Tài liệu hỗ trợ môn Hình vi phân

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc p và pháp tuyến của mặt S có tham số hóa.. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc.[r]

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG GIAN ¡3 Tp Hồ chí minh – 8/2008 Lop10.com Phaàn MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Mặt tham số Cho U là tập mở ¡ , hàm véctơ r : U ® ¡ là mặt tham số r là ánh xạ khả vi ( u, v ) a r ( u, v ) trên U Khi đó r (U ) là giá mặt tham số Hai mặt tham số r : U ® ¡ , r~ : U ® ¡ là tương đương tồn vi phôi j :U ® U cho ~ ~ r = r~ j , ký hiệu r : r Nếu hai mặt tham số tương đương với thì giá chúng trùng ~ Mặt đơn Cho mặt ( S ) có tham số hóa r , r đơn ánh thì ( S ) là mặt đơn Mặt chính qui Cho mặt ( S ) có tham số hóa r : U ® ¡3 Khi đó M = r ( u0 , v0 ) là điểm chính qui ( u, v ) a r ( u, v ) mặt ( S ) hai véctơ r 'u ( u0 , v0 ) , r 'v ( u0 , v0 ) độc lập tuyến tính Nếu mặt ( S ) chính qui điểm M = r ( u, v ) , với ( u, v ) Î U thì ( S ) là mặt chính qui Điểm không chính qui là điểm kỳ dị Tính chính qui mặt ( S ) không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh) Nếu điểm M = r ( u0 , v0 ) là điểm chính qui mặt ( S ) thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện điểm M ( x0 , y0 , z0 ) nhận r 'u ( u0 , v0 ) , r 'v ( u0 , v0 ) làm cặp véctơ phương có x - x0 dạng x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) y - y0 z - z0 y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc điểm M = r ( u0 , v0 ) là pháp tuyến có phương trình b= y ' ( u , v ) z 'u ( u0 , v0 ) x - x0 y - y0 z - z0 với a, b, c tính a = u 0 , = = y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) a b c z 'u ( u0 , v0 ) x 'u ( u0 , v0 ) x ' (u , v ) , c= u 0 z 'v ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) , không gian sinh y 'v ( u0 , v0 ) r 'u ( u0 , v0 ) , r 'v ( u0 , v0 ) điểm M = r ( u0 , v0 ) là không gian tiếp xúc với mặt ( S ) điểm M , ký hiệu TM ( S ) Khi đó T ( S ) = U M Î( S ) TM ( S ) là tập tất các không gian tiếp xúc Đường trên mặt Lop10.com Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡3 và (x ) là đường U có tham số ( u, v ) a r ( u, v ) ìïu = u ( t ) , t Î I qua r cho ta đường cong (x ) Ì ( S ) có j : I ® ¡3 í ïîv = v ( t ) t a j (t ) = r (u (t ) , v (t )) Ta khảo sát trường hợp đặc biệt sau ìïu = u ( t ) r Trường hợp v = v0 tương ứng với đường í ¾¾ ® (x ) có j ( t ) = ( u ( t ) , v0 ) Ta nói ïîv = v0 đây là họ tham số thứ trên mặt ( S ) Các tiếp tuyến đường tham số thứ có phương là r 'u ( u, v ) ìïu = u0 r Trường hợp u = u0 tương ứng với đường í ¾¾ ® (x ) có j ( t ) = ( u0 , v ( t ) ) Ta nói ïîv = v ( t ) đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( S ) Các tiếp tuyến đường tham số thứ hai có phương là r 'v ( u, v ) Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là ( u, v ) a r ( u, v ) ~ tương đương tồn vi phôi j :U ® U r 'u Ù r 'v = d u~ du d v~ dv d u~ d v~ dv du 424 cho r = r~ j Như ta đã biết r~ '~ Ù r~ '~ , J > thì ( S ) là mặt định hướng u v J r 'u Ù r 'v r~ 'u Ù r~ 'v Cho mặt ( S ) định hướng ta luôn có Tại điểm M = r ( u, v ) ta luôn có = r 'u Ù r 'v ~ ~ r 'u Ù r 'v véctơ đơn vị n ( u, v ) = r 'u Ù r 'v là véctơ pháp tuyến đơn vị ( S ) r 'u Ù r 'v Dạng toàn phương thứ Cho mặt (S ) chính qui có tham số hóa Xét dạng toàn phương r : U ® ¡3 ( u, v ) a r ( u, v ) Khi đó công thức dạng toàn phương thứ có dạng I : TM ( S ) ® ¡ a a I ( a ) = a, a Lop10.com I ( a ) = E ( au ) + Fau av + G ( av ) 2 với E, F , G xác định E = ( r 'u ( u , v ) ) , F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) , G = ( r 'v ( u , v ) ) Đối với dạng toàn phương thứ ta thường quen nhìn dạng I ( a ) = E ( du ) + Fdudv + G ( dv ) 2 Công thức tính độ dài cung trên mặt Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ và đường cong (x ) có tham số ( u, v ) a r ( u, v ) j ( t ) = r ( u ( t ) , v ( t ) ) , t Î [ a, b ] Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là (x ) là b l = ò E ( u 't ) + Fu 't v 't + G ( v 't ) dt , với E , F , G xác định trên 2 a Công thức góc hai đường cong trên mặt Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ và hai đường cong u , v a r u , v ( ) ( ) (x1 ) có j1 ( t ) = r ( u1 ( t ) , v1 ( t ) ) ,j '1 ( t ) = r 'u u '1 + r 'v v '1 (x ) có j2 ( t ) = r ( u2 ( t ) , v2 ( t ) ) ,j '2 ( t ) = r 'u u '2 + r 'v v '2 1 2 ( u1 , u2 , v1 , v2 lấy đạo hàm theo biến t ) Khi đó ( ) cos x· 1,x = công thức tính góc (x1 ) (x1 ) cong Eu '1 u '2 + F ( u '1 v '2 + u '2 v '1 ) + Gv '1 v '2 E ( u '1 ) + Fu '1 v '1 + G ( v '1 ) 2 E ( u '2 ) + Fu '2 v '2 + G ( v '2 ) Trong trường hợp đặc biệt Nếu đường có j1 ( t ) = r ( u ( t ) , v0 ) , ( ) j '2 ( t ) = r 'v v 't Khi đó cos x· 1,x = (x ) có và j ( t ) = r ( u0 , v ( t ) ) thì j '1 ( t ) = r 'u u 't , F EG Ánh xạ Weingarten h ìïr 'u ¾¾ ® h ( r 'u ) = -n 'u Xét ánh xạ h : TM ( S ) ® TM ( S ) thỏa mãn í h ® h ( r 'v ) = -n 'v ïîr 'v ¾¾ h và a Î TM ( S ) : a = au r 'u + av r 'v ¾¾ ® a = au ( -n 'u ) + av ( -n 'v ) = -au n 'u - av n 'v ta gọi ánh xạ h xác định trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng ( S ) ) Khi đó det [ h ] là độ cong Gauss ( S ) và các giá trị riêng ma trận [ h ] gọi là độ cong chính Nhận xét h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số Ma trận ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng ma trận h A - l I = Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp Lop10.com 10 Dạng toàn phương thứ hai Cho mặt ( S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ ( u, v ) a r ( u, v ) Ánh xạ II : TM ( S ) ® TM ( S ) là dạng song tuyến tính đối xứng Khi đó ( a, b ) a I ( a, b ) = h ( a ) b = a.h ( b ) II ( a, a ) = a.h ( a ) = h ( a ) a là dạng toàn phương thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) , với 2 tính L, M , N L = -n 'u ( u , v ) r 'u ( u, v ) , M = -n 'u ( u , v ) r 'v ( u, v ) = -n 'v ( u, v ) r 'u ( u, v ) , N = -n 'v ( u, v ) r 'v ( u , v ) Nếu mặt ( S ) có tham số hóa dạng r ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) thì L, M , N tính L= N= EG - F EG - F x ''uu x 'u x 'v y ''uu y 'u y 'v z ''uu z 'u , M = z 'v x ''vv x 'u y ''vv y 'u z ''vv z 'u x 'v y 'v z 'v EG - F x ''uv x 'u x 'v y ''uv y 'u y 'v z ''uv z 'u , z 'v 11 Độ cong pháp dạng Lấy a Î TM ( S ) : a = au r 'u + av r 'v Độ cong pháp dạng ( S ) điểm M theo phương a II ( a ) L ( au ) + Mau av + N ( av ) ký hiệu K M ( a ) và K M ( a ) = = I ( a ) E ( au )2 + Fau av + G ( av ) 2 Lưu ý K M ( l a ) = K M ( a ) 12 Phương chính Giả sử h là ánh xạ Weingarten mặt ( S ) , a Î TM ( S ) , a ¹ Ta nói a là phương chính mặt ( S ) a là véctơ riêng ma trận ánh xạ tuyến tính h hay h ( a ) = l a với l là độ cong chính Thấy a Î TM ( S ) : a = au r 'u ( u , v ) + av r 'v ( u , v ) ta xác định au , av dựa vào định thức a 2v E L -au av F M a 2u G = N Khi đó K = LN - M EN + GL - FM là độ cong Gauss, H = là độ cong trung bình EG - F EG - F ( ) Lop10.com Lưu ý Việc tính độ cong chính mặt ( S ) ta có thể dựa vào phương trình ( EG - F ) l - ( EN + LG - 2MF ) l + ( LN - M ) = để ý K = l l , H = l +2 l 2 1 2 13 Phân loại điểm trên mặt Cho mặt (S ) chính qui có tham số hóa r : U ® ¡ và độ cong Gauss điểm ( u, v ) a r ( u, v ) LN - M A = r ( u , v ) Î ( S ) có công thức K = , độ cong chính tương ứng là l1 , l2 EG - F Nếu K > thì A là điểm Eliptic Nếu K < thì A là điểm Hyperbolic Nếu K = thì A là điểm Parabolic Nếu l1 = l2 thì A là điểm rốn Nếu l1 = l2 ¹ thì A là điểm cầu Nếu l1 = l2 = thì A là điểm dẹt Phaàn BÀI TẬP MINH HỌA Bài Viết phương trình tham số hóa các mặt tròn xoay sau ¡ a) Mặt Elipxoit tròn xoay b) Mặt Hyperboloit tầng tròn xoay c) Mặt Hyperboloit tầng tròn xoay d) Mặt Paraboloit tròn