bài tập chuyên đề số học

Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 1. LÝ THUYẾT CHIA HẾT 1. (Hanoi 2002). Cho , a b    sao cho 2 2 a b ab   . Tính 2 2 a b A ab   . 2. (Kvant, Russia). Cho   1 2 * , ,. 1 , ;1 , n a na a     và thỏa mãn 1 2 2 3 1 0 n a a a a a a     . Chứng minh rằng: 4 n  . 3. (IMO 2001). Cho a b c d    là những số nguyên dương và giả sử     ac bd b d a c b d a c         . Chứng minh rằng: ab cd  không phải là số nguyên tố. 4. (Spanish MO 1996). Cho , a b   sao cho: 1 1 a b b a      . Chứng minh rằng ước chung lớn nhất của a và b không vượt quá a b  . 5. (Russia 2001). Cho , a b   và a b  thỏa:   ab a b  chia hết cho 2 2 a ab b   . Chứng minh rằng: 3 a b ab   . 6. (HMMT 2002). Hãy tính   2 3 2002 2;2002 2;2002 2;    . 7. (K u rschák 1953). Cho , n d    sao cho 2 2 d n . Chứng minh rằng 2 n d  không thể là số chính phương. 8. (IMO 1960). Tìm tất cả các số có ba chữ số chia hết cho 11 sao cho thương số trong phép chia số đó cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số. 9. (VMO 2007). Cho   \, 1 x y    sao cho 4 4 1 1 1 1 x y y x        . Chứng minh rằng: 4 44 1 1 x y x    . 10. (IMO 1967). Cho * , , k m n   sao cho 1 m k   là số nguyên tố lớn hơn 1 n  . Đặt   1 s c s s   . Chứng minh rằng:   1 2 1 n n m i k i c c c c c     . 11. (Romania 1999). Cho , , a b c là những số nguyên khác không, a c  sao cho 2 2 2 2 a a b c c b    . Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c   không phải là số nguyên tố. 12. (Romania 1999). Cho , , p q r là các số nguyên tố và n là một số nguyên dương sao cho 2 n n p q r   . Chứng minh rằng: 1 n  . 13. (IMO 1969). Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương a thỏa 4 z n a   không phải là số nguyên tố với mọi số nguyên dương n . 14. (IMO 1984). Tìm hai số nguyên dương , a b thỏa mãn hai điều kiện: (i).   ab a b  không chia hết cho 7 ; (ii).   7 7 7 a b a b    chia hết cho 7 7 . Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 15. (Vietnam 1983).Cho , 3 n n    . Chứng minh rằng nếu   2 10 0 10 n a b b    thì tích ab chia hết cho 6. 16.(Romania 2003). Cho n là một số nguyên dương chẵn và cho , a b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm a và b nếu n n a b a b   . 17. Chứng minh rằng 5 6 4 5 3 4  là một tích của hai số nguyên mà mỗi số này lớn hơn 2002 10 . 18. Cho 2 p  là một số lẻ và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng   1 2 1 n n n p p p p p    19. Tìm tất cả các cặp số nguyên   , m n sao cho những số 2 2 2 2 2 2 2 3 2, 2 3 2, 3 2 1 A n mn m B n mn m C n mn m             có một ước chung lớn hơn 1 20. Cho M là một tập hợp tất cả các giá trị ước chung lớn nhất của d của các số 2 3 13, 3 5 1, 6 8 1 A n m B n m C n m          với , m n là những số nguyên dương. Chứng minh rằng M là một tập hợp của tất cả các ước của một số nguyên k . 21. (St. Petersburg City MO 1998). Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n , giữa 2 n và   2 1 n  có thể tìm được ba số tự nhiên , , a b c sao cho 2 2 a b  chia hết cho c . 22. (India 1998). Tìm tất cả các bộ ba   , , x y n nguyên dương sao cho   , 1 1 x n   và 1 1 n n x y    . 23. (APMO 1999). Tìm số nguyên lớn nhất chia hết cho tất cả các số nguyên dương bé hơn căn bậc ba của nó. 24. (Russia 2001). Tìm số nguyên dương lẻ 1 n  sao cho a và b là hai ước nguyên tố cùng nhau bất kì của n thì 1 a b   cũng là ước của n . 