Đề tài Các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp

Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Nhận diện bản chất của vấn đề là chỉnh hợp khi yếu tố thứ tự là cốt lõi Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử của một hoán vị Vấn đề 3: Chứng minh một tính chất liê[r]

Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương I Khái niệ m mở đầu A Cơ sở lí thuyết B Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng 4 4 Chương II Chỉnh hợp – Hoán vị A Cơ sở lí thuyết B Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là chỉnh hợp yếu tố thứ tự là cốt lõi Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử hoán vị Vấn đề 3: Chứng minh tính chất liên quan đến A rn và Pn 6 7 10 Chương III Tổ hợp – Nhị thức Newton A Cơ sở lí thuyết B Phƣơng pháp giải toán Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là tổ hợp yếu tố thứ tự không quan hệ Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc tƣơng ứng Các sai lầm thƣờng gặp giải toán đại số tổ hợp Vấn đề 3: Chứng minh hệ thức cách nêu ý nghĩa tổ hợp vấn đề Vấn đề 4: Chứng minh hệ thức các Cnk 16 16 17 17 22 25 26 28 Vấn đề 5: Chứng minh hệ thức bậc hai Cnk 30 Vấn đề 6: Phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa C Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Vấn đề 8: Tìm hệ số luỹ thừa biểu thức khai triển Vấn đề 9: Tính tổng các Cnk 32 34 36 39 Vấn đề 10: Tính các tổng Cnk phƣơng pháp đạo hàm và tích phân 41 k n Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học là môn khoa học có nhiều lợi để phát triển trí tuệ cho học sinh Trong quá trình giảng dạy môn toán, việc đƣa phƣơng pháp giải cho dạng toán giúp cho việc giải các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn Từ đó tạo hứng thú và say mê cho học sinh học tập môn toán Trong chƣơng trình toán trƣờng THPT, đại số tổ hợp là nội dung khó học sinh Các bài toán dễ sai xét thiếu tình huống, xét tình bị trùng lặp hau không thấy đƣợc đây là bài toán chỉnh hợp hay tổ hợp … Tuy nhiên, các bài toán dạng này thƣờng gắn liền với thực tiễn và thực tế, nên thƣờng gây đƣợc hứng thú học tập cho học sinh Chính vì vậy, việc hƣớng dẫn và đƣa phƣơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp là cần thiết Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả sƣ phạm mình Vì lí này tôi đã chọn đề tài các phƣơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho sáng kiến kinh nghiệm mình Tôi mong với sáng kiến này là tài liệu thiết thực cho giáo viên và học sinh học đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết cao các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các trƣờng Cao đẳng hay Đại học Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu: Phát và hệ thống hóa phƣơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp trƣờng THPT 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu và đƣa các phƣơng pháp giải các nội dung chính phần đại số tổ hợp 2.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 và 12 học phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân hàm số (tùy mức độ nhận thức học sinh) Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm: Mở đầu Chƣơng I: Khái niệm mở đầu Chƣơng II: Chỉnh hợp – hoán vị Chƣơng III: Tổ hợp – Nhị thức Newton Kết luận sáng kiến kinh nghiệm Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Chương I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I BỘ SẮP THỨ TỰ GỒM n PHẦN TỬ Một dãy số hữu hạn gồm n phần tử viết dƣới dạng (a1 , a2 ,…, ak ,…, an ) gọi là thứ tự gồm n phần tử hay gọi tắt là n thứ tự II QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM Qui tắc nhân phép đếm Giả sử hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác để thực giai đoạn A, đã thực xong A ta có n cách thực giai đoạn B, đã thực xong B ta có p cách thực giai đoạn C …thì ta có tất m n p cách chọn để thƣc hành động H