xoay Giải a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( 0x ) có dạng ì x2 y2 ïïcos u = + a b Đặt í Khi đó ta ïsin u = z ïî b2 x2 y z + + = a b2 b2 ì x = a.cos u.cos v ï í y = b.cos u.sin v ï z = b.sin u î Do phương trình tham số hóa mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( 0x ) là r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, b.cos u.cos v, b.sin u ) x2 y2 z + + = Tương a2 b2 a2 tự trên cho ta phương trình tham số hóa mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( y ) là r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, b.cos u.cos v, a.sin u ) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( y ) có dạng x2 y z b) Phương trình Hyperboloit tầng tròn xoay có dạng - + = a b a Lop10.com ì x2 y ì x = a.cos u.chv ïïcos u = - ï a b Đặt í Khi đó ta í y = b.cos.shv Do phương trình tham số hóa ïsin u = z ï z = a.sin u î ïî a Hyperboloit tầng tròn xoay là r ( u , v ) = ( a.cos u.chv, b.cos u.shv, a.sin u ) x2 y z c) Phương trình Hyperboloit tầng tròn xoay có dạng - - = a b b ì ïïch u = Đặt í ï sh 2u = ïî x2 y a b2 Khi đó ta z2 a2 ì x = a.chu.chv ï í y = b.chu.shv Do phương trình tham số hóa ï z = b.shu î Hyperboloit tầng tròn xoay là r ( u , v ) = ( a.chu.chv, b.chu.shv, a.shu ) d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng x + y = pz ì ïz = p u ïï Đặt í x = u.cos v Khi đó phương trình tham số hóa Paraboloit tròn xoay là ï y = u.sin v ï ïî æ 2ö r ( u , v ) = ç u.cos v, u sin v, u ÷ 2p ø è Bài Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] và hai hàm véctơ r : U ® I Ì ¡ , r~ : U = U ® ¡ xác định ~ ìr ( u , v ) = ( ( + cos u ) cos v, ( + cos u ) sin v,sin u ) ï công thức í ~ ææ ~ æ ~ö ~ ~ö ~ö ïr ( u , v ) = ç ç + cos v ÷ cos u , ç + cos v ÷ sin u ,sin v ÷ ø è ø èè ø î æ ~ö a) Chứng minh r và r~ là các mặt tham số hóa và r (U ) = r~ ç U ÷ è ø b) r và r~ có tương đương không? Vì sao? Giải a) Dễ dàng kiểm tra r , r~ là ánh xạ khả vi vì các hàm cos, sin u là các hàm số sơ cấp ~ æ ~ö Do U = U nên r (U ) = r~ ç U ÷ è ø Lop10.com ~ b) Giả sử r và r~ tương đương tức là tồn phép biến đổi tham số j : U ® U cho r~ = r0j æ ¶j ç ~ ~ ¶u Khi đó j là vi phôi bảo toàn hướng từ U lên U tức là det J j > với Jj = ç ç ¶j ç ~ è ¶u ¶j ¶~ v ¶j ¶~ v ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø æ æ æ ö æ ö æ ö ö æ öö Ta lại có r~ ç u~ , v~ ÷ = ( r0j ) ç u~ , v~ ÷ Û r~ ç u~ , v~ ÷ = r ç j ç u~ , v~ ÷ ,j ç u~ , v~ ÷ ÷ è ø è ø è ø ø è øø è è ìæ æ ~ö ~ æ ~ ~ öö 2æ ~ ~ö ïç + cos v ÷ cos u = ç + cosj ç u , v ÷ ÷ cosj ç u , v ÷ ø è øø è ø è ïè ïïæ æ æ öö æ ö ~ö ~ Û íç + cos v ÷ sin u = ç + cosj ç u~ , v~ ÷ ÷ sin j ç u~ , v~ ÷ Suy ø è øø è ø è ïè ï ~ 1æ ~ ~ ö ïsin u = sin j ç u , v ÷ è ø ïî ì 1æ ~ ~ ö ~ ïj ç u , v ÷ = v ï è ø í ïj æ u~, v~ ö = u~ ÷ ïî çè ø æ1 ö Do đó Jj = ç ÷ có det J j = -1 < (mâu thuẫn) è ø Vậy ta có điều cần chứng minh ( ) Bài Cho U mở ¡ , mặt ( S ) có r : U ® ¡ xác định r ( u , v ) = u , v, u - v , với ( u, v ) Î U a) Chứng minh r là tham số hóa chính qui b) Tìm giao tuyến mặt phẳng tiếp xúc (p ) điểm A = r ( 0,1) với mặt ( S ) Giải a) Xét điểm tùy ý A = r ( u , v ) Î U Lấy đạo hàm theo biến u , v cho ta r 'u ( u, v ) = (1,0, 2u ) , r 'v ( u, v ) = ( 0,1, -2v ) Suy ( r 'u Ù r 'v ) ( u, v ) = ( -2u , 2v,1) Theo trên ta lại ( r 'u Ù r 'v ) ( u , v ) = 4u + 4v + ¹ 0, " ( u , v ) Î U Do đó véctơ r 'u ( u , v ) , r 'v ( u , v ) độc lập tuyến tính Vậy r là tham số hóa chính qui hay ( S ) là mặt chính qui b) Phương x - x0 x 'u ( 0,1) x 'v ( 0,1) trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) A = r ( 0,1) Î ( S ) có dạng là ì A = r ( 0,1) = ( x0 , y0 , z0 ) = ( 0,1, -1) y - y0 z - z0 ï y 'u ( 0,1) z 'u ( 0,1) = (3.1), đó í x 'u ( 0,1) = 1, y 'u ( 0,1) = 0, z 'u ( 0,1) = ï y 'v ( 0,1) z 'v ( 0,1) î x 'v ( 0,1) = 0, y 'v ( 0,1) = 1, z 'v ( 0,1) = -2 Lop10.com x Thế vào (3.1) ta y -1 z +1 0 = hay y + z - = -2 Do phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) là y + z - = ìx = u ï Lấy M ( x, y , z ) Î r ( u , v ) Û í y = v Khi đó mặt ( S ) : z = x - y ï 2 îz = u - v éì x + y - = êí ì z = x2 - y2 î2 y + z - = Từ đó cho ta í suy ê êì x - y + = î2 y + z - = êí êë î2 y + z - = Do giao tuyến mặt phẳng tiếp xúc (p ) với ( S ) là cặp đường thẳng có phương trình éì x + y - = êí ê î2 y + z - = êì x - y + = êí ëê î2 y + z - = Bài Trong ¡3 với mục tiêu trực chuẩn 0xyz cho ( P ) : y = 0, z = ax a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ( P ) quay quanh trục 0z b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc điểm tùy ý mặt tròn xoay Giải ì 1 ïx = z 2 a) Quay ( P ) : í a quanh trục 0z cho ta mặt tròn xoay ( S ) có phương trình x + y = z a ïî y = ( ) b) Phương trình tham số hóa mặt ( S ) là r ( u , v ) = u cos v, u sin v, au Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) (p ) điểm A = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng y - y0 z - z0 y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = (4.1) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) ( Với A = r ( u0 , v0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) = u0 cos v0 , u0 sin v0 , au0 ) r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ( cos v0 ,sin v0 , 2au0 ) r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ( -u0 sin v0 , u0 cos v0 ,0 ) ( ) ( ) Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng (p ) là 2au0 cos v0 x + 2au0 sin v0 y - u0 z - au03 = Lop10.com Bài Cho f là hàm trơn trên tập mở U Ì ¡ và mặt ( S ) có tham số hóa r : U ® ¡ xác định r ( u , v ) = ( u , v, f ( u , v ) ) , với ( u, v ) Î U a) Tìm dạng thứ nhất, thứ hai r b) Tính độ cong Gauss K ( S ) điểm tùy ý Giải a) Dạng thứ r có dạng I ( a ) = E ( au ) + Fau av + G ( av ) (5.1) 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = + ( f 'u ) , F = r 'u ( u, v ) r 'v ( u, v ) = f 'u f 'v 2 G = ( r 'v ( u , v ) ) = + ( f 'v ) 2 2 2 Thế vào (5.1) ta I ( a ) = é1 + ( f 'u ) ù ( au ) + f 'u f 'v au av + é1 + ( f 'v ) ù ( av ) ë û ë û Dạng thứ hai r có dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (5.2) x ''uu x 'u EG - F x 'v Với L = M= N= y ''uu y 'u y 'v z ''uu f ''u z 'u = 2 + ( f 'u ) + ( f 'v ) z 'v x ''uv x 'u x 'v y ''uv y 'u y 'v z ''uv f ''uv z 'u = 2 + ( f 'u ) + ( f 'v ) z 'v x ''vv x 'u EG - F x 'v y ''vv y 'u y 'v z ''vv f ''vv z 'u = 2 + ( f 'u ) + ( f 'v ) z 'v EG - F Thế vào (5.2) ta II ( a ) = 1 + ( f 'u ) + ( f 'v ) 2 ( f '' ( a ) u u b) Độ cong Gauss điểm tùy ý tính theo công thức K = K = f ''u f ''v - ( f ''uv ) LN - M theo câu a) ta EG - F 2 + ( f 'u ) + ( f 'v ) ) + f ''uv au av + f ''v ( av ) Bài Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] và mặt xuyến ( S ) có r : U ® ¡ xác định công thức r ( u , v ) = ( ( + cos u ) cos v, ( + cos u ) sin v,sin u ) a) Xác định các đường tọa độ r ( u , v0 ) , r ( u0 , v ) r æp ö b) Lập phương trình tổng quát các mặt phẳng tiếp xúc điểm A = r ( 0,0 ) , B = r ç ,0 ÷ è2 ø Giải 10 Lop10.com ïìu = u ( t ) r a) Với v = v0 tương ứng với đường í ¾¾ ® (x ) Với điểm M Î (x ) cho ta ïîv = v0 ì x = ( + cos u ) cos v0 ï í y = ( + cos u ) sin v0 suy ï z = sin u î ì x sin v0 - y cos v0 = í î z - sin u = ì x sin v0 - y cos v0 = Do họ tham số v = v0 là đường thẳng có phương trình í Khi z sin u = î v0 thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ ìïu = u0 r Với u = u0 tương ứng với đường í ¾¾ ® (x ) Với điểm M Î (x ) cho ta ïîv = v ( t ) ì x = ( + cos u0 ) cos v ìï x + y = ( + cos u0 )2 ï Do họ tham số u = u0 là í y = ( + cos u0 ) sin v suy í z sin u = ïî ï z = sin u 0 î đường tròn giao mặt phẳng z - sin u0 = và mặt trụ Khi u0 thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ hai b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( 0,0 ) x 'v ( 0, ) y - y0 z - z0 y 'u ( 0,0 ) z 'u ( 0,0 ) = (6.1) y 'v ( 0,0 ) z 'v ( 0,0 ) (p A ) điểm A = r ( 0,0 ) Î ( S ) ì( x0 , y0 , z0 ) = ( 3,0, ) ï với ír 'u ( 0, ) = ( 0,0,1) ï îr 'v ( 0, ) = ( 0,3,0 ) có dạng Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là x - = æp ö Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc (p B ) điểm B = r ç ,0 ÷ Î ( S ) là x + z - = è2 ø Bài Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] Ì ¡ và mặt giả cầu ( S ) có r : U ® ¡ xác định công thức æ u öö æ r ( u , v ) = ç a sin u cos v, a sin u sin v, a ç cos u + ln tan ÷ ÷ øø è è a) Xác định dạng thứ nhất, thứ hai mặt ( S ) b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính ( S ) c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic ( S ) Giải a) Dạng mặt ( S ) có dạng I ( a ) = E ( au ) + Fau av + G ( av ) (7.1) 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = a cot an 2u , F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = 0, G = ( r 'v ( u , v ) ) = a sin u 2 11 Lop10.com Thế vào (7.1) cho ta I ( a ) = a cot an 2u ( au ) + a sin u ( av ) 2 Dạng thứ hai mặt ( S ) có dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (7.2) 2 Với L = -n 'u ( u, v ) r 'u ( u, v ) = -a cot anu, M = -n 'u ( u , v ) r 'v ( u, v ) = N = -n 'v ( u , v ) r 'v ( u , v ) = a sin 2u 2 æ1 ö Thế vào (7.2) cho ta II ( a ) = ( -a cot anu ) ( au ) + ç a sin 2u ÷ ( av ) è2 ø LN - M theo câu a) ta tính K = - EG - F a EN + LG - FM Độ cong trung bình tính theo công thức H = theo câu a) ta tính EG - F b) Độ cong Gauss tính theo công thức K = ( H= ) aæ ö ç - cot anu + sin 2u ÷ 2è ø Độ cong chính l mặt ( S ) điểm tùy ý là nghiệm phương trình ( EG - F ) l - ( EN + LG - 2MF ) l + ( LN - M ) = (7.3) 2 theo câu a) ta vào (7.3) cho ta phương trình a cosul - a ( sin u - cos u cot anu ) l - cosu = điều kiện cos u ¹ é a a ( sin u - cos u cot anu ) + ê sin u ê l1 = a2 2a cos u Với D = > u ¹ 0, p , 2p cho ta nghiệm ê ê sin u a a ( sin u - cos u cot anu ) ê sin u êl = 2 êë 2a cos u é a a ( sin u - cos u cot anu ) + ê sin u ê l1 = p 3p 2a cos u Vậy độ cong chính mặt là ê u ¹ 0, , p , , 2p ê 2 a a ( sin u - cos u cot anu ) ê sin u êl = 2 êë 2a cos u c) Vì K = - < với ( u , v ) Î U nên điểm nào mặt ( S ) luôn là điểm Hyperbolic a Bài Cho mặt tròn xoay ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = (j ( u ) cos v, j ( u ) cos u , x ( u ) ) , với j , x là các hàm biến trơn thỏa j > 0, (j ') + (x ') ¹ 2 a) Xác định các dạng thứ nhất, thứ hai ( S ) b) Tính độ cong Gauss điểm tùy ý ( S ) 12 Lop10.com Giải a) Dạng thứ có công thức dạng I ( a ) = E ( au ) + Fau av + G ( av ) (8.1) 2 Ta lại có r 'u ( u , v ) = (j 'cos v, j 'cos u - j ( u ) sin u , x ') , r 'u ( u , v ) = ( -j ( u ) sin v, 0,0 ) Suy E = ( r 'u ( u , v ) ) = (j 'cos v ) + (j 'cos u - j ( u ) sin u ) + (x ') 2 2 F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = -j 'j ( u ) sin v cos v , G = ( r 'v ( u , v ) ) = (j ( u ) sin v ) 2 2 2 Thế vào (8.1) ta I ( a ) = é(j 'cos v ) + ( j 'cos u - j ( u ) sin v ) + (x ') ù ( au ) + ë û ( -j 'j ( u ) sin v cos v ) au av + (j ( u ) sin v ) ( av ) 2 Dạng thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (8.2) 2 Hơn r ''u ( u , v ) = (j ''cos v,j ''cos u - j ' ( sin u + cos u ) - j ( u ) cos u , x '') r ''uv ( u , v ) = ( -j 'sin v,0,0 ) , r ''v ( u , v ) = ( -j ( u ) sin v,0,0 ) Suy M = 0, N = vào (8.2) cho ta II ( a ) = L ( au ) , với L tính trên b) Độ cong Gauss tính theo công thức K = LN - M theo câu a) ta K = EG - F Bài Cho U = [ 0, 2p ] ´ [ 0, 2p ] Ì ¡ và mặt xuyến ( S ) có r : U ® ¡ xác định công thức r ( u , v ) = ( ( + cos u ) cos v, ( + cos u ) sin v,sin u ) , với ( u, v ) Î U a) Xác định các dạng thứ nhất, thứ hai ( S ) b) Tìm phương chính, độ cong Gauss và độ cong chính ( S ) c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic ( S ) d) Trên ( S ) có điểm rốn