25. (Vietnam 1979). Cho , m n là hai số nguyên tố cùng nhau. Hãy tìm   2 2 , m n m n   26. Cho , , , a b c d là các số nguyên dương thỏa mãn ab cd  . Chứng minh rằng n n n n A a b c d     là hợp số với mọi n nguyên dương. 27. Có tồn tại hay không 2013 số nguyên dương 1 2 2013 , , , a a a sao cho các số 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 1 2 2013 , , , a a a a a a a a       đều là số chính phương? 30. (Vietnam TST 1992). Chứng minh rằng: 125 25 5 1 5 1 N    không phải là số nguyên tố. 31. Cho , , x y p là các số nguyên và 1 p  sao cho mỗi số 2012 x và 2013 y đều chia hết cho p . Chứng minh rằng: 1 A x y    không chia hết cho p . 32. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước số tự nhiên của 4 p là một số chính phương. 33. Chứng minh rằng một số nguyên tố tùy ý có dạng 2 2 1 , n n    không thể biểu diễn được dưới dạng hiệu các lũy thừa bậc 5 của hai số tự nhiên. Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 34. Chứng minh rằng với 2 m  , giữa m và ! m có ít nhất một số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng có vô số số nguyên tố. 35. Có tồn tại một số tự nhiên n có thể viết dưới dạng: ! ! n x y   với , x y    và x y  bằng hai cách khác nhau hay không? 36. Chứng tỏ rằng số 444444 303030 3  không thể biểu diễn dưới dạng   2 3 x y với ,x y   . 37. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên 2 n  ta có:   1 2 1 2 1 0 . n n k n n k k C C       chia hết cho 1 4 n  . 38. Tìm tất cả các số hữu tỉ dương , x y sao cho x y  và 1 1 x y  là các số nguyên. 39. Cho p là số tự nhiên lẻ và các số nguyên , , , , a b c d e thỏa mãn các điều kiện: a b c d e     ; 2 2 2 2 a b c d    đều chia hết cho p . Chứng minh rằng số 5 5 5 5 5 5 a b c d e abcde      cũng chia hết cho p . 40. Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý 1 2 3 4 5 , , , , a a a a a . Xét tích sau đây:                     1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 4 5 P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a            Chứng minh rằng: P chia hết cho 288. 41. Giả sử phương trình 2003 2 0 x ax bx c     với các hệ số nguyên , , a b c có ba nghiệm nguyên 1 2 3 , , x x x . Chứng minh rằng: , , a b c có ba nghiệm nguyên         1 2 2 3 3 1 1 a b c x x x x x x       chia hết cho 2003 . 42. Cho ba số nguyên dương khác nhau , , x y z . Chứng minh rằng:       5 5 5 x y y z z x      chia hết cho       5 x y y z z x    43. Giả sử rằng số nguyên tố p có thể được viết thành hiệu hai lập phương của hai số nguyên dương khác nhau. Chứng minh rằng khi đem 4 p chia cho 3, nếu loại bỏ phần dư đi thì sẽ nhận được số là bình phương của một số nguyên lẻ. 44. (Komal - Hungary C.640, 2001). Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau: Nếu thay đổi hai chữ số cuối cùng của bình phương số tự nhiên đó, ta nhận được bình phương của số tự nhiên liền sau nó. 45. (Komal - Hungary C.676, 2002). Tìm số nguyên , a b sao cho   4 4 4 a a b b    là số chính phương. 46. (Komal - Hungary B.3525, 2002). Chứng minh rằng trong dãy 1 ; 31 ; 331 ; 3331 ; có vô hạn các hợp số. 47. (Komal - Hungary B.3474, 2001). Xác định chữ số thứ 73 tính từ bên phải của số :   2 112 111 1  . 48. (Komal - Hungary A.243, 2000). Xác định tất cả các số nguyên tố , p q sao cho: Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 2 1 3 1 1 1 1 n p q p q       với 1 , n n    . 49.(Komal - Hungary A.244, 2000). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 2 n a b   với , a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và ab chia hết cho mọi số nguyên tố bé hơn hoặc bằng n . 50. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995). Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , mệnh đề sau đây đúng: “ Số 7 là một ước số của 3 3 n n  nếu chỉ nếu 7 là một ước số của 3 3 1 n n  ”. 51. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1995). Cho 2 1 4 4 1 A x x    và 2 2 2 2 1 x B x x     . Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2 3 A B C   là một số nguyên. Giải 52. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1996). Cho số nguyên dương n và số thực  sao cho 1 osc n   . Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho cos k  là một số nguyên. 53. (The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1997). Tìm tổng tất cả các số tự nhiên dạng: 1 2 2 n a a a sao cho: (i). Không có một chữ số i a nào bằng 0. (ii). Tổng 1 2 3 4 2 1 2 n n a a a a a a     là một số chẵn. 54.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 1999). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho tổng bình phương các ước số của nó ( kể cả 1 và n ) bằng   2 3 n  . 55.(The Winter Mathematical Competitions in Bulgaria 2000). Chứng minh rằng chữ số hàng trăm của số 1999 2000 2001 2 2 2   là một số chẵn. 56. Viết tổng 2 3 2 2 2 2 1 2 3 n n     thành phân số tối giản p q . Chứng minh rằng: 8 p  với mọi 4 n  . 57. (APMO 1999). Xác định tất cả các cặp số nguyên   ; a b sao cho hai số 2 4 a b  và 2 4 b a  đều là những số chính phương. 58. (Singapore 1995-1996). Với mỗi số nguyên dương k . Hãy chứng minh rằng tồn tại một số chính phương có dạng: 2 7 k n  , trong đó n là số nguyên dương. 59. (Singapore 1996-1997). Ta viết bốn số nguyên 0 0 0 0 , , , a b c d trên một đường tròn theo chiều kim đồng hồ. Bước đầu tiên ta thay 0 0 0 0 , , , a b c d bằng các số 1 1 1 1 , , , a b c d với 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 , , , a a b b b c c c d d d a         . Ở bước tiếp theo ta thay 1 1 1 1 , , , a b c d bằng các số 2 2 2 2 , , , a b c d sao cho 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 , , , a a b b b c c c d d d a         . Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 Tổng quát ở bước thứ k , ta nhận được các số , , , k k k k a b c d trên đường tròn sao cho: 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , k k k k k k k k k k k k a a b b b c c c d d d a                 . Sau 1997 lần thay thế như trên ta đặt 1997 1997 1997 1997 , , , a a b b c c d d     . Hỏi tất cả các số , , bc ad ac bd ab cd    có đồng thời là các số nguyên tố hay không? Chứng minh cho câu trả lời. 60. (Hungary 2000). Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho với số p đó tồn tại các số nguyên dương , , n x y thỏa 3 3 n p x y   . 61. (China 2001). Cho 7 số nguyên tố khác nhau có thể được viết thành: ; ; ; ; ; ; a b c a b c a b c a b c a b c          trong đó, hai trong ba số ; ; a b c có tổng bằng 800. Gọi d là khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố. Hỏi giá trị lớn nhất có thể có của d ? 62. Cho đa thức   P x có các hệ số nguyên, biết rằng tồn tại số nguyên dương c sao cho không có số nào trong các số:       1 , 2 , , P P P c chia hết cho c . Chứng minh rằng với mọi số nguyên b , ta có:   0 P b  . 63.Chứng minh rằng nếu 2 2 x y  là một số chính phương với ,x y    thì 2 x y  là tổng của hai số chính phương. 64. Tìm số nguyên tố p sao cho 2 1 p  là lập phương của một số tự nhiên. 