Qui tắc cộng phép đếm Nếu r tập hợp A1 , A2 ,… Ar đôi rời lần lƣợt có số phần tử là n1 , n2 ,… nr thì phần hợp các tập hợp này có số phần tử là n1 + n2 +… + nr B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân Để tính số cách xảy hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các gia i đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân phép đếm Ví dụ Trong vòng đấu loại thi cờ vua có 2n ngƣời tham dự Mỗi ngƣời chơi đúng bàn với ngƣời khác Chứng minh có 1.3.5…(2n -1) cách đặt GIẢ I Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn) • Với ngƣời chơi thứ nhất, có 2n – cách chọn đấu thủ anh Còn lại 2n – ngƣời chƣa đấu, nên • Với ngƣời chơi thứ hai, có 2n – cách chọn đấu thủ anh Còn lại 2n – ngƣời chƣa đấu • Với ngƣời chơi thứ ba, có 2n – cách chọn đấu thủ anh ……………… • Với ngƣời thứ n có cách chọn đối thủ còn lại Vậy có 1.3.5… (2n – ) cách đặt thi Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng Nếu công việc thứ có thể thực theo m cách , công việc thứ hai có thể thực hiẹn theo n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực thỉ có m + n cách để thực hai công việc Ví dụ Nếu thƣ viện có 85 sách Toán và 63 sách Lí thì học sinh có 85 + 63 = 148 cách để mƣợn Toán Lí từ thƣ viện Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Ví dụ Trong 2006 năm qua có bao nhiêu năm không phải là năm Tuất ? GIẢ I Lấy năm Tuất 2006 làm mốc thời gian (t = 0) ngƣợc dòng thời gian trở quá khứ thì 2006 số năm là bội 12 là năm Tuất Ta có tất = 167 năm Tuất 12 Còn lại 2006 – 167 = 1839 năm không phải là năm Tuất BÀI TẬP 1.1 Có bao nhiêu số chẵn , lớn 5000 , gồm chữ số khác HD : Chữ số hàng ngàn và chữ số hàng đơn vị là chẵn + Có 3.5.8.7 = 840 số chẵn bắt đầu chữ số lẻ + Có 2.4.8.7 = 448 số chẵn bắt đầu chữ số chẵn Vậy tổng cộng có 1288 số 1.2 Giả sử p1 , p , , p n là các số nguyên tố khác Hỏi có bao nhiêu ƣớc số số q p1k1 p2k2 pnkn ĐS : (k + 1) (k2 + )… (kn + 1) 1.3 Từ các chữ số 1, 2, có thể lập đƣợc bao nhiêu: a) Số tự nhiên gồm có ba chữ số khác nhau; b) Số tự nhiên gồm có hai chữ số khác nhau; c) Số tự nhiên ĐS: a) số; b) 6số; c) 15 số 1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác đƣợc thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hướng dẫn: Gọi số cần tìm có dạng ab Xét các trƣờng hợp b ta có 13 số Có tất bao nhiêu số có thể thành lập từ các chữ số 2,4,6,8 a) Số đó nằm từ 200 đến 600 b) Số đó gồm chữ số c) Số đó gồm chữ số khác ĐS : a) 32 b) 64 c) 24 1.6 Có bao nhiêu số khác nhỏ 2.10 ĐS chia hết cho có thể viết các chữ số 0, 1, : 4373 Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Chương II CHỈNH HỢP - HOÁN VỊ a CƠ SỞ LÍ THUYẾT I KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA Định nghĩa : Với n , n Tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n đƣợc gọi là n - giai thừa Ký hiệu: n! n! 1.2 n * Quy ƣớc: 0! = và 1! = Tính chất * n! (n 1)!.n * n! (k 1)(k 2) n (n k ) k! * n! (n k 1)(n k 2) n (n k )! II CHỈNH HỢP Định nghĩa Cho tập A có n phần tử Một chỉnh hợp n chập r (r tự gồm r phần tử khác lấy từ n phần tử đã cho n) n phần tử là bô thứ Tính chất Hai chỉnh hợp n chập r n phần tử là khác - Hoặc chúng có ít phần tử khác - Hoặc chúng gồm r phần tử nhƣ nhƣng xếp theo thứ tự khác Số chỉnh hợp chập r n phần tử là A rn = n(n – 1)(n – 2) (n – r + 1) n! (n k )! tích r số nguyên dƣơng liên tiếp III HOÁN VỊ Định nghĩa Một hoán vị n phần tử khác là cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là chỉnh hợp n chập n ) Số cách hoán vị n phần tử là Pn = n! (nghĩa là tích n số dƣơng đầu tiên ) Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp B PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là chỉnh hợp yếu tố thứ tự là cốt lõi Ví dụ Cho đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh đa giác? GIẢ I Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt và đỉnh thì không thẳng hàng Do đó ta