không? Tại sao? Giải a) Dạng thứ có công thức dạng I ( a ) = E ( au ) + Fau av + G ( av ) (9.1) 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = 1, F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = 0, G = ( r 'v ( u , v ) ) = ( + cos u ) 2 Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng thứ là I ( a ) = ( au ) + ( + cosu ) ( av ) 2 Dạng thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + 2Mau av + N ( av ) (9.2) 2 Với r ''u ( u , v ) = ( - cos u cos v, - cos u sin v, - sin u ) , r ''uv ( u , v ) = ( sin u sin v, - sin u cos v,0 ) r ''v ( u , v ) = ( - ( + cos u ) cos v, - ( + cos u ) sin v,0 ) nên theo công thức tính L, M , N cho ta L = 1, M = 0, N = 2cos u + cos u ( ) Thế vào (9.2) ta công thức dạng thứ hai là II ( a ) = ( au ) + 2cos u + cos 2u ( av ) 2 13 Lop10.com b) Độ cong Gauss tính theo công thức K = LN - M theo kết câu a) ta EG - F K = cos u Theo lý thuyết ta biết độ cong chính mặt ( EG - F ) l - ( EN + LG - 2MF ) l + ( LN - M ) = 2 (S ) là nghiệm phương trình theo kết câu a) cho ta phương él = trình ( + cos u ) l - ( 2cos u + ) l + cos u = suy ê Do độ cong chính ê l = cos u + cos u ë él = mặt ( S ) điểm là ê ê l = cos u + cos u ë Gọi phương chính mặt ( S ) điểm là a = au r 'u ( u , v ) + av r 'v ( u , v ) (9.3) ( av ) Dựa vào ( au ) E -au av F L M N G = và kết câu a) ta au av = Trường hợp au = suy a = ( - av ( + cos u ) sin v, av ( + cos u ) cos v,0 ) nên ta có thể chọn phương chính điểm là a = ( - ( + cos u ) sin v, ( + cos u ) cos v,0 ) Trường hợp av = suy a = ( - au sin u cos v, - au sin u sin v, au cos u ) nên ta có thể chọn phương chính điểm bất ký là a = ( - sin u cos v, - sin u sin v, cos u ) æ p pö æ p pö c) Nếu K > Û cos u > Û u Î ç - , ÷ thì điểm A = r ( u , v ) thỏa u Î ç - , ÷ là è 2ø è 2ø điểm Eliptic æ p 3p ö æ p 3p ö Nếu K < Û cos u < Û u Î ç , ÷ thì điểm A = r ( u , v ) thỏa u Î ç , ÷ là è2 ø è2 ø điểm Hyperbolic p Nếu K = Û cos u = Û u = + kp , k Î ¢ thì điểm A = r ( u, v ) thỏa p u = + kp , k Î ¢ là điểm Parabolic cos u d) Giả sử mặt ( S ) có điểm rốn tức là l1 = l2 Û = (vô lí) Vậy mặt ( S ) không có + cos u điểm rốn 14 Lop10.com (S ) Bài 10 Cho mặt ¡ tham số hóa cho dạng thứ có dạng 1 æ 2ö I ( a ) = ( au ) + G ( av ) Chứng minh độ cong Gauss ( S ) cho K = - ç G ÷ G è øuu Giải Như ta đã biết độ cong Gauss điểm tùy ý tính theo công thức K= æ ¶ æ ¶E ö ¶ æ ¶G ö ö ÷+ ç ç ç ÷÷ EG è ¶v è EG ¶v ø ¶u è EG ¶u ø ø Theo giả thiết ta có E = nên K = - æ ¶ æ ¶G ö ö æ 1 ( Gu ) ö÷ = ç ç ÷ = ç - Guu + ÷ 4G G è ¶u è G ¶u ø ø G è ø æ 12 ö çG ÷ è øuu G Bài 11 Mặt ¡ gọi là mặt tối tiểu độ cong trung bình triệt tiêu điểm Chứng u u æ ö minh mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ç a.ch cos v, a.ch sin v, u ÷ là mặt tối tiểu a a è ø Giải Độ cong trung bình điểm có công thức là H = EN + LG - FM (11.1) EG - F ( ) u u u æ u ö æ ö Ta lại có r 'u ( u , v ) = ç sh cos v, sh sin v,1÷ , r 'v ( u , v ) = ç - a.ch sin v, a.ch cos v,0 ÷ a a a è a ø è ø u u u æ1 u ö æ ö r ''u ( u , v ) = ç ch cos v, ch sin v, ÷ , r ''uv ( u , v ) = ç - sh sin v, sh cos v,0 ÷ a a a a èa a ø è ø u u æ ö r ''v ( u , v ) = ç -a.ch cos v, -a.ch sin v,0 ÷ a a è ø 2 a2 æ uö æ uö Suy E = ç sh ÷ + 1, F = 0, G = a ç ch ÷ và L = - , M = 0, N = a a è aø è aø Thế vào (11.1) ta H = tức là mặt ( S ) là mặt tối tiểu Bài 12 Cho mặt tham số hóa ( S ) ¡3 có r ( u , v ) = ( u cos v, u sin v, u + v ) a) Xác định các dạng thứ nhất, thứ hai và độ cong Gauss ( S ) b) Tìm độ cong chính và phương chính ( S ) điểm A ( 0,0 ) Giải a) Dạng thứ có công thức dạng I ( a ) = E ( au ) + Fau av + G ( av ) (12.1) 2 Với E = ( r 'u ( u , v ) ) = 2, F = r 'u ( u , v ) r 'v ( u , v ) = 1, G = ( r 'v ( u , v ) ) = u + 2 ( ) Thế vào (12.1) công thức dạng thứ là I ( a ) = ( au ) + 2au av + u + ( av ) 2 Dạng thứ hai có công thức dạng II ( a ) = L ( au ) + Mau av + N ( av ) (12.2) 2 15 Lop10.com Với r ''u ( u , v ) = ( 0,0,0 ) , r ''uv ( u , v ) = ( - sin v,cos v,0 ) , r ''v ( u , v ) = ( -u cos v, -u sin v,0 ) theo công thức tính L, M , N cho ta L = 0, M = - 2u + ,N = - Thế vào (12.2) công thức dạng thứ hai là II ( a ) = - u 2u + 2u + au av - nên u 2u + ( av ) b) Theo lý thuyết ta biết độ cong chính mặt ( S ) điểm A = r ( 0,0 ) là nghiệm ( ) ( ) phương trình EG - F l - ( EN + LG - MF ) l + LN - M = (12.3) Tại điểm A = r ( 0,0 ) cho ta E = 2, F = 1, G = và L = 0, M = -1, N = é l = -1 + Thế vào (12.3) cho ta phương trình l + 2l - = suy ê êë l2 = -1 - Gọi phương chính mặt ( S ) điểm A = r ( 0,0 ) là a = au r 'u ( 0,0 ) + av r 'v ( 0,0 ) (12.4) Với r 'u ( 0,0 ) = (1,0,1) , r 'v ( 0,0 ) = ( 0,0,1) , điểm A = r ( 0,0 ) ta E = 2, F = 1, G = và ( av ) L = 0, M = -1, N = dựa vào E L -au av F M ( au ) é a = 2au Suy ê v êë av = - 2au G N = ta ( au ) - ( av ) = ( ( ) ) ( ( ) ) Trường hợp av = 2au suy phương chính a = au ,0, + au nên ta có thể chọn ( ) phương chính là a = 1,0,1 + Trường hợp av = - 2au suy phương chính a = au ,0, - au nên ta có thể chọn ( ) phương chính là a = 1,0,1 - æ yö Bài 13 Chứng minh các mặt phẳng tiếp xúc (p ) với mặt ( S ) : z = x f ç ÷ luôn qua èxø điểm cố định ì ïx = u ïï æ æ v öö Giải Đặt í y = v cho ta tham số hóa mặt ( S ) là r ( u , v ) = ç u , v, u f ç ÷ ÷ è u øø è ï vö æ ï z = u f ç ÷ èuø îï 16 Lop10.com (p ) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là y - y0 z - z0 y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = (13.1) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) æ Với ( x0 , y0 , z0 ) = ç u0 , v0 , u0 f ç è æ æ v0 ö ö ç ÷ ÷÷ , r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = çç1,0, f è u0 ø ø è æ r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ç 0,1, f ç è æ v öö 'ç ÷ ÷ ÷ è u0 ø ø év æv ö Thế vào (13.1) cho ta ê f ' ç ÷ ë u è u0 ø xúc (p ) luôn qua điểm cố định Bài 14 Cho mặt ( S ) æ v0 ö v0 æ v0 ö ö f ' ç ÷ ÷÷ ç ÷è u0 ø u0 è u0 ø ø ỉ v ứ æv ö f ç ÷ ú x - f ' ç ÷ y + z = Dễ thấy mặt phẳng tiếp è u0 ø û è u0 ø ì 3 ï x = u sin v ï có phương trình tham số í y = u 3cos3v ï ï z = a2 - u î ( Chứng minh tổng bình ) phương các đoạn chắn tạo mặt phẳng tiếp xúc (p ) ( S ) với các trục tọa độ là không đổi, với a Î ¡ Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) (p ) điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là y - y0 z - z0 y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = (14.1) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) æ Với ( x0 , y0 , z0 ) = ç u03 sin v0 , u03cos3v0 , a - u0 è ( ) ö ÷ ø æ r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ç 3u0 sin v0 ,3u0 2cos3v0 , -3u0 a - u0 è ( ( r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = 3u03 sin v0 cos v0 , -3u03cos 2v0 sin v0 ,0 æ Thế vào (14.1) cho ta ç 9u0 a - u0 è ( ( ) ( ) + 9u0 cos v0 sin v0 z - 9a u0 a - u0 2 ) ) ö ÷ ø ö æ cos 2v0 sin v0 ÷ x + ç 9u0 a - u0 ø è ( 2 ) ) ö cos v0 sin v0 ÷ y ø cos 2v0 sin v0 = 17 Lop10.com ì ï ï(p ) Ç ( x ) = A a u0 sin v0 ,0,0 ï Ta lại có í(p ) Ç ( y ) = B 0, a 2u0 cos v0 , ï æ ï 2 ï(p ) Ç ( z ) = C ç 0,0, a a - u0 è î ( ( ) ) Do đó yêu cầu bài toán tương đương với việc ( ) ö ÷ ø tính OA2 + OB + OC = u0 a sin v0 + u0 a 4cos v0 + a - a 4u0 = a Bài 15 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) và pháp tuyến mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ( v cos u, v sin u , ku ) điểm bất kỳ, với k Î ¡ Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) (p ) điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là y - y0 z - z0 y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = (15.1) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) Với ( x0 , y0 , z0 ) = ( v0 cos u0 , v0 sin u0 , ku0 ) , r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ( -v0 sin u0 , v0 cos u0 , k ) r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ( cos u0 ,sin u0 ,0 ) Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc ( p ) là ( - k sin u0 ) x + ( k cos u0 ) y - v0 z + kv0u0 = Phương trình pháp tuyến điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng Với a = y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) v0 cos u0 = y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) sin u0 k = - k sin u0 b= z 'u ( u0 , v0 ) x 'u ( u0 , v0 ) k -v0 sin u0 = = k cos u0 z 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) cos u0 c= x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) y 'u ( u0 , v0 ) -v0 sin u0 = y 'v ( u0 , v0 ) cos u0 x - x0 y - y0 z - z0 (15.1) = = a b c v0 cos u0 = -v0 sin u0 Thế vào (15.1) cho ta phương trình pháp tuyến là x - v0 cos u0 y - v0 sin u0 z - ku0 = = -k sin u0 k cos u0 -v0 Bài 16 Chứng minh thể tích tứ diện tạo từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp æ a3 ö xúc (p ) mặt ( S ) có phương trình tham số hóa r ( u , v ) = ç u , v, ÷ không phụ thuộc vào tiếp uv ø è điểm, với a Î ¡ 18 Lop10.com Giải Phương trình mặt phẳng tiếp xúc x - x0 x 'u ( u0 , v0 ) x 'v ( u0 , v0 ) điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) có dạng là (p ) y - y0 z - z0 y 'u ( u0 , v0 ) z 'u ( u0 , v0 ) = (17.1) y 'v ( u0 , v0 ) z 'v ( u0 , v0 ) æ æ a3 ö a3 ö Với M = r ( u0 , v0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) = ç u0 , v0 , ÷ , r 'u ( u0 , v0 ) = ( x 'u , y 'u , z 'u ) = ç 1,0, - ÷ u0v0 ø u0 v0 ø è è æ a3 ö r 'v ( u0 , v0 ) = ( x 'v , y 'v , z 'v ) = ç 0,1, ÷ u v 0 ø è a3 a3 3a Thế vào (17.1) cho ta phương trình mặt phẳng tiếp xúc (p ) là x + y+z= u0 v0 u0v0 u0 v0 ì ï ï(p ) Ç ( x ) = A ( 3u0 , 0,0 ) 1 3a ï Ta lại có í(p ) Ç ( y ) = B ( 0,3v0 ,0 ) Do đó VABCD = xA xB xC = 3u0 3v0 = a điều 6 u0v0 ï ï(p ) Ç ( z ) = C æ 0,0, 3a ö ç ÷ ï u0v0 ø è î này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD không phụ thuộc vào việc chọn điểm M = r ( u0 , v0 ) Î ( S ) æ u + v2 ö Bài 17 Xây dựng ánh xạ Weingarten mặt ( S ) có tham số hóa r ( u , v ) = ç u , v, ÷ è ø Giải Lấy đạo hàm theo biến u , v ta có r 'u ( u, v ) = (1,0, u ) , r 'v ( u , v ) = ( 0,1, v ) Suy n ( u , v ) = ö r 'u Ù r 'u æ u v = ç,, ÷ r 'u Ù r 'u è u + v2 + u + v2 + u + v2 + ø æ ç -v - uv -u Nên n 'u ( u , v ) = ç , , 3 ç u + v2 + u + v2 + u + v2 + è ( ) ( ) ( ) æ ç uv -u - -v n 'v ( u , v ) = ç , , 3 ç u + v2 + u + v2 + u + v2 + è ( ) ( ) ( ) 3 ö ÷ ÷ ÷ ø ö ÷ ÷ ÷ ø Xây dựng ánh xạ h : TM ( S ) ® TM ( S ) thỏa mãn æ ç v2 + uv u h r 'u ¾¾ ® -n 'u = ç , , 3 ç u + v2 + u + v2 + u + v2 + è ( ) ( ) ( ) ö ÷ ÷ ÷ ø 19 Lop10.com æ ç -uv u2 + v r 'v ¾¾ ® -n 'v = ç , , 3 ç u + v2 + u + v2 + u + v2 + è h ( ) ( ) ( ) ö ÷ ÷ ÷ ø ì v2 + uv n ' = r 'u r 'v ï u 3 2 2 ï u + v +1 u + v +1 ï Khi đó í uv v2 + ï-n ' = r 'u + r 'v 3 ï v 2 2 2 u + v +1 u + v +1 ïî ( ) ( ( ) ) ( ) é v2 + ê ê u + v2 + Suy ma trận phép biến đổi là A = ê ê -uv ê ê u + v2 + ë Do h là ánh xạ Weingarten ( ) ( ( ù ú u + v2 + ú ú ú u2 +1 ú u + v + úû -uv 3 ) ( ) ) ( ) Bài 18 Cho mặt ( S ) có dạng toàn phương thứ I = au + u + b av Tính góc giao điểm đường cong ( C1 ) : u + v = 0, ( C2 ) : u - v = ìu + v = Giải Gọi A = ( C1 ) Ç ( C2 ) có tọa độ là nghiệm hệ í Û A = ( 0,0 ) îu - v = ìu = t ìu = t Dạng tham số ( C1 ) : í và ( C2 ) : í îv1 = -t îv1 = t Áp dụng công thức tính góc hai đường cong ( C1 ) , ( C2 ) - a2 - u cho ta cosf = + a2 + u Suy góc hai đường cong ( C1 ) , ( C2 ) điểm A = ( 0,0 ) là cosf = - a2 + a2 ( ) Bài 19 Cho mặt ( S ) có dạng toàn phương thứ I = ( au ) + u + a ( av ) Tìm chu vi 2 ì ïu = ± av tam giác cong trên ( S ) xác định í ïîv = Giải Xét hệ trục tọa độ ( 0uv ) cho ta cách xác định các đỉnh tam giác ABC Ta thấy u = av giao với đường u = - av cho ta điểm A = ( 0,0 ) 2 Tương tự đường u = æa ö av giao với đường v = cho ta điểm C = ç ,1÷ è2 ø 20 Lop10.com