65. Chứng minh rằng đa thức:   9999 8888 7777 6666 4444 3333 2222 1111 1 P x x x x x x x x x          chia hết cho đa thức:   9 8 7 6 5 4 3 2 1 Q x x x x x x x x x x           . 66. (Bulgaria MO 1995, Round 3 ).Tìm tất cả các số nguyên dương , x y sao cho 2 2 x y x y   là số nguyên và nó là ước của 1995. 67. (Bulgaria MO 1995, Round 4 ). Giả sử ; x y là các số thực khác nhau sao cho có bốn số nguyên dương n liên tiếp nhau để n n x y x y   là một số nguyên. Chứng minh rằng: n n x y x y   là một số nguyên với mọi số nguyên dương n . 68. (Bulgaria MO 1996, Round 3). Chứng minh rằng với mọi số nguyên 3 n  , tồn tại các số nguyên dương lẻ n x và n y sao cho: 2 2 7 2 n n n x y   . 69.(Bulgaria MO 1998,Round 4). Gọi , m n là các số tự nhiên sao cho   3 1 3 n m A m    là số nguyên. Chứng minh rằng A là một số nguyên lẻ. 70. (diendantoanhoc.net). Cho ; ; ; a b c d    thỏa mãn 2 2 ac bd a b    . Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 Chứng minh rằng:   2 2 2 2 ; 1 a b c d    . 71. Tìm n nguyên dương sao cho: 33 3 3 1 2 2 4 7225 n n                   . 72. Tính:   1999 45 1999        , trong đó:   a là ký hiệu phần nguyên của số a. 73. Chứng minh rằng:   2 3 n        là số lẻ với mọi số tự nhiên n . 2. QUAN HỆ ĐỒNG DƯ 1. (Komal-Hungary C.691, 2002). Cho hình lập phương có ba cạnh là các số nguyên. Tổng thể tích của chúng bằng 2002 đơn vị được không? 2. (Komal - Hungary A.271, 2001). Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố 5 p  , số 2 0 3 k p p k C p    chia hết cho p . 3. (Komal - Hungary A.271, 2001). Tìm các cặp số   ; a b sao cho , a b    và 2 2 a ab b   là bội số của 5 7 . 4. Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh:   0 2 1 p k k p p p k k C C      chia hết cho 2 p . 5. Chứng minh rằng số: 555 222 222 555  chia hết cho 7. 6. Tìm bộ số nguyên dương   ; m n sao cho 2 2 p m n   là số nguyên tố và 3 3 4 m n   chia hết cho p 7. Chứng minh rằng: 2 1 3 2 1 0 2 n k k n k C     không chia hết cho 5 với mọi n là số tự nhiên. 8. Cho p là số nguyên tố khác 2 và , a b là hai số tự nhiên lẻ sao cho a b  chia hết cho p và a b  chia hết cho 1 p  . Chứng minh rằng: b a a b  chia hết cho 2 p . 9. Cho số nguyên tố 3 p  và m, n là hai số nguyên tố cùng nhau sao cho   2 2 2 1 1 1 1 2 1 m n p      . Chứng minh rằng m chia hết cho p . 10. (Baltic 2001). Cho a là số nguyên dương lẻ, m và n là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng:   2 2 2 2 2 ; 2 1 n n m m a a    . 11. Cho 5 n  là số tự nhiên. Chứng minh rằng:   1 ! n n          chia hết cho 1 n  . Biết a     là ký hiệu phần nguyên của a . 12. Tồn tại hay không một số nguyên x sao cho 2 1 2003 x x    ? Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 13. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n là ước số của 12 3 1  nhưng n không là ước số của 3 1 i  với mọi 1,2,3 , , 11 i  . Có bao nhiêu số n chẵn và bao nhiêu số n lẻ? 14. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p , tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: 2 n n p   . 15. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho   2 2 5 1 0 mod p p   . 16. Cho ; a b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương , m n sao cho: 1 m n a b ab    . 17. Cho 5 n  là số nguyên dương lẻ và có các số nguyên tố là 1 2 , , , k p p p . Chứng minh rằng   2 1 n   có ước số nguyên tố không thuộc tập   1 2 ; ; ; k p p p . 