lấy điểm tuỳ ý 15 điểm thì số vectơ lập đƣợc là chỉnh 15! hợp chập 15 phần tử Vậy số vectơ là: A152 15.14 210 (vectơ) (15 2)! Ví dụ Có thể lập đƣợc bao nhiêu số với ba chữ số khác cho trƣớc GIẢ I Mỗi số có r chữ số là chỉnh hợp chập r số đã cho (r số , A 32 số với chữ số , A 3 3) Vậy có A 13 số với chữ số với chữ số Tổng cộng có A 13 + A 32 + A 33 = + 3.2 + 3.2.1 = 15 số Ví dụ Trong trƣờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có môn tự chọn, sinh viên phải chọn môn đó, môn chính và môn phụ Hỏi có cách chọn? GIẢ I Số cách chọn là chỉnh hợp chập phần tử.Vậy có : A 32 = 3.2 = cách chon Ví dụ Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn, số gồm chữ số khác GIẢ I - Ta chọn đƣợc số nhƣ cách chọn chữ số chẵn 0, 2, làm chữ số hàng đơn vị rổi ghép với chỉnh hợp chập chữ số chƣa dùng đến có 3.A 54 số nhƣ - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu 0, số nhƣ đƣợc lập cách chọn hai số chẵn 2, làm đơn vị ghép thêm chỉnh hợp chập số khác chƣa dùng đến, và cuối cùng đặt số trƣớc số đó có 2.A 34 số nhƣ - Vậy có 3.A 54 – 2.A 34 = 5.4.32 – 4.3.22 = 312 số Ví dụ Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số, số gồm chữ số khác và đó thiết phải có mặt chữ số 5, GIẢI - Ta đƣợc số nhƣ cách lấy chỉnh hợp chập chữ số 0, 1, 2, 3, 4, thêm chữ số vào vị trí bất kì Có 5A 64 số nhƣ - Nhƣng ta phải loại các số bắt đầu 0, số nhƣ đƣợc thành lập cách lấy chỉnh hợp chập chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số vào vị trí bất kì và cuối cùng đặt chữ số trƣớc chữ số đó Có 4A 35 số nhƣ - Vậy ta có 5A 64 – 4A 35 = 6.52 4.3 – 5.42 = 1560 số Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp BÀI TẬP 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập đƣợc bao nhiêu số có chữ số đó a) Có chữ số b) Có chữ số và các chữ số dều khác HD & ĐS : a) Có thảy 4.73 = 1372 số đó có 3.72 = 147 số bắt đầu Còn lại 1372 – 147 = 1225 số b) Có tất 4A = 840 số đó có 3A = 90 số bắt đầu Còn lại 840 – 90 = 750 số 2.2 Có bao nhiêu số có chữ số khác HD & ĐS : A 10 – A 39 = 4536 2.3 Từ sáu chữ số 2, 3, 5, 6, 7, a) Có bao nhiêu gồm chữ số khác có thể tạo ? b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ 400 ? c) Có bao nhiêu số chẵn ? d) Có bao nhiêu số lẻ ? e) Có bao nhiêu số là bội số ? ĐS : a) A 36 = 120 b) 2A 52 = 40 c) 2A 52 = 40 d) 120 – 40 = 80 e) 1A 52 = 20 2.4 Tìm tất các số nguyên dƣơng có chữ số khác a) Có bao nhiêu số lớn 700 ? b) Có bao niêu số lẻ ? c) Có bao nhiêu số chẵn ? d) Có bao nhiêu xố chia hết cho ? ĐS : a) 3.8.9 = 216 b) 8.8.5 = 320 c) 9.8.1 + 8.8.4 = 256 d) 9.8.1 + 8.8.1 = 136 2.5 Xét các biển số xe là dãy gồm chữ cái đứng đầu và chữ số đứng sau Các chữ cái đƣợc lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z Các chữ số đƣợc lấy từ 0, 1, …, a) Có bao nhiêu biển số đó có ít chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi khác b) Có bao nhiêu biển số có chữ cái khác đòng thời có đúng chữ số lẻ và chữ số lẻ đó khác ĐS a) 420 000 biển số b) 487 500 biển số 2.6 Có bao nhiêu số dƣơng bé 1000 mà số có các chữ số đôi khác ĐS : 738 số 2.7 Từ X = {0, 1, 3, 5, 7} có thể lập đƣợc bao nhiêu số, số gồm chữ số khác và không chia hết cho ĐS : 54 số 2.8 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn số gồm chữ số khác ĐS : 1260 số Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử hoán vị Ví dụ Từ chữ số 1, 2, có thể tạo dƣợc bao nhiêu số gồm chữ số khác ? GIẢ I Mỗi số gồm chữ số khác tạo từ 1, 2, là hoán vị phần tử Vậy có : P3 = 3! = số (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321 ) Ví dụ Ngƣời ta cần soạn đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành chủ đề, chủ đề gồm 10 câu hỏi Cần xếp thứ tự 50 câu hỏi cho các câu cùng chủ đề đứng gần nhau, chủ đề đứng đầu và chủ đề 2, không đứng kề Hỏi có bao nhiêu cách xếp? GIẢ I Chủ đề 2, đứng tuỳ ý : trƣớc tiên, theo chủ đề, đây là hoán vị chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách Tiếp theo các câu chủ đề, mỗ i chủ đề có 10! cách Vậy có : 4!5.10! = 120.10! cách Chủ đề 2, đứng kề : Xem chủ đề và là phần tử, ta có hoán vị phần tử (2,3), 4, hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách Tiếp theo các câu chủ đề, có : 5.10! cách Nên có : 2.3!.5.10! = 60.10! cách Vậy số cách theo yêu cầu là : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 cách Ví dụ Có bi đỏ và bi trắng có kính thƣớc khác đôi Có bao nhiêu cách các bi này thành hàng cho hai bi cùng mầu không đƣợc nằm kề GIẢ I Xét hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, ô đƣợc đánh số từ đến 10 - Lấy bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách Sau đó lấy bi trắng bỏ vào vị trí còn lại ta có 5! cách Vậy trƣờng hợp này có 5!.5! cách - Lập luận tƣơng tự lấy bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta có 5!.5! cách Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : 2.5!.5! = 28 800 cách Ví dụ a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn b) Một thiếu nữ có n vỏ sò khác Hỏi có bao nhiêu cách xâu chúng thành chuỗi c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh GIẢ I a) Vị trí tƣơng đối các đại biểu hoàn toàn không đổi ta hoán vị vòng họ theo chiều định (nghĩa là hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, n! phần tử đầu tiên) Vậy số cách xếp là = ( n – 1)! n Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng n phần tử là Pn – = ( n – 1)! '' Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp b) Với cách xâu định, ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đƣợc cách n 1! hoán vị khác cách xâu ứng với hai hoán vị vòng và có tất Pn - = cách xâu 2 c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo hai chiều theo 2n cách khác mà đa giác n 1! không thay đổi số đa giác là BÀI TẬP 2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, HD : Có 6! số đó 5! số bắt đầu số Vậy có 6! – 5! = 720 số 2.10 Có bao nhiêu cách xếp học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh lƣu niệm, biết đó có em không đứng xa HD : Coi bạn không đứng xa lập thành nhóm thì có 5! cách xếp đặt Với cách trên thì có 3! cách xếp hoán vị bạn đó Vậy có 5!.3! = 720 2.11 Trong phòng có bàn dài, bàn có ghế Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi a) Các học sinh ngồi tuỳ ý b) Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn ĐS : a) 10! = 626 800 cách b) 2!.5!.5! = 28 800 cách 2.12 Từ X = {1, 2, 3, 4,5, 6} thiết lập các chữ số khác Hỏi các số lập đƣợc có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạch ĐS : 480 số 2.13 Xét các số gồm chín chữ số đó có số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi có bao nhiêu số mà a) Năm chữ số xếp kề b) Các chữ số đƣợc xếp tuỳ ý ĐS : a) 120 số b) 3024 sô 2.14 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập đƣợc bao nhiêu số có chữ số đó chữ số có mặt đúng lần còn các chữ số khác có mặt đúng lần ĐS : 720 số Vấn đề 3: Chứng minh tính chất liên quan đến A r n và Pn Ví dụ Tính tổng các số tự nhiên gồm chữ số khác đƣợc lập từ 1, 3, 4, 5, 6, 7, GIẢ I Gọi n = a1 a a3 a a5 Số các số n là A = 6! = 720 số 1! Xét các chữ số hàng dơn vị, chữ số 1, 3, 4, 5, 7, xuất 720 = 120 lần Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 120(1 + + + + + 8) = 120.28 = 3360 Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 3360.10 tổng các chữ số hàng trăm là: 3360.102 Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 10 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp tổng các chữ số hàng ngàn là: 3360.103 tổng các chữ số hàng vạn là: 3360.104 Do đó S = 3360(1 + 10 + 102 + 103 + 104 ) = 3360.11111 = 37 332 960 Ví dụ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn và đôi khác Tính tổng các số trên GIẢ I Gọi n = a1 a a3 a a5 và X = {5, 6, 7, 8, 9} Số các số n chọn từ X là 5! = 120 Xét các chữ số hàng đơn vị, số lần xuất loại chữ số nên chữ số 120 xuất = 24 lần Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 24(5 + + + + 9) = 24.35 = 840 Tƣơng tự, tổng các chữ số hàng chục là: 840.10 tổng các chữ số hàng trăm là: 840.102 tổng các chữ số hàng ngàn là: 840.103 tổng các chữ số hàng vạn là: 840.104 Do đó S = 840(1 + 10 + 102 + 103 + 104 ) = 840.11111 = 333 240 Ví dụ Chứng minh tích P = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hết cho tích P = 1.3.5…(2n –1) Tính thƣơng số GIẢ I Ta có (n!) P = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)] P = P 2n n! = 2n P' Ví dụ GiảI bất phƣơng trình : A 3x + 5A 2x 21x GIẢ I Điều kiện x N và x A 3x + 5A 2x 21x x! x! +5 x 3! x 2! 21x x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) (x -1)(x – 2) + 5(x – 1) x2 + 2x – 24 –6 Do x N và x x 21x 21 (do x 3) nên x = 3, x = là nghiệm Ví dụ Chứng minh với n N và n A22 thì A32 Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn An2 n n 11 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp GIẢ I Ta có : A21 A32 1! 2! 3.2 1 A42 2! 4! 4.3 1 n ! n! An2 1 n n Cộng vế theo vế n – đẳng thức trên ta đƣợc : A22 A32 Ví dụ Giải phƣơng trình : x! A42 An2 x 1! x 1! 2 1 n n với x n n N* GIẢ I x! x 1! x 1! 6 x! x 1! x x 1! x 1! x 1! x 1! x x x 1! x x x 1! x x x2 5x x x Vậy nghiện phƣơng trình là : x = và x = P 15 Ví dụ Giải bất phƣơng trình : n ( ) Pn Pn Pn GIẢ I Điều kiện : n N và n n 4! n! n ! Ta có : 15 n 1! n n n 2! n n 1!n 2! n n 15 n n 8n 12 Do điều kiện n N và n 15 n 1! n 7n 12 15n n nên n {3, 4, 5} Ví dụ Giải phƣơng trình P x A 2x + 72 = 6(A 2x + P x ) Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 12 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp GIẢ I Điều kiện x N và x Ta có : P x A x + 72 = 6(A x x! + 72 = x 2! x! + P x) x! x 2! 2x! x!x(x – 2) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) (x2 – x – 12)(x! – 6) = x2 x 12 x! x x x x x : loại Ví dụ Gọi Pn là số hoán vị n phần tử Chứng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 = Pn GIẢ I a) Ta có : Pn -Pn-1 = n! – ( n– 1)! = n( n – 1)! – (n – 1)! = (n – 1).(n – 1)! = (n – 1).Pn-1 c) Từ kết trên, ta có : P2 Vậy : P1 (2 1) P1 P3 P2 (3 1) P2 P4 P3 (4 1) P3 Pn Pn (n 1) Pn Pn – P1 =P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1 Pn = + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1 Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 13 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Ví dụ 10 Tìm các số âm dãy số x 1, x 2, …, xn với x n = An Pn với Pn là số hoán vị n phần tử 143 Pn GIẢ I Điều kiện n N \ {0} n 4! 143 n! Ta có x n = n ! 4n ! Vậy x n < n n n! n n 4n 143 28n 95 143 4n ! ( n! ) 19 20 n Do n = 1, 2, 3, … nên n = 1, n = Vậy số cần tìm là x = x1 = 5.4 143 63 6.5 143 143 15 4.2 Ví dụ 11 Chứng minh với n 23 n n N : n! GIẢ I Theo bất đẳng thức Cauchy : 1+2+3+…+n n 1.2 n Mà 1, 2, 3, …, n là cấp số cộng nên 1+2+3+…+n n n Do đó : n n n! n n n! n n n n n ! BÀI TẬP 2.15 Có bao nhiêu số có chữ số khác nhau.Tính tổng chúng ĐS : Có 648 số Tổng các số đó là 355 680 2.16 Tính tổng S tất các hoán vị số 123456 và phân tích S thành thừa số nguyên tố ĐS : Tổng các hoán vị là 777 777 = 23 33 5.72 11.13.37 2.17 Tính các tổng Anr m a) S = Anr Anr 1 1 b) S’ = An An An3 m HD : a) S = [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n + m – r + 1)( n + m – r + 2) … (n + m)] Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 14 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp – [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n – r )( n – r + 1) … (n – 1)] = Anr 1m Anr r 1 1 1 b) Tƣơng tự cho các An 2n n n An k Cộng lại ta đƣợc : 1 1 S’ = n m n m n n 2.18 Chứng minh : Ank 2.19 Chứng minh : Ann k2 Ann k1 Ank kAnk 11 k Ann k 2.20 Tìm số nguyên dƣơng n thoả mãn hệ thức a) An3 20n b) An5 18 An4 c) An2 10 n d) A An1 n A An8 2.21 Gọi Pn là số cách hoán vị n vật khác a) Tìm hệ thức Pn và Pn– b) Tính P1 và suy biểu thức Pn c) Chứng minh định lí : "Số song ánh hai tập X, Y cùng có n phần tử là Pn = n!" HD : a) Pn = n Pn– ( Có n cách xen phần tử thứ n vào n – phần tử đã xếp thứ tự sẵn) b) P1 = 1, Pn = n! 2.22 Đặt Sn P1 P2 3P3 Tn P1 P2 P3 Tính Sn + Tn , Sn HD : Sn + Tn = P1 3P2 P3 nPn Pn n Pn Pn Pn = P2 P3 = Tn + Pn– – P1 Sn Pn P1 n ! 