tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 NỘI DUNG CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Miền hội tụ MIỀN HỘI TỤ ĐỊNH NGHĨA 1.1 Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm an ∈ R +∞ n=1 an (x − x0 )n , ĐỊNH NGHĨA 1.2 Tập hợp tất giá trị x cho thay x vào chuỗi lũy thừa ta chuỗi số hội tụ, gọi miền hội tụ chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Miền hội tụ ĐỊNH LÝ ABEL Đặt X = x − x0 ta chuỗi lũy thừa Nếu chuỗi lũy thừa +∞ n=1 +∞ n=1 an X n an X n , an ∈ R, hội tụ điểm X = r0 = hội tụ tuyệt X ∈ (−|r0|, |r0|) hội tụ đoạn [−r, r], với r ∈ (0, |r0|) Nếu chuỗi lũy thừa +∞ n=1 an X n phân kỳ điểm X = r0 = phân kỳ với X thỏa |X | > |r0| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Bán kính hội tụ ĐỊNH LÝ 1.1 Với chuỗi +∞ n=1 an X n , an ∈ R, tồn số R ∈ [0, +∞) gọi bán kính hội tụ thỏa Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ ∀X : |X | < R Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ ∀X : |X | r R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Dấu hiệu D’ Alembert DẤU HIỆU D’ ALEMBERT ĐỊNH LÝ 1.2 Cho chuỗi +∞ n=1 ∃n0 , ∀n an (x − x0 )n , an ∈ R Giả sử n0 : an = ρ = lim n→+∞ an+1 an Khi bán kính hội tụ R = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ρ CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Dấu hiệu Cauchy DẤU HIỆU CAUCHY ĐỊNH LÝ 1.3 Cho chuỗi +∞ n=1 an (x − x0 )n , an ∈ R Giả sử ρ = lim n→+∞ n |an | Khi bán kính hội tụ R = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ρ CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Dấu hiệu Cauchy-Hadamard DẤU HIỆU CAUCHY ĐỊNH LÝ 1.4 Cho chuỗi +∞ n=1 an (x − x0 )n , an ∈ R Giả sử ρ = lim sup n n→+∞ Khi bán kính hội tụ R = |an | ρ Để tính lim sup ta tìm sup sau lấy giới hạn sup TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Dấu hiệu Cauchy-Hadamard CÁC BƯỚC KHẢO SÁT MIỀN HỘI TỤ CỦA CHUỖI LŨY THỪA Bước 1: Tìm bán kính hội tụ Bước 2: Xét hội tụ chuỗi số điểm biên x − x0 = R x − x0 = −R Ở đây, sử dụng tiêu chuẩn so sánh, điều kiện cần, chuỗi đan dấu, hội tụ tuyệt đối Tiêu chuẩn D’Alambert Cauchy không sử dụng C, D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 / 34 Chuỗi lũy thừa Dấu hiệu Cauchy-Hadamard VÍ DỤ 1.1 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ (−1)n xn chuỗi n=1 2n + (−1)n ⇒ Ta có an = 2n + an+1 2n + ρ = lim = lim = n→+∞ an n→+∞ 2n + Bán kính hội tụ R = = ρ +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 10 / 34 Chuỗi lũy thừa Với an = Chuỗi Taylor-Maclaurin , theo dấu hiệu D’Alambert, ta có n! ρ = lim n→∞ an+1 n! = lim = lim =0 n→∞ (n + 1)! n→∞ n + an Do bán kính hội tụ chuỗi Maclaurin hàm f (x) = ex R = = ∞ ρ xn Vậy e = với MHT R n=0 n! x +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 22 / 34 Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor-Maclaurin xn e = với MHT R n=0 n! +∞ (−1)n+1 xn với MHT (−1, 1] ln(1 + x) = n n=1 +∞ (−1)n x2n+1 với MHT R sin(x) = (2n + 1)! n=0 +∞ (−1)n x2n cos(x) = với MHT R n=0 (2n)! +∞ α(α − 1) (α − (n − 1))xn α (1 + x) = với n! n=0 MHT (−1, 1) x +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 23 / 34 Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor-Maclaurin +∞ = xn với MHT (−1, 1) − x n=0 +∞ = (−1)n xn với MHT (−1, 1) + x n=0 +∞ (−1)n x2n+1 arctan(x) = với MHT R 2n + n=0 +∞ x2n với MHT R cosh(x) = n=0 (2n)! +∞ x2n+1 với MHT R sinh(x) = n=0 (2n + 1)! