bài tập chuyên đề đa thức

Cho hai đa thức: a Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có ba nghiệm phân biệt... Xác định tất cả các giá trị của a... Chứng minh rằng có vô hạn số.. Chứng minh rằng f cũng là một đa thức..

1 (VMO 2002) Cho a b c, , là ba nghiệm thực sao cho đa thức

P x x ax bxc có ba nghiệm thực

12a b 2 7c 6a  1 0a  2b

2 (VMO 2003) Cho hai đa thức:

a) Chứng minh rằng mỗi đa thức đều có ba nghiệm phân biệt b) Ký hiệu  , tương ứng là nghiệm lớn nhất của P x  và Q x  Chứng minh rằng 2  32  4

n n

n

minh rằng f x n  vô nghiệm nếu n chẵn và có duy nhất một

nghiệm nếu n lẻ

4 (Yugolavia TST 1999, Crux 2005) Cho P x là một đa thức bậc 2n

sao cho P 0  1 và P k   2k 1 ,k  1,2n

Chứng minh rằng: 2 2P n  1P n2  2  1

5 (Crux 2006) Tìm tất cả các giá trị a   để đa thức

  3

13

P x x  xa có 3 nghiệm nguyên

Đáp số: a  12

n

P x a a xa x  a x có hệ số không âm Giả sử P 4  2, 16P   8 Chứng minh rằng:

 8 4

P  và tìm tất cả các đa thức khi P 8  4

Đáp số: Với P 8  4 thì   1

2

7 (Spanish, Crux 2006) Cho hai đa thức:

P x x ax bx cx ; Q x  x4 cx3 bx2 ax 1 với a b c  , , Tìm điều kiện của a b c, , để P x Q x   , có nghiệm chung Hãy xác định tất cả các nghiệm của P x  và Q x .

Đáp số: * Điều kiện: b  2; ac 0

* Nghiệm của P x :

Nghiệm của Q x :

8 (Singapore 2002, Crux 2006) Biết đa thức   3 2

P x x ax bxc có 3 nghiệm nguyên dương phân biệt và P2002 2001 Xét đa thức

Q x  x  x biết P Q x    vô nghiệm Xác định tất cả các giá trị của a.

Đáp số: a  5951

9 (VMS 2009) Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn: 2 2 2

0 2 0

   







Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:

0

10 (Moscow 2011) Cho n 3 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực

  0 1 n n, n 0

thỏa mãn điều kiện 2 2

0 1 n n 0 n 1

a a a  a a a 

Đáp số: P x  a x n  1 n xa với a  1

11 (VMO 1979) Chứng minh rằng  x 1 tồn tại tam giác mà số đo 3

Tìm góc lớn nhất?

Đáp số: Góc lớn nhất là 0

120

12 (IMO Shortlist) Cho P x  là một đa thức bậc 3 với hệ số hữu tỉ Cho dãy hữu tỉ  q n được xác định như sau: q n  P q n1,  n 1

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k 1 sao cho với mọi n 1 ta có: q n k q n

13 (IMO Shortlist) Cho đa thức P x  thỏa mãn:

 0 0, 1     0 , 2 2 1     0 , 3 3 2  3 1   0

và P n  4 4P n  3 6P n  2 4P n  1P n 

Chứng minh rằng: P n  0,   n

14 (China TST 2006) Cho hàm số f :    thỏa mãn điều kiện:

Tìm tất cả các đa thức g x  với hệ số thực thỏa mãn

f n g nn

   

Đáp số: g n  n 1





 với  là nghiệm dương của phương trình 2

1 0

15 (VMO 1968) Cho ab 0 và ab 1

Chứng minh đa thức   2 n n

f x  x b xa có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  1;1 với mọi n nguyên dương

f x  x  m xm  m có nghiệm x x1, 2 Chứng minh rằng:

49

17 (Japan 1993) Cho đa thức H x  x3  3xp có nghiệm phụ thuộc

p

Xét hàm f p :

– Nếu H x  có 3 nghiệm thì f p  là tích của 2 nghiệm lớn nhất và bé nhất

– Nếu H x  có đúng 1 nghiệm thì f p  là bình phương nghiệm đó Tìm giá trị lớn nhất của f p  Đáp số:

 

maxf p  3 tại p 0

18 (VMS 2005)

a) Tồn tại hay không đa thức P x  thỏa mãn:

   

P x P x và P x  P x  x ?

b) Biết rằng đa thức Q x  có tính chất Q x  Q x ,   x Chứng minh rằng Q x   0   x

19 (USA TST 2010) Cho P x  là một đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn P 0  0 và P   0 , 1 , P   1 Chứng minh rằng có vô hạn số Chứng minh rằng có vô hạn số n sao cho

