A. Lưu ý xét sự hội tụ của chuỗi số: a/ 3 2 2 ln 2 n n n n . Dùng tính chất này: 1: ln 3: 1 ln x x x x x Ta có ln , 1 n n n nên 3 2 3 2 3 2 ln 1 , 1 2 2 n n n n n n n n n n Mà 2 3 1 n n hội tụ nên 3 2 3 2 n n n n theo tcss2, Nên 3 2 3 ln 2 n n n n hội tụ theo tcss1 b) 2 2 2 ( 1) ! n n n n Xét chuỗi trò tuyệt đối 2 2 2 ! n n n Ta có 2 2 ( 1) 2 1 ' (2 1) 1 2 2 lim lim lim lim 2.2 .ln2 1 1 2 ( 1)! . ! n n L n n n n n n n n a a n n n . Nên chuỗi 2 2 2 ! n n n phân kì theo tiêu chuẩn D’alembert. Nên chuỗi 2 2 2 ( 1) ! n n n n phân kì (Nếu chỉ sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi 1 n n u hội tụ (hay phân kỳ) thì chuỗi 1 n n u cũng hội tụ (hay phân kỳ).) Lưu ý: 3/ Nếu chuỗi số 1 n n u hội tụ thì lim 0 n n u (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Hệ quả( Đảo): Nếu lim 0 n n u hoặc không tồn tại thì chuỗi 1 n n u là phân kỳ Do đó nếu lim 0 n n u thì không kết luận gì cho 1 n n u , các bạn mà kết luận hội tụ là SAI! ** Nếu dùng Leibnitz cho chuỗi đan dấu thì phải đủ 2 điều kiện: B. Lưu ý khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm:( tham khảo thêm sách Đỗ Công Khanh) a/ 2 ( 1) n n x n n . Xét 1 1 ( 1)( 2) lim lim 1 1 ( 1) n n n n a n n a n n suy ra 1 R . Nên khoảng hội tụ là (-1,1) - Tại x=1: ta có chuỗi 1 1 ( 1) n n n mà 2 1 1 : ( 1) n n n n và 2 2 1 n n hội tụ nên chuỗi 1 1 ( 1) n n n hội tụ (tcss2) - Tại x=-1: ta có chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n là chuỗi Leibnitz nên hội tụ - Vậy miền hội tụ của chuỗi 2 ( 1) n n x n n là [-1,1] ________________________________________________________________ TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu 1 ( 1) n n n u Nếu dãy {u n }đơn điệu giảm ( 1 2 n u u u ) và lim 0 n n u thì chuỗi đan dấu hội tu . Chú ý: Tại x=-1: ta có chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n là chuỗi có dấu bất kì nên dùng Leibnitz hoặc trò tuyệt đối để kiểm tra, chú ý phần này làm tương tự chuỗi số. _______________________________________________________________ b/ 2 1 ( 2 3) n n n n x - Xét 1 lim 1 1 n n n a R a nên 1 1 1 x x . Do đđó khoảng hội tụ là ( 1;1) *Tại 1 x : chuỗi trở thành 2 1 ( 2 3) n n n lại có 2 lim( 2 3) 0 n n n nên chuỗi phân kì. *Tại 1 x : chuỗi trở thành 2 1 ( 1) ( 2 3) n n n n Do 2 lim( 2 3) 0 n n n nên 2 lim( 1) ( 2 3) 0 n n n n (nếu có) . (***) Nên chuỗi phân kì. - Vậy miền hội tụ là ( 1;1) . __________________________________________________________ Chú ý: 1. (***): Ta có mệnh đề “ lim 0 n n a thì lim 0 n n a ” Đảo lại: “ lim 0 n n a thì lim 0 n n a ” 2. Giải cách khác: *Tại 1 x : chuỗi trở thành 2 1 ( 1) ( 2 3) n n n n Xét 2 lim( 1) ( 2 3) n n n n Nếu n chẵn thì 2 2 lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3) n