18. (IMO 1978). Cho m và n là những số tự nhiên với 1 n m   . Trong cách viết thập phân ba chữ số cuối cùng của 1978 m theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của 1978 n . Tìm các số m và n sao cho tổng m n  nhỏ nhất. 19. (VMO 2001 A). Cho số nguyên dương n và hai số nguyên tố cùng nhau , a b lớn hơn 1 . Giả sử , p q là hai ước lẻ lớn hơn 1 của 6 6 n n a b  . Hãy tìm số dư trong phép chia 6 6 n n p q  cho 6.12 n . 20. (VMO 2008). Đặt 2008 2007 m  . Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà n m  và     2 1 5 2 n n n   chia hết cho m . 21. Chứng minh rằng không tồn tại một dãy vô hạn tăng các số nguyên tố   n p thỏa mãn 1 2 1 n n p p    với mọi 1 n  . 22. Cho p là số nguyên tố,   1 2 ; ; ; p r r r và   1 2 ; ; ; p s s s là các hệ thặng dư đầy đủ modulo p . Hỏi tập hợp   1 1 2 2 ; ; ; p p rs r s r s có phải là một hệ thặng dư đầy đủ modulo p không? 23. Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì   2 ! 1 p p    nhưng nếu 5 p  thì   2 ! 1 p   không phải là một lũy thừa của p . 24. Chứng minh rằng: 2013 5 7 n  chia hết cho 12 với mọi số tự nhiên n . 25. (Nordic 1998). Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng các số   0;1;2; ; n k  thỏa mãn k n C lẻ là một lũy thừa của 2. 26. (Korea 1999). Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 1 3 n   và 2 1 3 n  là ước số của một số nguyên có dạng 2 4 1 m  . Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 27. (Bulgaria). Cho   7 4 3 , 1 n n a n   . Chứng minh rằng trong biểu diễn thập phân của n a có ít nhất n chữ số 9 nằm sau dấu phẩy. 28. (Ukraine 1976). Tìm bốn chữ số cuối cùng của số:     1976 1974 1975 1973 1976 1974 1976 1974a    . 29. Tìm ba chữ số tận cùng của số 10000 1995 1994 1993 M   . 3. DÃY SỐ VÀ SỐ HỌC 1. Cho dãy số   n u xác định bởi : 1 1 1 3 3 1 2 , n 1 n n u u u n n                   . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy số đều là số nguyên. 2. Cho dãy số   n u xác định như sau : 0 1 2 3 2 1 1 ! , n n n n n u u u u u n u u               . Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều nguyên. 3. Cho dãy số   n u xác định bởi : 2 4 4 1 , n 1 2 1 2 1 n n n u n n        . Chứng minh rằng : 1 2 40 u u u    là một số nguyên. 4. Cho dãy số vô hạn   n u xác định như sau :   2 3 7 n u n n    , * n  . Chứng minh rằng không có phần tử nào của dãy là lập phương của một số nguyên. 5. Cho dãy số   n u được xác định như sau: 3 5 3 5 2, 2 2 n n n u n                         Chứng minh rằng 2 1 k u  , k   là một số chính phương. 6. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy   n u xác định bởi: 0 2 1 1 2 3 2 n n n u u u u           đều nguyên. 7. Cho m    . Dãy   n u được xác định theo công thức: 1 2 * 1 1 5 . 8 n n n u u u mu n              . Tìm m để dãy   n u là một dãy số nguyên. Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 8. Dãy số   n u được xác định theo công thức: 1 3 2 1 2 3 2 9 9 3 2 n n u u u n n n n               . Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì dãy các tổng tương ứng: 1 2 1 p u u u     đều chia hết cho p . 9. (Putnam 1999). Dãy số nguyên   n u được xác định như sau: 1 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 1, 2, 24 6 8 4 n n n n n n n u u u u u u u u n u u                   . Chứng minh rằng n u luôn là bội của n . 10. Dãy số   n u được xác định như sau: 1 1 1 7 4 5 1975 2 n n n u u u u n            . Chứng minh rằng 1996 u chia hết cho 1997. 