2.23 Có thể lập đƣợc bao nhiêu số lớn 2000 với các số 0, 1, 2, 3, mà không số nào lặp lại HD : Xét trƣờng hợp – Các số có chữ số : Có cách chọn chữ số hàng ngàn Sau đó có A43 cách chọn phần còn lại có A43 72 số – Các số có chữ số : Có 5! số đó có 4! số bắt đầu phải loại số – Tổng cộng có 72 + 96 = 168 số Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn có 5! 4! 96 15 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Chƣơng III TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I TỔ HỢP Định nghĩa Cho n phần tử khác Một tổ hợp chập k n phần tử là tập chứa k phần tử Số tổ hợp n chập k là : n n n n k 1.2.3 k Cnk n! k! n k ! Tính chất a) Cnk Cnn b) Cn0 Cnn 1, Cn1 k n c) C d) Cnk e) Cn0 k Cnn n C C (Hệ thức Pascal) n k k1 Cn k Cn1 Cn2 Cnn 2n k n k n II NHỊ THỨC NEWTON Công thức : a b n n Cnk a n k b k Cn0a nb0 Cn1a n 1b1 Cnna 0b n (n = 0, 1, 2, …) k k Các hệ số Cn các lũy thừa a b với n lần lƣợt là 0, 1, 2, … đƣợc thành hàng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal : n 1 1 1 Số hạng thứ k+1 là Cnk an k bk Hệ Quả : x n 3 + 10 10 Cn0 Cn1 x Cn2 x n Cnn x n Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 16 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là tổ hợp yếu tố thứ tự không quan hệ Ví dụ Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời câu a) Hỏi có cách chọn tùy ý ? b) Hỏi có cách chọn câu đầu là bắt buộc? c) Hỏi có cách chọn câu đầu và câu sau? GIẢ I a) Chọn tùy ý 10 câu đầu là tổ hợp chập 10 phần tử, có : 10! 10.9 C108 45 cách 8! 10 ! b) Vì có câu bắt buộc nên phải chọn thêm câu câu còn lại đây là tổ hợp chập phần tử, có : 7! 7.6 C75 21 cách 5! ! c) Chọn câu đầu, có C54 cách Tiếp theo, Chọn câu sau, có C54 cách.Vậy theo quy tắc nhân có : 5! C C 25 cách 4!.1! Từ nam và nữ ƣu tú, có bao nhieu cách thành lập ban cán ngƣời Ví dụ đó: a) Có đúng nữ b) Có ít nữ c) Bạn A và bạn B không thể rời d) Bạn X và bạn Y không thể làm việc chung với GIẢ I a) Có C42 cách chọn nữ sinh số ngƣời, Có C74 cách chọn nam sinh C42 C74 6.35 210 cách chọn ban cán b) Có C42 C74 cách chọn nữ nam, Có C43.C73 cách chọn nữ nam Có C44 C72 cách chọ n nữ nam C42 C74 C43.C73 C44 C72 6.35 4.35 1.21 371 cách lập ban cán có it nữ c) Có C94 cách chọn ban cán chứa A và B Có C96 cách chọn ban cán không chứa A và B Có C94 C96 126 84 210 cách chọn ban cán A và B không chịu rời d) Trong C116 cách lập ban cán có C94 cách nhận X và Y Còn lại C116 C94 462 126 336 cách lập ban cán không đồng thời chứa X và Y Ví dụ Một đoàn tầu có toa chở khách : toa I, II, III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tầu Biết toa có ít chỗ trống Hỏi : a) Có bao nhiêu cách hành khách lên toa b) Có bao nhiêu cách hành khách lên tầu để có toa đó có vị khách Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 17 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp GIẢ I a) Mỗi khách có cách lên toa I II III Vậy số cách khách lên toa là: 3.3.3.3 = 81 cách 4! cách 3! Số cách khách còn lại lên toa II III là : cách Vậy khách toa I thì có : 4.2 = cách Lập luận tƣơng tự khách toa II III là cách Vậy số cách thoả mãn yêu cầu bài toán là : + + = 24 cách b) Số cách khách lên toa I là : C43 Ví dụ Có 30 câu hỏi khác gồm câu khó 10 câu trung bình và 15 câu dễ Từ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít 2? GIẢ I Số đề thi gồm câu dễ câu trung bình và câu khó : 15! 10! C152 C102 5 23625 2!.13! 2!.8! Số đề thi gồm câu dễ câu trung bình và câu khó : 15! 5! C152 10.C52 10 10500 3!.12! 