Bài tập Chuyên đề: Đại số tổ hợp, xác suất

Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau h[r]

Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT I Các bài toán Chỉnh hợp, Tổ hợp và phép đếm A KiÕn thøc cÇn nhí: Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân Ho¸n vÞ, chØnh hîp, tæ hîp Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n  1) a) Ho¸n vÞ §N: Mçi kÕt qu¶ cña sù s¾p xÕp thø tù n phÇn tö cña tËp hîp A ®­îc gäi lµ mét ho¸n vÞ n phần tử đó Sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Pn Pn = n! = n(n-1)… 2.1 P1 = 1; Quy ­íc: P0 = 0! = b) ChØnh hîp §N: Mçi bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö cña tËp A lµ mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (cña tËp A) Sè chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Ank Ank  n(n  1) (n  k  1)  n! ; (n, k  N * , k  n) ; Quy ­íc An0  (n  k )! c) Tæ hîp §N: Mçi tËp gåm k phÇn tö cña tËp A ®­îc gäi lµ mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö Sè tæ hîp chËp k cña n phÇn tö kÝ hiÖu lµ: Cnk Cnk  Ank n!  ; (n, k  N ,  k  n) ; Chó ý: C00  C11  Cnn  Cn0  k ! k !(n  k )! TChÊt: Cnk  Cnn  k ; Cnk1  Cnk 1  Cnk B Bµi tËp Bài tập PT, BPT có liên quan đến các số Pn; Cnk ; Ank Bµi Gi¶i c¸c PT, BPT: a) Cn4  Cn5  3Cn61 §S: n = c) 23 An4  24( An31  Cnn  ) §S: n = b) Cnn21  Cnn  2,5 An2 §S: n  d) An3  2Cnn   9n §S: n = {3; 4} Bµi Gi¶i bÊt PT hai Èn n, k víi n, k  Pn 5  60 Ank32 (n  k )! Bµi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M  §S: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3) An41  An3 nÕu Cn21  2Cn2  2Cn23  Cn2  149 §S: 3/4 (n  1)! Bµi Cho tËp hîp A gåm n phÇn tö (n  4) BiÕt r»ng sè tËp hîp gåm phÇn tö cña A b»ng 20 lÇn sè tËp hîp gåm phÇn tö cña A §S: A cã 18 phÇn tö Lop12.net Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Các bài tập phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Bài Có phong bì thư khác và tem thư khác Người ta chọn và dán tem lên ba b× th­, mçi b× th­ gi¸n mét tem Hái cã bao nhiªu c¸ch lµm nh­ thÕ? §S: 1200 c¸ch Bµi (§H K D - 2004) Trong mét m«n häc, thÇy gi¸o cã 30 c©u hái kh¸c gåm c©u hái khã, 10 c©u hái trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hởi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi và số câu hái dÔ kh«ng Ýt h¬n ĐS: 56.875 cách chọn đề kiểm tra Bµi (§H K B - 2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam vµ n÷ §S: C124 C31.C84C21  207.900 Bµi (§H K D- 2006) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh gồm học sinh lớp T, häc sinh líp L, vµ häc sinh líp H CÇn chän häc sinh ®i lµm nhiÖm vô, cho häc sinh thuéc kh«ng qu¸ ba líp trªn Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nh­ vËy? §S: 225 c¸ch Bµi Cã nhµ to¸n häc nam, nhµ to¸n häc n÷, vµ nhµ vËt lÝ nam LËp mét ®oµn c«ng t¸c gåm nguêi cã c¶ nam vµ n÷, cÇn cã c¶ nhµ to¸n häc vµ nhµ vËt lÝ Hái cã bao nhiªu c¸ch? §S: 90 c¸ch Bài 10 Có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến và cầu vàng đánh số từ đến Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu vừa khác màu vừa khác số? §S: 64 c¸ch Bài 11 Có bao nhiêu cách phân phối đồ vật khác cho người, cho người nhận ít đồ vật §S: 150 c¸ch Bài 12 Trong chi đoàn có nam sinh và nữ sinh ưu tú (trong đó có nam sinh tên là Cường, và nữ sinh tên Hoa) Cần lập ban cán lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm nguời với yêu cầu có ít nữ ngoài không có mặt đồng thời Hoa và Cường Hỏi có bao nhiªu c¸ch lËp? §S: 260 c¸ch Bài 13 Cho hình thập giác 1) Hỏi có thể lập bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh thập giác, cạnh tam giác không là cạnh nào thập giác đó? §S: 50 tam gi¸c 2) Hỏi có thể lập bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh thập giác? ĐS: 10 Bµi 14 Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè ch½n, mçi sè cã ch÷ sè khác đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh §S: 360 sè Bài 15 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A và học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trường hợp sau: 1) Bất hai học sinh nào ngồi cạnh ngồi đối diện thì khác trường 2) Bất hai học sinh nào ngồi đối diện thì khác trường §S: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6! Lop12.net Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT II Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton A KiÕn thøc c¬ b¶n Công thức nhị thức Newton: Với số thực a, b và n nguyên dương ta có: a  b n n   Cnk a k b n  k (1) k 0 k k nk Sè h¹ng thø k+1 lµ Tk+1 = Cn a b 0kn (2) 2 n n Khai triển đặc biệt: 1  x   Cn  Cn x  Cn x   Cn x n (3) B Bµi tËp C¸c bµi tËp vÒ hÖ sè khai triÓn nhÞ thøc Newton Bµi 16 (§H KB - 2007) T×m hÖ sè cña x10 khai triÓn nhÞ thøc (2+x)n , biÕt r»ng 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  Cn2  3n 3 Cn3   (1) n Cnn  2048 §S: n = 11, hsè = 22 Bµi 17 (§H KD - 2007) T×m hÖ sè cña x5 khai triÓn biÓu thøc sau: P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 §S: 3320 Bµi 18 (§H KA - 2006) n T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa r»ng x26  7 khai triÓn nhÞ thøc Newton cña   x  , biÕt x  C21n 1  C22n 1  C23n 1   C2nn 1  220  §S: n =10, hsè = 210 Bµi 19 (§H KA - 2004) T×m hÖ sè cña x8 khai triÓn thµnh ®a thøc cña biÓu thøc P = 1  x (1  x)  §S: 238 Bµi 20 (§H KD - 2004) T×m c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x khai triÓn nhÞ thøc Newton  3  x   víi x > x  §S: 35 Bµi 21 (§H KD - 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n - là hệ số x3n -3 khai triển thành đa thức biểu thức (x2 +1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n §S: n = Bµi 22 T×m c¸c sè h¹ng lµ sè nguyªn khai triÓn (  2) §S: vµ 4536 Bµi 23 XÐt khai triÓn (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + …+a9x9 T×m Max{ai, i = 1, 9} §S: a5=a6 Bài 24 Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 + …+anxn Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10 Lop12.net Bài tập chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT III X¸c suÊt A Tãm t¾t lÝ thuyÕt (SGK) B Bµi tËp Bài 25 Cho hộp đựng 12 viên bi, đó có viên bi màu đỏ, viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất hai trường hợp sau: 1) Lấy ba viên bi màu đỏ 2) Lấy ít hai viên bi màu đỏ §S: 1) 35/220; 2) 140/220 Bài 26 Một khách sạn có phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, đó có nam và nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để 1) Cã kh¸ch nam vµ kh¸ch n÷ 2) Cã Ýt nhÊt hai kh¸ch n÷ §S: 1)3/7; 2) 27/42 Bài 27 Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách từ sân ga lên tàu, người độc lập với chọn nhẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có người, 1toa có người, hai toa còn lại không có người nào người đó §S: 3/16 Bài 28 Một người bỏ ngẫu nhiên ba lá thư khác vào ba phong bì đã ghi địa Tính xác suất để ít có lá thư bỏ đúng phong bì nó §S: 2/3 Bài 29 Có thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để tích cña hai sè trªn hai tÊm thÎ lµ mét sè ch½n §S: 13/18 Bài 30 Người ta sử dụng sách Toán, Vật lí, Hoá học (các sách cùng loại giống nhau) để làm giải thưởng cho học sinh, học sinh hai sách khác loại Trong số học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo Tìm xác suất để hai bạn đó có giải thưởng giống §S: 5/18 Bài 31 Có hai hộp đựng bi Hộp I có viên bi màu xanh, viên bi màu đỏ, hộp II có viên bi mµu tr¾ng, viªn bi mµu xanh LÊy ngÉu nhiªn mçi hép mét viªn bi BiÕt kÕt qu¶ lÊy bi ë mçi hộp là độc lập, tính xác suất biến cố lấy 1) A = “ hai bi cïng mµu” 2) B = “ hai bi kh¸c mµu” §S: Bài 32 Biết 20 vé số có vé trúng thưởng Chọn ngẫu nhiên vé, tính xác suất để có hai vé trúng thưởng Bài 33 Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự kì thi Biết khả đỗ người tương øng lµ 90% vµ 70% T×m x¸c suÊt cña c¸c biÕn cè sau: 1) Cả hai đỗ 2) Có ít người đỗ 3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt §S: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27% Bài 34 Một xạ thủ bắn hai viên đạn, xác suất bắn điểm 10 lần bắn là 0,7 và 0,9 Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít lần bắn đạt điểm 10 Bài 35 Một xạ thủ bắn viên đạn Xác suất để trúng viên vòng 10 điểm là 0,008, xác suất để viên trúng vào vòng là 0,15, xác suất để viên trúng vào vòng điểm là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít 28 điểm (các vòng bắn độc lập với nhau) ĐS: 0,0935 Lop12.net