11. Cho dãy số   n u xác định như sau:   1 2 1 2012, 2013 1 2 2 n n n u u u u u n              . Chứng minh rằng số       2 2 2 1 2 2013 1 1 1 1 A u u u      là số chính phương. 12. Cho dãy số   n u xác định bởi: 1 1 1 os os os 7 7 3 7 5 n n n n u c c c       . Chứng minh rằng n u luôn là số nguyên và chia hết cho 8. 13. (VMO 1997). Cho dãy số nguyên   n u được xác định như sau: 0 1 2 1 1, 45, 45 7 n n n u u u u u n          . a) Tính số các ước dương của 2 1 2 n n n u u u    theo n . b) Chứng minh rằng 2 1 1997 7 .4 n n u   là số chính phương với mỗi n . 14. Cho dãy số   n u xác định bởi: 1 2 2 1 1 1 0 2 2 2 1 n n n n n u u u u u u n u                  . Chứng minh rằng n u nguyên với mọi n   . 15. Cho * k   và dãy số   n u thỏa mãn điều kiện: 0 1 2 1 1; 1; 4 n n n u u u u u       . Chứng minh rằng: 3 k n u  khi và chỉ khi 3 k n  . 16. Cho dãy số   n u được xác định bởi công thức: 1 2 3 2008 1 1 5, 7 6 3.2 n n n u u u u u             . Chứng minh rằng   n u không thể biểu diễn được dưới dạng tổng lũy thừa bậc 6 của ba số nguyên dương. Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Văn Phú Quốc , GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 17 . Gọi  là nghiệm dương của phương trình: 2 2014 1 0 t t    và dãy   n u được xác định như sau:   0 1 1, n n u u nu        , ở đây   x là ký hiệu phần nguyên của số thực x . Tìm số dư 2014 u khi chia cho 2014. 18. Cho dãy số   n u xác định như sau:       2 2 2 2 * 1 2 3 n u n n n n n          . Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 10. 19. Dãy số   n u xác định như sau: 2 n u n n         . Chứng minh rằng có vô số số hạng của dãy là số chính phương. 20. Cho dãy số     , n n u v xác định bởi: 0 1 1 1 3, 2, 3 4 n n n u u u u v       , 1 1 2 3 n n n v u v     với mọi * n  . Chứng minh rằng dãy   n w xác định bởi 2 2 1 4 n n n w u v   không chứa các số nguyên tố. 21. Cho dãy số   n u xác định bởi: 0 1 3 u u   , 1 1 7 1 n n n u u u n       . Chứng minh rằng 2 n u  là một số chính phương 1 n   . 22. (VMO 2011). Cho dãy số nguyên   n u xác định bởi: 0 1 1 2 1, 1, 6 5 2 n n n u u u u u n          . Chứng minh rằng: 2012 2010 u  chia hết cho 2011 . 23. Cho dãy số   n u xác định bởi: 0 2 1 1 7 45 36 , 2 n n n u u u u n              . Chứng minh rằng: a) n u là số nguyên dương n    . b) 1 1 n n u u   là số chính phương n    . 24. Cho dãy số   n u xác định như sau:     2 3 2 3 , 2 3 n n n u n        . a) Chứng minh rằng: n u là số nguyên n    . b) Tìm tất cả các số hạng của dãy chia hết cho 3 25. Cho     f x x   thỏa       0 1 0 1 1, , n n f f x x f x n          . Chứng minh rằng với mọi , , n m n m    ta luôn có:   , 1 m n x x  . 26. Cho * k   , xét   2 * 2 1 n n f k n      . Chứng minh rằng n f đôi một nguyên tố cùng nhau. 27. (Journal of Mathematical youth ). Cho dãy số   n a với 1 2 1 a a   và 2 1 1 n n n a a a n       . Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   ; a b , a b  thỏa 2 n n a na  chia hết cho b 1 n   . 28. Cho dãy số 2 4 38 n x n n n      . Tìm   lim n n x  ,   x là phần lẻ của x . 29. Xét dãy số     , n n u v xác định bởi: [...]... 