P n P0 ,P n 1 P1 ,  n

20 (Vietnam TST 1998) Cho hàm số f :    sao cho mỗi số dương

c, tồn tại đa thức P x c  sao cho     1998

,

c

f x P x  c x   x Chứng minh rằng f cũng là một đa thức

21 (Russia 2010) Cho hai số a b, mà a ab sao cho đa thức

P x  x  ax b x  bx a vô nghiệm Chứng minh rằng

20 ba không nguyên

1, 0

P x  rx qx px r chỉ có một nghiệm thực và nghiệm đó không phải nghiệm bội dãy số

 a n được xác định như sau:

2

0 1, 1 , 2

a  a  p a  p q và a n3  pa n2 qa n1ra n

Chứng minh rằng dãy số chứa vô hạn số âm

23 (Putnam 2008) Cho n 3 Xét hai đa thức f x g x   , hệ số thực sao cho n điểm f   1 ;g 1 , f   2 ; 2 , ,g  f n g n   ;  trong mặt phẳng là n

đỉnh của n giác đều theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

Chứng minh rằng bậc của f x  hayg x  lớn hơn n 2

k

1

1 2

2

n

k

x



  

25 (Bantic 2003) Chứng minh rằng với mọi nghiệm x của đa thức

3

x pxq với p q  , đều thỏa mãn: 2

4qxp

26 (Bantic 2004) Cho đa thức P x  với hệ số không âm Chứng minh rằng nếu P x P  1 1

x

 

 





 đúng với mọi x 1 thì cũng đúng với mọi x

dương

27 (Japan 2008) Cho đa thức P x  với hệ số nguyên sao cho  2

0

P n  với một số số n nguyên khác 0 Chứng minh rằng:  2

1

P k  với mọi

*

k  

28 (IMO Shortlist 2002) Cho đa thức P x  bậc ba có hệ số nguyên Giả sử rằng xP x   yP y  với vô số cặp số nguyên  x y x, , y Chứng minh P x  có nghiệm nguyên

29 (IMO Shortlist 2009) Cho đa thức P x  không hằng và có hệ số nguyên Chứng minh rằng không tồn tại hàm số T :    sao cho với mọi số nguyên x thỏa mãn      

n

   thì nhận giá trị

 

P n

30 (Bantic 2008) Cho đa thức P x  với hệ số nguyên và P x   5 tại 5 giá trị nguyên của x Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên

x sao cho   6 P x  4 hoặc 6  P x  16

31 (Germany) Giả sử A n  là tập các đa thức dạng:

n

0 a a n a a n a n an

   

   

Chứng minh rằng nếu đa thức P x A n Q   , x A m thì đa thức

     m

32 (IMO Shortlist) Cho n đa thức: P x P x1   , 2 , ,P x n  hệ số thực

Chứng minh rằng tồn tại 6 đa thức A x B x k   , k thỏa hệ thức sau đây:

1

n

k k



33 (Bulgaria 1998) Cho đa thức P x y n , ,  n 1 được xác định bởi:

 

Chứng minh rằng: P x y n ,  P y x n , , x y,   ,  n 1

34 (China 1996) Cho đa thức P x  bậc 5 có 5 nghiệm thực phân biệt Tìm số bé nhất của các hệ số khác 0

Đáp số: 3

35 (IMO Shortlist) Cho 2n 2 số a b i, i thỏa mãn:

0 b  a b i  a i i  n

Chứng minh rằng các nghiệm nếu có của đa thức

1

0 n 1 n n

a x a x   a có giá trị tuyệt đối không vượt quá nghiệm dương duy nhất x0 của phương trình: 1

36 (IMO 1974) Cho đa thức P x  có bậc m 0 và có các hệ số

nguyên Gọi n là số tất cả các nghiệm nguyên phân biệt của hai phương trình P x   1 và P x   1 Chứng minh rằng: nm 2

37 (Hungari 1979) Cho đa thức P x  có bậc  2n thỏa mãn điều kiện:

  1,k n, 1, ,0,1, ,

P k     n n

Chứng minh rằng:   2

P x      

38 (China TST 2009) Cho f x  là đa thức bậc n có các hệ số bằng

1

 Biết rằng đa thức x 1 là nghiệm bội cấp m với

2 ,k k ,k 2

2k 1

 

39 (VMO 2011) Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng đa thức P x y ,  x nxyy n không thể phân tích thành tích hai đa thức hai biến hệ số thực, khác hằng số

40 (Indonesia TST 2010) Giả sử đa thức P x   ax3 bx2 cxd có 3 nghiệm dương và P 0  0 Chứng minh rằng: 3 2

2b  9a d abc 