Vi phân

Vi phân Vi phân cấp Cho f : I  ℝ a  I0  So sánh f = f(x) – f(a) với x = x – a  Hàm f khả vi a f = .x + x.(x)   ℝ, (x) ⎯⎯⎯ ∆ → Vi phân a df(a) = .x Ví dụ Xét tính khả vi f(x) = x2 a = Giải  a = 1, f(a) = 1, x = + h f = (1 + h)2 – = 2.h + h2 với  = 2, (h) = h  f khả vi a = df(1) = 2.h (Định lý bản) Hàm khả vi  có đạo hàm df(x) = f’(x)dx 1) Khả vi  liên tục 2) C1  khả vi Cho f : I  ℝ  Hàm khả vi I  khả vi  x  I  Vi phân cấp df : I  L(ℝ, ℝ), x  f’(x)dx Tập D(I, ℝ) Các qui tắc tính 1) Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược hàm khả vi hàm khả vi a) d(u + v) = du + dv b) d(u.v) = du.v + u.dv = c) 2) Hàm sơ cấp khả vi bên I Bảng vi phân suy từ bảng đạo hàm 1) d(ex) = (ex)’.dx = ex.dx d(lnx) = (lnx)’dx = dx 4) d(arcsin(x)) = (arcsin(x))’dx = √ Vi phân cấp cao Vi phân d(n–1)f vi phân cấp n d2f(x) = d{df(x)}, …, dnf(x) = d{ d(n–1)f(x) } Tập Dn(I, ℝ) Hàm khả vi cấp n  có đạo hàm cấp n dnf (x) = f(n)(x)dxn Các qui tắc tính 1) Tổng (hiệu), tích (thương), hàm hợp, hàm ngược hàm khả vi cấp n hàm khả vi cấp n a) dn(u + v) = dnu + dnv b) dn(uv) = ∑ ( ) ( ) 2) Hàm sơ cấp khả vi cấp bên I (Leibniz) y = x3 – 3x2 + Ví dụ Tìm vi phân cấp cao Giải  Hàm có đạo hàm y’ = 3x2 – 6x, y” = 6x – 6, y”’ = 6, y(4) = 0, …  Hàm khả vi dy = (3x2 – 6x)dx, d2y = (6x – 6)dx2 d3y = (6)dx3, d4y = 0, Ứng dụng vi phân Cơng thức tính đạo hàm y’(x) =  Hàm ngược x = x(y) x’(y) = =  Hàm hợp  = y = y(x) ( ) z = z(y), y = y(x) z’(x) = = = z’(y).y’(x) Cho x = x(t) y = y(t) với t  I ( ) y’(x) = = y”(x) = = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ Tính đạo hàm 1) y = arcsin x Giải  y = arcsin x y’(x) = ( )  y” = (1 −  = ) x = sin y ( ) = = − = (1 − ) √ (−2 ) ( ) 2) x = t2 – t , y = ln(t + 1) Giải  Các hàm có đạo hàm với t > –1 x’(t) = 2t – 1, x”(t) = 2, y’(t) = , y”(t) = − ( ) ,  Với t > –1 y’(x) = =( )( ) y”(x) = ((2t2 + t – 1)-1)’t (2t – 1)-1 = (-1) (2t2 + t – 1)-2.(4t + 1) (2t – 1)-1 = −( ))( ) Tính xấp xỉ giá trị hàm khả vi f(x) = f(a) + f  f(a) + f’(a)(x – a) Ví dụ Tính xấp xỉ A = √2 Giải  f(x) = √ , f’(x) = √ a = 1, x = 2, h = x – a =  √2  + = 1.5