n n n n n n Nếu n lẻ thì 2 2 lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3) n n n n n n n Suy ra 2 lim( 1) ( 2 3) n n n n không tồn tại. Nên chuỗi phân kì ___________________________________________________________ c/ 1 1 (2 1) 4 n n n n x - Đặt 2 1 X x thì chuỗi trở thành 1 1 4 n n n n X Xét 1 1 lim 4 4 n n n a R a nên 3 5 4 2 2 X x . Do đđó khoảng hội tụ là 3 5 ( ; ) 2 2 *Tại 5 2 x : 1 1 1 (4) 4 4 n n n n n n lại có lim 0 4 n n nên chuỗi phân kì. *Tại 3 2 x : 1 1 1 ( 1) ( 4) 4 4 n n n n n n n Do lim 0 4 n n nên ( 1) . lim 0 4 n n n (nếu có) . (***) Nên chuỗi phân kì. - Vậy miền hội tụ là 3 5 ( ; ) 2 2 . ___________________________________________________________ Giải cách khác: *Tại 3 2 x : 1 1 1 ( 1) ( 4) 4 4 n n n n n n n Xét ( 1) lim 4 n n n Nếu n chẵn thì ( 1) lim lim 4 4 n n n n n Nếu n lẻ thì ( 1) lim lim 4 4 n n n n n Suy ra ( 1) lim 4 n n n không tồn tại. Nên chuỗi phân kì ___________________________________________________________ d/ 1 7 . ! . ( ) n n n n n x e n - Đặt X x e thì chuỗi trở thành 1 7 . ! . n n n n n X n Xét 1 7 lim 7 n n n a e R a e nên 7 7 7 e e e X x . Do đđó khoảng hội tụ là ( ; ) 7 7 e e *Tại 7 e x : chuỗi trở thành 1 1 7 . ! . ! . 7 n n n n n n n n n e e n n n Ta có 1 1 1 .( 1)! ( 1) 1 . ! 1 1 n n n n n n n e n a e n e n a n n do là tăng và hội tụ về e , Suy ra 1 1 n n a a a e hay . ! lim lim 0 n n n n n e n a n (nếu có). Kết luận chuỗi là phân kỳ. * Tại 7 e x : chuỗi trở thành 1 1 7 . ! ( ) ( 1) . ! . 7 n n n n n n n n n n e e n n n lại có . ! lim 0 n n n e n n ( cm trên) suy ra ( 1) . ! lim 0 n n n n e n n (nếu có) (***) nên chuỗi phân kì. 1 1 n n - Vậy miền hội tụ là ( ; ) 7 7 e e . ________________________________________________________ Giải cách khác: - Tại 7 e x : chuỗi trở thành 1 1 7 . ! ( ) ( 1) . ! . 7 n n n n n n n n n n e e n n n Xét ( 1) . ! lim n n n n e n n Nếu n chẵn thì: ( 1) . ! . ! lim lim 0 n n n n n n n e n e n n n (do cm trên) Nếu n lẻ thì: ( 1) . ! . ! lim lim 0 n n n n n n n e n e n n n (do cm trên) suy ra ( 1) . ! lim 0 n n n n e n n nên chuỗi phân kì. _______________________________________ . thì chuỗi đan dấu hội tu . Chú ý: Tại x=-1: ta có chuỗi 1 ( 1) ( 1) n n n n là chuỗi có dấu bất kì nên dùng Leibnitz hoặc trò tuyệt đối để kiểm tra, chú ý phần này làm tương tự chuỗi. hội tụ (hay phân kỳ) thì chuỗi 1 n n u cũng hội tụ (hay phân kỳ).) Lưu ý: 3/ Nếu chuỗi số 1 n n u hội tụ thì lim 0 n n u (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Hệ quả( Đảo):. tồn tại thì chuỗi 1 n n u là phân kỳ Do đó nếu lim 0 n n u thì không kết luận gì cho 1 n n u , các bạn mà kết luận hội tụ là SAI! ** Nếu dùng Leibnitz cho chuỗi đan dấu