1 đều chia hết cho m Văn Phú Quốc , GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia 45 (Slovenia 1999) Cho dãy các số thực a1 , a2 , , thỏa mãn điều kiện: a  an1 an 1 a1  2, a2  500, a3  2000 và n 2  n  2 Chứng minh rằng tất cả các số an1  an 1 an1 hạng của dãy đều là số dương và a2000 chia hết cho 22000 1 1 1     1 với các số. .. Chứng minh rằng: an là số lẻ với mọi n  2 41 Cho a, b là hai số thực khác 0 Xét dãy số un  xác định u  0; u1  1 bởi:  0 un 2  aun 1  bun n  0 Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng liên tiếp của dãy un  là số nguyên thì mọi số hạng của dãy đều là số nguyên 42 Cho dãy số nguyên an  thỏa mãn điều kiện: 0  an  7 an1  10an 2  9, n  0 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n0 sao cho... nhau Nếu các số lớn nhất trong các số ai là 2 p với p là số 46 (WMSETS 1999 - 2000) Giả sử nguyên tố nào đó, hãy tìm tập a1 , a2 , , am  47 (WMSETS 2000 - 2001) Cho a1  14, a2  144 và an  1444 4 với n số 4 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho an là số chính phương 48 (USAMTS 2000 - 2001) Xét dãy số thực s0 , s1 , s2 , thỏa mãn tính chất: (i) si s j  si  j  si  j với mọi số nguyên không... dãy k  an chỉ chứa một số hữu hạn số nguyên     tố 53 (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1997) Cho    là hai nghiệm của phương trình x 2  px  q  0 Với mọi số tự nhiên n ta n  n   a) Tìm p và q sao cho với mọi số tự nhiên n đẳng thức sau đây đúng: ký hiệu: an  Văn Phú Quốc , GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc... dãy số un xác định bởi:  1 un 2  un  un 1  1       61 (St Petersburg City MO 2002).Cho dãy số a  xác định bởi: Chứng minh rằng: Nếu p  5 là số nguyên tố thì u p u p  1 chia hết cho p n an 1  an  1 , if an  1    2 2an  , if an  1  1  an  Văn Phú Quốc , GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia Cho a 0 là một số nguyên... dãy số an  xác định bởi  0 an3  3an  2  2an 1  an n  0 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho các số an , an1  1, an  2  2 đều chia hết cho m 44 (BMO 2000, Round 3) Cho dãy số an  xác định bởi : a1  43 , a2  142 và an 1  3an  an 1 với mọi n  2 a) Chứng minh rằng :  an , an 1   1 với mọi n  1 b) Với mọi số tự nhiên m , tồn tại số. .. p, q nói trên ta có: an  an 1  an 2 với mọi số tự nhiên c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , an là số nguyên và nếu n  3 thì an là số chẵn 54 (The Winter mathematical competitions in Bulgaria 1998) Cho dãy số nguyên am mà khi viết trong hệ thập phân, các số hạng của dãy bao gồm     các chữ số chẵn a1  2, a 2  4, a 3  6, Tìm tất cả các số nguyên m sao cho am  12m   55 Lập dãy ak... si 12 với mọi số nguyên không âm i ; s0  s1  s2  0 Tìm ba số s0 , s1 , s2 49 (Putnam 1990) Xét dãy số 2,3, 6,14, 40,152, 784 với số hạng đầu là a0  2 và số hạng tổng quát an   n  4  an 1  4nan  2   4n  8 an 3 với mọi n  3 Chứng minh rằng mỗi số hạng của dãy trên có thể được viết thành tổng của các số hạng tương ứng của hai dãy quen thuộc 50 (Putnam 1991) Với mọi số nguyên dương... Chứng minh an là số chính phương với mọi n  0 36 Cho dãy số an  xác định bởi: a0  0, a1  1, a2  2, a3  6 và an  4  2an 3  an  2  2an1  an với mọi n  * Chứng minh rằng: an chia hết cho n , n  1 37 Cho k  , k  1 Xét dãy số an  xác định bởi: Văn Phú Quốc , GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm DĐ: 0982 333 443 Bài tập số học Bồi dưỡng HSG Toán Quốc gia a  4, a  a  k 2  2... (Bulgaria 1999) Cho dãy các số nguyên an  thoả mãn (n  1)an1  (n  1)an  2(n  1), n  * Biết a1999 chia hết cho 2000 Tìm số n nhỏ nhất sao cho an chia hết cho 2000  n  2 33 (Bulgaria 1978) Cho dãy số an  xác định như sau: 2 2 an 1  a a12  a2  a * a1 , a2 ,   ; an  0 n   và an  2  n  * a1a2 an ( a là số cho trước ) Chứng minh rằng dãy số đã cho gồm toàn số nguyên 34 ( Vietnam