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 24 / 34 Tính tổng chuỗi Tính trực tiếp giới hạn dãy tổng riêng chuỗi TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI BẰNG CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CÁC TỔNG RIÊNG VÍ DỤ 2.1 Tìm tổng S chuỗi n=1 n(n + 1)(n + 2) ∞ Dãy tổng riêng chuỗi cho ∞ Sn với n=1 Sn = 1 + + + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 25 / 34 Tính tổng chuỗi Tính trực tiếp giới hạn dãy tổng riêng chuỗi 1 1 = − = n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 = − − − , n ∈ N n n+1 n+1 n+2 1 n 1 n Sn = − − − = k=1 k k + k=1 k + k + = 1 1 1− − − n+1 2 n+2 S = lim Sn = lim n→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n→∞ 1 1 − − + = 2(n + 1) 2(n + 2) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 26 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng khai triển Taylor-Maclaurin hàm SỬ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR-MACLAURIN 2n 22 23 2n = 1+2+ + + + + Tính tổng n! 2! 3! n! n=0 +∞ xn e = , MHT R n! n=0 +∞ x 2n Khi x = ta có e = n=0 n! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 27 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng khai triển Taylor-Maclaurin hàm VÍ DỤ 2.2 (−1)n Tính tổng = 2n+3 (2n + 1)! n=0 1 (−1)n + + + 2n+3 + − 23 25 3! 27 5! (2n + 1)! +∞ Xét chuỗi Maclaurin hàm f (x) = sin x (−1)n x2n+1 sin(x) = n=0 (2n + 1)! +∞ với MHT R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 28 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng khai triển Taylor-Maclaurin hàm Chuỗi cho viết lại dạng (−1)n 1 + + + 2n+1 + − 22 21 23 3! 25 5! (2n + 1)! Khi x = ta có (−1)n 1 (−1)n = − + + + 2n+3 (2n + 1)! 3! 2n+3 (2n + 1)! 2 2 n=0 +∞ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 1 sin = sin 22 CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 29 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi SỬ DỤNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA CHUỖI VÍ DỤ 2.3 Tính tổng n n.2 n=1 +∞ n x n=1 n +∞ ⇒ S (x) = , với |x| < xn−1 = 1−x n=1 Xét chuỗi S(x) = ⇒ S(x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ dx + C = − ln |1 − x| + C 1−x CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 30 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi n = nên n=1 n S(0) = − ln |1 − 0| + C = ⇒ C = Thay x = vào S(x) = − ln |1 − x| ta = ln S +∞ Vậy = ln n n=1 n.2 Vì S(0) = +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 31 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi VÍ DỤ 2.4 2n Tính tổng n n=1 n(n + 1).3 +∞ Xét chuỗi +∞ +∞ 1 n n S(x) = x = x − xn = n=1 n(n + 1) n=1 n n=1 n + +∞ +∞ 1 xn − xn = −ln |1−x|− (− ln |1 − x| − x) , x n=2 n x n=1 n với |x| < 2 − ln Thay x = ta S = 3 +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 32 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi VÍ DỤ 2.5 Tính tổng +∞ nxn n=1 an = n ⇒ ρ = lim n→+∞ kính hội tụ R = an+1 n+1 = lim = Bán n→+∞ n an = ρ Tại x = ta có +∞ n=1 n n.1 = +∞ n phân kỳ theo n=1 n→∞ điều kiện cần dãy n −−−→ ∞= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 33 / 34 Tính tổng chuỗi Tại x = −1 ta có +∞ Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi n.(−1)n phân kỳ theo n=1 điều kiện cần không tồn giới hạn dãy bn = n.(−1)n n→+∞ b2n = 2n.(−1)2n = 2n −−−−→ +∞, n→+∞ b2n+1 = (2n + 1).(−1)2n+1 = −(2n + 1) −−−−→ −∞ Vậy bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ (−1, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 34 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi Với |x| < 1, xét chuỗi +∞ S(x) = n=1 xn = x 1−x Lấy đạo hàm hai vế chuỗi này, ta +∞ S (x) = nxn−1 = n=1 (1 − x)2 Nhân vế chuỗi thu cho x ta +∞ x.S (x) = n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) nxn = x (1 − x)2 CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 35 / 34 Tính tổng chuỗi Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI LŨY THỪA TÍNH TỔNG CỦA CHUỖI TP HCM — 2016 36 / 34