2!.3! Số đề thi gồm câu dễ câu trung bình và câu khó : 15! C153 10.5 50 22750 3!.112! Vì các cách chọn đôi khác nhau, nên số đề kiểm tra là : 23625 + 10500 + 22750 = 56 875 Ví dụ Một đội văn nghệ có 10 ngƣời đó có nữ và nam Có bao nhiêu cách chia đôi văn nghệ : a) Thành nhóm có số ngƣời và nhóm có số nữ b) Có bao nhiêu cách chọn ngƣời đó không quá nam GIẢ I a) Do nhóm có số ngƣời nên nhóm phai có ngƣời Do số nữ nên nhóm phải có nữ Vậy nhóm phải có nữ nam 6! 4! 120 Số cách chọn là : C63.C42 3!.3! 2!.2! b) Số cách chọn ngƣời toàn nữ là : C65 6! 60 Số cách chọn nữ và nam là : C64 4!2! Vậy số cách chọn ngƣời đó không quá nam là : + 60 = 66 Ví dụ Có 16 học sinh gồm học sinh giỏi, khá, trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh thành tổ, tổ có ngƣời, có học sinh giỏi và ít học sinh khá GIẢ I Vì tổ có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi tổ là Vì tổ có ít học sinh khá nên số học sinh khá tổ là Do đó xem số học sinh giỏi, khá, trung bình tổ là toạ độ véctơ chiều ta có trƣờng hợp tổ là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3) Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 18 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp Tƣơng ứng trƣờng hợp đó tổ là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5) Ta tháy trƣờng hợp bị trùng.Vậy có trƣờng hợp là : Trường hợp : Số cách chọn tổ nào đó có giỏi, khá, trung bình là : 3.C52 C85 Vậy tổ còn lại có giỏi, khá, trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán Trường hợp : Số cách chọn tổ nào đó có giỏi, khá, trung bình là : 3.C53.C84 Vậy tổ còn lại có giỏi, khá, trung bình thoả mãn yêu cầu bài toán Do đó số cách chia học sinh thành tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là : 5! 8! 5! 8! 3.C52 C85 3.C53.C84 3780 2!3! 5!3! 3!2! 4!4! Ví dụ Có bi xanh, bi đỏ, bi vàng có kích thƣớc đôi khác Có bao nhiêu cách chỏn : a) viên bi đó có đúng viên bi đỏ b) viên bi đó số bi xanh số bi đỏ GIẢ I a) số cách chọn bi đỏ : C52 số cách chọn bi xanh hay vàng : C134 Vậy số cách chọn bi có đúng bi đỏ : C52 C133 5! 13! 7150 2!3! 4!9! b) Số cách chọn bi xanh, bi đỏ, bi vàng : 9.5.1 = 45 Số cách chọn bi xanh, bi đỏ, bi vàng : 9! 5! 4! C92 C52 C42 2160 2!7! 2!3! 2!2! Số cách chọn bi xanh và bi đỏ: 9! 5! C93.C53 840 3!6! 3!2! Vậy số cách chọn viên bi đó số bi xanh số bi đỏ : 45 + 2160 + 840 = 3045 Ví dụ Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng và bi vàng Ngƣời ta chọn bi từ hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không đủ mầu GIẢ I Số cách chọn bi bất kì 15 bi trên là : C154 1365 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng là : C42 5.6 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng là : 4.C52 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng là : 4.5.C62 Vậy số cách chọn bi đủ mầu là : 4! 5! 6! 30.C42 24.C52 20C62 30 24 20 180 240 300 720 2!2! 2!3! 2!4! Do đó số cách chọn bi không đủ mầu là :1365 – 720 = 645 Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 19 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp BÀI TẬP 3.1 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho môi đề kiểm tra Hỏi có cách chọn? ĐS : Có C124 C84 34 650 cách 3.2 Một học sinh phải trả lời 10 13 câu hỏi kiểm tra : a) Có bao nhiêu cách chọn? b) Có bao nhiêu cách câu đầu là bắt buộc? c) Có bao nhiêu cách phải trả lời hai câu đầu? d) Có bao nhiêu cách phải trả lời đúng câu đầu? e) Có bao nhiêu cách phải trả lời ít câu đầu? 10 ĐS : a) C13 b) C118 165 c) 2.C119 110 286 e) C53.C87 C54 C86 C55.C85 d) C53.C87 80 276 3.3 Có 12 học sinh ƣu tú Cần chọn học sinh để dự đại hội học sinh ƣu tú toàn quốc Có cách chọn : a) Tùy ý? b) Sao cho học sinh A và B không cùng đi? c) Sao cho học sinh A và B cùng cùng không đi? ĐS : a) 495 cách b) 450 cách c) 225 cách 3.4 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ và nhà vật lí nam Muốn lập đoàn