cho dãy số nguyên dương ann0 xác đònh bởi: a0  20, a1  100, an 2  4 an1  5 an  20 với n  0 Tìm số dương h nhỏ nhất có tính chất: an h  an chia hết cho 1998 với mọi n   Đáp số: h  108 55 (VMO 1995) Một dãy số an được xác đònh bởi: a  9an ,if n is even  a0  1,a1  3,an 2   n1 9 an 1 ... minh rằng:  Nếu p  5 là số nguyên tố thì up up  1 chia hết cho p 60 (BMO 1996, Round 4) Cho dãy số an xác đònh bởi: a1  1;an 1  an n  n an 2 Chứng minh rằng: an   n với n  4 (ký hiệu x là phần nguyên của     x ) 61 (BMO 2001, Round 4) Cho dãy an thỏa mãn a0  4;a1  22 và an  6 an1  an 2  0 với n  2 Chứng minh rằng tồn tại các dãy xn,yn gồm các số nguyên dương sao cho... rằng: n  am  ma1    1 am với m   mọi n  m 66 (China MO 2006) Cho dãy số an xác đònh bởi: a1  1 1 , ak  1   ak  k  1,2, 2 2  ak Chứng minh bất đẳng thức sau: n n    1  1   a1  a2   an   1 n   1      1  1   1 a   2a1  a2   an   n    a1  a2   n    67 Cho ba dãy số nguyên xn,yn,zn được xác đònh như sau: x1  3,y1  4,z1  5  xn1... 1a1 ,n  2  a) Chứng minh rằng: a2  1,a3  3 a2  0,an 2  3 an1  an  0 n  2 b) Tìm số dư trong phép chia an cho 3 c) Xác đònh an theo n Hãy chỉ ra rằng có nhiều vô hạn số hạng thuộc dãy Fibonacci xuất hiện trong dãy an 2n d) Chứng minh rằng: k 2 n k 1 C a  F2n1 k 1 2 e) Chứng minh rằng: an 1an1  1  an ,n  4 Văn Phú Quốc-GV Trường THPT chun Nguyễn Bỉnh Khiêm  14