A Lưu ý xét sự hội tụ của chuỗi số:
2
ln
2
n
n
3 : 1 ln
n
n n n n n n
3
1
n n
n
n
3
ln 2
n
n
b)
2
2
2 ( 1)
!
n n
Xét chuỗi trị tuyệt đối
2
2
2
!
n
n n
Ta có
2
2
(2 1)
1 2
!
n n
n
n
a
n
n
Nên chuỗi
2
2
2
!
n
n n
Nên chuỗi
2
2
2 ( 1)
!
n n
(Nếu chỉ sử dụng tiêu chuẩn D’alembert hay tiêu chuẩn Cauchy mà biết chuỗi
1
n n u
(hay phân kỳ) thì chuỗi
1
n n u
cũng hội tụ (hay phân kỳ).)
Lưu ý:
Trang 23/ Nếu chuỗi số
1
n n
u
n u
(Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Hệ quả( Đảo): Nếu lim 0
n
1
n
u là phân kỳ
Do đó nếu lim n 0
n u
thì không kết luận gì cho
1
n n u
, các bạn mà kết luận hội tụ là SAI!
** Nếu dùng Leibnitz cho chuỗi đan dấu thì phải đủ 2 điều kiện:
B Lưu ý khảo sát sự hội tụ của chuỗi hàm:( tham khảo thêm sách Đỗ Công Khanh)
a/
2 ( 1)
n n
x
n n
1
1 ( 1)
n
n
a
n n
suy ra R Nên khoảng hội tụ là (-1,1) 1
- Tại x=1: ta có chuỗi
1
1 ( 1)
n n n
: ( 1)
n
2 2
1
n n
nên chuỗi
1
1 ( 1)
n n n
- Tại x=-1: ta có chuỗi
1
( 1) ( 1)
n
n n n
- Vậy miền hội tụ của chuỗi
2 ( 1)
n n
x
n n
TC LEIBNITZ: Cho chuỗi đan dấu
1
( 1)n n n
u
Nếu dãy {un }đơn điệu giảm (u1 u2 u n ) và
lim n 0
n u
thì chuỗi đan dấu hội tu
Trang 3Chú ý: Tại x=-1: ta có chuỗi
1
( 1) ( 1)
n n n
là chuỗi có dấu bất kì nên dùng Leibnitz hoặc trị tuyệt đối để kiểm tra, chú ý phần này làm tương tự chuỗi số _
b/
1
n
n
n
a
R a
Do đđó khoảng hội tụ là ( 1;1)
*Tại x 1: chuỗi trở thành
1
n
nên chuỗi phân kì
*Tại x 1: chuỗi trở thành
1
n
lim( 1) (n 2 3) 0
Nên chuỗi phân kì
- Vậy miền hội tụ là ( 1;1)
Chú ý:
1 (***): Ta có mệnh đề “
n a ”
Đảo lại: “
2 Giải cách khác:
*Tại x 1: chuỗi trở thành
1
n
lim( 1) (n 2 3)
n
lim( 1) ( n n 2n 3) lim(n 2n 3)
Trang 4Nếu n lẻ thì lim( 1) ( 2 3) lim( 2 3)
lim( 1) (n 2 3)
n
_
1
(2 1) 4
n n
n
n
x
1 4
n n n
n X
4
n n
n
a
R a
X x
Do đđó khoảng hội tụ là ( 3 5; )
2 2
2
(4)
n n
4
n
n
nên chuỗi phân
kì
2
x : 1
( 1) ( 4)
n n
n
4
n
n
4
n n
n
(nếu có) (***) Nên chuỗi phân kì
- Vậy miền hội tụ là ( 3 5; )
2 2
_ Giải cách khác:
2
x : 1
( 1) ( 4)
n n
n
Xét lim( 1)
4
n n
n
Trang 5
Nếu n chẵn thì lim( 1) lim
n
Suy ra lim( 1)
4
n n
n
không tồn tại Nên chuỗi phân kì _ d/
1
7 !
n
n n
n
n
x e n
- Đặt X x e thì chuỗi trở thành
1
7 !
n
n n
n
n X n
lim
7
n n
n
R
X x
Do đđó khoảng hội tụ là ( ; )
7 7
e e
*Tại
7
e
x : chuỗi trở thành
7
n
Ta có
1 1 1
.( 1)!
( 1)
1
1
n n n
n
n
e n a
Suy ra a n1 a n a1 e
hay
!
n
n n
e n a
Kết luận chuỗi là phân kỳ
* Tại
7
e
x : chuỗi trở thành
7
n
lại có
!
n n n
e n
n n n n
e n
nên chuỗi phân kì
1 1
n n
Trang 6- Vậy miền hội tụ là ( ; )
7 7
e e
Giải cách khác:
- Tại
7
e
x : chuỗi trở thành
7
n
Xét
lim
n n n n
e n n
Nếu n chẵn thì:
n n n
Nếu n lẻ thì:
n n n
suy ra
n n n n
e n
_