công tác có ngƣời gồm nam lẫn nữ, cần có nhà toán học lẫn vật lí Có bao nhiêu cách chọn ĐS : 90 cách 3.5 Có tem thƣ khác và bì thƣ khác Ngƣời ta muốn chọn tem thƣ, bì thƣ và dán tem thƣ đó lên bì thƣ đã chọn Mỗi bì thƣ có tem thƣ Hỏi có bao nhiêu cách làm nhƣ ĐS : 1200 cách 3.6 Một bài 52 lá ; có loại : cơ, rô, chuồn, bích loại 13 lá Muốn lấy lá đó phải có đúng lá cơ, đúng lá rô và không quá lá bích Hỏi có bao cách? ĐS : 39 102 206 cách 3.7 Cho tập gồm 10 phần tử khác Tìm số tập khác rỗng chứa số chẵn các phần tử ĐS : 511 3.8 Một hộp có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, cầu vàng đánh số từ đến a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu cùng mầu cầu cùng số b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy cầu khác mầu, cầu khác mầu và khác số ĐS : a) Có 34 cách lấy cầu cùng mầu ; Có cách lấy cầu cùng số b) Có 120 cách lấy cầu khác mầu ; Có 64 cách lấy cầu khác mầu và khác số 3.9 Xếp bi đỏ có bán kính khác và bi xanh giống vào hộc có ô trống a) Có bao nhiêu cách xếp khác b) Có bao nhiêu cách xếp khác bi đỏ xếp cạnh và bi xanh xếp cạnh ĐS :a) 840 cách b) 48 cách 3.10 Một tập thể có 14 ngƣời gồm nam và nữ đó có An và Bình Ngƣời ta muốn chọn tổ công tác gồm ngƣời Tìm số cách chọn mõi trƣờng hợp sau :’ a) Trong tổ phải có mặt nam lẫn nữ b) Trong tổ phải có tổ trƣởng ,5 tổ viên , An và Bình không đồng thời có mặt tổ ĐS : a) 2974 cách b) 15 048 cách Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 20 Lop12.net Đề tài nghiên cứu khoa học: Đại số tổ hợp 3.11 Số 210 có bao nhieu ƣớc số ĐS : 16 số 3.12 Một trăm số đƣợc đánh số 1, 2, …, 100 đƣợc bán cho 100 ngƣời Có giải thƣởng đó có giải độc đắc a) Có bao nhiêu cách tặng giải? b) Có bao nhiêu cách tặng giải vé số 47 trúng giải độc đắc c) Có bao nhiêu cách tặng giải vé số 47 là các giải trúng d) Có bao nhiêu cách tặng giải vé số 47 không trúng giải e) Có bao nhiêu cách tặng giải vé số 47 và 19 trúng giải f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 trúng giải g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 trúng giải h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 không trúng giải i) Nếu giải độc đắc rơi vao các vé số 19, 47,73 và 97 j) Nếu các vé số 19, 47 trúng giải còn các vé số 73 và 97 không trúng giải ĐS : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072 f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 764 376 j0 109 440 3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự đó có nguyên âm a) Có bao nhiêu chữ gồm kí tự đó có phụ âm khác và nguyên âm khác nhau? ĐS : 596 000 b) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b? ĐS: 228 000 c) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá b và c? ĐS: 22 800 d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu b và chứa c? ĐS: 4560 e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu b và kết thúc c? ĐS: 1140 f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu b và chứa a? ĐS: 18 240 g) Trong đó có bao nhiêu chữ chƣá a, b, c? ĐS: 9120 3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a) Có bao nhiêu tập A chứa mà không chứa b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà không bắt đầu 123 lập từ A ĐS : a) 64 b) 3348 số 3.15 Có ngƣời Việt, ngƣời Thái, ngƣời Trung Quốc và ngƣời Triều Tiên Cần chọn ngƣời dự hội nghị Hỏi có cách chọn cho : a) Mỗi nƣớc có đại biểu? b) Không có nƣớc nào có đại biểu? ĐS : a) 4480 cách b) 4320 cách 3.16 a) Có bao nhiêu số chẵn gồm chƣ số khác đôi đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ b) Có bao nhiêu số gồm chƣ số khác đôi đó có dúng chữ số lẻ và chữ số chẵn ĐS : a) 42 000 số b) 64 800 số 3.17 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chƣ số biết chũ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần còn các chữ số khác có mặt không quá lần ĐS : 11 340 số Dương Đình Chiến – GV Lạng Sơn 21 Lop12.net